2013年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試真題及答案

一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64A2,0,1,3Bx|xA2x2AB.答 -

x23時(shí)，2x227

2x2Ax02x22,1，有2x2ABB23B中所有元素的和為-在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、B在拋物線y24x上，滿(mǎn)足OAOB4，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn).則SOFAsOFB 答

解F坐標(biāo)為10AxyBxyx

x21

4

OAOBOAOB

1yy2yy1yy820yy8

1 1 1 1 1 1OF

1OF

1OF2y

22 2

2 1 在ABC中，已知sinA10sinBsinC，cosA10cosBcosC,則tanA的值 答 解由于sinAcosA10sinBsinCcosBcosC10cosBC10cos

sinA11cosA，故tanA112PABC12答 6

解如圖，設(shè)球心OABCABPHK，AB中點(diǎn)為M球半徑為rP、K、MP、O、HPHMPKO2KOHMPOHOKr,POPHOH2rKOHMPMH2PHMH 3AB 3MH2PH

53

1AC OKsinKPOMH11AC解得r

226

a,bfxaxbx0,1

fx1ab 答 14 af1f0，bf0，2abf0f1f0f01f2

1f121f121

2f0f11，即ab1ab1.故ab1 答 解a1a2a3a4a51,2，…，20，若a1a2a3a4a51a1a21a32a43a54161,2，…，2051,2，…，165個(gè)不同的數(shù)的選法相同，即C5種.1,2，…，205C5的概率為 C5

yx若實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足xyxxx

，則x的取值范圍 y解 ay

ba,b0xyxya2b2a2b24a2b，從而a,ba22b125a,b0如圖所示，在aOb平面內(nèi)，點(diǎn)a,b的軌跡是以1,2為圓心5為半徑的圓在a,b0的部分，即點(diǎn)OACB5a24, 225xa24, 已知數(shù)列a9a

1且對(duì)每個(gè)i1,

2 答 i解令bai11i8，則對(duì)每個(gè)符合條件的數(shù)列ai 8ai

1bi

1，且bi2,1,1i8

反之，由符合條18項(xiàng)數(shù)列bn可唯一確定一個(gè)符合題設(shè)條件的9項(xiàng)數(shù)列an 記符合條件1的數(shù)列bn的個(gè)數(shù)為N.顯然bi1i8中有偶數(shù)個(gè) ，即2k個(gè) 2k284k1kb的取法有

kb4BC2O1Ab4BC2O1A0,1,2，8 8N1C2C2C4C418 8因此，根據(jù)對(duì)應(yīng)原理，符合條件的數(shù)列an的個(gè)數(shù)為二、解答題：本大題共3個(gè)小題，共56分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟（16分）給定正數(shù)數(shù)列xnSn2Sn1n

Snx1 xn.證明：存在常數(shù)C0.nxC2n，n1,.n解n2Sn2Sn1xn1xnxn1對(duì)常數(shù)C1x

…………44.nxC2n，n1,.n

…………8n1時(shí)結(jié)論顯然成立.又xxC22 n3

C2kk1 n11xn1xnx1xn11xC22 C2n11C222223 2n1C2n2…………16 （本題滿(mǎn)分20分）xOya2b21ab0A2的任意一點(diǎn).若平面中兩個(gè)點(diǎn)Q、R滿(mǎn)足QA1PA1，QA2PA2RF1PF1RF2PF2確定線段QR的長(zhǎng)度與b的大小關(guān)系，并給出證明.解令c

Aa,0Aa,0Fc,0Fc,0a2a2 PxyQxyRxy，其中001y0 1

ax0aax0a…………512相減，得2axx0xx，將其代入1，得x2a2y

0 1x2 x2a210故y ，于是Qx,0 1010 x2c20根據(jù)RF1PF1,RF2PF2，同理可得Rx, 0 x2 x2 0 0 y00,bQRb（y0bP為0b…………20（本題滿(mǎn)分20分）求所有的正實(shí)數(shù)對(duì)a,b，使得函數(shù)fxax2b滿(mǎn)足：對(duì)任xy

fxyfxyfxfy解xyax2y2baxy2b先尋找a,b

1y0，得bax2bax2bbx1bax2b2b0由于a0ax2可取到任意大的正值，因此必有1b0，即0b…………51yx，得ax4bbax2b2x，有aa2x42abx22bb20 2的左邊記為gx，顯然aa20（否則，由a

可知a1gx2bx22bb2，其中b0，故gx可取到負(fù)值 ，于gxaa2x2

ab

2bb2 aa2 aaa2x2

b

b22ab 1a 1對(duì)一切實(shí)數(shù)x成立，從而必有aa20，即0a 10b0g

b b 22ab02ab2 1

1a

1 至此，求得a,b0b1，0a1，2ab2 …………15下面證明，對(duì)滿(mǎn)足3的任意實(shí)數(shù)對(duì)a,bxy，總有1成立，即hx,yaa2x2y2a1bx2y22axy2bb2xy事實(shí)上，在3成立時(shí)，有a1b0ax2y22xy，可

0，b22ab01hx