第十章雙線性函數(shù)與辛空間

第十章雙線性函數(shù)與辛空間足1)f(a+)=f(a)+f();式中a,是V中任意元素，k是P中任意數(shù)，則稱f為V上的一個線性函數(shù).從定義可推出線性函數(shù)的以下簡單性質：fafa=ka+ka+…+ka122ss那么f()=kf(a)+kf(a)+…+kf(a)1122ss12n12nf(X)=f(x,x,…,x)=ax+ax+…+ax12n1122nn就是P上的一個線性函數(shù).當a=a=…=a=0時，得f(X)=0,稱為零函數(shù)，12n令i第i個Pn中任一向量X=(x,x,…,x)可表成12n1122nn.X=x+x1122nn.設f是Pn上一個線性函數(shù)，則f(X)f(nx)nxf()iiii令ii則f(X)axax…ax1122nn就是上述形式.aaA21：an1則A的跡aa：a…a…a2n…annnn是P上全體n級矩陣構成的線性空間Pnn上的一個線性函數(shù).例3設VP[x],t是P中一個取定的數(shù).定義P[x]上的函數(shù)L為tL(P(x))p(t),p(x)P[x],ttt12n意線性函數(shù)f及V中任意向量：xx…x1122nnf()f(nx)nxf().(2)iiii2n12niiiii=1i=1ii12nf12nii設V是數(shù)域P上一個n維線性空間.V上全體線性函數(shù)組成的集合記作LVPLV,P)上定義加法和數(shù)量乘法.設f,g是V的兩個線性函數(shù).定義函數(shù)f+g如下：(f+g)=f()+g(),=V.f+g也是線性函數(shù)：(f+g)(+)=f(+)+g(+)=f()+f()+g()+g()=(f+g)()+(f+g)(),(f+g)(k)=f(k)+g(k)=kf()+kg()=k(f+g)().f+g稱為f與g的和.(kf)()=k(f()),=V,kf稱為k與f的數(shù)量乘積，易證kf也是線性函數(shù).間.12n12nijnijl0,j才i,feee唯一的.對V中i12niiiiiiii1而對L(V,P)中任意向量f，有f=xnf(e)f.iii12n定義2L(P,V)稱為V的對偶空間.由(1)決定L(V,P)的的基，稱為2n以后簡單地把V的對偶空間記作V*.Pxnn12nni(a_a)…(a_a)(a_a)…(a_a)i1ii=1ii+1inijl0,j才i,x12n22nn用a代入，即得ikkiipii又因V是n維的，所以p(x),p(x),…,p(x)是V的一組基.12niiiiiijjil0,i豐j,12n12n設V是數(shù)域P上一個n維線性空間.c,c,…,c及n,n,…,n是V的兩組基.12n12n12n12n12n12n12n12n……：…a)a：nn)……：…b)b：nn)i1i12i2nini1j12j2njnjikjk1i12i2nin1j1i2j2injni(1,i=j;=〈i,j=1,2,…,n由矩陣乘法定義，即得即ee…,e及n,n,…,n是線性空間V的兩組基，它們的對偶基12n12n12n12n12n12n12n12n的一個函數(shù)x**如下：VV個元素.VV射x)x**是一個同構映射.這個定理說明，線性空間V也可看成V*的線性函數(shù)空間，V與V*實際上是看成某個線性空間的線性函數(shù)所成的空間，這個看法在多線性代數(shù)中是很重要.1)f(,kk)kf(,)kf(,);2211222)f(kk,)kf(,)kf(,),11221122121212是另一個變元的線性函數(shù).2f(,)f()f(),,V212n12naa…a121naa…aA21222nan1an2…ann則ijij(1)或(2)實際上是數(shù)域P上任意n維線性空間V上的雙線性函數(shù)f(,)的2n則fabfxnxcxnycxnxnfccxy(3)iijjijijiji=1j=1令ijij……：…a)a：a則(3)就成為(1)或(2).V2nf(c,c)…f(c,c))f(c,cf(c,c)…f(c,c)222nfcnc…f(cn,cn))2n2n2n性函數(shù)及基唯一確定.而且不同的雙線性函數(shù)在同一基下的度量矩陣是不同的.……：…a)a：an12n12n12nijij定義的函數(shù)是V上一個雙線性函數(shù).容易計算出f(a,b)在c,c,…,c下的度量2n矩陣就是A.雙射.12n12n12n12n12n12n1n12n11112n12n1又這說明同一個雙線性函數(shù)在不同基下的度量矩陣是合同的.定義5設f(a,)是線性空間V上一個雙線性函數(shù)，如果可以應用度量矩陣來判斷一個雙線性函數(shù)是不是退化的.設雙線性函數(shù)2n2n12n如果向量a滿足f(a,)=0,VV,而有非零向量X使上式成立的充要條件為A是退化的，因此易證雙線性函數(shù)對度量矩陣作合同變換可使度量矩陣化簡.但對一般矩陣用合同變換化簡是陣已有較完整的理論.則稱f(a,)為對稱雙線性函數(shù).如果對V中任意兩個向量a,都有則稱f(a,)為反對稱雙線性函數(shù).設f(,)是線性空間V上的一個對稱雙線性函數(shù)，對V的任一組基2nf(,)=f(,)ijji性函數(shù)f(,)在,,…,下的2nnn因此f(,)是對稱的，這就是說，雙線性函數(shù)是對稱的，當且僅當它在任一組基下的度量矩陣是對稱的.反對稱矩陣.量矩陣是正交矩陣.f2n2niiiii=1i=1f(,)=dxy+dxy+…+dxy.111222nnn這個表示式也是f(,)在,,…,下的度量矩陣為對角形的充分條件.2n12niiiii=1i=11_1r_r1s1122rrVyc12niiiii=1i=111ppp+1p+1rrV上函數(shù)f(a,a)稱為與f(a,b)對應的二次齊次函數(shù).nijn根niii=1f(a,a)=xnxnaxx.ijij式中xx的系數(shù)為a+a.因此如果兩個雙線性函數(shù)的度量矩陣分別為ijijjiijjiijji二次齊次函數(shù)只對應一個對稱雙線性函數(shù).從(1)式看出二次齊次函數(shù)的坐標表達kk(f(c,c)=1,2n前面的不等式是非退化條件保證的，這樣的基叫做V的對于f(a,b)的正交基.r–rs性函數(shù)的線性空間一定是偶數(shù)維的.函數(shù)的線性變換等.fi_iij12n_1_2_n12n_1_2_n故K合同于J.即任一2n級非退化反對稱矩陣皆合同于J.兩個辛空間(V,f)及(V,f)，若有V到V的作為線性空間的同構?，它滿112212足12則稱?是(V,f)到(V,f)的辛同構.1122VfVf線性空間的同構是辛同構當且僅當它把(V,f)的一112211組辛正交基變成(V,f)的辛正交基.22兩個辛空間是辛同構的當且僅當它們有相同的維數(shù).12n_1_2_nK，(AB)(AB)迷向子空間；若W=W」，即W是極大的(按包含關系)迷向子空單間，也稱它nk(3)若U是辛子空間，則V=U中U」22Lnk對于辛子空間U，f|U也是非退化的.同樣f|U」也非退化.由定理7還有UW辛空間(V,f)的兩個子空間V及W之間的(線性)同構?若滿足下面是辛變換的特征值的一些性質.由定理11可知，辛變換?的特征多項式f(入)的(復)根入與是同時出入ijij入入ijij入