(7.5.1)-7.5線性變換的值域和核_第1頁
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文檔簡介

一、

值域與核的概念二、值域與核的有關(guān)性質(zhì)一、值域與核的概念值域與核的概念定義1設(shè)

是線性空間V的一個線性變換，集合稱為線性變換

的值域，也記作或

集合稱為線性變換

的核，也記作

皆為V的子空間。值域與核的概念事實上，

且對有即對于V的加法與數(shù)量乘法封閉。為V的子空間。再看

首先，值域與核的概念又對有從而即

故為V的子空間。對于V的加法與數(shù)量乘法封閉。值域與核的概念定義2例1線性變換

的值域

的維數(shù)稱為

的秩；

的核

的維數(shù)稱為

的零度。

在線性空間中，令則

所以D的秩為n－1，D的零度為1。二、值域與核的有關(guān)性質(zhì)1.(定理10)設(shè)

是n維線性空間V的線性變換，是V的一組基，在這組基下的矩陣是A，則1）的值域

是由基象組生成的子空間，即2）的秩＝A的秩。值域與核的有關(guān)性質(zhì)值域與核的有關(guān)性質(zhì)即又對證：1）設(shè)于是有值域與核的有關(guān)性質(zhì)因此，的秩，又∴秩

＝秩等于矩陣A的秩。2）由1），

的秩等于基象組由第六章§5的結(jié)論3知，

的秩值域與核的有關(guān)性質(zhì)2.設(shè)

為n維線性空間V的線性變換，則的秩＋

的零度＝n即證明：設(shè)

的零度等于r，在核

中取一組基并把它擴充為V的一組基：生成的。由定理10

，是由基象組值域與核的有關(guān)性質(zhì)但設(shè)則有下證為

的一組基，即證它們即

可被線性表出。線性無關(guān)。值域與核的有關(guān)性質(zhì)設(shè)于是有由于

為V的基。的秩＝n－r因此，的秩＋的零度＝n.故線性無關(guān)，即它為

的一組基。值域與核的有關(guān)性質(zhì)雖然

與

的維數(shù)之和等于n，但是未必等于V。如在例1中,值域與核的有關(guān)性質(zhì)ⅰ)是滿射證明：ⅰ)顯然。ⅱ)因為若

為單射，則3.設(shè)

為n維線性空間V的線性變換，則ⅱ)是單射反之，若任取若則即故

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