高中數(shù)學 典型例題 不等式解法舉例 新課標

不等式解法舉例典型例題一例1解不等式：(I)2x3-x2-15x>0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x)3<0.分析：如果多項式f(x)可分解為n個一次式的積，則一元高次不等式f(x)>0(或f(x)<0)可用“穿根法”求解，但要注意處理好有重根的情況.解：(1)原不等式可化為x(2x+5)(x-3)>0把方程x(2把方程x(2x+5)(x-3)=0的三個根x=0,x=-5,x=3順次標上數(shù)軸.然后從右1223上開始畫線順次經(jīng)過三個根，其解集如下圖的陰影部分．???原不等式解集為｛x|-2<x<0或x>32)原不等式等價于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0x+5豐0\x豐—5(x+4)(x-2)>0jx<-4^或x>2?原不等式解集為4x<-5或-5<x<-4或x>2?原不等式解集為說明：用“穿根法”解不等式時應注意：①各一次項中x說明：用“穿根法”解不等式時應注意：①各一次項中x的系數(shù)必為正；②對于偶次或奇次重根可轉(zhuǎn)化為不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下圖．典型例題二例2解下列分式不等式：2)1)2)分析：當分式不等式化為<0(或<0)時，要注意它的等價變形g(x)

①儲<0of⑴-g⑴<0/(X)-g(x)彳0或fx)§0of(x)二0或f(x)-g(x)<0g(x)豐0g(x)1）解：原不等式等價于1）解：原不等式等價于3x<ox—2x+23(x+2)—3x<ox—2x+23(x+2)—x(x—2)八一x2+5x+6?o<0o<0(x—2)(x+2)(x—2)(x+2)(x—6)(x+1)八[(x—6)(x+1)(x—2)(x+2)>0o>0o<(x—2)(x+2)[(x+2)(x—2)豐0用“穿根法”???原不等式解集為（一0-2）uI—1,2）uk,+s）。2）解法一：原不等式等價于2x2一3x+1>03x2—7x+2(2x2—3x+1)(3x2—7x+2)>0[2x2—3x+1>0[2x2—3x+1<0o\或<〔3x2—7x+2>0〔3x2—7x+2<0ox<丄或—<x<1或x>232???原不等式解集為（—?3）u（2，1）u（2,+8）。解法二：原不等式等價于>0(2x—1)(x—1)(3x—1)(x—2)o(2x—1)(x—1)(3x—1)-(x—2)>0用“穿根法”???原不等式解集為(—^,|)u(2,1)n(2,+8)典型例題三例3解不等式|x2-例3解不等式|x2-4<x+2分析：解此題的關(guān)鍵是去絕對值符號，而去絕對值符號有兩種方法：是根據(jù)絕對值的意義|a|=a(a>0)-a(a<0)二是根據(jù)絕對值的性質(zhì)：|x|<ao-a<x<a,|x|.aox〉a或x<-a,因此本題有如兩種解法．解法一：原不等式o；x2-4>°或;x2-4<°[x2—4<x+2[4—x2<x+2x>2或x<-2或J-2<x<2-2<x<x[x<-2或x>12<x<3或1<x<2故原不等式的解集為?1<x<3)解法二：原不等式等價于-(x+2)<x2-4<x+2Jx2—4<x+2J—2<x<3匚即｛???｛亠故1<x<3.x2-4>-(x+2)[x>1或x<-2典型例題四例4解不等式x2-6x+5<°.12+4x—x2分析：這是一個分式不等式，其左邊是兩個關(guān)于x二次式的商，由商的符號法則，它等價于下列兩個不等式組：x2-6x+5<°x2-6x+5>°或<12+4x—x2>°12+4x—x2<°所以，原不等式的解集是上面兩個不等式級的解集的并集．也可用數(shù)軸標根法求解．解法一：原不等式等價下面兩個不等式級的并集：x2-6x+5<°,、x2-6x+5>°,或<12+4x—x2>°12+4x—x2<°J(J(x-1)(x-5)<°,o<(x+2)(x一6)<°;或J(x一1)(x-5)>°，(x+2)(x一6)>°;1<x<5,[x<1,或x>5,;J或<、-2<x<6~[x<-2,或x>6o1<x<5,或x<一2或x〉6.??.原不等式解集是{x|x<-2,或1<x<5,或x>6}.解法二：原不等式化為（x一1）（x一一5〉0.（x+2）（x一6）畫數(shù)軸,找因式根,分區(qū)間,定符號．（x一1）（x一5）>付號（x+2）（x一6）-215辦.?.原不等式解集是{x|x<-2,或1<x<5,或x>6}.說明：解法一要注意求兩個等價不等式組的解集是求每組兩個不等式的交集,再求兩組的解的并集,否則會產(chǎn)生誤解．解法二中，“定符號”是關(guān)鍵?當每個因式x的系數(shù)為正值時，最右邊區(qū)間一定是正值，其他各區(qū)間正負相間；也可以先決定含0的區(qū)間符號，其他各區(qū)間正負相間.在解題時要正確運用．典型例題五x2+2x—2例5解不等式<x.3+2x—x2分析：不等式左右兩邊都是含有x的代數(shù)式，必須先把它們移到一邊，使另一邊為0再解．解：移項整理，將原不等式化為（x一2）（x2+x+卩>0.（x—3）（x+1）由x2+x+1>0恒成立，知原不等式等價于一（"一2）>0.（x一3）（x+1）解之，得原不等式的解集為{彳-1<x<2或x>3}.說明：此題易出現(xiàn)去分母得x2+2x-2<x（3+2x-x2）的錯誤解法.避免誤解的方法是移項使一邊為0再解另外，在解題過程中，對出現(xiàn)的二項式要注意其是否有實根，以便分析不等式是否有解，從而使求解過程科學合理典型例題六例6設(shè)mgR，解關(guān)于x的不等式m2x2+2mx—3<0.

分析：進行分類討論求解．解：當m=0時，因-3<0一定成立，故原不等式的解集為R.當m豐0時，原不等式化為(mx+3)(mx-1)<0；31當m〉0時,當m<0當m〉0時,當m<0時，mm13解得一<x<—.mmTOC\o"1-5"\h\z31當m〉0時，原不等式的解集為sx<x<—>；mm13當m<0時，原不等式的解集為\x—<x<>.mm說明：解不等式時，由于meR，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解.因為當m=0時，原不等式化為-3<0，此時不等式的解集為R，所以解題時應分m=0與m豐0兩種情況來討論.3131在解出m2x2+2mx—3=0的兩根為x=—，x=后，認為<，這也是易出現(xiàn)的1m2mmm3131錯誤之處.這時也應分情況來討論：當m〉0時，<—；當m<0時，〉一.mmmm典型例題七例7解關(guān)于x的不等式v；2ax-a2〉1—x(a〉0).分析：先按無理不等式的解法化為兩個不等式組，然后分類討論求解2ax—a2〉0,「解：原不等式o(1)]1-x>0,或(2)嚴—a2-11—x<0.2ax—a2〉(1—x)2;ax〉一,2x〉1.由a〉0，得：(1)o<x<1,x〉1.x2—2(a+1)x+a2+1<0;由判另U式A=4(a+1)2—4(a2+1)=8a>0，故不等式x2—2(a+1)x+a2+1<0的解是a+1—W2a<x<a+1+、：2a.當0<a<2時，纟<a+1—\；2a<1，a+1+i：2a〉1，不等式組⑴的解是2a+1—f2a<x<1，不等式組(2)的解是x〉1.當a〉2時，不等式組(1)無解，(2)的解是x>a.2

綜上可知，當0<a<2時，原不等式的解集是Ia+1-、：2a,+a)；當a〉2時，原不等「a\式的解集是a,+s?L2丿說明：本題分類討論標準"0<a<2,a〉2”是依據(jù)"已知a〉0及⑴中'x〉a,x<1'2(2)中'x>a,x〉1確定的.解含有參數(shù)的不等式是不等式問題中的難點，也是近幾年2高考的熱點．一般地，分類討論標準(解不等式)大多數(shù)情況下依“不等式組中的各不等式的解所對應的區(qū)間的端點”去確定．本題易誤把原不等式等價于不等式2ax-a2〉(1-x).糾正錯誤的辦法是熟練掌握無理不等式基本類型的解法．典型例題八例8解不等式|4x2-10x-3<3?分析：先去掉絕對值號，再找它的等價組并求各不等式的解，然后取它們的交集即可解答：去掉絕對值號得-3<4x2-10x-3<3，???原不等式等價于不等式組—3<4x2—10x—3\4x2—10x〉0In4x2—10x—3<3〔4x2—10x—6<02x2x(2x-5)〉02(x—3)(2x+1)<0x<0或x>—,2nI1c<x<3.〔2???原不等式的解集為Ix-2<x<0或2<x<3-說明：解含絕對值的不等式，關(guān)鍵是要把它化為不含絕對值的不等式，然后把不等式等價轉(zhuǎn)化為不等式組，變成求不等式組的解．典型例題九例9解關(guān)于x的不等式x2—(a+a2)x+a3〉0.分析：不等式中含有字母a，故需分類討論.但解題思路與一般的一元二次不等式的解法完全一樣：求出方程x2—(a+a2)x+a3=0的根，然后寫出不等式的解，但由于方程的根含有字母a，故需比較兩根的大小，從而引出討論.解：原不等式可化為(x—a)(x—a2)〉0.

⑴當a<a2(即a〉1或a<0)時，不等式的解集為:(|x<a或x〉a21(2)當a>a2(即0<a<1)時，不等式的解集為：(xx<a2或x〉a1⑶當a=a2(即a=0或1)時，不等式的解集為:（x|xeR且x豐a說明：對參數(shù)進行的討論，是根據(jù)解題的需要而自然引出的，并非一開始就對參數(shù)加以分類、討論?比如本題，為求不等式的解，需先求出方程的根片=a,x2=a2，因此不等式的解就是x小于小根或x大于大根.但a與a2兩根的大小不能確定，因此需要討論a<a2，a>a2，a=a2三種情況.典型例題十例10已知不等式ax2例10已知不等式ax2+bx+c〉0的解集是（x求不等式cx2+bx+a〉0的解集.分析：按照一元二次不等式的一般解法，先確定系數(shù)c的正負，然后求出方程cx2+bx+a=0的兩根即可解之.解：(解法解：(解法1)由題可判斷出a，P是方程ax2+bx+c=0的兩根,bca+p=—，a?p=.aa又ax2+bx+c〉0的解集是（x|c而a〉0，p>0nap〉0n〉0nc<0，a?:cx2+bx+a〉0ox2+-x+纟<0?cc口ba+p=一_an<a?p口ba+p=一_an<a?p=-aapaP'_=丄=（一丄）（—丄）aaPaP'

???x2+-x+-<0，即x2+(-1-丄)X+(-1)(-1)<0,ccapap即(x-—)(x-—)<0.ap又0<a<p，.:—>—,ap(x—)(x-—)<0的解集為ap(解法2)由題意可判斷出a,p是方程ax2+bx+c=0的兩根,又ax2又ax2+bx+c>0的解集是{xa<x<pc而a>0,p>0nap>0n>0nc<0.a對方程cx2+bx+a=0兩邊同除以x2得a-(一)2+b-(一)+c=0.xx令t=-，該方程即為x--Q?1=a,——=p?…x=—,xx-a-2at2+bt+c=0，它的兩根為〔=a,「卩,x2--<x<pa???方程cx2+bx+a=0--<x<pa?:不等式cx2+bx+a>0的解集是<x說明：(1)萬變不離其宗,解不等式的核心即是確定首項系數(shù)的正負,求出相應的方程的根；(2)結(jié)合使用韋達定理，本題中只有a,p是已知量，故所求不等式解集也用a,p表示，不等式系數(shù)a,b,c的關(guān)系也用a,p表示出來；(3)注意解法2中用“變換”的方法求方程的根.典型例題十二例12若不等式x—a<x-b的解為(y,1)Y(1,+s)，求a、b的值.x2+x+-x2-x+-3分析：不等式本身比較復雜，要先對不等式進行同解變形，再根據(jù)解集列出關(guān)于a、b

式子．13^解?X2+X+1=(XH)2+>0,2413X2—X+1=(X)2+>0,24原不等式化為(2+a一b)X2—(a+b)X+a一b>0.依題意2+a—b

a+b、2+a—b說明：解有關(guān)一元二次方程的不等式，要注意判斷二次項系數(shù)的符號，結(jié)合韋達定理來解．典型例題十三例13不等式aX2+bX—2<0的解集為｛x|-1<X<2求a與b的值.分析：此題為一元二次不等式逆向思維題，要使解集為｛x|—1<x<2｝，不等式ax2+bx一2<0需滿足條件a>0，A>0，ax2+bx一2=0的兩根為X=—1，x=2.12解法一：設(shè)ax2+bx-2=0的兩根為X1，X2，由韋達定理得:X+X12XX+X12X?X12ba2a由題意：<-=—1+2a-=—1x2aa=1，b=—1，此時滿足a>0，A=b2—4ax(—2)>0.解法二：構(gòu)造解集為｛x|—1<x<2｝的一元二次不等式：(X+1)(X—2)<0，即X2—X—2<0，此不等式與原不等式ax2+bx—2<0應為同解不等式，故需滿足：b—2—1—2說明：本題考查一元二次方程、一元二次不等式解集的關(guān)系，同時還考查逆向思維的能力.對有關(guān)字母抽象問題，同學往往掌握得不好.

典型例題十四例14解關(guān)于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.分析：本題考查一元一次不等式與一元二次不等式的解法，因為含有字母系數(shù)，所以還考查分類思想.解：分以下情況討論當a=0時，原不等式變?yōu)椋骸獂+1<0，.:x〉1TOC\o"1-5"\h\z當a豐0時，原不等式變?yōu)椋?ax—1)(x—1)<0①當a<0時，①式變?yōu)?x—丄)(x—1)〉0,???不等式的解為x〉1或x<-.aa當a〉0時，①式變?yōu)?x—丄)(x—1)<0.②a???-—1=匕，?當0<a<1時，1〉1，此時②的解為1<x<-.當a=1時，-=1，\o"CurrentDocument"aaaaa此時②的解為-<x<1.a說明：解本題要注意分類討論思想的運用，關(guān)鍵是要找到分類的標準，就本題來說有三級分類：0<a<1a