線性代數(shù)作業(yè)

章節(jié)作業(yè)第一章行列式一、單項(xiàng)選擇題1.行列式(A).A.1B.0C.-1D.22.行列式的充分必要條件是(C).A.B.C.且D.或3.行列式(D).A.1B.0C.-1D.54.行列式(C).A.1B.0C.-18D.65.若，則(D).A.1B.-2C.-3D.66.若三階行列式，則(D).A.m2B.-m2C.m4D.-m47.設(shè)，，則(C).A.5B.10C.20D.68.若，則D1=(B).A.8B.-60C.24D.-249.行列式中，元素的代數(shù)余子式的值為(B).A.24B.42C.-42D.-2410.設(shè)四階行列式D的第三列元素為-1，2，0，1，它們的余子式的值依次分別為-2，-5，-9，4，則D=(A).A.-4B.8C.16D.1211.當(dāng)（）成立時(shí)，階行列式的值為零.(D).A.行列式的主對角線上的元素全為零B.行列式中零元素的個(gè)數(shù)多于n個(gè)C.行列式中每行元素之和都相等D.行列式中每行元素之和都為零12.下列結(jié)論不正確的是(D).A.若上三角形行列式的主對角線上的元素全為零，則行列式的值為零.B.若行列式中有兩列元素對應(yīng)成比例，則行列式的值為零.C.若行列式中某行元素都是零，則行列式的值為零.D.行列式中每列元素之和都相等，則行列式的值為零.13.設(shè)，則下式中正確的是(D).A.B.C.D.14.若方程組有非零解，則k取值為(C).A.B.C.D.15.若方程組僅有零解，則(C).A.B.C.且D.或二、填空題1.若行列式，則k=3.2.行列式3.行列式0.4.行列式6.5..6.行列式.7.若，則x=1或-3.8.行列式0.9.行列式-24.10.中的代數(shù)余子式的值為-3.11.已知四階行列式D中第二列元素依次為：1，2，0，-1，它們的余子式依次分別為：2，1，3，-1，則D=1.12.設(shè)五階行列式D=2，對D做以下變換：先交換D的第一行與第五行，再轉(zhuǎn)置，用2乘以所有元素，再用-3乘以第二列后加到第四列，則行列式D的值為-64.13.按第三列展開計(jì)算行列式a+b+d.14.n階行列式15.已知方程組有非零解，則的值為-2或0.16.當(dāng)方程組滿足_系數(shù)行列式__系數(shù)行列式時(shí)，有唯一零解.三、計(jì)算題1.=-54002.=3.=4.=5.=86.=1607.=8.=19.=10.=-2411.=12.=13.=14.=15.=四、證明題1.；2.；3.；4.=0.五、用克萊姆法則解下列線性方程組：1.=2.=3.=4.=第二章矩陣一、單項(xiàng)選擇題1.設(shè)矩陣A=，B=，則2A+3B=(A).A.B.C.D.2.已知方陣A=，則|A|，|2A|的值依次為(A).A.-13，-26B.-13，-104C.13，26D.-13，1043.設(shè)n階方陣A的行列式|A|=a，則||A|A|=(A).A.B.C.D.4.設(shè)矩陣As×n,Bn×m,則下列運(yùn)算有意義的是(B).A.A2B.ABC.BAD.ABT5.設(shè)矩陣=,下列矩陣中能乘在A的右邊是(A).A.B.(b1b2b3)C.D.6.若A=(1，2，3)，B=(1，2，3，4)，則(ATB)T是(C).A.1×3矩陣B.3×4矩陣C.4×3矩陣D.1×4矩陣7.設(shè)A,B均為n階非零方陣,下列正確的是(D).A.(A+B)(A-B)=A2-B2B.(A+B)2=A2+2AB+B2C.若AB=O，則A=O或B=OD.|AB|=|A||B|8.設(shè)A，B均為同階方陣，則下列結(jié)論正確的是(C).A.(AB)T=ATBTB.AAT=ATAC.若A=AT，則(A2)T=A2.D.若A=AT,B=BT,則(AB)T=AB.9.設(shè)A是任意一個(gè)n階矩陣，那么下列是對稱矩陣的是(A).A.AT+AB.AT-AC.A-ATD.A210.設(shè)A，B，C均為n階非零方陣，下列選項(xiàng)正確的是(D).A.若AB=AC，則B=CB.(ABC)2=A2B2C2C.ABC=BCAD.|ABC|=|A||B||C|11.設(shè)A，B均為n階方陣,則等式(A+B)(A-B)=A2-B2成立的充分必要條件是(D).A.A=EB.B=OC.A=BD.AB=BA12.若矩陣A，B滿足AB=E，且ABC有意義，則下列選項(xiàng)正確的是(D).A.BA=EB.A,B都是可逆矩陣C.A-1=BD.ABC=C13.設(shè)A，B均為n階可逆方陣，則下列等式成立的是(D).A.AB=BAB.C.D.14.設(shè)A是n階可逆矩陣，A*是A的伴隨矩陣，則(B).A.|A*|=|A|B.|A*|=|A|n-1C.|A*|=|A|nD.|A*|=|A|-115.矩陣的伴隨矩陣是(B).A.B.C.D.-16.設(shè)A是三角形矩陣，若主對角線上元素(D)，則A可逆.A.全都為零B.可以有零元素C.不全為零D.全不為零17.已知二階方陣A=，則A的逆矩陣A-1=(B).A.B.C.D.18.設(shè)n階矩陣A、B、C滿足ABC=E，則C-1=(D).A.ABB.BAC.A-1B-1D.B-1A-119.若A為二階方陣，且A的行列式|A|=-2，則|-2(A-1)T|=(C).A.-4B.1C.–2D.–820.若A，B，C皆為n階方陣，則下列關(guān)系中，不一定成立的是(C).A.A+B=B+AB.(A+B)+C=A+(B+C)C.AB=BAD.(AB)C=A(BC)21.若A，B皆為n階可逆方陣，則下列關(guān)系式中，一定成立的是(C).A.(A+B)2=A2+2AB+B2B.(A+B)-1=A-1+B-1C.(AB)-1=B-1A-1D.(AB)T=ATBT22.下列結(jié)論正確的是(B).A.A，B均為方陣，則(k≥2，k∈N).B.A，B為n階對角矩陣，則AB=BA.C.A為方陣，且A2=O,則A=O.D.若矩陣AB=AC，且A≠O，則B=C.23.設(shè)A是二階可逆矩陣，則下列矩陣中與A等價(jià)的矩陣是(D).A.B.C.D.24.已知二階矩陣的行列式|A|=-1，則(A*)-1=(A).A.B.C.D.25.下列矩陣中不是初等矩陣的是(D).A.B.C.D.26.設(shè)A,B,C為同階方陣，則(ABC)T=(B).A.ATBTCTB.CTBTATC.CTATBTD.ATCTBT27.設(shè)n階方陣A是滿秩矩陣，下列結(jié)論不成立的是(B).A.r(AT)=nB.|A|=0C.|A|≠0D.A可逆28.設(shè)矩陣的秩為1，則(A).A.t=2B.t=1C.t=-1D.t=-229.設(shè)矩陣的秩為1，則(A).A.t=6B.t=-6C.t=1D.t=-230.設(shè)矩陣的秩為2，則(A).A.B.t=-4C.t是任意實(shí)數(shù)D.以上都不對31.設(shè)矩陣A的秩為r，則下列結(jié)論正確的是(B).A.A中所有r階子式都不為零B.A中存在r階子式不為零C.A中所有r階子式都為零D.A中存在r+1階子式不為零32.下列結(jié)論正確的是(C).A.奇異矩陣經(jīng)過若干次初等變換可以化為非奇異矩陣B.非奇異矩陣經(jīng)過若干次初等變換可以化為奇異矩陣C.非奇異矩陣等價(jià)于單位矩陣D.奇異矩陣等價(jià)于單位矩陣二、填空題1.設(shè),則A+B=2.設(shè),則2A+B=.3.設(shè),則2A-B=4.若矩陣A與矩陣B的積AB為3行4列矩陣，則矩陣A的行數(shù)是3.5.若等式成立，a=6.設(shè)矩陣，則ATB=7.已知矩陣，，則AB-BA=8.已知矩陣A=(1，2，-1),B=(2，-1，1),且C=ATB,則C2=9.設(shè)A為二階方陣，若|3A|=3，則|2A|=10.設(shè)A為三階方陣，|A|=2，則|-2A|=-16.11.設(shè)A為四階方陣，|A|=3，則||=27.12.矩陣的逆矩陣A-1=13.設(shè)則其伴隨矩陣A*=14.設(shè),則其逆矩陣A-1=15.設(shè)，則A*A=16.已知矩陣方程XA=B,其中則X=17.設(shè)A，B，C皆為n階方陣，若A，B皆可逆，則矩陣方程AXB=C的解X=A-1CB-1.18.設(shè)A為二階可逆矩陣，且已知(2A)-1=，則A=19.設(shè)矩陣A=，則矩陣A的秩為1.20.已知矩陣A=,且r(A)=2，則a=1.三、計(jì)算題1.已知A為四階方陣，且|A|=2，求：(1)|-A|；(2)|2A|；(3)|AAT|；(4)|A2|.解：(1)|-A|=(-1)4|A|=2；(2)|2A|=24|A|=32；(3)|AAT|=|A||AT|=|A|2=4；(4)|A2|=|A|2=4.2.設(shè)矩陣,E為二階單位矩陣，矩陣B滿足BA=B+E，求|B|.解：由BA=B+E得：B(A-E)=E,|B||A-E|=|E|,解得|B|=1/2.3.設(shè)A，B均為三階方陣，且已知|A|=4，|B|=5，求|2AB|..解：|2AB|=23|A||B|=1604.求下列矩陣的逆矩陣：(1)A=；解：(2)A=；解：(3)A=；解：(4)，其中解：5.解下列矩陣方程：(1)；解：(2)=；解：(3)；解：(4)；解：(5)；解：(6).解：6.已知矩陣，矩陣X滿足AXB=C，求解X.解：X=A-1CB-1=7.設(shè)，且X滿足X=AX+B，求X.解：由X=AX+B得：(E-A)X=B,X=(E-A)-1B.得：.8.設(shè)A,B均為三階方陣，且|A|=-1，|B|=5，求|2(ATB-1)2|.解：|2(ATB-1)2|=23|(ATB-1)2|=8|(ATB-1)|2=8|A|2|B-1|2=.9.設(shè)A為三階方陣，A*是A的伴隨矩陣，且|A|=，求|(3A)-1-2A*|.解：|(3A)-1-2A*|==.10.求下列矩陣的秩：(1)解，所以，r(A)=2；(2)；解r(A)=2(3)；解：r(A)=2(4)；解：r(A)=4(5)；解：r(A)=2(6).解：r(A)=3四、證明題1.試證：若B1，B2都與A可交換，則B1+B2，B1B2也都與A可交換.解：證：因?yàn)锽1,B2與A可交換，即B1A=AB1，B2A=AB2，所以(B1+B2)A=B1A+B2A=AB1+AB2=A(B1+B2).即B1+B2與A可交換.同理可證B1,B2與A可交換.2.對于任意方陣A，證明：A+AT；AAT都是對稱矩陣.解：證：(A+AT)T=AT+(AT)T=AT+A=A+AT，故A+AT是對稱矩陣.同理可證AAT是對稱矩陣.3.試證：若n階矩陣A，B，C都可逆，則ABC也可逆，并且(ABC)-1=C-1B-1A-1.解：證：因?yàn)榫仃嘇，B，C都可逆，所以|A|≠0,|B|≠0,|C|≠0,從而|ABC|=|A||B||C|≠0，故ABC也可逆.因?yàn)锳BC﹒C-1B-1A-1=ABEB-1A-1=AEA-1=E.故(ABC)-1=C-1B-1A-1.4.設(shè)A是n階方陣，且滿足AAT=E，證明：|A|=1或|A|=-1.解：證：因?yàn)锳AT=E，所以|AAT|=|E|，|A||AT|=1，又|AT|=|AT|，得|A|2=1，故|A|=1或|A|=-1.5.設(shè)A是n階方陣，且(A+E)2=O，證明A可逆.解：證：由(A+E)2=O得：A2+2A+E=O，A2+2A=-E，從而A(-A-2E)=E，所以A可逆，且A-1=-A-2E.6.已知n階方陣A,B滿足2A-1B=B-4E,證明矩陣A-2E可逆.解：證：由2A-1B=B-4E，兩邊左乘矩陣A：2B=AB-4A，即AB-2B=4A，(A-2E)B=4A，故|A-2E||B|=4n|A|，又|A|≠0，所以|A-2E|≠0，從而A-2E可逆.7.設(shè)Ak=O(k為正整數(shù)),求證：(E-A)-1=E+A+A2+…+Ak-1.解：證：因?yàn)?E-A)(E+A+A2+…+Ak-1)=E+A+A2+…+Ak-1-A-A2-…Ak-1-Ak=E-Ak=E.所以，E-A可逆，且(E-A)-1=E+A+A2+…+Ak-1.8.設(shè)n階方陣A滿足2A2-A-2E=O,證明A可逆，并求A-1.解：證：因?yàn)?A2-A-2E=O，2A2-A=2E，A(A-E)=E，所以，A可逆，且A-1=A-E.9.設(shè)A是n階方陣，證明：|A*|=|A|n-1(n≥2).解：證：因?yàn)锳A*=|A|E，兩邊取行列式得：|A||A*|=|A|n(n≥2).當(dāng)|A|≠0時(shí)，顯然有|A*|=|A|n-1(n≥2)；當(dāng)|A|=0時(shí)，則|A*|=0.否則，若|A*|≠0，則A*可逆.一方面由|A|=0得：AA*=|A|E=O，又A*可逆，兩邊右乘(A*)-1：A=O,從而A*=O，與A*可逆矛盾.所以|A*|=0，即當(dāng)|A|=0時(shí)，有|A*|=|A|n-1=0.10.設(shè)A,B皆為m×n矩陣，證明：A與B等價(jià)的充分必要條件是r(A)=r(B).解：證：必要性若矩陣A與B等價(jià)，即A經(jīng)過若干次初等變換化為矩陣B，由于初等變換不改變矩陣的秩，所以r(A)=r(B).充分性若r(A)=r(B)=r，則由矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形知：，從而.第三章向量空間一、單項(xiàng)選擇題1.設(shè)向量，則(A).A.(8,37,18)B.(-8,37,18)C.(8,-37,18)D.(8,37,-18)2.設(shè)向量，則(A).A.(-1,3,7,6)B.(1,3,6,7)C.(2,0,7,6)D.(-1,3,-7,6)3.若向量組線性相關(guān)，則一定有(C).A.a=b=cB.b=c=0C.c=0D.c≠04.向量組，則(A).A.是R3的一組基B.線性相關(guān)C.不是R3的一組基D.可能線性相關(guān)，可能線性無關(guān)5.向量組和向量組均線性無關(guān)，則向量組(D).A.一定線性相關(guān)B.一定線性無關(guān)C.不能由線性表出D.既可以線性相關(guān)也可以線性無關(guān)6.設(shè)，則(B).A.線性無關(guān)B.線性無關(guān)C.線性無關(guān)D.線性相關(guān)7.向量組線性相關(guān)，則(B).A.k=-7B.k=7C.k=0D.k=18.向量組線性相關(guān)，則(B).A.k=0B.k=-2C.k=2D.k=19.線性無關(guān),則(B).A.k≠1B.k≠-1C.k≠0D.k≠210.設(shè)A是階方陣，且|A|=0，則下列命題成立的是(C).A.A中必有某一行向量為零向量B.A中每一行向量可以由其余行向量線性表出C.A中存在某一行向量可以由其余行向量線性表出D.A中每一行向量都不能由其余行向量線性表出11.維向量組線性無關(guān)的充要條件是(D).A.存在一組不全為零的數(shù)，使B.中任意兩個(gè)向量都線性無關(guān)C.中存在一個(gè)向量,它不能用其余向量線性表出D.中任意一個(gè)向量都不能用其余向量線性表出12.若向量組線性相關(guān)，則向量組中可由其余向量線性表示.(C).A.每一向量不B.每一向量C.存在一個(gè)向量D.僅有一個(gè)向量13.已知向量組線性無關(guān)，則向量組(C).A.線性無關(guān)B.線性無關(guān)C.線性無關(guān)D.線性無關(guān)14.設(shè)向量，下列命題中正確的是(B).A.若線性相關(guān)，則必有線性相關(guān)B.若線性無關(guān)，則必有線性無關(guān)C.若線性相關(guān)，則必有線性無關(guān)D.若線性無關(guān)，則必有線性相關(guān)15.若向量組線性相關(guān)，則必可推出(C).A.中至少有一個(gè)向量為零向量B.中至少有兩個(gè)向量成比例C.中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示D.中每一個(gè)向量都可由其余向量線性表示16.已知線性無關(guān)，則向量組(A).A.線性相關(guān)B.線性無關(guān)C.既可以線性相關(guān)也可以線性無關(guān)D.是否線性相關(guān)與向量的維數(shù)有關(guān)17.設(shè)向量組Ⅰ：與向量組Ⅱ：等價(jià)，則必有(A).A.向量組Ⅰ線性相關(guān)B.向量組Ⅱ線性無關(guān)C.向量組Ⅰ的秩>向量組Ⅱ的秩D.不能由線性表出18.設(shè)是維向量組，則(D).A.線性無關(guān)B.僅有一個(gè)向量可由其余向量線性表出C.至少有2個(gè)向量可由其余向量線性表出D.至少有4個(gè)向量可由其余向量線性表出19.設(shè)有兩個(gè)同維向量組與，則下列選項(xiàng)正確的是(C).A.若兩向量組與等價(jià)，則s=t.B.若s=t，則兩向量組與等價(jià).C.若兩向量組與等價(jià)，則r()=r().D.若r()=r()，則兩向量組與等價(jià).20.設(shè)向量組的兩個(gè)極大無關(guān)組分別是和，則下列選項(xiàng)中正確的是(C).A.r+t=mB.r+t>mC.r=tD.r>t二、填空題1.已知向量滿足關(guān)系式又則=(2,8,-4)2.表示為向量組的線性組合式為3.已知向量，如果，則(1,2,3,4).4.設(shè)向量和向量線性相關(guān)，則a=-10.5.設(shè)向量組線性無關(guān)，而向量組線性相關(guān)，則向量組的極大無關(guān)組為6.設(shè)有向量組線性相關(guān)，則t=1.7.設(shè)向量組的秩為2，則a=2.8.向量組的秩為2.9.向量組的秩為3.10.向量組的秩是1.11.已知向量組的秩為2，則t=3.12.向量在基下的坐標(biāo)是(-1,1,1)13.設(shè)向量組與向量組等價(jià)，則的秩1.14.設(shè),則(12,1,5,4)15.設(shè)向量組與向量組等價(jià)，則向量組的秩為2.16.設(shè)是R3的一組基，且在這組基下的坐標(biāo)為(1,1,-1)，則t=2.三、計(jì)算題1.已知，求：解(1).=(23,18,17)(2)=12,12,11).2.已知，又滿足，求.解：由題設(shè)得：，3.設(shè)向量滿足，其中求. .解：由題設(shè)得：.4.將向量表示成向量組的線性組合.解：令，得方程組：，解得：，即.5.將下列各題中向量表示為其他向量的線性組合.(1)；解：(1)對矩陣進(jìn)行初等行變換，所以；(2).解：因?yàn)槌跏紗挝幌蛄?故6.求向量組,,的秩和極大線性無關(guān)組，并將其余向量表示為該極大線性無關(guān)組的線性組合.解：以此列向量組構(gòu)成矩陣A并施以初等行變換：.這里，是的簡化行階梯形矩陣.因?yàn)閞(A)=r(B)=3，所以，，由矩陣B可看出，是向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組.且7.求向量的一個(gè)極大線性無關(guān)組，并將其余向量表成該極大線性無關(guān)組的線性組合.解：得：是極大無關(guān)組，且，.8.求向量組的秩和一個(gè)極大線性無關(guān)組，并將其余向量用該極大無關(guān)組線性表示.解：得：向量組的秩r()=3，極大無關(guān)組為.且.9.已知，及.問：(1)a,b為何值時(shí)，不能表示成的線性組合.(2)a,b為何值時(shí)，可由唯一線性表示，并寫出該表示式.解：.(1)當(dāng)，且時(shí)，不能表示成的線性組合.(2)當(dāng)時(shí)，方程有唯一解，由唯一的線性表示式，且表出式為.10.判定下列向量組是線性相關(guān)還是線性無關(guān).(1)；解：(1)因?yàn)?，所以，線性相關(guān)；(2)；解：，所以，線性無關(guān)；(3)；解因?yàn)?向量個(gè)數(shù)，所以，線性無關(guān)；(4)解：陣進(jìn)行初等行變換，得,因?yàn)?lt;向量個(gè)數(shù)4，所以，線性相關(guān)；(5)；解：對矩陣進(jìn)行初等行變換，得因?yàn)?向量個(gè)數(shù)，所以，線性無關(guān)；(6).解：因?yàn)橄蛄總€(gè)數(shù)m=4>向量的維數(shù)n=3，所以，線性相關(guān).11.設(shè)向量組，(1)t為何值時(shí)，向量組線性無關(guān)？(2)為何值時(shí)，向量組線性相關(guān)？并用表示出.解：(1)因?yàn)樾辛惺剑援?dāng)時(shí)，，此時(shí)向量組線性無關(guān)；當(dāng)t=5時(shí)，，此時(shí)向量組線性相關(guān).(2)當(dāng)t=5時(shí)，設(shè)，即,解得，所以.12.求在基下的坐標(biāo).解：由坐標(biāo)的定義，令，得方程組：，解得：，即，所以在基下的坐標(biāo)為(1,-1,1)T.四、證明題1.設(shè)向量組線性無關(guān)，證明：向量組也線性無關(guān).解：令，整理得：，由線性無關(guān)，所以，解得k1=k2=k3=0.故線性無關(guān).2.設(shè)向量組線性相關(guān)，向量組線性無關(guān)，證明：(1)可以由線性表出；(2)不能由線性表出.證：（1）因?yàn)橄蛄拷M線性無關(guān)，故其部分組線性無關(guān)；又已知向量組線性相關(guān)，所以可以由線性表出；（2）（反證法）設(shè)能由線性表出，即，由（1）的結(jié)論，可以由線性表出，可設(shè)，代入得：上式說明線性相關(guān)，與題設(shè)線性無關(guān)矛盾.3.設(shè)向量組線性無關(guān).證明：向量組證：令，得由線性無關(guān)，故，解得：k1=k2=k3=0.所以，線性無關(guān).4.設(shè)向量組線性無關(guān)，可由線性表示，而不能由線性表示.證明：向量組線性無關(guān).證：設(shè)(1)，因?yàn)榭捎删€性表示，令，代入(1)式整理得：(2)又因?yàn)椴荒苡删€性表示，所以k=0.代入(1)中，且由線性無關(guān)得：，得證.5.設(shè)向量組線性無關(guān)，令，證明：線性相關(guān).證：令即.，因?yàn)榫€性無關(guān)，所以，此方程組有非零解，故線性相關(guān).6.設(shè)向量組線性無關(guān)，為任意實(shí)數(shù)，證明：向量組線性無關(guān).證：令，即，整理得：.因?yàn)榫€性無關(guān)，所以，k1=k2=…=km-1=0，故線性無關(guān).7.設(shè)向量組線性無關(guān)，且.證明：若，則向量組也線性無關(guān)..證：（反證法）若線性相關(guān)，又已知線性無關(guān)，從而其部分組也線性無關(guān)，故可由唯一線性表示，設(shè)，由題設(shè)：，故有，整理得：，而，所以可由線性表示，即線性相關(guān)，與題設(shè)矛盾.故線性無關(guān).8.證明是三維向量空間R3的一個(gè)基，并求在此基下的坐標(biāo).證：因?yàn)?，所以，線性無關(guān)，故是向量空間R3的一個(gè)基.令，即，解得：，即向量在基下的坐標(biāo)為(-4，11，-2).注：三維向量空間R3中的任意三個(gè)線性無關(guān)的向量都是R3的基.第四章線性方程組一、單項(xiàng)選擇題1.設(shè)為矩陣，則n元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是(C).A.B.C.D.2.設(shè)A為矩陣，且非齊次線性方程組有唯一解，則必有(C).A.m=nB.r(A)=mC.r(A)=n D.3.設(shè)n個(gè)未知量的齊次線性方程組的方程個(gè)數(shù)m>n，則一定有(B).A.方程組無解B.方程組有解C.方程組有唯一解D.方程組有無窮多解4.對于線性方程組與其導(dǎo)出組,下列命題正確的是(C).A.若有解，則有解B.若有非零解,則有無窮多解C.若有唯一解,則僅有零解D.若有解,則有基礎(chǔ)解系5.設(shè)A為矩陣，齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是(A).A.A的列向量組線性相關(guān) B.A的列向量組線性無關(guān)C.A的行向量組線性相關(guān) D.A的行向量組線性無關(guān)6.對非齊次線性方程組，設(shè)秩(A)=r，則(B).A.r=m時(shí)，方程組有解B.r=n時(shí)，方程組有唯一解C.m=n時(shí)，方程組有唯一解 D.時(shí)，方程組有無窮多解7.設(shè)u1,u2是非齊次線性方程組Ax=b的兩個(gè)解，若cu1+u2也是方程組Ax=b的解，則(B).A.c=-1B.c=0C.c=1D.c=28.設(shè)矩陣A的秩，是齊次線性方程組的三個(gè)線性無關(guān)的解向量，則方程組的基礎(chǔ)解系為(D).A. B.C. D.9.設(shè)是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則下列解向量組中，可以作為該方程組基礎(chǔ)解系的是(C).A. B.C. D.10.設(shè)是Ax=b的解，是對應(yīng)導(dǎo)出組的解，則(B).A.是的解B.是的解C.是的解 D.是的解11.設(shè)A為n階矩陣，秩(A)=n-1，是非齊次線性方程組兩個(gè)不同的解，則的通解是(D).A. B.C.D.12.設(shè)是非齊次線性方程組的兩個(gè)解，則以下結(jié)論正確的是(D).A.是的解 B.是的解C.是的解()D.是的解13.設(shè)3元非齊次線性方程組的兩個(gè)解，，且系數(shù)矩陣A的秩r(A)=2，則對于任意常數(shù)，方程組的通解可表為(C).A.B.C.D.14.設(shè)，則Ax=o的基礎(chǔ)解系含有解向量的個(gè)數(shù)為(B).A.1B.2C.3D.015.已知是齊次線性方程組Ax=o的兩個(gè)解，則矩陣A可為(A).A.B.C.D.16.若方程組有解，則=(A).A.1B.-1C.2D.-2二、填空題1.設(shè)齊次線性方程組有非零解，則常數(shù)k=42.已知方程組只有零解，則常數(shù)k的取值為k≠4．3.已知齊次線性方程組有非零解，則a=24.非齊次線性方程組有解的充分必要條件是k=15.設(shè)線性方程組有解，則t=1.6.已知某個(gè)3元非齊次線性方程組的增廣矩陣經(jīng)初等行變換化為：，若該方程組無解，則的取值為07.元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣A的秩，則的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)是n-r8.設(shè)A為4×5的矩陣，且秩(A)=2，則齊次方程組的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)是39.設(shè)A是4×3矩陣，若齊次線性方程組只有零解，則秩(A)=310.齊次線性方程組的通解是___，為任意實(shí)數(shù)_________．11.非齊次線性方程組的通解是____，為任意實(shí)數(shù)________．12.設(shè)非齊次線性方程組的增廣矩陣為，則該方程組的通解為．k為任意實(shí)數(shù)13.若都是齊次線性方程組的解向量，則0．14.已知、是3元非齊次線性方程組Ax=b的兩個(gè)解向量，則對應(yīng)齊次線性方程組有一個(gè)非零解向量15.設(shè)，是n元非齊次線性方程組的兩個(gè)不同的解，秩(A)=n-1，那么方程組所對應(yīng)的齊次線性方程組的通解為___，k為任意實(shí)數(shù)________．16.設(shè)是非齊次線性方程組的解，為常數(shù)，若也是的一個(gè)解，則1．三、計(jì)算題1.求出下面齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，并表示出其通解.(1)；解：對系數(shù)矩陣實(shí)施初等行變換得：與原方程組同解的方程組：，x2,x4為自由未知量.令分別取，得基礎(chǔ)解系為通解為，,為任意常數(shù).(2)；解：對系數(shù)矩陣實(shí)施初等行變換得：.與原方程組同解的方程組：，x2,x5為自由未知量.令分別取，得基礎(chǔ)解系：，，通解為：=，,為任意常數(shù).(3)；解： 基礎(chǔ)解系為：,通解為，,為任意常數(shù).(4)；解：礎(chǔ)解系：,通解為，,為任意常數(shù).(5)；解：得基礎(chǔ)解系：，通解為，,為任意常數(shù).(6).解：得基礎(chǔ)解系：，通解為，,為任意常數(shù).2.求出下面非齊次線性方程組的通解(要求用其一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示).(1)；解：對增廣矩陣實(shí)施初等行變換得：.得到同解方程組：，x3是自由未知量.令x3=0，得方程組的一個(gè)特解：.與導(dǎo)出組同解的方程組為：，x3是自由未知量.令x3=1，得導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系：(-2,-1,1)T.故方程組的通解為，k為任意實(shí)數(shù).(2)；解:方程組的通解為，,為任意常數(shù)(3)；解：方程組的通解為，,為任意常數(shù).(4).解：方程組的通解為：，,為任意常數(shù).3.已知齊次線性方程組，當(dāng)a為何值時(shí)，方程組只有零解？又在何時(shí)有非零解？在有非零解時(shí)，求出其通解(要求用基礎(chǔ)解系表示)． 解：對方程組的增廣矩陣(或系數(shù)矩陣)實(shí)施初等行變換得：.當(dāng)時(shí)，r=n,方程組只有零解；當(dāng)a=1時(shí)，r=2<n=3,方程組有非零解.此時(shí)，同解方程組為：，x3是自由未知量.令x3=1，得基礎(chǔ)解系：(-1,0,1)T.原方程組的通解為k(-1,0,1)T，k為任意常數(shù)．4.設(shè)3元齊次線性方程組，(1)當(dāng)a為何值時(shí)，方程組有非零解；(2)當(dāng)方程組有非零解時(shí)，求出它的基礎(chǔ)解系并表示出通解．解：(1)|A|=，當(dāng)|A|=0時(shí)，方程組有非零解，即當(dāng)a=-2或a=1時(shí)，方程組有非零解；(2)當(dāng)a=-2時(shí)，.同解方程組為：，x3是自由未知量.令x3=1，得基礎(chǔ)解系：(1,1,1)T.原方程組的通解為k(1,1,1)T，k為任意常數(shù)．當(dāng)a=1時(shí)，.同解方程組為：，x2，x3是自由未知量.令分別取，得基礎(chǔ)解系：(-1,1,0)T,(-1,0,1)T.方程組的通解為k1(-1,1,0)T+k2(-1,0,1)T，k1,k2為任意常數(shù)．5.已知線性方程組，(1)求當(dāng)a為何值時(shí)，方程組無解、有解；(2)當(dāng)方程組有解時(shí)，求出其通解(要求用其一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示)．解：對增廣矩陣實(shí)施初等行變換得：.(1)當(dāng)時(shí)，方程組無解；當(dāng)時(shí)，方程組有解；(2)與原方程組同解的方程組為：，為自由未知量，令=0，得到一個(gè)特解：(-1,1,0)T.與導(dǎo)出組同解的方程組：,為自由未知量，令=1得導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系：(-2,1,1)T.所以，原方程組的通解為，k為任意常數(shù)．6.已知線性方程組，(1)求當(dāng)為何值時(shí)，方程組無解、有唯一解、有無窮多解；(2)當(dāng)方程組有無窮多解時(shí)，求出方程組的通解(要求用其一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示)．解：|A|=.(1)當(dāng)|A|≠0時(shí)，即≠-2且≠1時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng)=-2時(shí)，.由于，所以，方程組無解；當(dāng)=1時(shí)，.由于，所以，方程組有無窮多解.(2)當(dāng)=1時(shí)，可得同解方程組：x1=-2-x2-x3.令x2=x3=0，得原方程組的一個(gè)特解：(-2,0,0)T.令分別取，得導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系：故原方程組的通解為：(-2,0,0)T+k1(-1,1,0)T+k2(-1,0,1)T.四、證明題1.設(shè)是齊次方程組的基礎(chǔ)解系，證明：也是的基礎(chǔ)解系．證：因?yàn)?，所以，是Ax=o的解.因?yàn)槭驱R次方程組的基礎(chǔ)解系，故線性無關(guān).令，即.由線性無關(guān)可解得：k1=k2=k3=0.從而線性無關(guān)，所以是方程組的基礎(chǔ)解系.2.設(shè)是齊次方程組的基礎(chǔ)解系，證明：也是的基礎(chǔ)解系．解：方程組的解線性無關(guān)，3.設(shè)為非齊次線性方程組的一個(gè)解，是其導(dǎo)出組Ax=o的一個(gè)基礎(chǔ)解系，證明：線性無關(guān)．證：令，則，由題設(shè)知：，代入上式，得kb=o.所以k=0，從而，又因是其導(dǎo)出組Ax=o的一個(gè)基礎(chǔ)解系，所以k1=k2=…kr=0.從而k=k1=k2=…kr=0.故線性無關(guān)．4.設(shè)是線性方程組Ax=b的m個(gè)解，當(dāng)時(shí)，證明也是方程組Ax=b的解.證：由題設(shè)知：從而，故也是方程組Ax=b的解.第五章特征值與特征向量一、單項(xiàng)選擇題1.設(shè),則矩陣A的特征值為(C).A.2，2B.2，0C.1，2D.2，-32.設(shè)二階矩陣A的特征值為1，2，則2A的特征值為(D).A.-2，2B.2，0C.1，2D.2，43.設(shè)，則A2的特征值為(C).A.B.C.D.4.已知，則A的跡tr(A)=(D).A.1B.3C.4D.55.設(shè)三階矩陣A的特征值為-1，1，2，則A+E的特征值為(A).A.0,2,3B.-1,1,2C.1,2,3D.2,1,-16.設(shè)三階矩陣A的特征值為1，-1，2，則|A|=(A).A.-2B.2C.4D.07.設(shè)三階矩陣A的特征值為2，3，4，則|A-1|=(D).A.2B.3C.24D.1/248.已知向量=(-1,-3,-2,7),=(4,-2,1,0)，則(,)=(A).A.0B.1C.2D.39.設(shè)n階矩陣A滿足A2=A，則A的所有可能的特征值是(B).A.0B.0，1C.1D.0，210.下列向量中與向量=(1，1，1)和=(1，-2，1)都正交的是(C).A.(1,0,1)B.(1,2,3)C.(a,0,-a)D.(a,0,a)11.設(shè)A是n階實(shí)方陣，則下列說法正確的是(B).A.矩陣A必有n個(gè)實(shí)特征值B.矩陣A的不同特征值對應(yīng)的特征向量必線性無關(guān)C.矩陣A的不同特征值對應(yīng)的特征向量必正交D.矩陣A的同一個(gè)特征值對應(yīng)的特征向量都線性相關(guān)12.設(shè)三階矩陣A與B相似，已知A的特征值為2,2,3.則|B-1|=(A).A.1/12B.1/7C.7D.12二、填空題1.設(shè)，則矩陣A的特征值為1，3，2.2.設(shè)A、B是兩個(gè)n階方陣，如果存在某個(gè)n階可逆矩陣P，使得B=，則稱A和B是相似的.3.設(shè)P1和P2分別是方陣A的屬于兩個(gè)不同特征值和的特征向量，則P1和P2必線性無關(guān).4.設(shè)向量，則的內(nèi)積-3.5.已知向量=(1，2，3)，則的長度||||=6.已知三階矩陣A的特征值為1，1，2，則|A+2E|=36.7.設(shè)三階方陣A的特征值為1，-1,2，又方陣B=A2-5A+2E,則|B|=64.8.若矩陣A與B=相似，則A的特征值為-2,2,29.已知n階方陣A是正交矩陣，則|A|=1或-1.10.向量正交的充分必要條件是0.11.設(shè)A為3階矩陣，已知|3A+2E|=0，則A必有一個(gè)特征值為12.若A=是正交矩陣，則x=三、計(jì)算題1.設(shè)，求B=A2-A+2E所有的特征值.解：因?yàn)?==0，所以A的特征值為1，5，由B=A2-A+2E得：B的特征值是2，22.2.設(shè)，求出A的所有特征值和特征向量.解：A的特征方程為===0，則A的特征值為：=0，=5.對于=0，求解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系為，故A的屬于=0的全部特征向量為.對于=5，求解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系為，故A的屬于=5的全部特征向量為.3.求矩陣的特征值和特征向量..解：A的特征方程=0，所以A的特征值為.對于，解方程組，由于可得方程組的基礎(chǔ)解系為：，.故A的對應(yīng)于特征值的全部特征向量為不全為零).4.求矩陣的特征值和特征向量..解：因?yàn)?0，所以A的特征值為.對于解方程組(0E-A)x=o，由于，得到方程組的基礎(chǔ)解系：(-1,1,0)T,故A的對應(yīng)于特征值的全部特征向量為c(-1,1,0)T（c≠0）.對于，解方程組，由于得方程組的基礎(chǔ)解系：(1,1,0)T,故A的對應(yīng)于特征值的全部特征向量為c(1,1,0)T（c≠0）.5.設(shè)矩陣，(1)求A的特征值和特征向量；(2)判斷矩陣A是否與對角矩陣相似，若相似寫出可逆矩陣P及對角矩陣Λ..解：(1)因?yàn)?0，所以A的特征值為.對于，解方程組，由于，可得方程組的基礎(chǔ)解系為，.所以，A的對應(yīng)于特征值的全部特征向量為(不全為零).對于，解方程組，由于，可得基礎(chǔ)解系，所以，A的對應(yīng)于特征值的全部特征向量為≠0).(2)因?yàn)槿A方陣A有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量P1，P2，P3，所以A能相似于對角矩陣，且 ，.6.設(shè)矩陣，(1)求A的特征值和特征向量；(2)判斷矩陣A是否與對角矩陣相似，若相似寫出可逆矩陣P及對角矩陣Λ.解：(1)因?yàn)?0，所以A的特征值為.對于，求得方程組的基礎(chǔ)解系為：.所以，A的對應(yīng)于特征值的全部特征向量為.對于，求得方程組的基礎(chǔ)解系為：.所以，A的對應(yīng)于特征值的全部特征向量為.(2)因?yàn)槿A方陣A只有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量P1，P2，所以A不能相似于對角矩陣.7.設(shè)A=，問A是否相似于對角矩陣？若相似，求出其相似標(biāo)準(zhǔn)形.解：同5.題，得A的特征值為；A有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量，所以A能相似于對角形矩陣，且可逆矩陣P=，.8.已知三階矩陣A的特征值為-1，2，3，求：(1)|A|及tr(A)；(2)A-1的特征值；(3)A2的特征值；(4)2A的特征值；(5)A2-2A+3E的特征值.解：(1)|A|=(-1)×2×3=-6，tr(A)=(-1)+2+3=5；(2)A-1的特征值為：-1，1/2，1/3；(3)A2的特征值為：1，4，9；(4)2A的特征值為：-2，4，6；(5)A2-2A+3E的特征值為：6，3，6.9.已知=(-1，1)，=(4，-2)，求.解：10.設(shè)，求出正交矩陣P，使得P-1AP為對角矩陣.解：特征值與特征向量的求法同5.題，得到A的特征值為；對應(yīng)于特征值的特征向量：(0,1,-1)T(方程組的基礎(chǔ)解系)，將其標(biāo)準(zhǔn)化得：.對應(yīng)于的特征向量：P2=(1,0,0)T(方程組的基礎(chǔ)解系).對應(yīng)于的特征向量：(0,1,1)T(方程組的基礎(chǔ)解系)，將其標(biāo)準(zhǔn)化得：.因?yàn)镻1，P2，P3是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組，所以得正交矩陣：，使得.四、證明題1.若A與B是相似的兩個(gè)方陣，證明與相似(k>1的整數(shù))..證：因?yàn)锳~B，所以存在可逆矩陣P，使得P-1AP=B.從而(P-1AP)k=Bk，P-1AkP=Bk，即Ak~Bk.2.設(shè)方陣A滿足A2=A，且A與B相似，證明：B2=B.證：因?yàn)锳~B，所以存在可逆矩陣P，使得P-1AP=B.兩邊平方：B2=(P-1AP)2=P-1A2P=P-1AP=B.3.設(shè)A是可逆矩陣，A與B相似，證明：其伴隨矩陣A*與B*也相似..證：因?yàn)锳~B，所以存在可逆矩陣P，使得P-1AP=B.又矩陣A可逆，故B也可逆，且(P-1AP)-1=B-1，即P-1A-1P=B-1.將代入上式，得：.因?yàn)锳~B，所以|A|=|B|，從而，即A*~B*.4.設(shè)A，B和A+B都是n階正交矩陣，那么(A+B)-1=A-1+B-1.證：因?yàn)锳，B和A+B都是n階正交矩陣，所以有..5.設(shè)，和都是n維實(shí)向量，k1，k2是任意實(shí)數(shù).如果分別，與正交，證明必與正交.證：因?yàn)榉謩e，與正交，所以.而，故與正交.第六章實(shí)二次型一、單項(xiàng)選擇題1.二次型的矩陣是(C).A.B.C.D.2.二次型的矩陣為(C).A.B.C.D.3.下列矩陣不是某二次型的矩陣是(B).A.B.C.D.4.二次型的秩為(B).A.1B.2C.3D.45.設(shè)矩陣，則二次型xTAx的規(guī)范形為(D).A.B.C.D.6.n階對稱矩陣A為正定矩陣的充分必要條件是(D).A.B.存在n階矩陣P，使得C.負(fù)慣性指數(shù)為0D.各階順序主子式均為正數(shù)7.設(shè)A,B為同階方陣，，且，當(dāng)(D)時(shí)，A=B.A.r(A)=r(B)B.C.D.且8.矩陣，則A合同于矩陣(C).A.B.C.D.9.下列矩陣中是正定矩陣的是(C).A.B.C.D.10.下列矩陣中是正定矩陣的是(C).A.B.C.D.11.設(shè)二次型為正定二次型，則(D).A.