中考復(fù)習(xí)專題-二次函數(shù)壓軸題

中考復(fù)習(xí)專題（七）一一二次函數(shù)壓軸題專訓(xùn)題型一：面積問題【例1】（2009湖南益陽）如圖2,拋物線頂點坐標(biāo)為點 C（1,4）,交x軸于點A（3,0）,交y軸于點B求拋物線和直線AB的解析式；求^CAB勺鉛垂高CD及Sacab；(3)設(shè)點P是拋物線（在第一象限內(nèi)）上的一個動點，是否存在一點若存在，求出(3)設(shè)點P是拋物線（在第一象限內(nèi)）上的一個動點，是否存在一點若存在，求出P點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由P,使&PAB=—Sacab,8【變式練習(xí)】（2009廣東省深圳市）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點 A的坐標(biāo)為（—2,0）,連結(jié)OA將線段O砥原點O順時針旋轉(zhuǎn)120。，得到線段OB（1）求點B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過AOB三點的拋物線的解析式；（3）在（2）中拋物線的對稱軸上是否存在點 C,使△BOC勺周長最??？若存在，求出點C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.（4）如果點P是（2）中的拋物線上的動點，且在x軸的下方，那么△PAB是否有最大面積？若有，求出此時P點的坐標(biāo)及△PAB的最大面積；若沒有，請說明理由.2.(2010綿陽)如圖，拋物線y=2.(2010綿陽)如圖，拋物線y=ax2+bx+4與x軸的兩個交點分別為A(—4,0)、B(2,0),與y軸交于點C,頂點為D.E(1,2)為線段BC的中點,BC的垂直平分線與x軸、y軸分別交于F、G(1)求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出頂點(1)求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出頂點D的坐標(biāo);(2)在直線EF上求一點H,使(2)在直線EF上求一點H,使4。口U勺周長最小，并求出最小周長;(3)若點K在x軸上方的拋物線上運動，當(dāng)K運動到什么位置時，△EFK的面積最大？并求出最大面積.3.(2012銅仁)如圖，已知：直線y=—x+3交x軸于點A,交y軸于點B,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A、RC(1,0)三點.(1)求拋物線的解析式；(2)若點D的坐標(biāo)為(-1,0),在直線y=—x+3上有一點P,使AABO與AADP相似,求出點P的坐標(biāo)；(3)在(2)的條件下，在x軸下方的拋物線上，是否存在點 E,使AADE的面積等于四邊形APC目勺面積？如果存在，請求出點 E的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.題型二：構(gòu)造直角三角形【例2】(2010山東聊城)如圖，已知拋物線 y=ax2+bx+c(aw0)的對稱軸為x=1,且拋物線經(jīng)過A(—1,0)、C(0,—3)兩點，與x軸交于另一點B.(1)求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；(2)在拋物線的對稱軸x=1上求一點M使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，并求此時點M的坐標(biāo)；(3)設(shè)點P為拋物線的對稱軸x=1上的一動點，求使/PCB=90o的點P的坐標(biāo).4ml4ml【變式練習(xí)】1.(2012廣州)如圖，拋物線y= —W籃+3與x軸交于A、B兩點(點A在點1.(2012廣州)如圖，拋物線側(cè))，與y軸交于點C.(1)求點A、B的坐標(biāo)；(2)設(shè)D為已知拋物線的對稱軸上的任意一點， 當(dāng)4ACD的面積等于△ACB的面積時，求點D的坐標(biāo)；(3)若直線l過點E(4,0),M為直線l上的動點，當(dāng)以ABM為頂點所作的直角三角形有且只有三個時，求直線l的解析式.

(2009成者B)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=a(x+1)2+c(a>0)與x軸交于AB兩點(點A在點B的左側(cè))，與y軸交于點C,其頂點為M,若直線MC的函數(shù)表達(dá)式為y=kx—3,y=kx—3,與x軸的交點為N,且CO5S/BCO3.1010(1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)在此拋物線上是否存在異于點C的點巳使以NP、C為頂點的三角形是以NC為一條直角邊的直角三角形？若存在，求出點 P的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由；(3)過點A作x軸的垂線，交直線MQ點Q.若將拋物線沿其對稱軸上下平移，使拋物線與線段NQ總有公共點，則拋物線向上最多可平移多少個單位長度 ？向下最多可平移多少個單位長度？1.?IJ3I■■一O.1 x3.(2012杭州)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，反比例函數(shù)和二次函數(shù) y=k(x2+xT)的圖象交于點A(1,k)和點B(-1,-k).(1)當(dāng)k=-2時，求反比例函數(shù)的解析式；(2)要使反比例函數(shù)和二次函數(shù)都是 y隨著x的增大而增大，求k應(yīng)滿足的條件以及x的取值范圍；(3)設(shè)二次函數(shù)的圖象的頂點為 Q,當(dāng)4ABQ是以AB為斜邊的直角三角形時，求k的值上述關(guān)b;若不圖(上述關(guān)b;若不圖(1) 圖(2)第26題4.如圖(1),拋物線y=x2+x—4與y軸交于點A,E(0,b)為y軸上一動點，過點E的直線y=x+b與拋物線交于點BC(1)求點A的坐標(biāo)；(2)當(dāng)b=0時(如圖(2)),|_ABE與|_ACE的面積大小關(guān)系如何？當(dāng)b>—4時,系還成立嗎，為什么？(3)是否存在這樣的b,使得LBOC是以BC為斜邊的直角三角形，若存在，求出存在，說明理由.題型三：構(gòu)造等腰三角形【例3】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+3(aw0)與x軸交于點A(1,0)和點B(—3,0),與y軸交于點C.(1)求拋物線的解析式；(2)在x軸上是否存在一點Q使得△ACQ為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點M，問在對稱軸上是否存在點巳使4CMP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點 P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【變式練習(xí)】.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點 A的坐標(biāo)為(m,nj),點B的坐標(biāo)為(n,-n),拋物線經(jīng)過AOB三點，連接OAOBAB,線段AB交y軸于點C.已知實數(shù)mn(m<n)分別是方程x2-2x-3=0的兩根.(1)求拋物線的解析式；(2)若點P為線段OB上的一個動點(不與點。B重合)，直線PC與拋物線交于DE兩點(點D在y軸右側(cè))，連接ODBD.①當(dāng)4OPC為等腰三角形時，求點P的坐標(biāo)；②求ABOD面積的最大值，并寫出此時點 D的坐標(biāo)..如圖，拋物線y=ax2—5ax+4經(jīng)過4ABC的三個頂點，已知BC//x軸，點A在x軸上，點C在y軸上，且AC=BC(1)寫出A,B,C三點的坐標(biāo)并求拋物線的解析式;△PAB是等腰三角(2)探究：若點P是拋物線對稱軸上且在x△PAB是等腰三角形.若存在，求出所有符合條件的點 P坐標(biāo)；不存在，請說明理由..(2010黃岡)已知拋物線y=ax2+bx+c(a￥0)頂點為C(1,1)且過原點。.過拋物線...一一...一上一點P(x,y)向直線y=—作垂線，垂足為M,連FM(如圖).(1)求字母a,b,c的值；3 (2)在直線x=1上有一點F(1-),求以PM為底邊的等腰三角形PFM勺P點的坐標(biāo)，并證4明此時△PFM為正三角形；(3)對拋物線上任意一點P,是否總存在一點N(1,t),使PM=PN恒成立，若存在請求出t值，若不存在t#說明理由.題型四：構(gòu)造相似三角形【例4】(2011臨沂)如圖，已知拋物線經(jīng)過A(-2,0),B(-3,3)及原點O,頂點為C.(1)求拋物線的解析式；(2)若點D在拋物線上，點E在拋物線的對稱軸上，且A、QDE為頂點的四邊形是平行四邊形，求點D的坐標(biāo)；(3)P是拋物線上的第一象限內(nèi)的動點，過點P作PMLx軸，垂足為M,是否存在點P,使得以P、MA為頂點的三角形^BOC相似？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【變式練習(xí)】1.(2012天水)如圖，已知拋物線經(jīng)過 A(4,0),B(1,0),C(0,-2)三點.(1)求該拋物線的解析式；(2)在直線AC上方的該拋物線上是否存在一點 D,使彳DCA的面積最大？若存在，求出點D的坐標(biāo)及^DCA0積的最大值；若不存在，請說明理由.(3)P是直線x=1右側(cè)的該拋物線上一動點，過P作PMLx軸，垂足為M是否存在P點,使得以A、P、M為頂點的三角形與△OACf似？若存在，請求出符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.2.如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點D(0,7J3),且頂點C的橫坐標(biāo)為4,該圖象在x軸上截9'得的線段AB的長為6.(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)在該拋物線的對稱軸上找一點 P,使PA+PDt小，求出點P的坐標(biāo)；(3)在拋物線上是否存在點Q使△QA。4ABC相似？如果存在，求出點Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.【例5】(2012蘇州)如圖，已知拋物線y=-x2--(b+1)x+-(b是實數(shù)且【例5】(2012蘇州)如圖，已知拋物線4 4 4正半軸分別交于點AB(點A位于點B的左側(cè))，與y軸的正半軸交于點C.(1)點B的坐標(biāo)為，點C的坐標(biāo)為(用含b的代數(shù)式表示)；(2)請你探索在第一象限內(nèi)是否存在點 巳使得四邊形PCOB勺面積等于2b,且4PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在， 求出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；(3)請你進(jìn)一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點 Q,使彳QCO△QOA和△QAB中的任意兩個三角形均相似(全等可作相似的特殊情況)？如果存在，求出點 Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

【變式練習(xí)】1.(2012上海寶山)如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(2,3),線段AB垂直于y軸,垂足為B,將線段AB繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。，點B落在點C處，直線BC與x軸的交于點D.uyB -AuyB -A產(chǎn)1-(2)試求經(jīng)過A、B、D三點的拋物線的表達(dá)式，并寫出其頂點E的坐標(biāo)；(3)在(2)中所求拋物線的對稱軸上找點F,使得以點A、E、F為頂點的三角形與4ACD相似.（圖7）1(2012上海楊浦區(qū))已知直線y=—x+1與x軸交于點A與y軸交于點B,將△AO就2點O順時針旋轉(zhuǎn)90s,使點A落在點C,點B落在點D,拋物線y=ax2+bx+c過點ADC,其對稱軸與直線AB交于點P,(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)求/POC勺正切值； y(3)點MF&x軸上，且^ABM!△APDK似，求點M的坐標(biāo)。1(2012寧波)如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象交x軸于A(—1,0),B(2,0),交y軸于C(0,-2),過A,C畫直線.(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)點P在x軸正半軸上，且PA=PC,求OP的長；(3)點M在二次函數(shù)圖象上，以M為圓心的圓與直線AC相切，切點為H.①若M在y軸右側(cè)，且△CHMs^aoc(點C與點A對應(yīng))，求點M的坐標(biāo);題型五：構(gòu)造梯形【例6】已知，矩形OABCE平面直角坐標(biāo)系中位置如圖 1所示，點A的坐標(biāo)為(4,0),點C2的坐標(biāo)為(0,—2),直線y=——x與邊BC相交于點D.3(1)求點D的坐標(biāo)；(2)拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A、DQ求此拋物線的表達(dá)式；(3)在這個拋物線上是否存在點M,使QDAM為頂點的四邊形是梯形？若存在，請求(3)出所有符合條件的點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【變式練習(xí)】.已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2—(a+1)x與直線y=kx的一個公共點為A(4,8).(1)求此拋物線和直線的解析式；(2)若點P在線段OA上，過點P作y軸的平行線交(1)中拋物線于點Q求線段PQ長度的最大值；(3)記(1)中拋物線的頂點為M點N在此拋物線上，若四邊形AOM恰好是梯形，求點N的坐標(biāo)及梯形AOMNJ面積.2.(2011義烏)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A(2,0)、C(0,12)2.(2011義烏)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過4,設(shè)頂點為點P,與x軸的另一交點為點B.(1)求二次函數(shù)的解析式及頂點 P的坐標(biāo)；(2)如圖1,在直線y=2x上是否存在點D,使四邊形OPB時等腰梯形？若存在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)如圖2,點M是線段OP上的一個動點(QP兩點除外)，以每秒吃個單位長度的速度由點P向點O運動，過點M作直線MN/x軸，交PB于點N.將^PM的直線MN寸折，得到△RMN在動點M的運動過程中，設(shè)^P1MN＜梯形OMNBJ重疊部分的面積為S,運動時間為t秒，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式.3.如圖1,二次函數(shù)y=x2+px+q(p＜。)的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C(0,—1),△ABC勺面積為-.4(1)求該二次函數(shù)的關(guān)系式；(2)過y軸上的一點M(0,m^彳y軸的垂線，若該垂線與△ABC勺外接圓有公共點，求m的取值范圍；(3)在該二次函數(shù)的圖象上是否存在點 D,使以A、RCD為頂點的四邊形為直角梯形？若存在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.題型六：構(gòu)造平行四邊形【例71(2010陜西)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過 A(-1,0),B(3,0),C(0,—1)三點。(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)點Q在y軸上，點P在拋物線上，要使以點QP、AB為頂點的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件的點P的坐標(biāo)?！咀兪骄毩?xí)】1.(2012成都)如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，一次函數(shù)產(chǎn)、工+口(m為常數(shù))的圖象與x軸交于點A(-3,0),與y軸交于點C.以直線x=1為對稱軸的拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù)，且a為)經(jīng)過A,C兩點，并與x軸的正半軸交于點B.(1)求m的值及拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)設(shè)E是y軸右側(cè)拋物線上一點，過點E作直線AC的平行線交x軸于點F.是否存在這樣的點E,使得以A,C,E,F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點E的坐標(biāo)及相應(yīng)的平行四邊形的面積；若不存在，請說明理由；(3)若P是拋物線對稱軸上使4ACP的周長取得最小值的點，過點P任意作一條與y軸不平行的直線交拋物線于M1(x1，y[)，M2(x2,y2)兩點，試探究平行的直線交拋物線于M1(x1，y[)，M2(x2,y2)兩點，試探究2P是否為定值,并寫出探究過程.2.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過 A(—4,0)、B(0,—4)、C(2,0)三點.(1)求拋物線的解析式；(2)若點M為第三象限內(nèi)拋物線上一動點，點M的橫坐標(biāo)為mAMAB勺面積為S,求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；(3)若點P是拋物線上的動點，點Q是直線y=—x上的動點，判斷有幾個位置能使以點P、QB、O為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點 Q的坐標(biāo).3.(2011威海)如圖，拋物線y=ax2+bx+c交x軸于點A(-3,0),點B(1,0),交y軸于點E(0,-3).點C是點A關(guān)于點B的對稱點，點F是線段BC的中點，直線l過點F且與y軸平行.直線y=-x+m過點C,交y軸于D點.(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點K為線段AB上一動點，過點K作x軸的垂線與直線CD交于點H,與拋物線交于點G求線段HGK度的最大值；(3)在直線l上取點M,在拋物線上取點N,使以點A,C,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形，求點N的坐標(biāo).【例8】已知平面直角坐標(biāo)系xOy(如圖1),一次函數(shù)y=9x+3的圖像與y軸交于點A,4點M在正比例函數(shù)v_9X的圖像上，且MO=MA二次函數(shù)y~2xy=x2+bx+c的圖像經(jīng)過點A、MTOC\o"1-5"\h\z(1)求線段AM勺長； '(2)求這個二次函數(shù)的解析式； '(3)如果點B在y軸上，且位于點A下方，點C在上述二次函 . "數(shù)的圖像上，點D在一次函數(shù)y=0x+3的圖像上，且四邊形 °14ABCD1菱形，求點C的坐標(biāo).【變式練習(xí)】1.將拋物線ci：y=-J3x2+T3沿x軸翻折，得到拋物線C2,如圖1所示.(1)請直接寫出拋物線C2的表達(dá)式；(2)現(xiàn)將拋物線C1向左平移m個單位長度，平移后得到新拋物線的頂點為 M與x軸的交點從左到右依次為AB；將拋物線C2向右也平移m個單位長度，平移后得到新拋物線的頂點為N,與x軸的交點從左到右依次為DE.①當(dāng)RD是線段AE的三等分點時，求m的值；②在平移過程中，是否存在以點A、NE、M為頂點的四邊形是矩形的情形？若存在，請求出此時m的值；若不存在，請說明理由.且A且A題型七：線段最值問題【例9】(2011荷澤)如圖，拋物線y」x2+bx-2與x軸交于A,B兩點，與y軸交于C點,

2(-1,0).求拋物線的解析式及頂點D的坐標(biāo)；判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論；MC+M的值最小時，求m的值.點M(m,0)MC+M的值最小時，求m的值.【變式練習(xí)】(2009山東省荷澤市)如圖，已知拋物線 y=ax2+bx+c與y軸交于點A(0,3),與x軸分別交于B(1,0)、C(5,0)兩點.(1)求此拋物線的解析式；(2)若一個動點P自O(shè)A勺中點M出發(fā)，先到達(dá)x軸上的某點(設(shè)為點E),再到達(dá)拋物線的對稱軸上某點(設(shè)為點F),最后運動到點A求使點P運動的總路徑最短的點E、點F的坐標(biāo)，并求出這個最短總路徑的長.(2011廣東深圳)如圖13,拋物線y=ax2+bx+c(aW0)的頂點為(1,4),交x軸于A、B,交y軸于D,其中B點的坐標(biāo)為(3,0)(1)求拋物線的解析式(2)如圖14,過點A的直線與拋物線交于點E,交y軸于點F,其中E點的橫坐標(biāo)為2,若直線PQ為拋物線的對稱軸，點G為PQ上一動點，則x軸上是否存在一點H,使D>GF、H四點圍成的四邊形周長最小.若存在，求出這個最小值及GH的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.(3)如圖15,拋物線上是否存在一點T,過點T作x的垂線，垂足為M過點M作直線MN//BD,交線段AD于點N,連接MD使△DNMh△BMD若存在，求出點T的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【能力提升】1.(2011福州)已知，如圖11,二次函數(shù)y=ax2+