2018年數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第八章立體幾何與空間向量第5講直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)學(xué)案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精20-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE第5講直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)最新考綱1。以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn),認(rèn)識(shí)和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理；2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.知識(shí)梳理1。直線與平面垂直(1）直線和平面垂直的定義如果一條直線l與平面α內(nèi)的任意直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號(hào)表示判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥a,l⊥b,a∩b＝O,a?α,b?α)）?l⊥α性質(zhì)定理兩直線垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行eq\b\lc\\rc\｝(\a\vs4\al\co1(a⊥α，b⊥α)）?a∥b2。平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個(gè)平面互相垂直.(2）判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號(hào)表示判定定理一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直eq\b\lc\\rc\｝（\a\vs4\al\co1（l⊥α,l?β))?α⊥β性質(zhì)定理如果兩個(gè)平面互相垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面eq\b\lc\\rc\}（\a\vs4\al\co1(α⊥β，α∩β＝a,l⊥a,l?β）)?l⊥α診斷自測(cè)1。判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×")(1)直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則l⊥α.（）(2）垂直于同一個(gè)平面的兩平面平行。()（3)若兩平面垂直,則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面。（）(4)若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無數(shù)條直線，則α⊥β.（）解析（1)直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直,則有l(wèi)⊥α或l與α斜交或l?α或l∥α，故(1)錯(cuò)誤。(2）垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行或相交，故(2)錯(cuò)誤。（3）若兩個(gè)平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線可能垂直于另一平面,也可能與另一平面平行，也可能與另一平面相交，也可能在另一平面內(nèi)，故（3)錯(cuò)誤.（4）若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的所有直線，則α⊥β,故（4）錯(cuò)誤。答案(1)×（2）×(3)×(4）×2.(必修2P56A組7T改編）下列命題中錯(cuò)誤的是（）A。如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l,那么l⊥平面γD.如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β解析對(duì)于D，若平面α⊥平面β,則平面α內(nèi)的直線可能不垂直于平面β，即與平面β的關(guān)系還可以是斜交、平行或在平面β內(nèi),其他選項(xiàng)易知均是正確的。答案D3。（2016·浙江卷）已知互相垂直的平面α，β交于直線l，若直線m,n滿足m∥α,n⊥β，則（）A.m∥lB。m∥nC。n⊥lD.m⊥n解析因?yàn)棣痢搔拢絣,所以l?β，又n⊥β，所以n⊥l，故選C.答案C4.已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個(gè)不重合的平面，下面給出的條件中一定能推出m⊥β的是（）A。α⊥β且m?α B.α⊥β且m∥αC.m∥n且n⊥β D.m⊥n且α∥β解析由線線平行性質(zhì)的傳遞性和線面垂直的判定定理，可知C正確。答案C5.（2017·浙江名校協(xié)作體聯(lián)考）已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝eq\r（2)。將△ABD沿矩形的對(duì)角線BD所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過程中,(）A.存在某個(gè)位置，使得直線AC與直線BD垂直B.存在某個(gè)位置,使得直線AB與直線CD垂直C。存在某個(gè)位置，使得直線AD與直線BC垂直D.對(duì)任意位置,三對(duì)直線“AC與BD”，“AB與CD"，“AD與BC"均不垂直解析若AB⊥CD，BC⊥CD，則可得CD⊥平面ACB,因此有CD⊥AC.因?yàn)锳B＝1，BC＝AD＝eq\r(2）,CD＝1，所以AC＝1，所以存在某個(gè)位置，使得AB⊥CD。答案B6。(必修2P67練習(xí)2改編）在三棱錐P－ABC中,點(diǎn)P在平面ABC中的射影為點(diǎn)O，（1）若PA＝PB＝PC，則點(diǎn)O是△ABC的________心。(2)若PA⊥PB，PB⊥PC,PC⊥PA,則點(diǎn)O是△ABC的________心.解析（1）如圖1，連接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中,PA＝PC＝PB,所以O(shè)A＝OB＝OC，即O為△ABC的外心。圖1圖2(2)如圖2，∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB，AB?平面PAB，∴PC⊥AB,又AB⊥PO,PO∩PC＝P,∴AB⊥平面PGC，又CG?平面PGC，∴AB⊥CG，即CG為△ABC邊AB的高.同理可證BD,AH分別為△ABC邊AC，BC上的高，即O為△ABC的垂心.答案（1）外（2）垂考點(diǎn)一線面垂直的判定與性質(zhì)【例1】如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°,PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn).證明：(1)CD⊥AE；（2）PD⊥平面ABE。證明（1)在四棱錐P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE?平面PAC,∴CD⊥AE。(2）由PA＝AB＝BC,∠ABC＝60°，可得AC＝PA。∵E是PC的中點(diǎn)，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD。而PD?平面PCD，∴AE⊥PD?！逷A⊥底面ABCD,AB?平面ABCD，∴PA⊥AB。又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A,∴AB⊥平面PAD,而PD?平面PAD,∴AB⊥PD。又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE。規(guī)律方法（1）證明直線和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性（a∥b，a⊥α?b⊥α）；③面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質(zhì)(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l?β?l⊥α）.（2)證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).因此,判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想?！居?xùn)練1】如圖所示，已知AB為圓O的直徑，點(diǎn)D為線段AB上一點(diǎn)，且AD＝eq\f（1，3)DB，點(diǎn)C為圓O上一點(diǎn)，且BC＝eq\r(3)AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB。求證:PA⊥CD.證明因?yàn)锳B為圓O的直徑，所以AC⊥CB.在Rt△ABC中，由eq\r（3)AC＝BC得，∠ABC＝30°.設(shè)AD＝1，由3AD＝DB得，DB＝3，BC＝2eq\r(3）.由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos30°＝3，所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AB.因?yàn)镻D⊥平面ABC，CD?平面ABC，所以PD⊥CD，由PD∩AB＝D得，CD⊥平面PAB，又PA?平面PAB，所以PA⊥CD.考點(diǎn)二面面垂直的判定與性質(zhì)【例2】(2015·山東卷）如圖，三棱臺(tái)DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分別為AC，BC的中點(diǎn).(1）求證：BD∥平面FGH;（2）若CF⊥BC,AB⊥BC,求證：平面BCD⊥平面EGH。證明(1）連接DG,CD，設(shè)CD∩GF＝M，連接MH.在三棱臺(tái)DEF－ABC中,AB＝2DE,G為AC中點(diǎn)，可得DF∥GC,且DF＝GC,則四邊形DFCG為平行四邊形。從而M為CD的中點(diǎn)，又H為BC的中點(diǎn)，所以HM∥BD,又HM?平面FGH，BD?平面FGH，故BD∥平面FGH.（2）連接HE，因?yàn)镚,H分別為AC，BC的中點(diǎn)，所以GH∥AB。由AB⊥BC，得GH⊥BC.又H為BC的中點(diǎn)，所以EF∥HC，EF＝HC,因此四邊形EFCH是平行四邊形，所以CF∥HE.又CF⊥BC，所以HE⊥BC.又HE，GH?平面EGH，HE∩GH＝H，所以BC⊥平面EGH.又BC?平面BCD,所以平面BCD⊥平面EGH。規(guī)律方法(1）證明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理.（2)已知兩平面垂直時(shí),一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.【訓(xùn)練2】如圖,在三棱錐P－ABC中,平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分別為AB，PA的中點(diǎn)。（1）求證：PB∥平面MNC；（2）若AC＝BC，求證：PA⊥平面MNC.證明(1)因?yàn)镸，N分別為AB，PA的中點(diǎn)，所以MN∥PB.又因?yàn)镸N?平面MNC，PB?平面MNC，所以PB∥平面MNC.（2）因?yàn)镻A⊥PB，MN∥PB，所以PA⊥MN。因?yàn)锳C＝BC，AM＝BM，所以CM⊥AB。因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABC，CM?平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB。所以CM⊥平面PAB。因?yàn)镻A?平面PAB,所以CM⊥PA.又MN∩CM＝M，所以PA⊥平面MNC.考點(diǎn)三平行與垂直的綜合問題（多維探究)命題角度一多面體中平行與垂直關(guān)系的證明【例3－1】(2016·江蘇卷)如圖,在直三棱柱ABC－A1B1C1中,D，E分別為AB，BC的中點(diǎn),點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求證：（1）直線DE∥平面A1C1F；(2）平面B1DE⊥平面A1C1F.證明(1）在直三棱柱ABC－A1B1C1中,A1C1∥AC.在△ABC中,因?yàn)镈,E分別為AB,BC的中點(diǎn)，所以DE∥AC,于是DE∥A1C1。又因?yàn)镈E?平面A1C1F,A1C1?平面A1C1F,所以直線DE∥平面A1C1F。(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1。因?yàn)锳1C1?平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.又因?yàn)锳1C1⊥A1B1，A1A?平面ABB1A1,A1B1?平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.因?yàn)锽1D?平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.又因?yàn)锽1D⊥A1F，A1C1?平面A1C1F,A1F?平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F.因?yàn)橹本€B1D?平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F。規(guī)律方法（1)三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化.(2)垂直與平行的結(jié)合問題，求解時(shí)應(yīng)注意平行、垂直的性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用。命題角度二平行垂直中探索性問題【例3－2】如圖所示，平面ABCD⊥平面BCE，四邊形ABCD為矩形，BC＝CE,點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)。（1)證明:AE∥平面BDF.(2)點(diǎn)M為CD上任意一點(diǎn)，在線段AE上是否存在點(diǎn)P，使得PM⊥BE？若存在,確定點(diǎn)P的位置，并加以證明;若不存在,請(qǐng)說明理由.(1）證明連接AC交BD于O，連接OF,如圖①?！咚倪呅蜛BCD是矩形，∴O為AC的中點(diǎn)，又F為EC的中點(diǎn)，∴OF為△ACE的中位線，∴OF∥AE,又OF?平面BDF，AE?平面BDF，∴AE∥平面BDF.（2）解當(dāng)P為AE中點(diǎn)時(shí),有PM⊥BE，證明如下：取BE中點(diǎn)H，連接DP，PH，CH，∵P為AE的中點(diǎn)，H為BE的中點(diǎn),∴PH∥AB，又AB∥CD，∴PH∥CD，∴P，H,C，D四點(diǎn)共面.∵平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE＝BC,CD?平面ABCD,CD⊥BC.∴CD⊥平面BCE，又BE?平面BCE，∴CD⊥BE，∵BC＝CE,H為BE的中點(diǎn)，∴CH⊥BE,又CD∩CH＝C,∴BE⊥平面DPHC,又PM?平面DPHC，∴BE⊥PM，即PM⊥BE.規(guī)律方法（1）求條件探索性問題的主要途徑：①先猜后證,即先觀察與嘗試給出條件再證明；②先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性.(2)涉及點(diǎn)的位置探索性問題一般是先根據(jù)條件猜測(cè)點(diǎn)的位置再給出證明，探索點(diǎn)存在問題，點(diǎn)多為中點(diǎn)或三等分點(diǎn)中某一個(gè)，也可以根據(jù)相似知識(shí)建點(diǎn).【訓(xùn)練3】(2017·嘉興七校聯(lián)考)在如圖所示的幾何體中,面CDEF為正方形，面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AC＝eq\r(3)，AB＝2BC＝2,AC⊥FB.(1)求證:AC⊥平面FBC。(2）求四面體FBCD的體積。(3)線段AC上是否存在點(diǎn)M，使EA∥平面FDM?若存在，請(qǐng)說明其位置，并加以證明;若不存在，請(qǐng)說明理由.(1)證明在△ABC中,因?yàn)锳C＝eq\r（3)，AB＝2，BC＝1,所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC。又因?yàn)锳C⊥FB，BC∩FB＝B，所以AC⊥平面FBC.(2)解因?yàn)锳C⊥平面FBC，F(xiàn)C?平面FBC，所以AC⊥FC。因?yàn)镃D⊥FC，AC∩CD＝C，所以FC⊥平面ABCD.在等腰梯形ABCD中可得CB＝DC＝1，所以FC＝1。所以△BCD的面積為S＝eq\f（\r（3），4)。所以四面體FBCD的體積為VF－BCD＝eq\f(1,3)S·FC＝eq\f(\r(3），12)。(3）解線段AC上存在點(diǎn)M，且點(diǎn)M為AC中點(diǎn)時(shí)，有EA∥平面FDM。證明如下:連接CE