高中復(fù)數(shù)知識(shí)點(diǎn)和相關(guān)練習(xí)試題

2優(yōu)選2優(yōu)選優(yōu)選優(yōu)選復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)根底知識(shí)一、復(fù)數(shù)的根本概念〔1〕形如a+bi的數(shù)叫做復(fù)數(shù)〔其中a,beR丨；復(fù)數(shù)的單位為i,它的平方等于一1,即i2=_l?其中a叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做虛部實(shí)數(shù)：當(dāng)b=0時(shí)復(fù)數(shù)a+bi為實(shí)數(shù)虛數(shù)：當(dāng)b豐0時(shí)的復(fù)數(shù)a+bi為虛數(shù)；純虛數(shù)：當(dāng)a二0且b豐0時(shí)的復(fù)數(shù)a+bi為純虛數(shù)〔2〕兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：a+bi=c+dioa=c且b=d(其中，a,b,c,d,eR)特另地a+bi=0oa=b=0〔3〕共軛復(fù)數(shù)：z=a+bi的共軛記作z=a-bi;〔4〕復(fù)平面：建立直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫復(fù)平面；z=a+bi，對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為p(a,b)〔5〕復(fù)數(shù)的模：對(duì)于復(fù)數(shù)z=a+bi，把時(shí)^'a2+b2叫做復(fù)數(shù)z的模;二、復(fù)數(shù)的根本運(yùn)算設(shè)z=a+bi,z=a+billl222加法：減法：乘法：z加法：減法：乘法：z+z=(a+a)+C+b)i;l2l2l2z-z=(a-a)+(b-b)i；l2l2l2z-z=(aa一bb)+(ab+ab)i特別z-z=a2+b2。l2l2l22ll2〔4〕冪運(yùn)算：ii=ii2=-1i3=-ii4=1i5=ii6=-1……三、復(fù)數(shù)的化簡(jiǎn)C+d〔a,b是均不為0的實(shí)數(shù)〕；的化簡(jiǎn)就是通過(guò)分母實(shí)數(shù)化的方法將分母a+bi化為實(shí)數(shù)：c+di_化為實(shí)數(shù)：c+di_c+dia+bia+bia一bi(ac+bd)+(ad-bc)ia一bia2+b2對(duì)于z二c+di(a-b豐0)，當(dāng)-二—時(shí)z為實(shí)數(shù)；當(dāng)z為純虛數(shù)是z可設(shè)為a+biabz二匸巴二xi進(jìn)一步建立方程求解a+bi一、知識(shí)梳理1、復(fù)數(shù)的有關(guān)概念〔1〕復(fù)數(shù)的概念：形如a+bi(a,bgR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a,b分別是它的。假設(shè)，那么a+bi為實(shí)數(shù)，假設(shè)，那么a+bi為虛數(shù)，假設(shè)，那么a+bi為純虛數(shù)?！?〕復(fù)數(shù)相等：a+bi=c+dio(a,b,c,dgR)?！?〕共軛復(fù)數(shù)：a+bi與c+di共軛o(a,b,c,dgR)?！?〕復(fù)平面：建立直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面，叫做復(fù)平面，x軸叫做，y軸叫做。實(shí)軸上的點(diǎn)都表示；除原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示；各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示。〔5〕復(fù)數(shù)的模：向量OZ的模r叫做復(fù)數(shù)Z=a+bi的模，記作：，即冋=a+bi|=。2、復(fù)數(shù)的幾何意義〔1〕復(fù)數(shù)z=a+bi一復(fù)平面上的點(diǎn)Z(a,b)(a,bgR)?！?〕復(fù)數(shù)z=a+bi—?復(fù)平面上的向量OZ。3、復(fù)數(shù)的運(yùn)算〔1〕復(fù)數(shù)的四那么運(yùn)算設(shè)z=設(shè)z=a+bi1=c+di(a,b,c,dgR)那么①加法：z+z=；12②減法：z一z=；12③乘法：z?z==；12④除法：—i===〔c+di豐0〕。z2注：分母實(shí)數(shù)化〕2〕復(fù)數(shù)的運(yùn)算定律z+z=；z+z+z=；12123zzm?zn=;(zm)=；4、幾個(gè)重要的結(jié)論⑴1zi+z212+1zi-z212=2(lzi12+1z2l2)；⑵z?z=1zI2=1zI2；〔3〕假設(shè)z為虛數(shù)，那么Iz|2豐z2。復(fù)數(shù)最重要的一點(diǎn)就是：記住i2=_i例1：z=a+1+（b-4）i，求（1）當(dāng)a,b為何值時(shí)z為實(shí)數(shù)（2）當(dāng)a,b為何值時(shí)z為純虛數(shù)（3）當(dāng)a,b為何值時(shí)z為虛數(shù)（4）當(dāng)a,b滿(mǎn)足什么條件時(shí)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)的第二象限。例2:z=3+4i；z=（a一3）+（b-4）i，求當(dāng)a,b為何值時(shí)z=z1212優(yōu)選優(yōu)選優(yōu)選優(yōu)選例3:z=1-i，求z,z-z;變式：1i是虛數(shù)單位,(護(hù)4等于()A.iB.-iC.lD.-1變式2:.是虛數(shù)單位，芒=〔〕A1+iB—1+iC1—iD.—1—i變式3:i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)1-3-=〔〕1—iA2+iB2—iC—1+2iD—1—2i變式4:i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)—1+3i=〔丨1+2i(A)1＋i(B)5＋5i(C)-5-5i(D)-1－i變式5：＜是虛數(shù)單位，那么弩=〔〕(A)—1(B)1(C)—i(D)i變式6:缶=2+i，那么復(fù)數(shù)z=〔〕〔A〕-1+3i(B)1-3i(C)3+i(D)3-i變式7:i是虛數(shù)單位，假設(shè)巴=a+叫beR)，那么乘積ab的值是

A〕－15BA〕－15B〕－3C〕3D〕15真題實(shí)戰(zhàn)：〔2005〕假設(shè)(a-2i)i二b-i，其中a、b€R,i是虛數(shù)單位，那么a2+b2=〔〕5A.0B.2C.D.52〔2005〕向量a=(2,3),b=(x,6),且a//b,那么x=.〔2007〕假設(shè)復(fù)數(shù)(1+bi)(2+i)是純虛數(shù)(i是虛數(shù)單位，b是實(shí)數(shù))，那么b=11A.-2B.——c—D.22■2〔2008〕0VaV2，復(fù)數(shù)z=a+i〔i是虛數(shù)單位〕，那么1z1的取值范圍是〔〕A.(1，)B.(13)c.(1，，5)d.(1，3)〔2009〕以下n的取值中，使in=i(i是虛數(shù)單位〕的是A.n=2B.n=3C.n=4D.n=5〔2011〕設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足iz=1，其中i為虛數(shù)單位，那么TOC\o"1-5"\h\zA.-iB.ic.-1D.14+3i〔2012〕設(shè))為虛數(shù)單位，那么復(fù)數(shù)二〔〕iA.3B.1c.-5D.-6〔2013〕假設(shè)i(x+yi)=3+4i,x,yeR，那么復(fù)數(shù)x+yi的模是A.2B.3c.4D.5二、例題分析類(lèi)型一：復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及復(fù)數(shù)的幾何意義【例1】當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，z=lg(m2一2m一2)+(m2+3m+2)i〔1〕為純虛數(shù)；〔2〕為實(shí)數(shù)；〔3〕對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)的第二象限內(nèi)。

類(lèi)型二：復(fù)數(shù)相等集合M=Ia+3)+(b2—l)i,8},集合N=&,(a2—1)+(b+2)i}同時(shí)滿(mǎn)足Mp|NuM,Mp|NH①，求整數(shù)a,b的值。【例3】x,y為共軛復(fù)數(shù)，且(x+y)2—3xyi=4—6i，求x,y。練習(xí)：復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為z，且滿(mǎn)足z-z+2iz=9+2i，求z。類(lèi)型三：復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算例4】計(jì)算：〔1例4】計(jì)算：〔1〕(2+2i)4(12)52〕3〕〔4〕1+i+i2+???+i2012。類(lèi)型四：復(fù)數(shù)加減法的幾何意義【例5】如圖，平行四邊形OABC，頂點(diǎn)O,A,C分別表示0,3+2i,-2+4i，試求:⑴、BC表示的復(fù)數(shù)；〔2〕對(duì)角線(xiàn)CA所表示的復(fù)數(shù)。練習(xí)：假設(shè)z為復(fù)數(shù)，且iz=1，求|z-i的最大值。類(lèi)型五：復(fù)數(shù)綜合【例6】求同時(shí)滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件的所有復(fù)數(shù)z。〔1〕1<Z+巴<6;〔2〕Z的實(shí)部和虛部都是整數(shù)。z優(yōu)選優(yōu)選優(yōu)選優(yōu)選5、5、優(yōu)選zz2練習(xí)：虛數(shù)z使得z二和z=都為實(shí)數(shù)，求z。11+z221+z三、穩(wěn)固提高1、1、i+i3+i5++i33的值是Ai-iAi-i2、z100+2、z100+z50+1的值是()A1-1D-i(—1+\3)3—2+i-3、—等于()(1+i)61+2iA0B1C-1Di()(D)bc+ad=04、設(shè)a、b、c、dgR，()(D)bc+ad=0c+di(A)bc+ad豐0(B)bc一ad豐0(C)bc一ad=01一i1+i=〔〕耐+E=〔」〔A〕i〔B〕一i〔C〕1〔D〕—1

6、（工）2005二〔〕1-1A．iB．－iC．22005D．－220057、對(duì)于Z二100+2007、對(duì)于Z二100+200，以下結(jié)論成立的是（）Az是零Bz是純虛數(shù)Cz是正實(shí)數(shù)Dz是負(fù)實(shí)數(shù)8、3-\：3i=z-（一2、.；37），那么復(fù)數(shù)z8、A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限9、設(shè)非零復(fù)數(shù)x,y滿(mǎn)足x9、設(shè)非零復(fù)數(shù)x,y滿(mǎn)足x2+xy+y2=0，那么代數(shù)式A2-1989B－1C1D01990+1990的值是10、假設(shè)Iz+3+4i\<2，那么|Z|的最大值是0兀11、復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A,將點(diǎn)A繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一，再向左平2移一個(gè)單位，向下平移一個(gè)單位，得到點(diǎn)B，此時(shí)點(diǎn)B與點(diǎn)A恰好關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，那么復(fù)數(shù)z為0A－1B1CiD－i12、設(shè)復(fù)數(shù)：:二1+i,z二x+2i（xgR）,若zz為實(shí)數(shù)，那么x=〔〕A.—2B.—1C.1D.2121213、假設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足方程云-i二i一1，那么z=.iz14、設(shè)復(fù)數(shù)z二2-i,z二1-3i那么復(fù)數(shù)一+—的虛部等于.12z5115、f(x)=-x5+5x4_l°x3+10x2-5x+1.求f(i+3i)的值.2216、復(fù)數(shù)z=3+2i，復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z-z=3z+z，那么復(fù)數(shù)z=。00017、求使（-?i）ngN*的最小正整數(shù)n=.17、18、計(jì)算：-218、計(jì)算：-2書(shū)+ip2F241+2羽i丿+(4-8i)2-(-4+&)219、設(shè)z=y3+i,z=1—i，試求滿(mǎn)足zn=zn的最小正整m,n的值。121220、是否存在復(fù)數(shù)z，使其滿(mǎn)足z-z+2iz二3+ai(aeR)，如果存在，求出z的值，如果不存在，說(shuō)明理由21、設(shè)等比數(shù)列zz,z…z…其中z=1,z=a+bi,z=b+ai(a,beR，且a>021、1,23n123〔1〕求a,b的值;〔2〕試求使z+Z