2021全國高三（上）期中數學匯編：空間中的平行關系

第32頁/共32頁2021全國高三（上）期中數學匯編空間中的平行關系一、單選題1．已知直三棱柱的所有棱長都相等，為的中點，則與所成角的余弦值為A． B． C． D．2．如圖，正方體中，分別為棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．3．如圖，在正方體中，是棱的中點，是側面內的動點，且與平面的垂線垂直，則下列說法不正確的是（

）A．與不可能平行B．與是異面直線C．點的軌跡是一條線段D．三棱錐的體積為定值4．“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數學的對稱美如圖．將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共可截去八個三棱錐，得到八個面為正三角形，六個面為正方形的“阿基米德多面體”，則異面直線AB與CD所成角的大小是（

）A．30° B．45° C．60° D．120°5．不同的直線和，不同的平面，，，下列條件中能推出的是（

）A．，， B．，C．，， D．，，6．在正方體中，，，，分別為，，，的中點，則直線與所成角的大小是（

）．A． B． C． D．7．如圖是長方體的展開圖，且，為正方形，其中P、Q分別為、的中點，下列判斷①，②，③，④中，正確的個數為（

）A．0 B．1 C．2 D．38．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝AA1，，點E，F(xiàn)分別是棱AB，BB1的中點，則直線EF和AC1所成角的余弦值是（）A． B．C． D．9．在直三棱柱中，.，分別是、的中點，，則與所成角的余弦值為（

）A． B．C． D．10．在正方體中，下列直線與成60°角的是（

）A． B． C． D．11．在直三棱柱中，已知各棱長都為，E為棱上一點，，則與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．12．如圖，已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，、分別是，的中點，為上一點，且，為正方形內一點（包含邊界）.若平面，則的運動軌跡的長度為（

）A． B． C． D．13．已知直角，，，，分別是的中點，將沿著直線翻折至，形成四棱錐，則在翻折過程中，①；②；③；④平面平面，不可能成立的結論是（

）A．①②③ B．①② C．③④ D．①②④二、多選題14．將邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，點P為線段AD上的一動點，下列結論正確的是（

）A．異面直線AC與BD所成的角為60°B．是等邊三角形C．面積的最小值為D．四面體ABCD的外接球的表面積為8π15．如圖所示，在棱長為2的正方體中，M，N分別為棱，的中點，則下列結論正確的是（

）A．直線BN與MB1是異面直線 B．直線AM與BN是平行直線C．直線MN與AC所成的角 D．平面BMN截正方體所得的截面面積為16．已知為正四棱柱，底面邊長為2，高為4，則下列說法正確的是（

）A．異面直線與所成角為B．三棱錐的外接球的表面積為C．平面平面D．點到平面的距離為17．半正多面體（semiregularsolid）亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數學的對稱美.二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體切截而成的，它由八個正三角形和六個正方形構成（如圖所示），若它的所有棱長都為，則（

）A．平面B．AB與PF所成角為45°C．該二十四等邊體的體積為D．該二十四等邊體外接球的表面積為18．設空間三條互不重合的直線a、b、c，則下列結論錯誤的是（

）A．若，b與c是異面直線，則a與c也是異面直線B．若，b與c是異面直線，則a與c也是異面直線C．若，，則D．若，，則三、填空題19．《九章算術》中將底面為長方形，且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬．現(xiàn)有陽馬，底面，底面為正方形，且，則異面直線與所成角的大小為______四、解答題20．如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證：（1）B，C，H，G四點共面；（2）平面EFA1平面BCHG.21．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的邊長均為，E，F(xiàn)分別是線段AC1和BB1的中點．（1）求證：EF平面ABC；（2）求三棱錐C﹣ABE的體積．22．如圖，在四棱錐中，平面底面是菱形，分別為的中點．（1）證明：平面；（2）若，求三棱錐的體積．23．如圖，在直三棱柱中，，，，，分別是，的中點.（1）證明：平面.（2）求直線與平面所成角的正弦值.24．如圖1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中點，將△ADE沿AE折起，得到如圖2所示的四棱錐D1—ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE.(1)證明：BE⊥平面D1AE；(2)設F為CD1的中點，在線段AB上是否存在一點M，使得MF∥平面D1AE，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．25．如圖，在直四棱柱中，底面四邊形為梯形，點為上一點，且，，．（1）求證：平面；（2）求點到平面的距離．26．如圖，已知三棱柱，點為棱的中點．（1）求證：平面；（2）若是等邊三角形，且，，平面平面，求三棱錐的體積．27．已知四棱錐A—BCDE，AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD=2，CD面ABC，BE∥CD，F(xiàn)為AD的中點．(1)求證：EF∥面ABC；(2)求四棱錐A—BCDE的體積，28．將邊長為的正方形（及其內部）繞旋轉一周形成圓柱，如圖，長為，長為，其中與在平面的同側.

(1)求三棱錐的體積；(2)求異面直線與所成的角的大小.29．如圖，四棱錐的底面是正方形，側棱底面，，是的中點.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）若點在線段（不包含端點）上，且直線平面，求線段的長.30．1.如圖所示，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，M、N分別是棱A1B1、A1D1的中點．(1)求異面直線AN與BM所成角的大??；(2)求點B到平面ANC的距離．

參考答案1．D【分析】取的中點，連接，則,所以異面直線與所成角就是直線與所成角，在中，利用余弦定理，即可求解．【詳解】由題意，取的中點，連接，則,所以異面直線與所成角就是直線與所成角，設正三棱柱的各棱長為,則，設直線與所成角為，在中，由余弦定理可得，即異面直線與所成角的余弦值為，故選D．【點睛】本題主要考查了異面直線所成角的求解，其中解答中把異面直線所成的角轉化為相交直線所成的角是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．2．A【解析】取的中點，連接,可得四邊形為平行四邊形，所以，則（或其補角）為異面直線與所成角，在中由余弦定理可求解.【詳解】取的中點，連接由分別為的中點，則且在正方體中且,所以且所以四邊形為平行四邊形，所以則（或其補角）為異面直線與所成角.設正方體的棱長為2，則在中，,所以故選：A【點睛】思路點睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面直線所成的角．3．A【分析】設平面與直線交于，連接，，則為的中點，分別取，的中點，，連接，，，證明平面平面，即可分析選項ABC的正誤；再由，得點到平面的距離為定值，可得三棱錐的體積為定值判斷D．【詳解】解：設平面與直線交于，連接，，則為的中點，分別取，的中點，，連接，，，如圖，∵，平面，平面，∴平面，同理可得平面，又、是平面內的兩條相交直線，∴平面平面，而平面，∴平面，得點的軌跡為一條線段，故C正確；并由此可知，當與重合時，與平行，故A錯誤；∵平面平面，和平面相交，∴與是異面直線，故B正確；∵，則點到平面的距離為定值，∴三棱錐的體積為定值，故D正確．故選：A．4．C【分析】將多面體放置于正方體中，借助正方體分析多面體的結構，由此求解出異面直線AB與CD所成角的大小.【詳解】如圖所示：將多面體放置于正方體中，以點為原點建立空間直角坐標系，設正方體的邊長為2則，，設異面直線AB與CD所成角為所以，故故選：C5．C【分析】利用平面與平面的位置關系判斷.【詳解】由不同的直線和，不同的平面，，，知：若，，，則與相交或平行，故不正確；若，，則與相交或平行，故B不正確；若，，，則由平面平行的判定定理知，故C正確；若，，，則與相交或平行，故D不正確.故選：C.6．C【分析】首先把兩條直線平移了有交點，再求其直線所成的角.【詳解】如圖連接，，則是的中點，又為的中點，所以，連接，則是的中點，又為的中點，所以，于是是直線與所成的角或其補角．易知是正三角形，所以．故選：C7．C【分析】根據長方體的展開圖，還原長方體，根據圖形求解即可.【詳解】將展開圖還原成長方體,如圖，由圖可知①不正確，②正確，③不正確，由，為正方形知,故④正確,綜上②④正確．故選：C8．C【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法即求.【詳解】如圖以為原點建立空間直角坐標系，設，則，∴，設直線EF和AC1所成角為，則.故選：C.9．D【分析】取CC1的中點F，過F作FN∥交于N，作FG∥交AC于G，則（或其補角）即為與所成角.過N作MN∥交于M，連結MN，在△FGN中，利用余弦定理即可求得與所成角的余弦值.【詳解】如圖所示，取CC1的中點F，過F作FN∥交于N，作FG∥交AC于G，因為，分別是、的中點，所以N為的中點，G為AC上靠近點C的點.所以（或其補角）即為與所成角.過N作MN∥交于M，則M為BC上靠近點C的點,連結MN.在直三棱柱中，.，分別是、的中點，不妨設，則,,所以,.在△FGN中，由余弦定理可得：,所以與所成角的余弦值為.故選：D10．B【分析】根據異面直線所成角的求法逐一判斷即可.【詳解】因為，所以與所成的角為因為，所以與所成的角為因為平面，所以與所成的角為90°，因為，所以平面，因為平面，所以，即與所成的角為90°，故選：B11．C【分析】由平行線作出與所成的角，在三角形中計算邊長，再利用余弦定理求解.【詳解】過作交于F，連接，則或其補角為與所成的角，在三角形中，由已知計算得，，，，．故選：C12．C【分析】分別取、的中點、，證明出平面平面，利用面面平行的性質定理可知，當點在線段上運動時，平面，可得出點的軌跡為線段，求出即可得解.【詳解】如圖，分別取、的中點、，連接、、、，設分別交、于點、，連接、、，設，、分別為、的中點，則，且為的中點，同理可知，且為的中點，，平面，平面，平面，因為四邊形為正方形，，所以，為的中點，所以，，，同理可得，，，所以，，則，平面，平面，平面，，所以，平面平面，所以當在線段上運動時，由于平面，始終有平面，即的運動軌跡為線段，易知，故選：C.【點睛】方法點睛：常見的線面平行的證明方法有：（1）通過面面平行得到線面平行；（2）通過線線平行得到線面平行，在證明線線平行中，經常用到中位線定理或平行四邊形的性質.13．D【詳解】由題易知，平面時，有成立，故③能成立，又在翻折的過程中，平面與平面的二面角的平面交就是，由翻折軌跡觀察，不可能為直角，故④不能成立，所以由選項可知，①②④不可能成立，故選D．點睛：本題考查立體幾何的翻折問題．翻折問題關鍵是找準題目中的變量與不變量，尋找翻折過程中的運動軌跡，結合軌跡圖象的特點，就可以得到問題的正確答案．本題中再結合排除法可以解得答案．14．BCD【分析】取的中點，連接，利用等腰三角形三線合一，可得，從而可得，可判斷A；通過計算，可得為正三角形；由長為2，所以只需求出邊上高的最小值就是面積的最小值；由于，所以四面體的外接球的半徑為，從而可求出其表面積．【詳解】解：對于A，因為，，所以平面，平面，所以，異面直線AC與BD所成的角為90°，不是60°，所以A錯；對于B，因為，所以，同理，所的是等邊三角形，所以B對；對于C，因為，所以要求面積的最小值，只須求BC邊上高的最小值，此最小值恰為異面直線AD與BC的距離，設為h，因為，平面，平面，所以平面，又因為平面，所以直線AD到平面距離即為h，即點D到平面距離為h，因為，所以，解得，所以面積的最小值，所以C對；對于D，由于，所以四面體ABCD的外接球的球心為O，半徑為，所以表面積為，所以D對．故選：BCD．【點睛】方法點睛：求外接球半徑的常用方法：（1）補形法：側面為直角三角形或正四面體或對棱二面角均相等的模型，可以還原到正方體或長方體中去求解；（2）利用球的性質：幾何體在不同面均對直角的棱必然是球的直徑；（3）定義法：到各個頂點距離均相等的點為球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據帶其他頂點距離也是半徑，列關系求解即可．15．AD【分析】根據異面直線的定義直接判斷AB選項，根據，轉化求異面直線所成的角，利用確定平面的依據，作出平面截正方體所得的截面，并求面積.【詳解】直線BN與MB1是異面直線，故A正確；直線AM與BN是異面直線，故B錯誤；如下圖，由條件可知，所以異面直線與所成的角為，是等邊三角形，所以，故C錯誤；如下圖，連接、、，因為，，所以，又，則四邊形是梯形，且四邊形為平面截正方體所得的截面，，，所以四邊形是等腰梯形，則梯形的高是，所以梯形的面積，故D正確.故選：AD.16．BCD【分析】對于A：由正四棱柱的性質得（或其補角）就是異面直線與所成的角，再運用余弦定理計算可判斷；對于B：三棱錐的外接球與正四棱柱的外接球是同一個，由球的表面積公式計算可判斷；對于C：由正四棱柱的性質結合面面平行的判定可判斷；對于D：設點到平面的距離為d，運用等體積法得，可求得距離.【詳解】解：對于A：由正四棱柱的性質得，所以（或其補角）就是異面直線與所成的角，而正四棱柱的底面邊長為2，高為4，所以，在中，，所以，故A不正確；對于B：三棱錐的外接球與正四棱柱的外接球是同一個，且外接球的半徑為，所以外接球的表面積為，故B正確；對于C：由正四棱柱的性質得，又因為面，面，所以面，同理證得面，又，面，所以平面平面，故C正確；對于D：設點到平面的距離為d，則，由A選項的解析得，又，所以，解得，故D正確，故選：BCD．17．CD【分析】將該二十四等邊體補形為正方體,利用與是異面直線判定選項A錯誤，利用和的形狀判定選項B錯誤，利用正方體和等二十四等邊體的關系和分割法判定選項C正確，利用該二十四等邊體外接球的球心即為正方體的中心及球的表面積公式判定選項D正確.【詳解】將該二十四等邊體補形為正方體（如圖所示），因為該二十四等邊體的所有棱長都為，所以正方體的棱長為2，對于A：正方體的體對角線平面，而與是異面直線，所以平面不成立，即選項A錯誤；對于B：因為，所以是AB與PF所成角或其補角，在中，，，因為，所以，即選項B錯誤；對于C：因為該二十四等邊體的所有棱長都為，所以正方體的棱長為2，所以該二十四等邊體的體積為，即選項C正確；對于D：設該二十四等邊體外接球的半徑為，該二十四等邊體外接球的球心即為正方體的中心，正方體六個表面的面積都為1，所以，所以其表面積為，即選項D正確.故選：CD.18．ABC【分析】根據各選項的線線的位置關系，結合平面的基本性質及平行公理，判斷正誤即可.【詳解】A：，b與c是異面直線，則a與c可能異面、相交，故錯誤；B：，b與c是異面直線，則a與c可能異面、相交、平行，故錯誤；C：，，則a與c可能異面、相交、平行，故錯誤；D：，，由平行公理的推論知：，故正確.故選：ABC19．##60°【分析】作異面直線與所成角的平面角，解三角形求其大小.【詳解】如圖，取AB，BC，PA的中點E，F(xiàn)，G，連接EF，F(xiàn)G，GE，則，，∴為異面直線與所成角的平面角(或其補角)，設PA=2，∵底面為正方形，，∴，，，在中，，，，由余弦定理可得：，又，所以，且異面直線與所成角為銳角，∴

異面直線與所成角為，故答案為：.20．（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】(1)利用三角形中位線的性質，證明，從而可得，即可證明，，，四點共面.(2)證明平面中有兩條直線、分別平面中的兩條直線平行、平行，即可得到平面平面【詳解】證明：（1）∵G，H分別是A1B1，A1C1的中點，∴GH是△A1B1C1的中位線，∴GHB1C1.又∵B1C1BC，∴GHBC，∴B，C，H，G四點共面.（2）∵E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，∴EFBC.∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF平面BCHG.∵A1GEB且A1G=EB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1EGB.∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E平面BCHG.又∵A1E∩EF=E，A1E?平面EFA1，EF?平面EFA1，∴平面EFA1平面BCHG.21．（1）證明見解析；（2）3.【分析】（1）取AC中點G，證明四邊形EFBG是平行四邊形得出BGEF，故而EF平面ABC；（2）根據計算體積．【詳解】（1）證明：取AC的中點為G，連結GE，GB，在△ACC1中，EG為中位線，所以EGCC1，，又因為CC1BB1，CC1＝BB1，F(xiàn)為BB1的中點，所以EGBF，EG＝BF，所以四邊形EFBG為平行四邊形，所以EFGB，又EF平面ABC，GB平面ABC，所以EF平面ABC．（2）因為E為AC1的中點，所以E到底面ABC的距離是C1到底面ABC的距離的一半，即三棱錐E﹣ABC的高h＝CC1＝，又△ABC的面積為，所以．22．（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）取的中點連接，通過證明四邊形是平行四邊形得出即可證明；（2）連接交于點，連接，利用等體積法由可求出.【詳解】解：（1）證明：如圖，取的中點連接．是的中點，是的中位線，，又，，四邊形是平行四邊形，又平面平面平面；（2）如圖，連接交于點，連接，又平面平面在菱形中，，.23．（1）證明見解析（2）【解析】（1）取的中點，連接，，可證四邊形是平行四邊形，即得，即可證明線面平行.（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求出線面角的正弦值.【詳解】解：（1）證明：取的中點，連接，.∵是的中點，∴.∵是的中點，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴.∵平面，平面，∴平面.（2）解：以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系.∵，，∴，，則，，，，，則，.設平面的法向量為，則，即，令，則，得.設直線與平面所成角為，∵，∴，故與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查線面平行的證明，線面角的計算，考查空間想象能力，計算能力，屬于中檔題.24．（1）證明見解析（2）線段AB上存在滿足題意的點M，且＝【分析】（1）先計算得BE⊥AE，再根據面面垂直性質定理得結果，（2）先分析確定點M位置，再取D1E的中點L，根據平面幾何知識得AMFL為平行四邊形，最后根據線面平行判定定理得結果.【詳解】(1)證明連接BE，∵ABCD為矩形且AD＝DE＝EC＝BC＝2，∴∠AEB＝90°，即BE⊥AE，又平面D1AE⊥平面ABCE，平面D1AE∩平面ABCE＝AE，BE?平面ABCE，∴BE⊥平面D1AE.(2)解AM＝AB，取D1E的中點L，連接AL，F(xiàn)L，∵FL∥EC，EC∥AB，∴FL∥AB且FL＝AB，∴FL∥AM，F(xiàn)L=AM∴AMFL為平行四邊形，∴MF∥AL，因為MF不在平面AD1E上，AL?平面AD1E，所以MF∥平面AD1E.故線段AB上存在滿足題意的點M，且＝.【點睛】本題考查線面平行判定定理以及面面垂直性質定理，考查基本分析論證求解能力，屬中檔題.25．（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）由已知得點為的中點，再由平面幾何知識得四邊形為平行四邊形，運用面面平行的性質和線面平行的判定可得證；（2）運用等體積法可求得點到平面的距離．【詳解】（1）因為四棱柱為直四棱柱，所以，又已知，所以點為的中點，又，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又在平面中，，在平面中，，由面面平行的判定定理得平面平面，又平面，所以平面；（2）由（1）知點為的中點，又在梯形中，，所以為等邊三角形，所以，又，所以，所以的面積，則，又在中，，又在，由余弦定理得，所以的面積為，設點到平面的距離為，由等體積法有，則，即，解得，故所求點到平面的距離為．【點睛】方法點睛：求點到面的距離常用的方法：1.常用等積法；2.直接作出點到平面的垂線段，則該垂線段的長度就是所求的距離；3.轉化，過這一點作平面的平行線，找其他求解方便的點；4.向量，做平面法向量，在平面上隨便找一點，與已知點連接，用向量的距離公式求解．26．（1）證明見解析；（2）1．【分析】（1）連接交于，連接，根據三棱柱的特征，易知M為中點，再由為的中點，得到，然后利用線面平行的判定定理證明；（2）由平面平面，得到平面，然后由求解.【詳解】（1）如圖所示：連接交于，連接．由三棱柱知，四邊形為平行四邊形，為的中點，又為的中點，，又面．平面，面．（2）平面平面，，平面是等邊三角形，且，，，，，，．27．(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）取中點，連接，證明，從而得證線面平行；（2）取中點，證明是四棱錐的高，證明底面是直角梯形，然后由體積公式計算體積．(1)取中點，連接，又是中點，則，，又，所以，所以是平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面；(2)取中點，連接，由于是等邊三角形，則，因為CD面ABC，面ABC，所以，因為，平面，所以平面，由已知，由CD面ABC，面ABC，所以，是直角梯形，，所以．28．(1)(2).【詳解】試題分析：（1）由題意可知，圓柱的高，底面半徑，，再由三角形面積公式計算后即得.（2）設過點的母線與下底面交于點，根據，知或其補角為直線與所成的角，再結合題設條件確定，．得出即可．試題解析：（1）由題意可知，圓柱的高，底面半徑．由的長為，可知．，．（2）設過點的母線與下底面交于點，則，所以或其補角為直線與所成的角．由長為，可知，又，所以，從而為等邊三角形，得．因為平面，所以．在中，因為，，，所以，從而直線與所成的角的大小為．【考點】幾何體的體積、空間角【名師點睛】此類題目是立體幾何中的常見問題.解答本題時，關鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關系的相互轉化，將空間問題轉化成平面問題.立體幾何中的角與距離的