2023屆陜西省咸陽市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期第四次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題(WORD版)_第1頁
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04/1203/12/陜西省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高2023屆高三第四次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題(本題共12道小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的).1.已知i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù),則復(fù)數(shù)的虛部為(???????)A. B. C. D.2.已知集合,,則(???????)A. B. C. D.3.的展開式中的系數(shù)為A.10 B.20 C.40 D.804.已知,,動點(diǎn)滿足,則動點(diǎn)的軌跡與圓的位置關(guān)系是(???????)A.相交 B.外切 C.內(nèi)切 D.相離5.若,則(???????)A. B. C. D.6.如圖,在正方體中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是棱,的中點(diǎn),點(diǎn)G是棱的中點(diǎn),則過線段AG且平行于平面的截而圖形為(???????)A.等腰梯形 B.三角形 C.正方形 D.矩形7.函數(shù)的圖象大致是(???????)A. B.C. D.8.某化工企業(yè)為了響應(yīng)并落實(shí)國家污水減排政策,加裝了污水過濾排放設(shè)備,在過濾過程中,污染物含量(單位:mg/L)與時(shí)間(單位:h)之間的關(guān)系為:(其中,是正常數(shù)).已知經(jīng)過1h,設(shè)備可以過濾掉20%的污染物,則過濾60%的污染物需要的時(shí)間最接近(???????)(參考數(shù)據(jù):)A.3h B.4h C.5h D.6h9.在區(qū)間與中各隨機(jī)取1個(gè)數(shù),則兩數(shù)之和大于的概率為(???????)A. B. C. D.10.某校安排5名同學(xué)去A,B,C,D四個(gè)愛國主義教育基地學(xué)習(xí),每人去一個(gè)基地,每個(gè)基地至少安排一人,則甲同學(xué)被安排到A基地的排法總數(shù)為(???????)A.24 B.36 C.60 D.24011.已知雙曲線C:,過右焦點(diǎn)F作C的一條漸近線的垂線l,垂足為點(diǎn)A,與C的另一條漸近線交于點(diǎn)B,若,則C的離心率為(??????????)A.2 B. C. D.12.已知,其中為自然對數(shù)的底數(shù),則(???????)A. B.C. D.二、填空題(本題共4道小題,每小題5分,共20分)13.若,則__________.14.若直線是曲線和的公切線,則實(shí)數(shù)的值是______.15.已知拋物線上有兩動點(diǎn),,線段的中點(diǎn)到軸距離的是2,則線段長度的最大值為______.16.中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中將底面為矩形且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”.現(xiàn)有一“陽馬”的底面是邊長為3的正方形,垂直于底面的側(cè)棱長為4,則該“陽馬”的內(nèi)切球表面積為_________,內(nèi)切球的球心和外接球的球心之間的距離為________.三、解答題(本題共6道小題,共70分,寫出必要的文字說明與演算步驟)17.某校為了解本校學(xué)生課間進(jìn)行體育活動的情況,隨機(jī)抽取了60名男生和60名女生,通過調(diào)查得到如下數(shù)據(jù):60名女生中有10人課間經(jīng)常進(jìn)行體育活動,60名男生中有20人課間經(jīng)常進(jìn)行體育活動.(1)請補(bǔ)全列聯(lián)表,試根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn),判斷性別與課間經(jīng)常進(jìn)行體育活動是否有關(guān)聯(lián);課間不經(jīng)常進(jìn)行體育活動課間經(jīng)常進(jìn)行體育活動合計(jì)男女合計(jì)(2)以樣本的頻率作為概率的值,在全校的學(xué)生中任取4人,記其中課間經(jīng)常進(jìn)行體育活動的人數(shù)為,求的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差.附表:0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828附:,其中.18.已知是數(shù)列的前項(xiàng)和,已知目,(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.19.如圖,在四棱錐中,,,,是棱的中點(diǎn),且平面(1)證明:平面;(2)若,求二面角的正弦值.20.已知橢圓C:的離心率為,的面積為2.(I)求橢圓C的方程;(II)設(shè)M是橢圓C上一點(diǎn),且不與頂點(diǎn)重合,若直線與直線交于點(diǎn)P,直線與直線交于點(diǎn)Q.求證:△BPQ為等腰三角形.21.已知函數(shù)的極值為.(1)求p的值,并求的單調(diào)區(qū)間;(2)若,證明:.選做題(22題,23題選做一題,多做或做錯(cuò),按照第一題計(jì)分)22.在直角坐標(biāo)系中,已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(1)寫出曲線的普通方程;(2)設(shè)為曲線上的一點(diǎn),將繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到.當(dāng)運(yùn)動時(shí),求的軌跡.23.已知函數(shù).(1)若,求函數(shù)的定義域;(2)若,求證:.08/1207/12/1.B2.C3.C4.B5.D6.A7.A8.B9.B10.C11.C12.B13.##0.514.115.516.????????##17.(1)表格見解析,有關(guān)聯(lián)(2)分布列見解析,數(shù)學(xué)期望為1,方差為【分析】(1)計(jì)算卡方,根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)方法求解即可;(2)根據(jù)二項(xiàng)分布的分布列與數(shù)學(xué)期望和方差公式求解即可【詳解】(1)零假設(shè)為:性別與課間經(jīng)常進(jìn)行體育活動相互獨(dú)立,即性別與課間是否經(jīng)常進(jìn)行體育活動無關(guān),依題意,列出列聯(lián)表如下:課間不經(jīng)常進(jìn)行體育活動課間經(jīng)常進(jìn)行體育活動合計(jì)男402060女501060合計(jì)9030120,根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn),我們推斷不成立,即認(rèn)為性別與課間是否經(jīng)常進(jìn)行體育活動有關(guān)聯(lián),此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05(2)由題意得,經(jīng)常進(jìn)行體育活動者的頻率為,所以在本校中隨機(jī)抽取1人為經(jīng)常進(jìn)行體育活動者的概率為,隨機(jī)變量的所有可能取值為0,1,2,3,4,由題意得,所以,,,,,,的分布列為:01234的數(shù)學(xué)期望為,的方差為.18.(1),.(2),其中.【分析】對于(1),先由可得表達(dá)式,再由,其中.可得的通項(xiàng)公式;對于(2),由(1)可得,則,據(jù)此可得數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】(1)由題,又由,.可得,.故.則當(dāng),時(shí),.又時(shí),,故數(shù)列的通項(xiàng)公式是,.(2)由(1)可知,,則.則當(dāng)為偶數(shù)時(shí),.當(dāng)為奇數(shù)時(shí),.綜上:,其中.19.(1)證明見解析(2)【分析】(1)取中點(diǎn),連接,,,證明故面,,得到答案.(2)建立空間直角坐標(biāo)系,計(jì)算各點(diǎn)坐標(biāo),得到平面法向量和平面法向量,根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算得到答案.【詳解】(1)取中點(diǎn),連接,,,,面,面,故面,面,,面面,平面平面,平面平面,故.,,,,故,,是中點(diǎn),故,,平面,故面,,故面.(2)如圖所示以為軸建立空間直角坐標(biāo)系,,,,,,,設(shè)平面法向量為,,取,,設(shè)平面法向量為,,取,,,設(shè)二面角的平面角為,.20.(I);(II)證明見解析【解析】(I)運(yùn)用橢圓離心率公式和三角形面積公式,結(jié)合的關(guān)系,解方程可得,從而得到橢圓方程(II)設(shè),直線的直線方程為直線的直線方程為,聯(lián)解求出點(diǎn)坐標(biāo),同理求出坐標(biāo),,,只需證明,利用作差法可證明.【詳解】(I)由題意得,解得,故橢圓的方程為.(II)由題意得,設(shè)點(diǎn),則有,又直線的直線方程為,直線的直線方程為,,解得,點(diǎn)的坐標(biāo)為.又直線的直線方程為,直線的直線方程為.,解得,點(diǎn)的坐標(biāo)為.,.,,,△BPQ為等腰三角形.【點(diǎn)睛】圓錐曲線中的幾何證明問題多出現(xiàn)在解答題中,難度較大,多涉及線段或角相等以及位置關(guān)系的證明等.通常利用代數(shù)方法,即把要求證的等式或不等式用坐標(biāo)形式表示出來,然后進(jìn)行化簡計(jì)算等進(jìn)行證明21.(1);單調(diào)減區(qū)間為,單調(diào)增區(qū)間為;(2)證明見解析.【分析】(1)根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為零,以及函數(shù)的極值,列出方程求得參數(shù);再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性即可;(2)構(gòu)造函數(shù),根據(jù)其單調(diào)性,通過證明,即可證明結(jié)果.【詳解】(1)設(shè)的極值點(diǎn)為,,則,解得,,經(jīng)檢驗(yàn),時(shí)滿足題意.所以,,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以的單調(diào)減區(qū)間為,單調(diào)增區(qū)間為.(2)不妨設(shè),因?yàn)?,由?)知,,.設(shè)函數(shù),,則,所以在上單調(diào)遞減,所以,即,所以,即.又,,所以,即.由,得,又,所以所以,即,得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題考查利用導(dǎo)數(shù)由函數(shù)極值求參數(shù),以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性和證明不等式;第二問處理的關(guān)鍵是如何逆向思考,得到構(gòu)造的思路,屬綜合困難題.22.(1)(2)【分析】(1)由參數(shù)方程消去參數(shù)方程可得其普通方程;(2)設(shè),則,將的直角坐標(biāo)代入對應(yīng)的直角坐標(biāo)方程可得其極坐標(biāo),再將其化為直角坐標(biāo)方程可得.【詳解】(1)∵,∴曲線的普通方程為;(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè),則,則點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,∴∴,∴,即,∴點(diǎn)的軌跡方程為.23.(1

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