（人教版數(shù)學(xué)）初中8年級(jí)上冊(cè)-單元檢測(cè)-第12章《全等三角形》單元測(cè)試（含答案）

第12章全等三角形

一'選擇題

1.如圖，在aABC中，NABC=45°,AC=8cm,F是高AD和BE的交點(diǎn)，則BF的長(zhǎng)是（）

2.如圖，將正方形OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，0是原點(diǎn)，A的坐標(biāo)為（1,?）,則點(diǎn)C的坐標(biāo)

為（）

A.（-?,1）B.（-1,V3）C.（V3，1）D.（-73，-1）

3.在連接A地與B地的線段上有四個(gè)不同的點(diǎn)D、G、K、Q,下列四幅圖中的實(shí)線分別表示某人從A

地到B地的不同行進(jìn)路線（箭頭表示行進(jìn)的方向），則路程最長(zhǎng)的行進(jìn)路線圖是（）

A,對(duì)外人

AnB

H

B.Z4/A-/小瘠

K3

月。B

4.如圖，坐標(biāo)平面上，△ABC與ADEF全等，其中A、B、C的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)分別為D、E、F,且AB=BC=5.若

A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3,1）,B、C兩點(diǎn)在方程式y(tǒng)=-3的圖形上，D、E兩點(diǎn)在y軸上，則F點(diǎn)到y(tǒng)軸

的距離為何？（）

y'

XX

A.2B.3C.4D.5

5.平面上有4ACD與^BCE,其中AD與BE相交于P點(diǎn),如圖.若AC=BC,AD=BE,CD=CE,ZACE=55",

ZBCD=155°,則NBPD的度數(shù)為（）

A.110°B.125°C.130°D.155°

6.如圖，在aABC和4BDE中，點(diǎn)C在邊BD上，邊AC交邊BE于點(diǎn)F.若AC=BD,AB=ED,BC=BE,

則NACB等于（）

A.ZEDBB.ZBEDC.—ZAFBD.2ZABF

2

7.如圖，AB=4,射線BM和AB互相垂直，點(diǎn)D是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在射線BM上，BE^DB,

作EFLDE并截取EF=DE,連結(jié)AF并延長(zhǎng)交射線BM于點(diǎn)C.設(shè)BE=x,BC=y,則y關(guān)于x的函數(shù)解析

式是（）

8.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=6,AB±BC,AD±CD,NBAD=60°,點(diǎn)M、N分別在AB、AD邊上,

若AM：MB=AN：ND=1：2,則tanNMCN=()

A.-^^B.-^SD.VS-2

13119

9.如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，且EC=2AE,直角三角形FEG的兩直角邊EF、EG分別

交BC、DC于點(diǎn)M、N.若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a,則重疊部分四邊形EMCN的面積為（）

AG

A.-a2B.—a2C.-a2D.—a2

3499

二、解答題(共21小題)

10.如圖，已知AB〃DE,AB=DE,AF=CD,ZCEF=90°.

(1)若NECF=30°,CF=8,求CE的長(zhǎng);

(2)求證：ZXABF絲△口￡(!；

(3)求證：四邊形BCEF是矩形.

11.已知^ABC為等邊三角形，D為AB邊所在的直線上的動(dòng)點(diǎn)，連接DC,以DC為邊在DC兩側(cè)作等

邊4DCE和等邊4DCF(點(diǎn)E在DC的右側(cè)或上側(cè)，點(diǎn)F在DC左側(cè)或下側(cè))，連接AE、BF

(1)如圖1,若點(diǎn)D在AB邊上，請(qǐng)你通過(guò)觀察，測(cè)量，猜想線段AE、BF和AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

并證明你的結(jié)論；

(2)如圖2,若點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，其他條件不變，線段AE、BF和AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)

直接寫(xiě)出結(jié)論(不需要證明)；

(3)若點(diǎn)D在AB的反向延長(zhǎng)線上，其他條件不變，請(qǐng)?jiān)趫D3中畫(huà)出圖形，探究線段AE、BF和AB

有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并直接寫(xiě)出結(jié)論(不需要證明)

c

12.如圖，Z^ABC與4DCB中，AC與BD交于點(diǎn)E,且NA=ND,AB=DC.

(1)求證:AABE^DCE；

(2)當(dāng)NAEB=50°,求NEBC的度數(shù)？

13.如圖，在aABC中，NC=90°,AD平分NCAB,交CB于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DE_LAB于點(diǎn)E.

(1)求證:AACD^AAED；

(2)若NB=30°,CD=1,求BD的長(zhǎng).

14.如圖，點(diǎn)D,E在aABC的邊BC上，AB=AC,BD=CE.求證：AD=AE.

15.已知：如圖,AD,BC相交于點(diǎn)0,0A=0D,AB〃CD.

求證：AB=CD.

O,

D

16.如圖，把一個(gè)直角三角形ACB(ZACB=90°)繞著頂點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,使得點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到AB

邊上的一點(diǎn)D,點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E的位置.F,G分別是BD,BE上的點(diǎn)，BF=BG,延長(zhǎng)CF與DG交于點(diǎn)

H.

(1)求證：CF=DG；

(2)求出NFHG的度數(shù).

17.如圖，點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上，F(xiàn)B=CE,AB〃ED,AC〃FD,求證：AC=DF.

18.如圖，z^ABC和4ADE都是等腰三角形，且NBAC=90°,NDAE=90°,B,C,D在同一條直線上.求

證:BD=CE.

19.如圖，已知點(diǎn)B、E、C、F在同一條直線上，BE=CF,AB/7DE,ZA=ZD.求證：AB=DE.

AD

20.已知△ABC為等腰直角三角形，NACB=90°,點(diǎn)P在BC邊上(P不與B、C重合)或點(diǎn)P在AABC

內(nèi)部，連接CP、BP,將CP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段CE；將BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,

得到線段BD,連接ED交AB于點(diǎn)0.

(1)如圖a,當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上時(shí)，求證：0A=0B；

(2)如圖b,當(dāng)點(diǎn)P在AABC內(nèi)部時(shí),

①0A=0B是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由;

②直接寫(xiě)出NBPC為多少度時(shí)，AB=DE.

圖b

21.(1)如圖1,在aABC和4DCE中，AB/7DC,AB=DC,BC=CE,且點(diǎn)B,0,E在一條直線上.求

證:NA=ND.

(2)如圖2,在矩形ABCD中，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)0,AB=4,ZA0D=120°,求AC的長(zhǎng).

22.(1)如圖，AB平分NCAD,AC=AD,求證：BC=BD；

(2)列方程解應(yīng)用題

把一些圖書(shū)分給某班學(xué)生閱讀，如果每人分3本，則剩余20本；如果每人分4本，則還缺25本,

這個(gè)班有多少學(xué)生？

B

D

23.已知：如圖，D是AC上一點(diǎn)，AB=DA,DE/7AB,ZB=ZDAE.求證：BC=AE.

24.【問(wèn)題提出】

學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判

定方法（即“HL”）后，我們繼續(xù)對(duì)“兩個(gè)三角形滿足兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的情形進(jìn)

行研究.

【初步思考】

我們不妨將問(wèn)題用符號(hào)語(yǔ)言表示為：在AABC和4DEF中，AC=DF,BC=EF,NB=NE,然后，對(duì)NB

進(jìn)行分類(lèi)，可分為“NB是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究.

【深入探究】

第一種情況：當(dāng)NB是直角時(shí)，^ABC絲ZWEF.

（1）如圖①，在AABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,ZB=ZE=90°,根據(jù),可以知道RtZ\ABC

^RtADEF.

第二種情況：當(dāng)NB是鈍角時(shí)，Z\ABC竺Z\DEF.

(2)如圖②，在AABC和ADEF,AC=DF,BC=EF,NB=NE,且NB、NE都是鈍角，求證：Z\ABC絲

△DEF.

第三種情況：當(dāng)NB是銳角時(shí)，AABC和4DEF不一定全等.

(3)在aABC和aDEF,AC=DF,BC=EF,ZB=ZE,且NB、NE都是銳角，請(qǐng)你用尺規(guī)在圖③中作出

△DEF,使4DEF和AABC不全等.(不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)

(4)NB還要滿足什么條件，就可以使△ABC0ADEF?請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論：在4ABC和4DEF中，AC=DF,

BC=EF,NB=NE,且NB、NE都是銳角，若,則AABC絲ZkDEF.

25.問(wèn)題背景：

如圖1:在四邊形ABCD中，AB=AD,ZBAD=120°,ZB=ZADC=90°.E,F分別是BC,CD上的點(diǎn).且

NEAF=60°.探究圖中線段BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系.

小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G.使DG=BE.連結(jié)AG,先證明△ABEgAADG,再證明

△AEF^AAGF,可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；

如圖2,若在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°.E,F分別是BC,CD上的點(diǎn)，且NEAF=*N

BAD,上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；

實(shí)際應(yīng)用：

如圖3,在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心(0處)北偏西30。的A處，艦艇乙在指揮中心南

偏東70。的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60

海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn).1.5小時(shí)后，指揮

中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E,F處，且兩艦艇之間的夾角為70°,試求此時(shí)兩艦艇之間的

距離.

26.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,CB=CD,AC與BD相交于0點(diǎn)，0C=0A,若E是CD上任意一點(diǎn),

連接BE交AC于點(diǎn)F,連接DF.

(1)證明：ZiCBF絲ZXCDF；

(2)若AC=2?，BD=2,求四邊形ABCD的周長(zhǎng)；

(3)請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使得NEFD=NBAD,并予以證明.

27.如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E、B、D、F在同一直線上，且BE=DF.求證：AE=CF.

28.(1)如圖1,正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在邊BC,CD±,ZEAF=45°,延長(zhǎng)CD到點(diǎn)G,使

DG=BE,連結(jié)EF,AG.求證：EF=FG.

(2)如圖，等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90",AB=AC,點(diǎn)M,N在邊BC上，且NMAN=45°,若

BM=1,CN=3,求MN的長(zhǎng).

29.如圖，在aABC中，ZACB=90°,AC=BC,E為AC邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AD_LAB交BE的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)D,CG平分NACB交BD于點(diǎn)G,F為AB邊上一點(diǎn)，連接CF,且NACF=NCBG.求證：

(1)AF=CG；

(2)CF=2DE.

30.如圖，在aABC和4ADE中，AB=AC,AD=AE,NBAC+NEAD=180°,Z^ABC不動(dòng)，ZXADE繞點(diǎn)A旋

轉(zhuǎn)，連接BE、CD,F為BE的中點(diǎn)，連接AF.

(1)如圖①，當(dāng)NBAE=90°時(shí)，求證：CD=2AF；

(2)當(dāng)NBAE/90。時(shí)，(1)的結(jié)論是否成立？請(qǐng)結(jié)合圖②說(shuō)明理由.

第12章全等三角形

參考答案

一、選擇題（共9小題）

1.如圖，在aABC中，NABC=45°,AC=8cm,F是高AD和BE的交點(diǎn)，則BF的長(zhǎng)是（）

【解答】解：；F是高AD和BE的交點(diǎn)，

ZADC=ZADB=NAEF=90°,

ZCAD+ZAFE=90°,NDBF+NBFD=90°,

NAFE=EBFD,

ZCAD=ZFBD,

；NADB=90°,NABC=45°,

ZBAD=45°=NABD,

.,.AD=BD,

在4DBF和4DAC中

rZFBD=ZCAD

?DB=AD

ZFDB=ZCDA

.,.△DBF^ADAC(ASA),

?■BF—AC—8cm,

故選C.

2.如圖，將正方形OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，0是原點(diǎn)，A的坐標(biāo)為（1,?）,則點(diǎn)C的坐標(biāo)

為（）

y

誹1

A.(-?,1)B.(-1,V3)C.(?,1)D.(-?,-1)

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD_Lx軸于D,過(guò)點(diǎn)C作CE_Lx軸于E,

..?四邊形OABC是正方形，

.,.OA=OC,ZA0C=90",

ZC0E+ZA0D=90°,

又..?N0AD+NA0D=90°,

N0AD=NC0E,

在aAOD和aOCE中，

"Z0AD=ZC0E

?ZAD0=Z0EC=90",

OA=OC

.?.△AO陵△OCE(AAS),

.,.OE=AD=V3,CE=OD=1,

???點(diǎn)C在第二象限，

???點(diǎn)c的坐標(biāo)為(-?,1).

故選：A.

3.（2014?湖州）在連接A地與B地的線段上有四個(gè)不同的點(diǎn)D、G、K、Q,下列四幅圖中的實(shí)線分

別表示某人從A地到B地的不同行進(jìn)路線（箭頭表示行進(jìn)的方向），則路程最長(zhǎng)的行進(jìn)路線圖是（）

解：A、延長(zhǎng)AC、BE交于S,

,.■ZCAB=ZEDB=45°,

，AS〃ED,貝l]SC〃DE.

同理SE〃CD,

二四邊形SCDE是平行四邊形,

.,.SE=CD,DE=CS,

即走的路線長(zhǎng)是：AC+CD+DE+EB=AC+CS+SE+EB=AS+BS；

B、延長(zhǎng)AF、BH交于S”作FK〃GH與BH的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)K,

：

NSAB=NS|AB=45°,ZSBA=ZS1BA=70°,AB=AB,

/.AS=AS1,BS=BS,,

VZFGH=180°-70°-43°=67°=NGHB,

...FG〃KH,

；FK〃GH,

四邊形FGHK是平行四邊形,

.-.FK=GH,FG=KH,

,AF+FG+GH+HB=AF+FK+KH+HB,

,.,FS1+S,K>FK,

.-.AS+BS>AF+FK+KH+HB,

c、D、同理可證得AI+IK+KM+MBVAS2+BS2<AN+NQ+QP+PB.

綜上所述，D選項(xiàng)的所走的線路最長(zhǎng).

故選：D.

4.如圖，坐標(biāo)平面上，Z\ABC與4DEF全等，其中A、B、C的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)分別為D、E、F,且AB=BC=5.若

A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3,1）,B、C兩點(diǎn)在方程式y(tǒng)=-3的圖形上，D、E兩點(diǎn)在y軸上，則F點(diǎn)到y(tǒng)軸

【解答】解：如圖，作AH、CK、FP分別垂直BC、AB、DE于H、K、P.

/.ZDPF=ZAKC=ZCHA=90°.

,.,AB=BC,

ZBAC=ZBCA.

在aAKC和aCHA中

fZAKC=ZCHA

(AC=CA,

ZBAC=ZBCA

.,.△AKC^ACHA(ASA),

.,.KC=HA.

??,B、C兩點(diǎn)在方程式y(tǒng)=-3的圖形上，且A點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3,1),

/.AH=4.

.,.KC=4.

,.?△ABC四△DEF,

AZBAOZEDF,AC=DF.

在aAKC和4DPF中，

'/AKC=NDPF

<ZBAC=ZEDF,

AC=DF

.,.△AKC^ADPF(AAS),

.-.KC=PF=4.

故選：C.

5.平面上有4ACD與ZiBCE,其中AD與BE相交于P點(diǎn),如圖.若AC=BC,AD=BE,CD=CE,NACE=55°,

NBCD=155°,則NBPD的度數(shù)為()

A

E

A.110°B.125°C.130°D.155°

【解答】解：在aACD和4BCE中,

'AC=BC

,CDXE,

AD二BE

.,.△ACD^ABCE(SSS),

/.ZA=ZB,ZBCE=ZACD,

ZBCA=ZECD,

「NACE=55°,NBCD=155°,

ZBCA+ZECD=100°,

ZBCA=ZECD=50°,

???NACE=55°,

ZACD=105°

*.ZA+ZD=75°,

??NB+ND=75°,

/ZBCD=155°,

■.ZBPD=360°-75°-155°=130°,

故選：C.

6.如圖，在aABC和4BDE中，點(diǎn)C在邊BD上，邊AC交邊BE于點(diǎn)F.若AC=BD,AB=ED,BC=BE,

則NACB等于（）

C.工/AFBD.2NABF

2

【解答】解:在ZkABC和4DEB中,

'AC二BD

<AB=ED,

BC=BE

.'.△ABC^ADEB(SSS),

...ZACB=ZDBE.

ZAFB是Z\BFC的外角，

NACB+NDBE=NAFB,

ZACB=—ZAFB,

2

故選：C.

7.如圖，ABM,射線BM和AB互相垂直，點(diǎn)D是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在射線BM上，BE=-^4）B,

作EF_LDE并截取EF=DE,連結(jié)AF并延長(zhǎng)交射線BM于點(diǎn)C.設(shè)BE=x,BC=y,則y關(guān)于x的函數(shù)解析

式是（）

,12x入2x3x8x

A.y=------B.y=-------C.y=-------D.y=------T

x-4x-1x-1x~4

【解答】解：作FG_LBC于G,

VZDEB+ZFEC=90°,ZDEB+ZBDE=90°；

/.ZBDE=ZFEG,

在ADBE與AEGF中

2B二NFGE

<ZBDE=ZFEG

DE=EF

/.△DBE^AEGF,

/.EG=DB,FG=BE=x,

.,.EG=DB=2BE=2x,

GC—y—3x,

?/FG±BC,AB±BC,

.'.FG/7AB,

CG：BC=FG：AB,

8.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=6,AB±BC,AD±CD,ZBAD=60°，點(diǎn)M、N分別在AB、AD邊上,

若AM：MB=AN：ND=1：2,則tanNMCN=()

【解答】解：,?,AB=AD=6,AM：MB=AN：ND=1：2,

.,.AM=AN=2,BM=DN=4,

連接MN,連接AC,

,.-AB±BC,AD±CD,NBAD=60°

在RtZXABC與RtZ\ADC中，

[AB=AD

1AC=AC,

.,.RtAABC^RtAADC(HL)

ZBAC=ZDAC=—ZBAD=30°,MC=NC,

2

.-.BC=—AC,

2

.,.AC2=BC2+AB2,即(2BC)2=BC2+AB2,

3BC2=AB2,

>'-BC=2

在RtZ\BMC中,CM力4，(2a)工迎

,.,AN=AM,ZMAN=60",

.'.△MAN是等邊三角形，

.,.MN=AM=AN=2,

過(guò)M點(diǎn)作MELCN于E,設(shè)NE=x,則CE=2j7-x,

.,.MN2-NE2=MC2-EC2,BP4-x2=(2聽(tīng))2-(26-x)2,

解得：x=￥，

5千印,

ME_373

tanZMCN-

EC13

故選：A.

9.如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，且EC=2AE,直角三角形FEG的兩直角邊EF、EG分別

交BC、DC于點(diǎn)M、N.若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a,則重疊部分四邊形EMCN的面積為（）

A.—a2B.—a2C.—a2D.—a2

3499

【解答】解：過(guò)E作EPLBC于點(diǎn)P,EQLCD于點(diǎn)Q,

?.?四邊形ABCD是正方形，

ZBCD=90°,

又；NEPM=NEQN=90°,

ZPEQ=90°,

AZPEM+ZMEQ=90°,

??.三角形FEG是直角三角形，

ZNEF=ZNEQ+ZMEQ=90°,

NPEM=NNEQ,

..,AC是NBCD的角平分線，ZEPC=ZEQC=90°,

.,.EP=EQ,四邊形PCQE是正方形,

在aEPM和aEON中，

'/PEM=/NEQ

?EP=EQ,

NEPM=/EQN

.■.△EPM^AEQN(ASA)

..S^EQN=S^EPM，

???四邊形EMCN的面積等于正方形PCQE的面積,

?.?正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a,

二?AC=，

'/EC=2AE,

：.LC=^^a,

3

9

.,.EP=PC=—a,

3

正方形PCQE的面積=-^*尚2二。22,

，四邊形EMCN的面積Jal

9

故選：D.

二'解答題(共21小題)

10.如圖，已知AB〃DE,AB=DE,AF=CD,ZCEF=90°.

(1)若NECF=30°,CF=8,求CE的長(zhǎng);

(2)求證：Z\ABF絲ZiDEC；

(3)求證：四邊形BCEF是矩形.

【解答】(1)解：；NCEF=90°.

.,.cosZECF=—.

CF

ZECF=30°,CF=8.

.■.CF=CF?cos30°=8X^=4-5/3

(2)證明：；AB〃DE,

NA=ND,

?/SAABF和4DEC中

'AB=DE

<ZA=ZD

,AF=DC

.-.△ABF^ADEC(SAS)；

(3)證明：由(2)可知：△ABF^^DEC,

,.BF=CE,NAFB=NDCE,

VZAFB+ZBFC=180°,NDCE+NECF=180°,

NBFC=NECF,

；.BF〃EC,

???四邊形BCEF是平行四邊形，

-.-ZCEF=90",

???四邊形BCEF是矩形.

11.已知^ABC為等邊三角形，D為AB邊所在的直線上的動(dòng)點(diǎn)，連接DC,以DC為邊在DC兩側(cè)作等

邊4DCE和等邊4DCF（點(diǎn)E在DC的右側(cè)或上側(cè)，點(diǎn)F在DC左側(cè)或下側(cè)），連接AE、BF

（1）如圖1,若點(diǎn)D在AB邊上，請(qǐng)你通過(guò)觀察，測(cè)量，猜想線段AE、BF和AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

并證明你的結(jié)論；

（2）如圖2,若點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，其他條件不變，線段AE、BF和AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)

直接寫(xiě)出結(jié)論（不需要證明）；

（3）若點(diǎn)D在AB的反向延長(zhǎng)線上，其他條件不變，請(qǐng)?jiān)趫D3中畫(huà)出圖形，探究線段AE、BF和AB

有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并直接寫(xiě)出結(jié)論（不需要證明）

國(guó)1圖2上

【解答】解：（1）AE+BF=AB,如圖1,

,.,△ABC和4DCF是等邊三角形,

.,.CA=CB,CD=CF,NACB=NDCF=60°.

ZACD=ZBCF,

在4ACD和ABCF中

CA=CB

ZACD=ZBCF

CD=CF

.△ACD^ABCF(SAS)

.-.AD=BF

同理：Z\CBD絲ZkCAE(SAS)

.,.BD=AE

.-.AE+BF=BD+AD=AB；

(2)BF-AE=AB,

如圖2,易證ACBF烏Z\CAD和△CBDgZ\CAE,

.,.AD=BF,BD=AE,

.,.BF-AE=AD-BD=AB；

(3)AE-BF=AB,

如圖3,易證△CBF^Z\CAD和4CBD絲Z\CAE,

.,.AD=BF,BD=AE,

.-.BF-AE=AD-BD=AB.

12.(2013?舟山)如圖，AABC與4DCB中，AC與BD交于點(diǎn)E,且NA=ND,AB=DC.

(1)求證：△ABEgDCE；

(2)當(dāng)NAEB=50°,求NEBC的度數(shù)？

【解答】(1)證明：?.?在4ABE和4DCE中

'NA=ND

-ZAEB=ZDEC

AB=DC

.,.△ABE^ADCE(AAS)；

(2)解：■/△ABE^ADCE,

...BE=EC,

ZEBC=ZECB,

NEBC+ZECB=NAEB=50°,

AZEBC=25".

13.如圖，在AABC中，ZC=90°,AD平分NCAB,交CB于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DELAB于點(diǎn)E.

(1)求證：4ACD絲Z^AED；

(2)若NB=30°,CD=1,求BD的長(zhǎng).

【解答】(1)證明：；AD平分NCAB,DE±AB,ZC=90°,

.,.CD=ED,ZDEA=ZC=90°,

RtAACD和RtAAED中

[AD=AD

|CD=DE

.,.RtAACD^RtAAED(HL)；

(2)解：?..DC=DE=1,DE±AB,

ZDEB=90°,

ZB=30°,

.,.BD=2DE=2.

14.如圖，點(diǎn)D,E在△ABC的邊BC上，AB=AC,BD=CE.求證:AD=AE.

【解答】證明：,.?AB=AC,

NB=NC,

在4ABD與AACE中，

'AB=AC

,?,<ZB=ZC,

BD=EC

.,.△ABD^AACE(SAS),

.,.AD=AE.

15.已知：如圖，AD,BC相交于點(diǎn)0,0A=0D,AB/7CD.

NB=NC,NA=ND,

?.?在△AOB和△DOC中，

2B=NC

-ZA=ZD,

,OA=OD

.-.△AOB^ADOC(AAS),

.,.AB=CD.

16.如圖，把一個(gè)直角三角形ACB(NACB=90°)繞著頂點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,使得點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到AB

邊上的一點(diǎn)D,點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E的位置.F,G分別是BD,BE上的點(diǎn)，BF=BG,延長(zhǎng)CF與DG交于點(diǎn)

H.

(1)求證:CF=DG；

(2)求出NFHG的度數(shù).

【解答】(1)證明：\?在4CBF和4口86中,

'BC=BD

-ZCBF=ZDBG,

BF=BG

「.△CBFgZXDBG(SAS),

.,.CF=DG；

(2)解：?，?△CBF^ADBG,

ZBCF=ZBDG,

又...ZCFB=ZDFH,

又?「△BCF中，ZCBF=180°-ZBCF-ZCFB,

△DHF中，NDHF=180°-ZBDG-ZDFH,

NDHF=NCBF=60°,

ZFHG=1800-ZDHF=180°-60°=120°.

17.如圖，點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上，F(xiàn)B=CE,AB〃ED,AC〃FD,求證：AC=DF.

.,.FB+FC=CE+FC,

.,.BC=EF,

：AB〃ED,AC/7FD,

NB=NE,NACB=NDFE,

?.,在4ABC和ZXDEF中，

2B=NE

<BC=EF,

ZACB=ZDFE

.-.△ABC^ADEF(ASA),

.,.AC=DF.

18.如圖，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且NBAC=90°,NDAE=90°,B,C,D在同一條直線上.求

證：BD=CE.

【解答】證明：.「△ABC和4ADE都是等腰直角三角形

.-.AD=AE,AB=AC,

又?.?NEAC=90°+ZCAD,ZDAB=90°+ZCAD,

NDAB=NEAC,

,在AADB利1Z\AEC中

'AB=AC

<ZBAD=ZCAE

AD=AE

.,.△ADB^AAEC(SAS),

.,.BD=CE.

19.如圖，已知點(diǎn)B、E、C、F在同一條直線上，BE=CF,AB/7DE,NA=ND.求證：AB=DE.

；AB〃DE,ZB=ZDEF.

在4ABC與ADEF中，

rZA=ZD

<NB=/DEF,

BC=EF

.,.△ABC^ADEF(AAS),

.,.AB=DE.

20.已知AABC為等腰直角三角形，NACB=90°,點(diǎn)P在BC邊上(P不與B、C重合)或點(diǎn)P在AABC

內(nèi)部，連接CP、BP,將CP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段CE；將BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,

得到線段BD,連接ED交AB于點(diǎn)0.

(1)如圖a,當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上時(shí)，求證：0A=0B；

(2)如圖b,當(dāng)點(diǎn)P在aABC內(nèi)部時(shí)，

①0A=0B是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；

②直接寫(xiě)出NBPC為多少度時(shí)，AB=DE.

A

D

CpBP

圖a圖b

【解答】(1)證明：?「△ABC為等腰直角三角形，

.,.CA=CB,ZA=ZABC=45°,

由旋轉(zhuǎn)可知:CP=CE,BP=BD,

.■.CA-CE=CB-CP,

即AE=BP,

.,.AE=BD.

又：NCBD=90°,Z0BD=45°,

在aAEO和ABDO中，

"ZA0E=ZB0D

-NA=/OBD=45°,

AE=BD

.,.△AEO^ABDO(AAS),

.,.OA=OB；

(2)成立，理由如下：

連接AE,則aAEC絲4BCP,

.-.AE=BP,NCAE=NBPC,

■.?BP=BD,

.,.BD=AE,

：N0AE=45°+NCAE,Z0BD=90°-Z0BP=90°-(45°-NBPC)=45°+NPBC,

NOAE=NOBD,

在AAEO和△BDO中，

"ZAOE=ZBOD

<ZOAE=ZOBD,

AE=BD

.,.△AEO^ABDO(AAS),

.,.OA=OB,

②當(dāng)NBPC=135°時(shí),AB=DE,理由如下：

解法一：

當(dāng)AB=DE時(shí)，由①知OA=OB,.,.OA=OB=OE=OD.

設(shè)NPCB=a,由旋轉(zhuǎn)可知，NACE=a.

連接0C,則OC=OA=OB,.,.OC=OE,

二NDEC=N0CE=45°+a.

設(shè)NPBC=B,則NABP=45°-[3,Z0BD=90°-ZABP=45°+0.

,.■OB=OD,ZD=Z0BD=45°+p.

在四邊形BCED中，ZDEC+ZD+ZDBC+ZBCE=360°,

即：(45°+a)+(45°+B)+(90°+B)+(90°+a)=360°,

解得：a+3=45°,

ZBPC=180°-(a+p)=135°.

解法二(本溪趙老師提供，更為簡(jiǎn)潔)：

當(dāng)AB=DE時(shí)，四邊形AEBD為矩形

則NDBE=90°=ZDBP,

二.點(diǎn)P落在線段BE上.

??,△ECP為等腰直角三角形，

ZEPC=45°,

ZBPC=1800-ZEPC=135°.

21.(1)如圖1,在4ABC和4DCE中，AB/7DC,AB=DC,BC=CE,且點(diǎn)B,C,E在一條直線上.求

證：ZA=ZD.

(2)如圖2,在矩形ABCD中，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)0,AB=4,NA0D=120°,求AC的長(zhǎng).

ZB=ZDCE,

'AB=DC

在4ABC和ADCE中＜ZB=ZDCE,

CB=CE

.,.△ABC^ADCE(SAS),

/.NA=ND；

(2)解：?..四邊形ABCD是矩形,

.,.AO=BO=CO=DO,

VZA0D=120°,

ZA0B=60°,

??.△AOB是等邊三角形，

「?AO二AB二4,

.,.AC=2A0=8.

22.(1)如圖，AB平分NCAD,AC=AD,求證：BC二BD；

(2)列方程解應(yīng)用題

把一些圖書(shū)分給某班學(xué)生閱讀，如果每人分3本，則剩余20本；如果每人分4本，則還缺25本,

這個(gè)班有多少學(xué)生？

ZCAB=ZDAB,

在4ABC和4ABD中

'AC=AD

-ZCAB=ZDAB

AB=AB

.,.AABC^AABD(SAS),

.,.BC=BD.

（2）解：設(shè)這個(gè)班有x名學(xué)生，根據(jù)題意得：3x+20=4x-25,

解得：x=45,

答：這個(gè)班有45名學(xué)生.

23.已知：如圖，D是AC上一點(diǎn)，AB=DA,DE〃AB,ZB=ZDAE,求證：BC=AE.

【解答】證明：；DE〃AB,

NCAB=BADE,

,.?SAABC^ADAE中，

rZCAB=ZADE

■AB=DA,

ZB=ZDAE

.,.△ABC^ADAE(ASA),

.,.BC=AE.

24.【問(wèn)題提出】

學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判

定方法（即“HL”）后，我們繼續(xù)對(duì)“兩個(gè)三角形滿足兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的情形進(jìn)

行研究.

【初步思考】

我們不妨將問(wèn)題用符號(hào)語(yǔ)言表示為：在AABC和4DEF中，AC=DF,BC=EF,NB=NE,然后，對(duì)NB

進(jìn)行分類(lèi)，可分為“NB是直角、鈍角'銳角”三種情況進(jìn)行探究.

【深入探究】

第一種情況：當(dāng)NB是直角時(shí)，Z\ABC絲Z\DEF.

(1)如圖①，在△ABC和aDEF,AC=DF,BC=EF,ZB=ZE=90°,根據(jù)HL.可以知道Rt/XABC

^RtADEF.

第二種情況：當(dāng)NB是鈍角時(shí)，ZiABC絲4DEF.

(2)如圖②，在AABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,ZB=ZE,且NB、NE都是鈍角，求證：Z\ABC也

△DEF.

第三種情況：當(dāng)NB是銳角時(shí)，^ABC和4DEF不一定全等.

(3)在aABC和ADEF,AC=DF,BC=EF,NB=NE,且NB、NE都是銳角，請(qǐng)你用尺規(guī)在圖③中作出

△DEF,使4DEF和AABC不全等.(不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)

(4)NB還要滿足什么條件，就可以使4ABC絲Z\DEF?請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論：在4ABC和4DEF中，AC=DF,

BC=EF,ZB=ZE,且NB、NE都是銳角，若NB》NA,則AABC絲/kDEF.

【解答】(1)解：HL；

(2)證明：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CG_LAB交AB的延長(zhǎng)線于G,過(guò)點(diǎn)F作FHJLDE交DE的延長(zhǎng)線于H,

VZABC=ZDEF,且NABC、NDEF都是鈍角，

.-.180--ZABC=1800-ZDEF,

即NCBG=NFEH,

在4CBG和中，

，ZCBG=ZFEH

-NG=NH=90°,

,BC=EF

.".△CBG^AFEH(AAS),

.,.CG=FH,

在RtZXACG和RtZ\DFH中，

fAC=DF

icG=FH'

.,.RtAACG^RtADFH(HL),

ZA=ZD,

在aABC和ADEF中，

-D

-NABC=NDEF,

AC=DF

.,.△ABC^ADEF(AAS)；

(3)解：如圖，4DEF和AABC不全等;

C伊)

(4)解：若NB》NA,則△ABC絲ZiDEF.

故答案為：(1)HL；(4)ZB>ZA.

25.(2014?德州)問(wèn)題背景：

如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD,ZBAD=120",ZB=ZADC=90°.E,F分別是BC,CD上的點(diǎn).且

NEAF=60°.探究圖中線段BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系.

小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G.使DG=BE.連結(jié)AG,先證明4ABE咨AADG,再證明

△AEF^AAGF,可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是

探索延伸：

如圖2,若在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°.E,F分別是BC,CD上的點(diǎn)，且NEAF=5N

BAD,上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；

實(shí)際應(yīng)用：

如圖3,在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心(0處)北偏西30。的A處，艦艇乙在指揮中心南

偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60

海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn).1.5小時(shí)后，指揮

中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E,F處，且兩艦艇之間的夾角為70°,試求此時(shí)兩艦艇之間的

距離.

【解答】解：?jiǎn)栴}背景：EF=BE+DF；

探索延伸：EF=BE+DF仍然成立.

證明如下：如圖，延長(zhǎng)FD到G,使DG=BE,連接AG,

ZB+ZADC=180°,ZADC+ZADG=180°,

NB=NADG,

在4ABE和AADG中，

'DG=BE

-ZB=ZADG,

AB=AD

.,.△ABE^AADG(SAS),

.,.AE=AG,ZBAE=ZDAG,

---ZEAF=—ZBAD,

2

ZGAF=ZDAG+NDAF=NBAE+NDAF=NBAD-NEAF=NEAF,

NEAF=NGAF,

在4AEF和AGAF中，

'AE=AG

<NEAF=/GAF,

AF=AF

.,.△AEF^AGAF(SAS),

.,.EF=FG,

?.,FG=DG+DF=BE+DF,

.,.EF=BE+DF；

實(shí)際應(yīng)用：如圖，連接EF,延長(zhǎng)AE、BF相交于點(diǎn)C,

ZA0B=30°+90°+(90°-70°)=140",

ZE0F=70",

NE0F=1NA0B,

又???0A=0B,

Z0AC+Z0BC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°,

???符合探索延伸中的條件，

結(jié)論EF=AE+BF成立，

即EF=1.5X(60+80)=210海里.

答：此時(shí)兩艦艇之間的距離是210海里.

26.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,CB=CD,AC與BD相交于0點(diǎn)，0C=0A,若E是CD上任意一點(diǎn),

連接BE交AC于點(diǎn)F,連接DF.

(1)證明：Z\CBF絲Z\CDF；

(2)若AC=2?,BD=2,求四邊形ABCD的周長(zhǎng)；

(3)請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使得NEFD=NBAD,并予以證明.

B

【解答】(1)證明：在aABC和△ADC中，

'AB=AD

-BC=DC,

AC=AC

.,.△ABC^AADC(SSS),

NBCA=NDCA,

在ACBF和ACDF中，

'BC=DC

<ZBCA=ZDCA,

CF=CF

.,.ACBF^ACDF(SAS),

(2)解：???△ABC絲△ADC,

.,.△ABC和AADC是軸對(duì)稱圖形，

.,.OB=OD,BD±AC,

'.,OA=OC,

???四邊形ABCD是菱形，

.-.AB=BC=CD=DA,

,?,AC=2V3，BD=2,

「.OA=J^,0B=1,

AB=VOA2+OB2=7(V3)2+l2=2，

四邊形ABCD的周長(zhǎng)=4AB=4X2=8.

(3)當(dāng)EB_LCD時(shí)，即E為過(guò)B且和CD垂直時(shí)垂線的垂足，ZEFD=ZBCD,

理由：...四邊形ABCD為菱形，

.,.BC=CD,NBCF=NDCF,ZBCD=ZBAD,

,.,△BCF^ADCF,

NCBF=NCDF,

VBEXCD,

ZBEC=ZDEF=90°,

AZBCD+ZCBF=90°,ZEFD+ZCDF=90°,

ZEFD=ZBAD.

27.如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E、B、D、F在同一直線上，且BE=DF.求證：AE=CF.

【解答】證明：；四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AB=CD,AB/7CD,