楊浦區(qū)2023學(xué)年九年級上學(xué)期期中質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題

2023-2023學(xué)年上海市楊浦區(qū)九年級〔上〕期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共6小題，每題3分，共18分．1．將等式2ax=bc化成以x為第四比例項的比例式，以下變形正確的選項是〔〕A． B． C． D．2．在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，AD：BD=1：2，那么以下條件中能夠判斷DE∥BC的是〔〕A． B． C． D．3．如圖，△ABC中，DE∥BC交AB于點D，交AC于點E，如果S△ADE=S四邊形BCED，那么以下等式成立的是〔〕A． B．DE：BC=1：3 C．DE：BC=1：4 D．DE：BC=1：24．點C是線段AB的中點，以下結(jié)論中，正確的選項是〔〕A． B． C． D．5．△ABC中，tanA=，以下說法正確的選項是〔〕A．tanB=2 B．tanB= C．sinA= D．sinA=6．在△ABC和△DEF中，假設(shè)∠A=∠D，那么以下四個條件：①=；②=；③∠B=∠F；④∠E=∠F中，一定能推得△ABC與△DEF相似的共有〔〕A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題：本大共12小題，每題3分，共36分．7．，那么的值為．8．在比例尺為1：1000000的地圖上，如果點A與點B兩點間的距離為2厘米，那么點A、B分別表示的兩地間相距米．9．線段AB的長為4，點P為線段AB上的一點，如果線段AP是線段BP與線段AB的比例中項，那么線段AP的長為．10．如圖，在梯形ABCD中，點E、F分別在邊AB、DC上，且AD∥BC∥EF，AE：EB=2：1，DF=8，那么FC=．11．如圖，點G為△ABC的重心，聯(lián)結(jié)CG，那么S△CDG：S△ABD=．12．兩個相似三角形的周邊長比為2：3，且其中較大三角形的面積是36，那么其中較小三角形的面積是．13．如圖，如果∠EAC=∠DAB，∠C=∠D，AD=4，AE=6，AC=8，那么AB=．14．如圖，在△ABC中，點D、E在邊AB上，點F在邊AC上，且AD=DE=EB，DF∥BC，設(shè)=，=，那么用表示=．15．在△ABC中，∠A與∠B是銳角，sinA=，cotB=，那么∠C=度．16．假設(shè)0°＜α＜90°，且sinα=，那么cotα=．17．△ABC與△DEF相似，且∠A=∠E，如果AB=16，AC=12，DF=6，EF=4，那么BC=．18．如圖，△ABC中，∠B=90°，BC=3，AB=4，D是邊AB上一點，DE∥BC交AC于點E，將△ADE沿DE翻折得到△A′DE，假設(shè)△A′EC是直角三角形，那么AD長為．三、解答題：本大題共7題，共46分．19．〔5分〕計算：．20．〔5分〕如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6．〔1〕求AC的長；〔2〕求cotB的值．21．〔5分〕如圖，向量、，求作向量，使?jié)M足﹣2〔﹣〕=3﹣〔不要求寫作法，但要保存作圖痕跡，并寫結(jié)論〕22．〔5分〕如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點F在邊AD上，BA的延長線交CF的延長線于點E，EC交BD于點M，且CM2=EM?FM．求證：AD∥BC．23．〔7分〕如圖，在矩形ABCD中，點P在邊DC上，聯(lián)結(jié)AP，過點A作AE⊥AP交CB的延長線于點E，聯(lián)結(jié)EP交邊AB于點F．〔1〕求證：△ADP∽△ABE；〔2〕假設(shè)AD：AB=2：3，且CP=2DP，求AF：FB的值．24．〔7分〕如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D為邊AB的中點，過點A作直線CD的垂線交CD的延長線于點H，交CB的延長線于點M．〔1〕求證：AH?AB=AC?BC；〔2〕求證：HM?AB=CH?AM．25．〔12分〕如圖，AB=5，tanB=，點P是射線BC上的一個動點〔不與點B重合〕，作∠APD=∠B交射線AB于點D．〔1〕假設(shè)PD⊥AB，求BP的長；〔2〕當(dāng)點D在邊AB上，且不與點B重合時，設(shè)BP=x，BD=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；〔3〕假設(shè)△BDP是等腰三角形，求BP的長．2023-2023學(xué)年上海市楊浦區(qū)九年級〔上〕期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共6小題，每題3分，共18分．1．將等式2ax=bc化成以x為第四比例項的比例式，以下變形正確的選項是〔〕A． B． C． D．【考點】等式的性質(zhì)．【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)把每個選項去分母，看看結(jié)果和2ax=bc是否相等即可．【解答】解：A、∵=，∴去分母得：2bc=ax，和2ax=bc不同，故本選項錯誤；B、∵=，∴去分母得：2ax=bc，和2ax=bc相同，故本選項正確；C、∵=，∴去分母得：2bc=ax，和2ax=bc不同，故本選項錯誤；D、∵=，∴去分母得：2ax=bc，和2ax=bc不同，故本選項錯誤；應(yīng)選B．【點評】此題考查了等式的根本性質(zhì)的應(yīng)用，能靈活運用等式的性質(zhì)進行變形是解此題的關(guān)鍵．2．〔2023秋?浦東新區(qū)期中〕在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，AD：BD=1：2，那么以下條件中能夠判斷DE∥BC的是〔〕A． B． C． D．【考點】平行線分線段成比例．【專題】常規(guī)題型．【分析】可先假設(shè)DE∥BC，由平行得出其對應(yīng)線段成比例，進而可得出結(jié)論．【解答】解：如圖，可假設(shè)DE∥BC，那么可得==，==，但假設(shè)只有==，并不能得出線段DE∥BC．應(yīng)選D．【點評】此題主要考查了由平行線分線段成比例來判定兩條直線是平行線的問題，能夠熟練掌握并運用．3．如圖，△ABC中，DE∥BC交AB于點D，交AC于點E，如果S△ADE=S四邊形BCED，那么以下等式成立的是〔〕A．B．DE：BC=1：3 C．DE：BC=1：4 D．DE：BC=1：2【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行線分線段成比例．【專題】計算題．【分析】由DE∥BC得△ADE∽△ABC，由得S△ADE=S△ABC，根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方，求對應(yīng)邊的比．【解答】解：∵S△ADE=S四邊形BCED，∴S△ADE=S△ABC，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴〔〕2==，∴DE：BC=1：．應(yīng)選A．【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例．關(guān)鍵是利用平行線得出相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)解題．4．點C是線段AB的中點，以下結(jié)論中，正確的選項是〔〕A． B． C． D．【考點】*平面向量；比擬線段的長短．【專題】數(shù)形結(jié)合．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，因為點C是線段AB的中點，所以根據(jù)線段中點的定義解答．【解答】解：A、=，故本選項錯誤；B、=，故本選項正確；C、+=，故本選項錯誤；D、+=，故本選項錯誤．應(yīng)選B．【點評】此題主要考查線段的中點定義，難度不大，注意向量的方向及運算法那么．5．△ABC中，tanA=，以下說法正確的選項是〔〕A．tanB=2 B．tanB= C．sinA= D．sinA=【考點】同角三角函數(shù)的關(guān)系．【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系：平方關(guān)系：sin2A+cos2A=1解答即可．【解答】解：∵直角頂點不確定，∴tanB不確定，∵tanA=，∴=，解得，sinA=，應(yīng)選：D．【點評】此題考查了同角的三角函數(shù)的關(guān)系，掌握勾股定理、銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．6．在△ABC和△DEF中，假設(shè)∠A=∠D，那么以下四個條件：①=；②=；③∠B=∠F；④∠E=∠F中，一定能推得△ABC與△DEF相似的共有〔〕A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點】相似三角形的判定．【分析】根據(jù)三角形相似的判定方法：①兩邊及其夾角法：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可以判斷出A、B的正誤；②兩角法：有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可以判斷出C、D的正誤，即可選出答案．【解答】解：①由∠A=∠D、=可以判定△ABC與△DEF相似，故正確；②由∠A=∠D、=可以判定△ABC與△DEF相似，故正確；③由∠A=∠D、∠B=∠F可以判定△ABC與△DEF相似，故正確；④∠E和∠F不是兩個三角形的對應(yīng)角，故不能判定兩三角形相似，故錯誤；應(yīng)選：C．【點評】此題主要考查了相似三角形的判定，關(guān)鍵是掌握三角形相似的判定方法：〔1〕平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；〔2〕三邊法：三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似；〔3〕兩邊及其夾角法：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；〔4〕兩角法：有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．二、填空題：本大共12小題，每題3分，共36分．7．，那么的值為．【考點】比例的性質(zhì)．【分析】設(shè)x=7a，那么y=4a，代入所求的式子，然后進行化簡即可求解．【解答】解：∵，∴設(shè)x=7a，那么y=4a，那么===．故答案是：．【點評】此題考查了分式的求值，正確理解未知數(shù)的設(shè)法是關(guān)鍵．8．在比例尺為1：1000000的地圖上，如果點A與點B兩點間的距離為2厘米，那么點A、B分別表示的兩地間相距20000米．【考點】比例線段．【分析】設(shè)兩地間的實際距離是x厘米，根據(jù)比例尺的性質(zhì)列出方程，求出x的值，再進行換算即可得出答案．【解答】解：設(shè)兩地間的實際距離是x厘米，∵比例尺為1：1000000，量得兩地間的距離為2厘米，∴，解得：x=2000000，∵2000000厘米=20千米，∴兩地間的實際距離是20000米．故答案為：20000【點評】此題考查了比例尺的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程，還要注意統(tǒng)一單位．9．線段AB的長為4，點P為線段AB上的一點，如果線段AP是線段BP與線段AB的比例中項，那么線段AP的長為．【考點】比例線段．【分析】把一條線段分成兩局部，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值〔〕叫做黃金比．【解答】解：根據(jù)題意知，點P是線段AB的黃金分割點，那么①，又∵AB=4，②BP=AB﹣AP，③由①②③，解得AP=；故答案是：；【點評】此題考查了比例線段．解答此題須理解黃金分割點的概念，熟悉黃金比的值．10．如圖，在梯形ABCD中，點E、F分別在邊AB、DC上，且AD∥BC∥EF，AE：EB=2：1，DF=8，那么FC=4．【考點】平行線分線段成比例；梯形．【分析】由AD∥EF∥BC，得==，由此即可解決問題．【解答】解：∵AD∥EF∥BC，∴==∵DF=8，∴CF=4，故答案為4．【點評】此題考查了平行線分線段成比例定理．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意比例變形與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．11．如圖，點G為△ABC的重心，聯(lián)結(jié)CG，那么S△CDG：S△ABD=．【考點】三角形的重心．【分析】三角形的重心是三角形三邊中線的交點，由此可得△ABD的面積與△ACD的面積相等；根據(jù)重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1，可得△CDG的面積等于△ACD面積的三分之一．【解答】解：∵點G為△ABC的重心，∴△ABD的面積與△ACD的面積相等，且DG=AD，∴△CDG的面積等于△ACD面積的，∴△CDG的面積等于△ABD面積的，即S△CDG：S△ABD=，故答案為：．【點評】此題主要考查了三角形重心性質(zhì)的運用，解題時注意：三角形的重心是三角形三邊中線的交點，重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1．12．〔2023?黃浦區(qū)一?！硟蓚€相似三角形的周邊長比為2：3，且其中較大三角形的面積是36，那么其中較小三角形的面積是16．【考點】相似三角形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)對應(yīng)邊成比例，面積比等于相似比的平方求解即可．【解答】解：兩個相似三角形周長的比為2：3，那么相似比是2：3，因而面積的比是4：9，設(shè)小三角形的面積是4a，那么大三角形的面積是9a，那么9a=36，解得a=4，因而較小的三角形的面積是16．故答案為：16．【點評】此題考查對相似三角形性質(zhì)的理解：〔1〕相似三角形周長的比等于相似比；〔2〕相似三角形面積的比等于相似比的平方．13．如圖，如果∠EAC=∠DAB，∠C=∠D，AD=4，AE=6，AC=8，那么AB=12．【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】探究型．【分析】先根據(jù)∠EAC=∠DAB可得出∠EAC+∠BAE=∠DAB+∠BAE，即∠DAE=∠BAC，再由∠C=∠D即可得出△ADE∽△ACB，故可得出=，再由AD=4，AE=6，AC=8即可得出AB的長．【解答】解：∵∠EAC=∠DAB，∴∠EAC+∠BAE=∠DAB+∠BAE，即∠DAE=∠BAC，∵∠C=∠D，∴△ADE∽△ACB，∴=，∵AD=4，AE=6，AC=8，∴=，解得AB=12．故答案為：12．【點評】此題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意得出△ADE∽△ACB，再由相似三角形對應(yīng)邊的比相等求解是解答此題的關(guān)鍵．14．如圖，在△ABC中，點D、E在邊AB上，點F在邊AC上，且AD=DE=EB，DF∥BC，設(shè)=，=，那么用表示=﹣．【考點】*平面向量；平行線的性質(zhì)．【分析】由AD=DE=EB，=，可求得與，然后由三角形法那么，求得，繼而求得，又由△ADF∽△ABC，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得答案．【解答】解：∵AD=DE=EB，∴=3=3，=2=2，∴=+=2+，∴=﹣=﹣，∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴DF：BC=AD：AB=1：3，∴==﹣．故答案為：﹣．【點評】此題考查了平面向量的知識以及相似三角形的判定與性質(zhì)．注意掌握三角形法那么的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．15．〔2023秋?浦東新區(qū)期中〕在△ABC中，∠A與∠B是銳角，sinA=，cotB=，那么∠C=75度．【考點】特殊角的三角函數(shù)值．【專題】探究型．【分析】先根據(jù)，∠A與∠B是銳角，sinA=，cotB=求出∠A及∠B的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理進行解答即可．【解答】解：∵∠A與∠B是銳角，sinA=，cotB=，∴∠A=45°，∠B=60°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣45°﹣60°=75°．故答案為：75°．【點評】此題考查的是特殊角的三角函數(shù)值及三角形內(nèi)角和定理，熟記各特殊角度的三角函數(shù)值是解答此題的關(guān)鍵．16．假設(shè)0°＜α＜90°，且sinα=，那么cotα=．【考點】同角三角函數(shù)的關(guān)系．【分析】根據(jù)正弦與余弦之間的關(guān)系求出cosα，根據(jù)cotα=計算即可．【解答】解：∵sinα=，∴cosα==，∴cotα==，故答案為：．【點評】此題考查的是同角三角函數(shù)的關(guān)系，掌握cotα=是解題的關(guān)鍵．17．△ABC與△DEF相似，且∠A=∠E，如果AB=16，AC=12，DF=6，EF=4，那么BC=24或18．【考點】相似三角形的性質(zhì)．【專題】分類討論．【分析】根據(jù)△ABC與△DEF相似，且∠A=∠E，分兩種情況討論：△ABC∽△EFD，△ABC∽△EDF，分別根據(jù)對應(yīng)邊成比例，求得BC的長．【解答】解：∵△ABC與△DEF相似，且∠A=∠E，∴當(dāng)△ABC∽△EFD時，=，即=，解得BC=24；當(dāng)△ABC∽△EDF時，=，即=，解得BC=18．故答案為：24或18．【點評】此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)的運用，解題時注意：相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等．18．〔2023?濱湖區(qū)一模〕如圖，△ABC中，∠B=90°，BC=3，AB=4，D是邊AB上一點，DE∥BC交AC于點E，將△ADE沿DE翻折得到△A′DE，假設(shè)△A′EC是直角三角形，那么AD長為或．【考點】翻折變換〔折疊問題〕．【分析】先根據(jù)勾股定理得到AC=5，再根據(jù)平行線分線段成比例得到AD：AE=AB：AC=4：5，設(shè)AD=x，那么AE=A′E=x，EC=5﹣x，A′B=2x﹣4，在Rt△A′BC中，根據(jù)勾股定理得到A′C，再根據(jù)△A′EC是直角三角形，根據(jù)勾股定理得到關(guān)于x的方程，解方程即可求解．【解答】解：在△ABC中，∠B=90°，BC=3，AB=4，∴AC=5，∵DE∥BC，∴AD：AB=AE：AC，即AD：AE=AB：AC=4：5，設(shè)AD=x，那么AE=A′E=x，EC=5﹣x，A′B=2x﹣4，在Rt△A′BC中，A′C=，∵△A′EC是直角三角形，∴①當(dāng)A'落在邊AB上時，∠EA′C=90°，∠BA′C=∠ACB，A′B=3×tan∠ACB=，AD=；②點A在線段AB的延長線上〔〕2+〔5﹣x〕2=〔x〕2，解得x1=4〔不合題意舍去〕，x2=．故AD長為或．故答案為：或．【點評】此題主要考查了圖形的翻折變換，以及勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握翻折后哪些線段是對應(yīng)相等的．三、解答題：本大題共7題，共46分．19．〔5分〕計算：．【考點】特殊角的三角函數(shù)值．【分析】將特殊角的三角函數(shù)值代入求解．【解答】解：原式===7+4．【點評】此題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答此題的關(guān)鍵是掌握幾個特殊角的三角函數(shù)值．20．〔5分〕如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6．〔1〕求AC的長；〔2〕求cotB的值．【考點】解直角三角形．【分析】〔1〕根據(jù)sinA的值求出AB，根據(jù)勾股定理求出AC即可；〔2〕把BC和AC的值代入cotB=求出即可．【解答】解：〔1〕∵在Rt△ACB中，∠C=90°，sinA==，BC=6，∴AB=8，由勾股定理得：AC===2；〔2〕cotB===．【點評】此題考查了勾股定理和解直角三角形的應(yīng)用，能根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義正確解直角三角形是解此題的關(guān)鍵，難度適中．21．〔5分〕如圖，向量、，求作向量，使?jié)M足﹣2〔﹣〕=3﹣〔不要求寫作法，但要保存作圖痕跡，并寫結(jié)論〕【考點】*平面向量．【分析】根據(jù)平面向量的運算法那么：先去括號，再移項，系數(shù)化為1，即可求得答案．【解答】解：∵﹣2〔﹣〕=3﹣，∴﹣2﹣2=3﹣，∴﹣2=﹣2，解得：=﹣+．【點評】此題考查了向量的運算以及畫法．此題難度不大，注意掌握平面向量的運算法那么是解此題的關(guān)鍵．22．〔5分〕如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點F在邊AD上，BA的延長線交CF的延長線于點E，EC交BD于點M，且CM2=EM?FM．求證：AD∥BC．【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】首先利用AB∥CD，得出△BEM∽△CDM，進而利用相似三角形的性質(zhì)得出比例式之間關(guān)系，求出即可．【解答】證明：∵AB∥CD，∴△BEM∽△CDM，∴=，∵CM2=EM?FM．∴=，∴=，∴AD∥BC．【點評】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，利用平行得出△BEM∽△CDM是解題關(guān)鍵．23．〔7分〕如圖，在矩形ABCD中，點P在邊DC上，聯(lián)結(jié)AP，過點A作AE⊥AP交CB的延長線于點E，聯(lián)結(jié)EP交邊AB于點F．〔1〕求證：△ADP∽△ABE；〔2〕假設(shè)AD：AB=2：3，且CP=2DP，求AF：FB的值．【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．【分析】〔1〕根據(jù)兩角對應(yīng)相等兩三角形相似即可證明．〔2〕延長AD、EP交于點M．設(shè)AD=4a，CD=6a，那么PC=4a，DP=2a，想方法求出AM、EB，由AM∥EB，得=，由此即可解決問題．【解答】〔1〕證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BAD=∠ADC=∠ABE=90°，∵∠EAP=∠BAD=90°，∴∠EAB=∠PAD，∵∠ABE=∠ADP，∴△ADP∽△ABE．〔2〕解：如圖，延長AD、EP交于點M．∵AD：AB=2：3，且CP=2DP，∴可以假設(shè)AD=4a，CD=6a，那么PC=4a，DP=2a，∵△ADP∽△ABE，∴=，∴=，∴EB=3a，∵DM∥EC，∴=，∴=，∴DM=a，AM=a，∵AM∥EB，∴===．【點評】此題考查矩形的性質(zhì)．相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)解決問題，屬于中考常考題型．24．〔7分〕如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D為邊AB的中點，過點A作直線CD的垂線交CD的延長線于點H，交CB的延長線于點M．〔1〕求證：AH?AB=AC?BC；〔2〕求證：HM?AB=CH?AM．【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】〔1〕欲證明AH?AB=AC?BC，只要證明△CAH∽△ABC即可．〔2〕由S△ACM=?AM?CH=?AC?CM，推出AM?CH=AC?CM，再證明△MCH∽△ABC，得到=，推出MC?AC=AB?MH，由此即可證明．【解答】證明：〔1〕∵∠ACB=90°，AD=DB，∴CD=DA=DB，∴∠CAD=∠ACD，∵CH⊥AM，∴∠AHC=∠ACB=90°，∴△CAH∽△ABC，∴=，∴AH?AB=AC?BC．〔2〕∵S△ACM=?AM?CH=?AC?CM，∴AM?CH=AC?CM，∵CD=BD，∴∠HCM=∠ABC，∵∠CHM=∠ACB=90°，∴△MCH∽△ABC，∴=，∴MC?AC=AB?MH，∴HM?AB=CH?AM．【點