數(shù)學建模-機械產(chǎn)品生產(chǎn)計劃調(diào)整的解決方案

機械產(chǎn)品生產(chǎn)方案調(diào)整的解決方案1、問題的重述機械加工廠用四臺磨床、兩臺立式鉆床、三臺水平鉆床、一臺鏜床和一臺刨床設備生產(chǎn)7種產(chǎn)品。每種產(chǎn)品的利潤(單位:元/件,在這里,利潤=銷售價格-原料本錢)以及生產(chǎn)單位產(chǎn)品需要的各種設備的工時(小時/件)如表所示，其中短劃線表示這種產(chǎn)品不需要相應的設備加工。表C.2產(chǎn)品的利潤和需要的設備工時產(chǎn)品1234567單位產(chǎn)品利潤磨床0.50----立鉆------水平鉆0.20------鏜床----刨床--------從一月份至六月份,每個月中需要檢修設備見表所示(在檢修月份,被檢修設備全月不能用于生產(chǎn))。每個月各種產(chǎn)品的市場銷售量上限如表所示。每種產(chǎn)品的最大庫存量為100件,庫存費用為每件每月0.5元,在一月初,所有產(chǎn)品都沒有庫存；而要求在六月底,每種產(chǎn)品都至少要有50件庫存。工廠每天開兩班,每班8小時,為簡單計,假定每月都工作24天。表C.3設備檢修方案月份方案檢修設備及臺數(shù)月份方案檢修設備及臺數(shù)一月一臺磨床四月一臺立式鉆床二月二臺立式鉆床五月一臺磨床和一臺立式鉆床三月一臺鏜床六月一臺刨床和一臺水平鉆床表C.4產(chǎn)品的市場銷售量上限(件/月)產(chǎn)品1234567一月5001000300300800200100二月6005002000400300150三月30060000500400100四月2003004005002000100五月010050010010003000六月500500100300110050060生產(chǎn)過程中,各種工序沒有先后次序的要求。(1)制定六個月的生產(chǎn)、庫存、銷售方案,使六個月的總利潤最大。(2)在不改變以上方案的前提下,哪幾個月中哪些產(chǎn)品的售價可以提高以到達增加利潤的目的。價格提高的幅度是多大?(3)哪些設備的能力應該增加?請列出購置新設備的優(yōu)先順序。(4)是否可以通過調(diào)整現(xiàn)有的設備檢修方案來提高利潤?提出一個新的設備檢修方案,使原來方案檢修的設備在這半年中都得到檢修而使利潤盡可能的增加。(5)構(gòu)造一個最優(yōu)設備檢修方案模型,使在這半年中各設備的檢修臺數(shù)滿足案例中的要求且使利潤為最大。2、問題的分析因為產(chǎn)品是完整的，設備也是完整的，它們都不是半成品，所以我們要把產(chǎn)品數(shù)和設備數(shù)都要看做整數(shù)，即模型里的變量都要用整數(shù)，所以該生產(chǎn)方案問題是一個整數(shù)規(guī)劃〔IP〕問題，可以在合理假設的根底上通過建立整數(shù)規(guī)劃模型并利用LINGO軟件來解決該問題。問題一中，需要求使六個月生產(chǎn)量、庫存量和銷售量到達最大利潤的模型。通過分析可知：總利潤＝銷售所獲總利潤－庫存所需金額以此建立目標函數(shù)，通過分析，我們把決策變量定為各月份各種產(chǎn)品的生產(chǎn)量、庫存量以及銷售量?？紤]各種產(chǎn)品的利潤、各個設備需要使用的時間、設備檢修方案、產(chǎn)品的庫存量以及市場銷售量上限的約束，建立整數(shù)規(guī)劃模型并進行求解，從而制定出六個月的生產(chǎn)、庫存、銷售方案使六個月的總利潤最大的解決方案。問題二中，在不改變題中給出的方案的前提下，通過提高產(chǎn)品售價來到達增加利潤的目的。這是一個靈敏度分析問題。采用靈敏度分析，得到各月份各種產(chǎn)品售價可以提高的上限。為了能得到更大的利潤工廠需要購置新設備，通過增加設備數(shù)來提高生產(chǎn)產(chǎn)量。問題三就是以這種情況為背景提出來的。這種問題是通過求各種資源的影子價格來判斷要買哪一種設備。于是采用對影子價格的分析及對偶規(guī)劃理論來進行求解，從而得到最好的購置方案。問題四是在使原來方案檢修的設備在這六個月仍舊得到檢修的前提下，通過改變上述的設備檢修方案來到達增加利潤的目的。通過對前幾個問題的求解過程以及影子價格的分析，找出更優(yōu)的設備檢修方案，并通過求解驗證這些方案比原有方案獲得更大的利潤。問題五是在不改變各種設備檢修的臺數(shù)的根底上提出最優(yōu)的設備檢修方案使工廠所得到的總利潤到達最大。所以建立模型時我們需要在問題一中所建立的模型里引進新的變量，重新建立新的模型來求解。3、模型的假設通過上面的分析我們假設=1\*GB3①檢修月份被檢修的設備全月不能用于生產(chǎn)=2\*GB3②一月末開始計算剩余產(chǎn)品的庫存費=3\*GB3③產(chǎn)品生產(chǎn)所需要的設備類型和生產(chǎn)一件產(chǎn)品的設備工作時間及一件產(chǎn)品生產(chǎn)本錢不隨方案的改變而改變=4\*GB3④產(chǎn)品的生產(chǎn)量、庫存量及銷售量為整數(shù)。根據(jù)上面的假設我們定義了下面的一些變量：第i種產(chǎn)品在第j個月的產(chǎn)量。i=1,2…7，j=1,2…6：第i種產(chǎn)品在第j個月的庫存量。i=1,2…7，j=1,2…6：第i種產(chǎn)品在第j個月的銷售量。i=1,2…7，j=0.1,2…6：第i種產(chǎn)品六個月的總銷售量。i=1,2…7：第i種產(chǎn)品在第j個月的銷售量上限。i=1,2…7，j=1,2…6：第i種產(chǎn)品單位產(chǎn)品利潤。i=1,2…7㈠根據(jù)題目給出的“工廠每天開兩班，每班8小時，為簡單計，假定每月都工作24天〞?？芍焊髟路莞鞣N設備的工作時間數(shù)是相等的。設備工作時間數(shù)＝月工作天數(shù)×每天工作班數(shù)×每班工作時間數(shù)＝24×2×8＝384〔時〕㈡因為每個月都有要需要檢修的設備，所以不是所有的設備會去生產(chǎn)產(chǎn)品，根據(jù)題中給出的表C.3設備檢修方案我們可以列出下面的各個月份實際可工作的設備數(shù)量。各個月份實際可工作設備數(shù)月份機床1月2月3月4月5月6月磨床344434立鉆202112水平鉆333333鏜床110111刨床1111104、模型的建立與求解建立問題一的模型并求解：在問題一中，需要求使六個月生產(chǎn)、庫存和銷售到達最大利潤的模型。通過分析可知：總利潤＝銷售所獲利潤－庫存所需金額。所以可以建立以下的模型：決策變量：決策變量為：，，確定約束條件：該月份可用的各個設備都會工作384小時，根據(jù)表C.2可以確定約束條件。①設備使用時間的約束：一月份二月份三月份四月份五月份六月份②產(chǎn)品庫存量的約束：在一月初，所有產(chǎn)品都沒有庫存，我們把一月初設為j=0，所以得到下面的第一個式子；每種產(chǎn)品的最大庫存量為100件，所以得到下面的第二個式子；在六月底，每種產(chǎn)品都至少要有50件庫存，我們把六月底設為j=7，所以得到下面的第三個式子。③銷售量上限的約束目標函數(shù)：最終利潤：根本公式：從二月份開始因為有一月份剩余的產(chǎn)品，所以要把上個月的剩余產(chǎn)品一同賣出去。因此在第二個式子里面該月銷售量就是把該月的生產(chǎn)量加上上個月的剩余產(chǎn)品量再減去該月剩余產(chǎn)品的量。求解結(jié)果：用LINGO軟件來求解模型所得出來的六個月各個月份的生產(chǎn)，庫存，銷售方案結(jié)果如下〔源程序和運行結(jié)果見附錄一〕：月月份份產(chǎn)品1月2月3月4月5月6月1生產(chǎn)量600002000550庫存量100000050銷售量500100020005002生產(chǎn)量12200107102109庫存量0000250銷售量12200107100613生產(chǎn)量30020004006000庫存量000010050銷售量3002000400500504生產(chǎn)量30000500100350庫存量0000050銷售量300005001003005生產(chǎn)量800500020011000庫存量01000010050銷售量8004001002001000506生產(chǎn)量30004500250550庫存量10005050050銷售量20010040003005007生產(chǎn)量10025001001000庫存量01000010050銷售量100150100100050求解得到目標函數(shù)值〔即六個月最大利潤〕為41464.00元。問題二的求解：問題二是靈敏度分析問題。采用靈敏度分析，得到各個月份各種產(chǎn)品銷售價格可以提高的上限。問題二的決策變量，約束條件以及目標函數(shù)跟問題一中給出的一樣。但由于LINGO無法解決整數(shù)規(guī)劃的靈敏度分析問題，于是用LINGO編碼的時候把問題一中已編的代碼里面的整數(shù)約束語句刪除即可。求解完后的結(jié)果見附錄二。因為我們的問題是通過提高產(chǎn)品銷售價格來到達增加利潤的目的，于是我們只需考慮上限便可。下表展示的是令最優(yōu)解不變的系數(shù)變化范圍，即價格最大提高幅度：月月份產(chǎn)品1月2月3月4月5月6月1∞∞∞0．5390．7216．5194041531．30．50．50．211∞∞429．5130．910．550．5∞190．5∞106∞510．4750．650．571．1∞130．283∞8．6〔3〕問題三的求解：問題三說道“哪些設備的能力應該增加〞，這題的意思就是應增加哪種設備的工作時間數(shù)。這是一道分析影子價格的問題，而影子價格是資源在最優(yōu)解下資源增加1個單位時“效益〞的增量，我們可以把設備看做資源。用LINGO對問題三求解得到：Row

SlackorSurplus

DualPrice

OBJ

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

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26

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28

29

30

31

第i個約束條件的影子價格是LINGO輸出的第i+1行的DUALPRICE，于是得到數(shù)據(jù)各個月份增加每種設備的所能創(chuàng)造的利潤，列表如下〔下表數(shù)據(jù)均為增加單位時間，即一小時所得利潤〕：月月份機床1月2月3月4月5月6月磨床立鉆水平鉆0000鏜床刨床從上表可以知道，磨床所能創(chuàng)造的利潤為0元；立鉆所能創(chuàng)造的利潤約為104.7元；水平鉆所能創(chuàng)造的利潤約為2.4元；鏜床所能創(chuàng)造的利潤為200元；刨床所能創(chuàng)造的利潤為220元。所以按照利潤從大到小的順序來購置設備的優(yōu)先次序為：刨床——>鏜床——>立鉆——>水平鉆由于增加磨床的數(shù)量并不能提高利潤，所以沒有必要購置磨床?！?〕問題四的求解：問題四是在使原來方案檢修的設備在這六個月仍舊得到檢修的前提下，通過改變上述的設備檢修方案來到達增加利潤的目的。通過對前幾個問題的求解過程以及影子價格的分析，找出更優(yōu)的設備檢修方案，并通過求解驗證這些方案比原有方案的優(yōu)越性。在對數(shù)據(jù)的觀察和模型的靈敏度分析和對影子價格的探究中，發(fā)現(xiàn)可以通過調(diào)整現(xiàn)有的檢修方案可以到達提高利潤的目的。從問題三中得到的影子價格分析表可以知道：一月份可檢修除水平鉆以外的4種機床，二月份可檢修除立鉆以外的4種機床，三月份可檢修除鏜床以外的4種機床，四月份可檢修除立鉆以外的4種機床，五月份可檢修磨床，鏜床，刨床，六月份可檢修磨床，立鉆，鏜床。在表C.3中磨床一共要檢修2臺，立鉆一共要檢修4臺，水平鉆一共要檢修1臺，鏜床一共要檢修1臺，刨床一共要檢修1臺。修改檢修設備方案時檢修的各種設備臺數(shù)不能少于前一句給出的數(shù)據(jù)。數(shù)學語言表達式如下：設變量為第i種設備在第j個月檢修的臺數(shù)，設磨床為第1種設備，立鉆為第2種設備，水平鉆為第3種設備，鏜床為第4種設備，刨床為第5種設備。所以提出來以下兩種修改方案〔其實有很多種方案〕：修改的方案一：月份方案檢修設備及臺數(shù)月份方案檢修設備及臺數(shù)一月一臺磨床四月一臺立鉆二月一臺立鉆五月一臺磨床和一臺立鉆三月一臺鏜床和一臺立鉆和一臺水平鉆六月一臺刨床和一臺水平鉆各個月份實際工作的設備數(shù)：月份機床1月2月3月4月5月6月磨床344434立鉆211112水平鉆332332鏜床110111刨床111110時間限制表：115215361536153611521536768384384384384768115211527681152115276838438403843843843843843843843840用LINGO求解得到此方案的最大利潤為：49870.00元〔結(jié)果見附錄四〕修改的方案二：月份方案檢修設備及臺數(shù)月份方案檢修設備及臺數(shù)一月一臺立鉆四月一臺立式鉆床二月一臺立鉆五月一臺立式鉆床、一次鏜床三月兩臺磨床六月一臺刨床和一臺水平床各個月份實際工作設備數(shù)：月份機床1月2月3月4月5月6月磨床442444立鉆112112水平鉆333332鏜床111101刨床111110時間限制表：153615367681536153615363843847683843847681152115211521152115276838438438438403843843843843843840用LINGO求解得到此方案的最大利潤為：50887.OO元〔結(jié)果見附錄五〕〔5〕問題五的求解：問題五是在問題四的根底上建立新的模型求解最優(yōu)的設備檢修方案使總利潤到達最大。模型的建立要在市場銷售量上限以及產(chǎn)品庫存量約束不變的條件下，通過更改設備檢修方案并進而改變各個月份設備使用時間的約束，在保證設備總次數(shù)不變的條件下安排更好的設備檢修方案。下面構(gòu)造這個最優(yōu)檢修方案：=1\*GB3①決策變量：增加變量為第i種設備在第j個月可以使用的臺數(shù)，其中設備順序已在問題四中給出。(i=1,2…5，j=1,2…6。)②確定約束條件：各種設備每月可以工作的數(shù)目少于設備的總數(shù):各種設備六個月工作的總次數(shù):各個設備使用時間的約束：各個月份的銷售量的約束：一月份四月份二月份五月份三月份六月份整數(shù)約束：且都為整數(shù),i=1,2…7，j=1,2…6,k=1,2…5.③目標函數(shù)：=4\*GB3④用LINGO求解：〔源程序和運行結(jié)果見附錄六〕在問題三中得到的表中可以看出：增加磨床所創(chuàng)造的利潤都是0，所以磨床可以在任一個月都能檢修磨床；增加立鉆所創(chuàng)造的利潤在1月，3月，6月份都是0,5月份的利潤是最少的，所以可以在這四個月里檢修立鉆；增加水平鉆所創(chuàng)造的利潤在2月，3月，4月都是0，所以在這三個月當中任選一個月來檢修水平鉆；增加鏜床所創(chuàng)造的利潤在1月，2月，4月，5月,6月都是0，所以在這五個月當中任選一個月來檢修鏜床；增加刨床所創(chuàng)造的利潤從1月到5月都是0，所以在這五個月當中任選一個月來檢修刨床；種最優(yōu)方案。下面只給出一種最優(yōu)方案該最優(yōu)設備檢修方案方案為：

月份方案檢修設備及臺數(shù)月份方案檢修設備及臺數(shù)一月一臺立鉆四月一臺磨床二月一臺刨床五月一臺立鉆和一臺水平鉆三月一臺立鉆和一臺磨床和一臺鏜床六月一臺立鉆分析LINGO運行結(jié)果可得最優(yōu)方案的生產(chǎn)，庫存，銷售方案列表如下：月份產(chǎn)品1月2月3月4月5月6月1生產(chǎn)量5006003002000550庫存量0000050銷售量50060030020005002生產(chǎn)量62721821070156庫存量0000050銷售量627218210701063生產(chǎn)量300200040060050庫存量000010050銷售量30020004005001004生產(chǎn)量30001005000350庫存量00100100050銷售量300004001003005生產(chǎn)量800500030001150庫存量01000100050銷售量80040010020010011006生產(chǎn)量2003004000357493庫存量00005750銷售量20030040003004437生產(chǎn)量10025001000110庫存量010000050銷售量1001501001000605、模型的推廣與改良此模型可以應用于涉及到整數(shù)規(guī)劃的一般生產(chǎn)方案調(diào)整的解決方案。也可以進而推廣到線性規(guī)劃問題的優(yōu)化。此模型的約束條件都很簡單，也易于理解。建立模型之前我們假設檢修月份被檢修的設備全月不能用于生產(chǎn)，產(chǎn)品生產(chǎn)所需要的設備類型和生產(chǎn)一件產(chǎn)品的設備工作時間及一件產(chǎn)品生產(chǎn)本錢不隨方案的改變而改變。但在現(xiàn)實生產(chǎn)中，設備不一定全月用于檢修,隨著季節(jié)、年份的變化單位生產(chǎn)本錢也會發(fā)生改變，所以要改良模型以便適用于解決更多類型的方案方案。最好在原有的模型上再加上用分段函數(shù)表示的各個時期生產(chǎn)本錢的價值的條件。6、參考文獻：?數(shù)學模型?〔第三版〕姜啟源，謝金星，葉俊編高等教育出版社2021年12月?運籌學?〔第二版〕徐玖平，胡知能編科學出版社2004年5月附錄一：model:!機械產(chǎn)品生產(chǎn)方案問題;sets:machine/ma1..ma5/:need;goods/g1..g7/:interest;month/1..6/;links1(machine,goods):A;links2(goods,month):X,C,Y;alltimes(machine,month):B;endsets!目標函數(shù);max=@sum(goods(I):(@sum(month(J):X(I,J))-Y(I,6))*interest(I))-0.5*@sum(links2(I,J):Y(I,J));!整數(shù)約束;@for(links2(I,J):@gin(X(I,J)));@for(links2(I,J):@gin(Y(I,J)));!設備使用時間約束;@for(alltimes(I,K):@sum(goods(J):A(I,J)*X(J,K))<=B(I,K));!庫存量約束;@for(links2(I,J):Y(I,J)<=100);@for(goods(I):Y(I,6)>=50);!銷售量約束;@for(goods(I):X(I,1)-Y(I,1)<=C(I,1));@for(links2(I,J)|J#NE#1:X(I,J)+Y(I,J-1)-Y(I,J)<=C(I,J));!數(shù)據(jù);data:interest=10634193;B=11521536153615361152153676807683843847681152115211521152115276838438403843843843843843843843840;C=50060030020005001000500600300100500300200040050010030000500100300800400500200100011002003004000300500100150100100060;0.050.030.000.070.100.000.000.010.000.050.000.05;enddataend運行結(jié)果：Globaloptimalsolutionfound.Extendedsolversteps:2Totalsolveriterations:109VariableValueReducedCostRowSlackorSurplusDualPrice附錄二：model:!機械產(chǎn)品生產(chǎn)方案問題;sets:machine/ma1..ma5/:need;goods/g1..g7/:interest;month/1..6/;links1(machine,goods):A;links2(goods,month):X,C,Y;alltimes(machine,month):B;endsets!目標函數(shù);max=@sum(goods(I):(@sum(month(J):X(I,J))-Y(I,6))*interest(I))-0.5*@sum(links2(I,J):Y(I,J));!設備使用時間約束;@for(alltimes(I,K):@sum(goods(J):A(I,J)*X(J,K))<=B(I,K));!庫存量約束;@for(links2(I,J):Y(I,J)<=100);@for(goods(I):Y(I,6)>=50);!銷售量約束;@for(goods(I):X(I,1)-Y(I,1)<=C(I,1));@for(links2(I,J)|J#NE#1:X(I,J)+Y(I,J-1)-Y(I,J)<=C(I,J));!數(shù)據(jù);data:interest=10634193;B=11521536153615361152153676807683843847681152115211521152115276838438403843843843843843843843840;C=50060030020005001000500600300100500300200040050010030000500100300800400500200100011002003004000300500100150100100060;0.000.000.010.000.050.000.05;enddataend運行結(jié)果：Globaloptimalsolutionfound.Totalsolveriterations:37VariableValueReducedCostY(G7,5)100.0000附錄三：LINGO|Range得到得系數(shù)變化范圍：Rangesinwhichthebasisisunchanged:

ObjectiveCoefficientRanges

Current

Allowable

Allowable

Variable

Coefficient

Increase

Decrease

NEED(MA1)

INFINITY

NEED(MA2)

INFINITY

NEED(MA3)

INFINITY

NEED(MA4)

INFINITY

NEED(MA5)

INFINITY

X(G1,1)

INFINITY

X(G1,2)

INFINITY

X(G1,3)

INFINITY

X(G1,4)

X(G1,5)

INFINITY

X(G1,6)

X(G2,1)

X(G2,2)

INFINITY

X(G2,3)

INFINITY

X(G2,4)

X(G2,5)

X(G2,6)

X(G3,1)

X(G3,2)

X(G3,3)

X(G3,4)

X(G3,5)

INFINITY

X(G3,6)

INFINITY

X(G4,1)

X(G4,2)

INFINITY

X(G4,3)

INFINITY

X(G4,4)

X(G4,5)

X(G4,6)

X(G5,1)

X(G5,2)

INFINITY

X(G5,3)

INFINITY

X(G5,4)

X(G5,5)

INFINITY

X(G5,6)

INFINITY

X(G6,1)

INFINITY

X(G6,2)

INFINITY

X(G6,3)

X(G6,4)

INFINITY

X(G6,5)

X(G6,6)

X(G7,1)

X(G7,2)

INFINITY

X(G7,3)

INFINITY

X(G7,4)

X(G7,5)

INFINITY

X(G7,6)

INFINITY

Y(G1,1)

INFINITY

Y(G1,2)

INFINITY

Y(G1,3)

INFINITY

Y(G1,4)

INFINITY

Y(G1,5)

INFINITY

Y(G1,6)

INFINITY

Y(G2,1)

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Y(G2,2)

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Y(G2,3)

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Y(G2,4)

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Y(G2,5)

Y(G2,6)

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Y(G3,1)

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Y(G3,2)

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Y(G3,3)

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Y(G3,4)

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Y(G3,5)

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Y(G3,6)

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Y(G4,1)

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Y(G4,4)

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Y(G4,6)

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Y(G5,1)

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Y(G7,1)

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Y(G7,2)

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Y(G7,3)

INFINITY

Y(G7,4)

INFINITY

Y(G7,5)

INFINITY

Y(G7,6)

INFINITY附錄四：Globaloptimalsolutionfoundatiteration:72VariableValueReducedCostX(G1,1)500附錄