學高中數(shù)學推理與證明反證法學案新人教A版選修

06/605/6/反證法學習目標核心素養(yǎng)1.了解反證法是間接證明的一種基本方法．(重點、易混點)2．理解反證法的思考過程，會用反證法證明數(shù)學問題．(重點、難點)通過反證法的學習，培養(yǎng)學生的邏輯推理的核心素養(yǎng).反證法的定義及證題的關(guān)鍵思考1：反證法的實質(zhì)是什么？[提示]反證法的實質(zhì)就是否定結(jié)論，推出矛盾，從而證明原結(jié)論是正確的．思考2：有人說反證法的證明過程既可以是合情推理也可以是一種演繹推理，這種說法對嗎？為什么？[提示]反證法是間接證明中的一種方法，其證明過程是邏輯非常嚴密的演繹推理．1．“a<b”的反面應是()A．a(chǎn)≠b B．a(chǎn)>bC．a(chǎn)＝b D．a(chǎn)＝b或a>b[答案]D2．用反證法證明“如果a＞b，那么eq\r(3,a)＞eq\r(3,b)”，假設的內(nèi)容應是________．[答案]eq\r(3,a)≤eq\r(3,b)3．用反證法證明“一個三角形不能有兩個直角”有三個步驟：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，這與三角形內(nèi)角和為180°矛盾，故假設錯誤．②所以一個三角形不能有兩個直角．③假設△ABC中有兩個直角，不妨設∠A＝90°，∠B＝90°.上述步驟的正確順序為________．③①②[由反證法的一般步驟可知，正確的順序應為③①②.]4．應用反證法推出矛盾的推導過程中，下列選項中可以作為條件使用的有________．(填序號)①結(jié)論的反設；②已知條件；③定義、公理、定理等；④原結(jié)論．①②③[反證法的“歸謬”是反證法的核心，其含義是：從命題結(jié)論的假設(即把“反設”作為一個新的已知條件)及原命題的條件出發(fā)，引用一系列論據(jù)進行正確推理，推出與已知條件、定義、定理、公理等相矛盾的結(jié)果．]用反證法證明否定性命題【例1】已知三個正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，但不成等差數(shù)列．求證：eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差數(shù)列．[證明]假設eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)成等差數(shù)列，則eq\r(a)＋eq\r(c)＝2eq\r(b)，即a＋c＋2eq\r(ac)＝4b.∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2＝ac，即b＝eq\r(ac)，∴a＋c＋2eq\r(ac)＝4eq\r(ac)，∴(eq\r(a)－eq\r(c))2＝0，即eq\r(a)＝eq\r(c).從而a＝b＝c，與a，b，c不成等差數(shù)列矛盾，故eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差數(shù)列．1．用反證法證明否定性命題的適用類型結(jié)論中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等詞語的命題稱為否定性命題，此類問題的正面比較模糊，而反面比較具體，適合使用反證法．2．用反證法證明數(shù)學命題的步驟[跟進訓練]1．設SA，SB是圓錐SO的兩條母線，O是底面圓心，C是SB上一點，求證：AC與平面SOB不垂直．[證明]假設AC⊥平面SOB，如圖，∵直線SO在平面SOB內(nèi)，∴SO⊥AC.∵SO⊥底面圓O，∴SO⊥AB.∴SO⊥平面SAB.∴平面SAB∥底面圓O.這顯然出現(xiàn)矛盾，所以假設不成立，即AC與平面SOB不垂直．用反證法證明唯一性命題【例2】求證方程2x＝3有且只有一個根．[證明]∵2x＝3，∴x＝log23，這說明方程2x＝3有根．下面用反證法證明方程2x＝3的根是唯一的：假設方程2x＝3至少有兩個根b1，b2(b1≠b2)，則2eq\s\up12(b1)＝3,2eq\s\up12(b2)＝3，兩式相除得2eq\s\up12(b1－b2)＝1.若b1－b2>0，則2eq\s\up12(b1－b2)>1，這與2eq\s\up12(b1－b2)＝1相矛盾．若b1－b2<0，則2eq\s\up12(b1－b2)<1，這也與2eq\s\up12(b1－b2)＝1相矛盾．∴b1－b2＝0，則b1＝b2.∴假設不成立，從而原命題得證．巧用反證法證明唯一性命題(1)當證明結(jié)論有以“有且只有”“當且僅當”“唯一存在”“只有一個”等形式出現(xiàn)的命題時，由于反設結(jié)論易于推出矛盾，故常用反證法證明．(2)用反證法證題時，如果欲證明命題的反面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以；若結(jié)論的反面情況有多種，則必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷結(jié)論成立．(3)證明“有且只有一個”的問題，需要證明兩個命題，即存在性和唯一性．[跟進訓練]2．已知：平面α和一點P.求證：過點P與α垂直的直線只有一條．[證明]如圖所示，不論點P在α內(nèi)還是在α外，設PA⊥α，垂足為A(或P)．假設過點P不止有一條直線與α垂直，如還有另一條直線PB⊥α，設PA，PB確定的平面為β，且α∩β＝a，于是在平面β內(nèi)過點P有兩條直線PA，PB垂直于a，這與過一點有且只有一條直線與已知直線垂直相矛盾，∴假設不成立，原命題成立．用反證法證明“至多”“至少”問題[探究問題]1．你能闡述一下“至少有一個、至多有一個、至少有n個”等量詞的含義嗎？[提示]量詞含義至少有一個有n個，其中n≥1至多有一個有0或1個至少有n個大于等于n個2.在反證法證明中，你能說出“至少有一個、至多有一個、至少有n個”等量詞的反設詞嗎？[提示]量詞反設詞至少有一個一個也沒有至多有一個至少有兩個至少有n個至多有n－1個【例3】已知a≥－1，求證三個方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一個方程有實數(shù)解．[證明]假設三個方程都沒有實根，則三個方程中：它們的判別式都小于0，即：即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)＜a＜\f(1,2)，,a＞\f(1,3)或a＜－1，,－2＜a＜0.))∴－eq\f(3,2)＜a＜－1，這與已知a≥－1矛盾，所以假設不成立，故三個方程中至少有一個方程有實數(shù)解．1．(變條件)將本題改為：已知下列三個方程x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一個方程有實數(shù)根，如何求實數(shù)a的取值范圍？[解]若三個方程都沒有實根，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(16a2－4?3－4a?＜0，,?a－1?2－4a2＜0，,4a2＋8a＜0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)＜a＜\f(1,2)，,a＞\f(1,3)或a＜－1，,－2＜a＜0，))即－eq\f(3,2)＜a＜－1，故三個方程至少有一個方程有實根，實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥－1或a≤－\f(3,2))))).2．(變條件)將例題條件改為三個方程中至多有2個方程有實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍．[解]假設三個方程都有實數(shù)根，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(?4a?2－4?－4a＋3?≥0，,?a－1?2－4a2≥0，,?2a?2＋4×2a≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a2＋4a－3≥0，,3a2＋2a－1≤0，,a2＋2a≥0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤－\f(3,2)或a≥\f(1,2)，,－1≤a≤\f(1,3)，,a≤－2或a≥0.))即a∈?.所以三個方程中至多有2個方程有實數(shù)根時，實數(shù)a的取值范圍為R.當命題中出現(xiàn)“至少……”“至多……”“不都……”“都不……”“沒有……”“唯一”等指示性詞語時，宜用反證法．提醒：對于此類問題，需仔細體會“至少有一個”“至多有一個”等字眼的含義，弄清結(jié)論的否定是什么，避免出現(xiàn)證明遺漏的錯誤．用反證法證題要把握三點：(1)必須先否定結(jié)論，對于結(jié)論的反面出現(xiàn)的多種可能，要逐一論證，缺少任何一種可能，證明都是不全面的．(2)反證法必須從否定結(jié)論進行推理，且必須根據(jù)這一條件進行論證，否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進行論證，就不是反證法．(3)反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個矛盾可以與已知矛盾，或與假設矛盾，或與定義、公理、定理、事實矛盾，但推導出的矛盾必須是明顯的．1．用反證法證明“三角形中最多只有一個內(nèi)角為鈍角”，下列假設中正確的是()A．有兩個內(nèi)角是鈍角B．有三個內(nèi)角是鈍角C．至少有兩個內(nèi)角是鈍角D．沒有一個內(nèi)角是鈍角C[“最多只有一個”的否定是“至少有兩個”，故選C.]2．如果兩個實數(shù)之和為正數(shù)，則這兩個數(shù)()A．一個是正數(shù)，一個是負數(shù)B．兩個都是正數(shù)C．至少有一個正數(shù)D．兩個都是負數(shù)C[假設兩個數(shù)分別為x1，x2，且x1≤0，x2≤0，則x1＋x2≤0，這與兩個數(shù)之和為正數(shù)矛盾，所以兩個實數(shù)至少有一個正數(shù)，故應選C.]3．已知平面α∩平面β＝直線a，直線b?α，直線c?β，b∩a＝A，c∥a，求證：b與c是異面直線，若利用反證法證明，則應假設________．b與c平行或相交[∵空間中兩直線的位置關(guān)系有3種：