【課件】分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊

第六章計數(shù)原理6.1

分類加法計數(shù)原理與分步乘法

計數(shù)原理

計數(shù)問題是我們從小就經(jīng)常遇到的，通過列舉一個一個地數(shù)是計數(shù)的基本方法，但當(dāng)問題中的數(shù)量很大時，列舉的方法效率不高，能否設(shè)計巧妙的“數(shù)法”，以提高效率呢？下面先分析一個簡單的問題，并嘗試從中得出巧妙的計數(shù)方法.導(dǎo)語問題1：(1)小明要從北京到重慶，一天中飛機有4班，火車有3班，一天中乘坐這些交通工具從北京到重慶共有多少種不同的走法？

(3)從班上15名男生、37名女生中任選1名學(xué)生擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表，一共有多少種不同的選法？

(2)用一個大寫的英文字母或一個0--9阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的一個座位編號，總共能夠編出多少種不同的號碼？解析：因為英文字母共有26個，阿拉伯?dāng)?shù)字共有10個，所以總共可以編出26+10=36種不同的號碼.解析：15+37=52種不同的選法上述計數(shù)過程的基本環(huán)節(jié)是：（1）確定分類標(biāo)準(zhǔn)；（2）分別計算各類的個數(shù)；（3）各類的個數(shù)相加，得出所有的個數(shù).1.分類加法計數(shù)原理典例解析例1

在填寫高考志愿時，一名高中畢業(yè)生了解到，A,B兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強項專業(yè)，如表.

如果這名同學(xué)只能選一個專業(yè)，那么他共有多少種選擇？A大學(xué)B大學(xué)生物學(xué)數(shù)學(xué)化學(xué)會計學(xué)醫(yī)學(xué)信息技術(shù)學(xué)物理學(xué)法學(xué)工程學(xué)分析:要完成的事情是“選一個專業(yè)”.因為這名同學(xué)在A,B兩所大學(xué)中只能選擇一所，而且只能選擇一個專業(yè)，又因為這兩所大學(xué)沒有共同的強項專業(yè)，所以符合分類加法計數(shù)原理的條件.解：這名同學(xué)可以選擇A,B兩所大學(xué)中的一所，在A大學(xué)中有5種專業(yè)選擇方法，在B大學(xué)中有4種專業(yè)選擇方法，因為沒有一個強項專業(yè)是兩所大學(xué)共有的，所以根據(jù)分類加法計數(shù)原理，這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇種數(shù)

N=5+4=9.分類加法計數(shù)原理的推廣利用分類加法計數(shù)原理解題的一般思路(1)分類:將完成這件事的辦法分成若干類;(2)計數(shù):求出每一類中的方法數(shù);(3)結(jié)論:將每一類中的方法數(shù)相加得最終結(jié)果.歸納總結(jié)優(yōu)化設(shè)計2頁問題2：(1)小明先從北京到成都，飛機有4班，一天后再從成都到重慶，火車有3班。小明乘坐這些交通工具從北京經(jīng)成都再到重慶共有多少種不同的走法？

12種(2)用前6個大寫英文字母和1～9九個阿拉伯?dāng)?shù)字，以A1，A2，···，B1，B2，···的方式給教室里的一個座位編號，總共能夠編出多少種不同的號碼？解：方法一：解決計數(shù)問題可以用“樹狀圖”列舉出來6×9=54種上述計數(shù)過程的基本環(huán)節(jié)是：（1）由問題條件中的“和”，可確定完成編號要分兩步；（2）分別計算各步號碼的個數(shù)；（3）將各步號碼的個數(shù)相乘，得出所有號碼的個數(shù).2.分步乘法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理的推廣典例解析例2

設(shè)某班有男生30名，女生24名?，F(xiàn)要從中選出男、女生各一名代表班級參加比賽，共有多少種不同的選法？解：第一步,從30名男生中選出1人,有30種不同選擇；第二步,從24名女生中選出1人,有24種不同選擇；根據(jù)分步計數(shù)原理，共有30×24=720種不同方法.分析:選出一組參賽代表，可分兩步：

第一步,選男生；第二步,選女生.優(yōu)化設(shè)計3頁問題1：(1)小明要從北京到重慶，一天中飛機有4班，火車有3班，一天中乘坐這些交通工具從北京到重慶共有多少種不同的走法？

1.分類加法計數(shù)原理問題2：(1)小明先從北京到成都，飛機有4班，一天后再從成都到重慶，火車有3班。小明乘坐這些交通工具從北京經(jīng)成都再到重慶共有多少種不同的走法？

12種2.分步乘法計數(shù)原理分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理相同點不同點注意點用來計算完成一件事的方法種數(shù)每類方案中的每一種方法都能獨立完成這件事每步依次完成才算完成這件事情（每步中的每一種方法不能獨立完成這件事）相加相乘類類獨立步步相依不重不漏缺一不可分類、分步、問題：分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的相同點和不同點是什么?課本第5頁練習(xí)優(yōu)化設(shè)計第3頁

例2優(yōu)化設(shè)計第4頁

變式訓(xùn)練例3

書架上第1層放有4本不同的計算機書,第2層放有3本不同的文藝書,第3層放有2本不同的體育雜志.(1)從書架上任取1本書,有多少種不同的取法?(2)從書架的第1、2、3層各取1本書,有多少種不同取法?(3)從書架上取2本不同學(xué)科的書,有多少種不同的取法?

解：（1）根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得：N＝4＋3+2＝9；（2）根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得：N＝4×3×2＝24；

根據(jù)例3完成優(yōu)化設(shè)計第4頁

例3例3

書架上第1層放有4本不同的計算機書,第2層放有3本不同的文藝書,第3層放有2本不同的體育雜志.(3)從書架上取2本不同學(xué)科的書,有多少種不同的取法?

（3）需先分類再分步.第一類：從一、二層各取一本，有4×3=12種方法；第二類：從一、三層各取一本,有4×2=8種方法；第三類：從二、三層各取一本,有3×2=6種方法；根據(jù)兩個基本原理，不同的取法總數(shù)是N=4×3+4×2+3×2=26答:從書架上取2本不同種的書,有26種不同的取法.當(dāng)堂達標(biāo)3.4張卡片的正、反面分別標(biāo)有0與1,2與3,4與5,6與7,將其中3張卡片排放在一起,可組成

個不同的三位數(shù).

解析:分三個步驟:第一步:百位可放8-1=7個數(shù);第二步:十位可放6個數(shù);第三步:個位可放4個數(shù).根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,可以組成N=7×6×4=168個不同的三位數(shù).答案:168跟蹤訓(xùn)練4.如圖所示的電路圖,從A到B共有

條不同的線路可通電.

解析:先分三類.第一類,經(jīng)過支路①有3種方法;第二類,經(jīng)過支路②有1種方法;第三類,經(jīng)過支路③有2×2=4種方法,所以總的線路條數(shù)N=3+1+4=8.答案:85.如圖,一只螞蟻沿著長方體的棱,從頂點A爬到相對頂點C1,求其中經(jīng)過3條棱的路線共有多少條?解:從總體上看有三類方法,分別經(jīng)過AB,AD,AA1.從局部上看每一類又需分兩步完成.故第一類:經(jīng)過AB,有m1=1×2=2條;第二類:經(jīng)過AD,有m2=1×2=2條;第三類:經(jīng)過AA1,有m3=1×2=2條.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,從頂點A到頂點C1經(jīng)過3條棱的路線共有N=2+2+2=6條.解:由題意知,有1人既會英語又會日語,6人只會英語,2人只會日語.方法一:分兩類.第一類:從只會英語的6人中選1人有6種選法,從會日語的3人中選1人有3種選法.此時共有6×3=18(種)選法.第二類:從“全能”的人中選1人有1種選法,從只會日語的2人中選1人有2種選法,此時有1×2=2(種)選法.所以由分類加法計數(shù)原理知,共有18+2=20(種)選法.6.某外語組有9人,每人至少會英語和日語中的一門,其中7人會英語,3人會日語,從中選出會英語和日語的各一人到邊遠地區(qū)支教,有多少種不同的選法?方法二:設(shè)既會英語又會日語的人為甲,則甲有入選和不入選兩類情形,入選后又分兩種情況:(1)教英語;(2)教日語.第一類:甲入選.(1)甲教英語,再從只會日語的2人中選1人,由分步乘法計數(shù)原理,有1×2=2(種)選法;(2)甲教日語,再從只會英語的6人中選1人,由分步乘法計數(shù)原理,有1×6=