2023屆陜西省咸陽市實驗中學高三上學期第四次模擬考試理科數(shù)學試題（WORD版）

04/1203/12/陜西省實驗中學高2023屆高三第四次模擬考試理科數(shù)學一、單項選擇題（本題共12道小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）．1．已知i是虛數(shù)單位，復數(shù)，則復數(shù)的虛部為（???????）A． B． C． D．2．已知集合，，則（???????）A． B． C． D．3．的展開式中的系數(shù)為A．10 B．20 C．40 D．804．已知，，動點滿足，則動點的軌跡與圓的位置關系是（???????）A．相交 B．外切 C．內(nèi)切 D．相離5．若，則（???????）A． B． C． D．6．如圖，在正方體中，點E，F(xiàn)分別是棱，的中點，點G是棱的中點，則過線段AG且平行于平面的截而圖形為（???????）A．等腰梯形 B．三角形 C．正方形 D．矩形7．函數(shù)的圖象大致是（???????）A． B．C． D．8．某化工企業(yè)為了響應并落實國家污水減排政策，加裝了污水過濾排放設備，在過濾過程中，污染物含量（單位：mg/L）與時間（單位：h）之間的關系為：（其中，是正常數(shù)）.已知經(jīng)過1h，設備可以過濾掉20%的污染物，則過濾60%的污染物需要的時間最接近（???????）（參考數(shù)據(jù)：）A．3h B．4h C．5h D．6h9．在區(qū)間與中各隨機取1個數(shù)，則兩數(shù)之和大于的概率為（???????）A． B． C． D．10．某校安排5名同學去A，B，C，D四個愛國主義教育基地學習，每人去一個基地，每個基地至少安排一人，則甲同學被安排到A基地的排法總數(shù)為（???????）A．24 B．36 C．60 D．24011．已知雙曲線C:，過右焦點F作C的一條漸近線的垂線l，垂足為點A，與C的另一條漸近線交于點B，若，則C的離心率為（??????????）A．2 B． C． D．12．已知，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則（???????）A． B．C． D．二、填空題（本題共4道小題，每小題5分，共20分）13．若，則__________．14．若直線是曲線和的公切線，則實數(shù)的值是______.15．已知拋物線上有兩動點，，線段的中點到軸距離的是2，則線段長度的最大值為______.16．中國古代數(shù)學名著《九章算術》中將底面為矩形且有一條側棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”．現(xiàn)有一“陽馬”的底面是邊長為3的正方形，垂直于底面的側棱長為4，則該“陽馬”的內(nèi)切球表面積為_________，內(nèi)切球的球心和外接球的球心之間的距離為________．三、解答題（本題共6道小題，共70分，寫出必要的文字說明與演算步驟）17．某校為了解本校學生課間進行體育活動的情況，隨機抽取了60名男生和60名女生，通過調(diào)查得到如下數(shù)據(jù)：60名女生中有10人課間經(jīng)常進行體育活動，60名男生中有20人課間經(jīng)常進行體育活動.(1)請補全列聯(lián)表，試根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，判斷性別與課間經(jīng)常進行體育活動是否有關聯(lián)；課間不經(jīng)常進行體育活動課間經(jīng)常進行體育活動合計男女合計(2)以樣本的頻率作為概率的值，在全校的學生中任取4人，記其中課間經(jīng)常進行體育活動的人數(shù)為，求的分布列、數(shù)學期望和方差.附表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828附：，其中.18．已知是數(shù)列的前項和，已知目，(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.19．如圖，在四棱錐中，，，，是棱的中點，且平面(1)證明：平面；(2)若，求二面角的正弦值.20．已知橢圓C：的離心率為，的面積為2.(I)求橢圓C的方程；(II)設M是橢圓C上一點，且不與頂點重合，若直線與直線交于點P，直線與直線交于點Q.求證:△BPQ為等腰三角形.21．已知函數(shù)的極值為．(1)求p的值，并求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，證明：．選做題（22題，23題選做一題，多做或做錯，按照第一題計分）22．在直角坐標系中，已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．(1)寫出曲線的普通方程；(2)設為曲線上的一點，將繞原點逆時針旋轉得到．當運動時，求的軌跡．23．已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的定義域；(2)若，求證:.08/1207/12/1．B2．C3．C4．B5．D6．A7．A8．B9．B10．C11．C12．B13．##0.514．115．516．????????##17．(1)表格見解析，有關聯(lián)(2)分布列見解析，數(shù)學期望為1，方差為【分析】（1）計算卡方，根據(jù)獨立性檢驗方法求解即可；（2）根據(jù)二項分布的分布列與數(shù)學期望和方差公式求解即可【詳解】（1）零假設為：性別與課間經(jīng)常進行體育活動相互獨立，即性別與課間是否經(jīng)常進行體育活動無關，依題意，列出列聯(lián)表如下：課間不經(jīng)常進行體育活動課間經(jīng)常進行體育活動合計男402060女501060合計9030120，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為性別與課間是否經(jīng)常進行體育活動有關聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05（2）由題意得，經(jīng)常進行體育活動者的頻率為，所以在本校中隨機抽取1人為經(jīng)常進行體育活動者的概率為，隨機變量的所有可能取值為0，1，2，3，4，由題意得，所以，，，，，，的分布列為：01234的數(shù)學期望為，的方差為.18．(1)，.(2)，其中.【分析】對于（1），先由可得表達式，再由，其中.可得的通項公式；對于（2），由（1）可得，則，據(jù)此可得數(shù)列的前項和.【詳解】（1）由題，又由，.可得，.故.則當，時，.又時，，故數(shù)列的通項公式是，.（2）由（1）可知，，則.則當為偶數(shù)時，.當為奇數(shù)時，.綜上：，其中.19．(1)證明見解析(2)【分析】（1）取中點，連接，，，證明故面，，得到答案.（2）建立空間直角坐標系，計算各點坐標，得到平面法向量和平面法向量，根據(jù)向量的夾角公式計算得到答案.【詳解】（1）取中點，連接，，，，面，面，故面，面，，面面，平面平面，平面平面，故.，，，，故，，是中點，故，，平面，故面，，故面.（2）如圖所示以為軸建立空間直角坐標系，，，，，，，設平面法向量為，，取，，設平面法向量為，，取，，，設二面角的平面角為，.20．(I)；(II)證明見解析【解析】(I)運用橢圓離心率公式和三角形面積公式，結合的關系，解方程可得，從而得到橢圓方程(II)設，直線的直線方程為直線的直線方程為，聯(lián)解求出點坐標，同理求出坐標，,，只需證明,利用作差法可證明.【詳解】(I)由題意得，解得，故橢圓的方程為.(II)由題意得,設點，則有，又直線的直線方程為，直線的直線方程為，，解得，點的坐標為.又直線的直線方程為，直線的直線方程為.，解得，點的坐標為.，.，，，△BPQ為等腰三角形.【點睛】圓錐曲線中的幾何證明問題多出現(xiàn)在解答題中，難度較大，多涉及線段或角相等以及位置關系的證明等.通常利用代數(shù)方法，即把要求證的等式或不等式用坐標形式表示出來，然后進行化簡計算等進行證明21．(1)；單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)極值點處導數(shù)為零，以及函數(shù)的極值，列出方程求得參數(shù)；再利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性即可；（2）構造函數(shù)，根據(jù)其單調(diào)性，通過證明，即可證明結果.【詳解】（1）設的極值點為，，則，解得，，經(jīng)檢驗，時滿足題意．所以，，當時，，當時，，所以的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．（2）不妨設，因為，由（1）知，，．設函數(shù)，，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，即．又，，所以，即．由，得，又，所以所以，即，得證．【點睛】關鍵點點睛：本題考查利用導數(shù)由函數(shù)極值求參數(shù)，以及利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)性和證明不等式；第二問處理的關鍵是如何逆向思考，得到構造的思路，屬綜合困難題.22．(1)(2)【分析】(1)由參數(shù)方程消去參數(shù)方程可得其普通方程；(2)設，則，將的直角坐標代入對應的直角坐標方程可得其極坐標，再將其化為直角坐標方程可得.【詳解】（1）∵，∴曲線的普通方程為；（2）以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，設，則，則點的直角坐標為，∴∴，∴，即，∴點的軌跡方程為．23．(1