2019北京通州高一（下）期末數(shù)學（教師版）

13/132019北京通州高一（下）期末數(shù)學一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每個小題給出的四個備選答案中，只有一個是符合題目要求的．1．（5分）圓（x﹣1）2+y2＝4的圓心和半徑分別是（）A．（﹣1，0），2 B．（1，0），2 C．（﹣1，0），4 D．（1，0），42．（5分）已知向量＝（﹣1，2），＝（2，y），且∥，那么y等于（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．43．（5分）已知有若干輛汽車通過某一段公路，從中抽取100輛汽車進行測速分析，其時速的頻率分布直方圖如圖所示，那么時速在區(qū)間[60，70）內的汽車輛數(shù)大約為（）A．30 B．35 C．40 D．454．（5分）北京市某年12個月的PM2.5平均濃度指數(shù)如圖所示，由圖判斷，四個季度中PM2.5的平均濃度指數(shù)方差最大的是（）A．第一季度 B．第二季度 C．第三季度 D．第四季度5．（5分）已知m，n是兩條不同直線，α，β是兩個不同平面，且α∥β，m?α，那么下列命題中正確的是（）A．若n?β，則m∥n B．若n∥m，則n∥β C．若n⊥m，則n⊥β D．若n⊥β，則n⊥m6．（5分）已知點P在圓C1：x2+y2＝1上，點Q在圓C2：x2+y2﹣4x＝0上，那么P，Q兩點的距離的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．67．（5分）如圖，在△ABC中，已知＝2，＝λ1+λ2，那么等于（）A． B．﹣ C． D．8．（5分）已知集合A＝{0，1，2}，B＝{1，2，3，4}，分別從集合A和B中隨機取一個數(shù)a和b，確定平面直角坐標系中的一個點P（a，b）．設“點P（a，b）落在直線x+y＝n上”為事件X．（1≤n≤6，n∈N），當事件Xn的概率最大時，n的值為（）A．3 B．5 C．3或4 D．3或5二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．9．（5分）高一（4）班的甲、乙兩組同學（每組5人）某次數(shù)學測試的成績用莖葉圖表示如圖所示．用，分別表示甲、乙兩組同學成績的平均值，那么（填“＜”“＞”或“＝”）10．（5分）已知向量與夾角為60°，且||＝2，||＝3，那么?＝．11．（5分）設直線l：x+2y﹣2＝0與x軸、y軸分別交于A，B兩點，已知點C的坐標是（3，0），那么∠CAB的正切值是；過C點且垂直于直線l的方程是．12．（5分）已知某地區(qū)中小學學生人數(shù)和近視情況分別如圖1和圖2所示，為了了解該地區(qū)中小學生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取20%的近視學生進行調查，則樣本容量為，從中抽取的高中生近視人數(shù)為．小學初中高中人數(shù)90007000400013．（5分）已知圓C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，寫出滿足以下2個條件的一個圓C的圓心坐標：．①r＝2；②直線y＝x與圓C相交，所得弦長為2．14．（5分）已知向量，滿足||＝2，與的夾角為，那么||的最大值是．三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）現(xiàn)有5道數(shù)學題，其中3道選擇題，2道填空題，小明從中隨機抽出2道題解答．（Ⅰ）求抽出的2道題都是選擇題的概率；（Ⅱ）求抽出的2道題中，至少有1題是選擇題的概率．16．（13分）已知點A（﹣1，0），B（3，0），C（0，）．（Ⅰ）若直線l經(jīng)過A，C兩點，求直線l的方程；（Ⅱ）若圓D經(jīng)過A，B，C三點，求圓D的方程．17．（13分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，且AB＝AC，D是BC的中點．（Ⅰ）求證：AD⊥平面BCC1B1；（Ⅱ）求證：A1C∥平面AB1D．18．（13分）為了解“書香飄萬家，每天一小時”親子閱讀活動的開展情況，某社區(qū)對600個家庭每天進行親子閱讀的時間進行了調查．從中隨機抽取100個家庭，記錄他們親子閱讀的時間，將數(shù)據(jù)分成七組：（30，40]，（40，50]，…，（90，100]，并整理得到如下頻率分布直方圖：（Ⅰ）從總體的600個家庭中，隨機抽取一個家庭，估計其親子閱讀時間不大于60分鐘的概率；（Ⅱ）已知樣本中親子閱讀時間在區(qū)間（80，90]內的家庭有8個，估計總體中親子閱讀時間在區(qū)間（90，100]內的家庭有多少個；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若從樣本中親子閱讀時間大于80分鐘的家庭中隨機選取2個家庭，求這2個家庭中，恰有1個家庭的親子閱讀時間大于90分鐘的概率．（只需寫出結論）19．（14分）如圖1，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝3，M為CD上一點，且CM＝2MD．將△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，如圖2．點E是線段AM的中點．（Ⅰ）求四棱錐D﹣ABCM的體積；（Ⅱ）求證：平面BDE⊥平面ABCM；（Ⅲ）過B點是否存在一條直線l，同時滿足以下兩個條件：①l?平面ABCM；②l⊥AD．請說明理由．20．（14分）已知圓C的圓心為點C（2，0），且與y軸相切，直線l：y＝k（x+2）．（Ⅰ）求圓C的方程；（Ⅱ）是否存在直線l，使得直線l與圓C交于M，N兩點，且弦MN的中點P到原點O與圓心C的距離相等？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．（Ⅲ）若直線l上總存在點Q，使得過Q點的圓C的兩條切線互相垂直，求k的取值范圍．（只需寫出結論）

參考答案一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每個小題給出的四個備選答案中，只有一個是符合題目要求的．1．【分析】由題意利用圓的標準方程，得出結論．【解答】解：根據(jù)圓的標準方程可得圓（x﹣1）2+y6＝4的圓心和半徑分別是（1，7），2，故選：B．【點評】本題主要考查圓的標準方程，屬于基礎題．2．【分析】直接利用向量共線的坐標運算列式求解．【解答】解：∵＝（﹣1，＝（2，且∥，∴﹣3×y﹣4＝0，即y＝﹣8．故選：A．【點評】本題考查平面向量共線的坐標運算，是基礎題．3．【分析】由頻率分布直方圖求出時速在區(qū)間[60，70）內的頻率，由此能求出時速在區(qū)間[60，70）內的汽車輛數(shù)．【解答】解：由頻率分布直方圖得：時速在區(qū)間[60，70）內的頻率為：0.04×10＝0.5，∴時速在區(qū)間[60，70）內的汽車輛數(shù)大約為：0.4×100＝40．故選：C．【點評】本題考查時速在區(qū)間[60，70）內的汽車輛數(shù)的求法，考查頻率分布直方圖的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．4．【分析】根據(jù)方差是描述數(shù)據(jù)波動性大小的量，由圖得出第四季度中PM2.5的平均濃度指數(shù)方差最大．【解答】解：根據(jù)圖中數(shù)據(jù)知：第一季度的數(shù)據(jù)是72.25，43.96；第二季度的數(shù)據(jù)是66.5，55.25；第三季度的數(shù)據(jù)是59.36，38.67；第四季度的數(shù)據(jù)是82.09，104.6；觀察得出第四季度的數(shù)據(jù)波動性最大，所以第四季度的PM8.5平均濃度指數(shù)方差最大．故選：D．【點評】本題考查命題真假的判斷，考查考查方差的概念與應用問題等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．5．【分析】在A中，m與n平行或異面；在B中，n∥β或n?β，或n?α；在C中，n與β相交、平行或n?β；在D中，由線面垂直的性質定理得n⊥m．【解答】解：由m，n是兩條不同直線，α，且α∥β，知：在A中，若n?β，故A錯誤；在B中，若n∥m，或n?α；在C中，若n⊥m、平行或n?β；在D中，若n⊥β，故D正確．故選：D．【點評】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．6．【分析】由題意畫出圖形，數(shù)形結合得答案．【解答】解：圓C1：x2+y2＝1的圓心坐標為C1（6，0）1＝2，圓C2：x2+y5﹣4x＝0的圓心坐標為C7（2，0）5＝2．作出兩圓圖象如圖：P，Q兩點的距離的最大值是5．故選：C．【點評】本題考查圓與圓的位置關系，考查數(shù)形結合的解題思想方法，是中檔題．7．【分析】由平面向量基本定理及平面向量線性運算得：＝＝＝+3（）＝3﹣2，又＝λ1+λ2，所以λ1＝3，λ2＝﹣2，得解．【解答】解：由＝2，所以＝＝＝+6（﹣2，又＝λ1+λ3，所以λ1＝3，λ7＝﹣2，所以＝＝﹣，故選：A．【點評】本題考查了平面向量基本定理及平面向量線性運算，屬中檔題．8．【分析】分別從集合A和B中隨機取一個數(shù)a和b，組成一個有序數(shù)對，共有3×4種方法，要計算事件Xn的概率最大時n的最大值，要把題目中所有的情況進行分析求解，比較出n的所有可能值．【解答】解：事件Xn的總事件數(shù)為為：3×4＝12．只要求出當n＝5，2，3，7，5．當n＝1時，落在直線x+y＝2上的點為（0；當n＝2時，落在直線x+y＝7上的點為（0，（1，當n＝6時，落在直線x+y＝3上的點為（0，（5，（2；當n＝4時，落在直線x+y＝5上的點為（0，（1，（5；當n＝5時，落在直線x+y＝5上的點為（8、（2；當n＝6時，落在直線x+y＝2上的點為（2；∴當n＝3或n＝7時，事件Xn的概率最大，最大值為P＝，故選：C．【點評】本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．9．【分析】由莖葉圖分別求出，，由此能求出結果．【解答】解：由莖葉圖得：＝（92+94+84+86+79）＝87，＝（91+88+88+89+79）＝87，∴＝．故答案為：＝．【點評】本題考查兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的求法，考查莖葉圖、平均數(shù)的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．10．【分析】由題意利用兩個向量的數(shù)量積的定義，求得?．【解答】解：∵向量與夾角為60°|＝2，|，那么?，故答案為：3．【點評】本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，屬于基礎題．11．【分析】先算出直線與x軸、y軸交點坐標，繼而求出直線AB、AC的斜率，用到角公式可以求得∠CAB的正切值；垂直于l的直線斜率是直線l斜率的負倒數(shù)，由點斜式可以求得方程．【解答】解：由題意知：A（2，0），3），則kAC＝0，，故∠CAB的正切值是．∵垂直于直線l的直線的斜率為2，∴過C點且垂直于直線l的方程為y﹣0＝8（x﹣3），即2x﹣y﹣3＝0．故答案為：﹣，2x﹣y﹣6＝3．【點評】本題考查直線的方程，到角公式等，屬于一般基礎題．12．【分析】用分層抽樣的方法抽取20%的近視學生進行調查，利用分層抽樣、頻數(shù)分布表、條形圖的性質求出樣本容量和從中抽取的高中生近視人數(shù)．【解答】解：由題意得：用分層抽樣的方法抽取20%的近視學生進行調查，則樣本容量為：（9000+7000+4000）×20%＝4000．從中抽取的高中生近視人數(shù)為：4000×20%×50%＝400．故答案為：4000，400．【點評】本題考查樣本容量、頻率的求法，考查分層抽樣、頻數(shù)分布表、條形圖的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．13．【分析】根據(jù)圓的標準方程、兩點間距離公式、直線和圓相交弦問題的等價條件進行求解即可．【解答】解：設直線y＝x與圓C相交于A、B兩點，則，半徑為r＝|CA|＝2，連接CM，可知CM⊥AB，得∴圓心C（a，b）到直線y﹣x＝0的距離為，∴∴滿足|b﹣a|＝5的圓心C（a，b）即為所求，C（1，C（﹣1，C（2故答案為（1，﹣1）．【點評】本題主要考查直線和圓的相交問題，數(shù)形結合解題時，通常要設點的坐標方便書寫計算；直線與圓相交弦問題，使用“點到直線距離公式”與“勾股定理”．14．【分析】設，，則，然后在△OAB中，由正弦定理，得到，再求出OB，進一步得到||的最大值．【解答】解：如圖，設，，則，由與的夾角為，得，在△OAB中，由正弦定理，有，則＝，所以當時，的最大值為．故答案為：．【點評】本題考查平面向量數(shù)量積的性質及其運算，難度偏易．三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．15．【分析】（Ⅰ）基本事件總數(shù)n＝＝10，抽出的2道題都是選擇題包含的基本事件個數(shù)m＝＝3，由此能求出抽出的2道題都是選擇題的概率．（Ⅱ）抽出的2道題中，至少有1題是選擇題包含的基本事件個數(shù)m′＝＝9，由此能求出抽出的2道題中，至少有1題是選擇題的概率．【解答】解：（Ⅰ）現(xiàn)有5道數(shù)學題，其中3道選擇題，小明從中隨機抽出5道題解答．基本事件總數(shù)n＝＝10，抽出的7道題都是選擇題包含的基本事件個數(shù)m＝＝2，∴抽出的2道題都是選擇題的概率p＝．（Ⅱ）抽出的7道題中，至少有1題是選擇題包含的基本事件個數(shù)m′＝，∴抽出的2道題中，至少有3題是選擇題的概率p＝＝．【點評】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．16．【分析】（Ⅰ）若直線l經(jīng)過A，C兩點，用截距式求直線l的方程，再化為一般式．（Ⅱ）設圓的方程為x2+y2+dx+ey+f＝0，把A、B、C三點的坐標代入，求得d、e、f的值，可得結論．【解答】解：（Ⅰ）∵點A（﹣1，0），2），），若直線l經(jīng)過A，則由截距式求得直線AC的方程為+＝1，即＝0．（Ⅱ）若圓D經(jīng)過A，B，C三點2+y3+dx+ey+f＝0，則有，求得2+y2﹣4x﹣3＝0．【點評】本題主要考查用截距式求直線的方程，用待定系數(shù)法求圓的方程，屬于基礎題．17．【分析】（Ⅰ）推導出AD⊥CC1，AD⊥BC，由此能證明AD⊥平面BCC1B1．（Ⅱ）連結A1B，交AB1于O，連結OD，推導出OD∥A1C，由此能證明A1C∥平面AB1D．【解答】證明：（Ⅰ）∵在三棱柱ABC﹣A1B1C2中，CC1⊥底面ABC，且AB＝AC，∴AD⊥CC1，AD⊥BC，∵BC∩CC8＝C，∴AD⊥平面BCC1B1．（Ⅱ）連結A6B，交AB1于O，連結OD，∵D是BC的中點，∴OD∥A1C，∵OD?平面ADB8，A1C?平面ADB1，∴A5C∥平面AB1D．【點評】本題考查線面垂直、線面平行的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查了推理能力與計算能力，是中檔題．18．【分析】（Ⅰ）由頻率分布直方圖求出親子閱讀時間不大于60分鐘的頻率，由此能求出從總體的600個家庭中，隨機抽取一個家庭，估計其親子閱讀時間不大于60分鐘的概率．（Ⅱ）求出樣本中親子閱讀時間在區(qū)間（80，90]內的頻率為＝0.08，由頻率分布直方圖得到親子閱讀時間在區(qū)間（90，100]內的頻率，由此能估計總體中親子閱讀時間在區(qū)間（90，100]內的家庭的個數(shù)．（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，樣本中親子閱讀時間大于80分鐘的家庭有11個，其中樣本中親子閱讀時間在區(qū)間（80，90]內的家庭有8個，親子閱讀時間在區(qū)間（90，100]內的家庭有3個，由此能求出這2個家庭中，恰有1個家庭的親子閱讀時間大于90分鐘的概率．【解答】解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖得：親子閱讀時間不大于60分鐘的頻率為：（0.002+0.012+3.015）×10＝0.29，∴從總體的600個家庭中，隨機抽取一個家庭，估計其親子閱讀時間不大于60分鐘的概率為0.29．（Ⅱ）樣本中親子閱讀時間在區(qū)間（80，90]內的家庭有6個，∴樣本中親子閱讀時間在區(qū)間（80，90]內的頻率為，由頻率分布直方圖得：親子閱讀時間在區(qū)間（90，100]內的頻率為：1﹣（7.002+0.012+0.015+8.04+0.02）×10﹣0.08＝4.03，∴估計總體中親子閱讀時間在區(qū)間（90，100]內的家庭有600×0.03＝18個．（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，樣本中親子閱讀時間大于80分鐘的家庭有11個，其中樣本中親子閱讀時間在區(qū)間（80，90]內的家庭有8個，親子閱讀時間在區(qū)間（90，100]內的家庭有5個，從樣本中親子閱讀時間大于80分鐘的家庭中隨機選取2個家庭，基本事件總數(shù)n＝＝55，這8個家庭中，恰有1個家庭的親子閱讀時間大于90分鐘包含的基本事件個數(shù)m＝，∴這7個家庭中，恰有1個家庭的親子閱讀時間大于90分鐘的概率為：p＝．【點評】本題考查概率、頻數(shù)的求法，考查頻率分布直方圖的性質、古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎