彈塑性力學(xué)習(xí)真題答案

北京工業(yè)大學(xué)2019-2012年攻讀博士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題

歷年真題匯編考試科目：彈塑性力學(xué) 科目代碼：2220考試時(shí)間：月日（注：特別提醒所有答案一律寫在答題紙上，直接寫在試題或草稿紙上的無效!）2—3.試求圖示單元體斜截面上的。30。和t30（應(yīng)力單位為MPa）并說明使用材料力學(xué)求斜截面應(yīng)力為公式應(yīng)用于彈性力學(xué)的應(yīng)力計(jì)算時(shí),其符號(hào)及正負(fù)值應(yīng)作何修正。解：在右圖示單元體上建立xoy坐標(biāo)，則知。=-10 。=-4t=-2（以上應(yīng)力符號(hào)均按材力的規(guī)定）代人材力有關(guān)公式得:o=0x+Cy+^x~^ycos2a-Tsin2aTOC\o"1-5"\h\z30 2 2 xy-10-4-10+4 1J3 1°=—0—+—0—cos60+2sin60=-7-3x—+2x— y2 2 2 2 題1-3圖=-6.768-6.77(MPa)o-o_ - -10+4t=xjy?sin2a+tcos2a= ?sin60-2cos6030 2 xy 2、3 1=-3x--2x=-3.598-3.60(MPa)22代入彈性力學(xué)的有關(guān)公式得：己知。*=-10。，=-4lv=+2o=o,x+oy+(0x_0y)cos2a+tsin2aTOC\o"1-5"\h\z30 2 2 xy-10-4-10+4 1「＜3= + cos60+2sin60=-7-3x—+2x——2 2 2 2=-6.768-6.77(MPa)° °0-0 _ - -10+4t=-———?sin2a+tcos2a= ?sin60+2cos6030 2 xy 2o ° '=3x—+2x1=3.5983.60(MPa)22由以上計(jì)算知，材力與彈力在計(jì)算某一斜截面上的應(yīng)力時(shí)，所使用的公式是不同的，所得結(jié)果剪應(yīng)力的正負(fù)值不同，但都反映了同一客觀實(shí)事。

2—6.懸掛的等直桿在自重W作用下（如圖所示）。材料比重為Y彈性模量為E,橫截面面積為A。試求離固定端z處一點(diǎn)C的應(yīng)變、與桿的總伸長量Al。解：據(jù)題意選點(diǎn)如圖所示坐標(biāo)系xoz,在距下端（原點(diǎn)）為z處的c點(diǎn)取一截面考慮下半段桿的平衡得：c截面的內(nèi)力：N『Y?A?z；c截面上的應(yīng)力：O=N=^--z=丫，z；zAA所以離下端為z處的任意一點(diǎn)c的線應(yīng)變ez為：/工;zEE則距下端（原點(diǎn)）為z的一段桿件在自重作用下，其伸長量為:l=Jz,d(A/)=Jz￡,d=JzUd=Ljzzd=M；z zzEzEy2E顯然該桿件的總的伸長量為（也即下端面的位移）:l制Id(Al制Id(Al)J±丫W(wǎng)4

2E2EA―2EA；(W=yAl)題1—6圖一500300-8002—9.己知物體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力張量為：。詁=+3000-300-800-3001100應(yīng)力單位為kg/cm2。

試確定外法線為ni{-3=,-3=,-3=}（也即三個(gè)方向余弦都相等）的微分斜截面上的總應(yīng)力外正應(yīng)力。n及剪應(yīng)力Tn。解：首先求出該斜截面上全應(yīng)力p在小y、z三個(gè)方向的三個(gè)分量：n，=n『n『nzP=Q+t+t）n，=[5+3+（-8）]x102X-3==0Pz=Q+T+O)n'=[(-8)+(—3)+11]X102X-3==0P=(+oPz=Q+T+O)n'=[(-8)+(—3)+11]X102X-3==0y()y()(e)所以知，該斜截面上的全應(yīng)力Pn及正應(yīng)力。n、剪應(yīng)力Tn均為零，也即:Pn=On=Tn=02—15.如圖所示三角形截面水壩材料的比重為Y，水的比重為Y1。己求得應(yīng)力解為：。x=ox+Ay,。y=cx+dy-Yy,tydx.gy； 試根據(jù)直邊及斜邊上的邊界條件，確定常數(shù)a、b、c、d。解：首先列出OA、OB兩邊的應(yīng)力邊界條件:OA邊：11=-1 ； 12=0 ； Tx= Y1y ； Ty=0 貝U。x=-Y1y ；t=0xy 代入：。x=ax+by；txyndx-ay 并注意此時(shí)：x=0得：b=-Y]；a=0； OB邊：l]=cosB；12=-sinB,Tr=Ty=0ocosp+tsinp二tcosp+osinp二yx y將己知條件：。x=-Y1y；txy=-dx； 。y=cx+d：y-Yy代入（0）式得：一-1ycosp+dxsinp=0-dxcosp-(ex+dy-yy)sinp=0化簡（b）式得：d=Y膽B(tài)； 化簡出式得：c=YctgB-2ylctg3B

12602—17.己知一點(diǎn)處的應(yīng)力張量為6100x1032—17.己知一點(diǎn)處的應(yīng)力張量為o+o+o—^ 士試求該點(diǎn)的最大主應(yīng)力及其主方向。解：由題意知該點(diǎn)處于平面應(yīng)力狀態(tài)，且知：。X=12X103且該點(diǎn)的主應(yīng)力可由下式求得：。y=10X103TX=6X103,o1.212+10,/12-10o1.2—土山丁J+6十103=(1士<37)x103=(11士6.0828)x103=17.0833103(p〃)4.91724x103則顯然：o1=17.083x103Pao2=4.917x103Pao3=0。］與X軸正向的夾角為：（按材力公式計(jì)算）TOC\o"1-5"\h\z-2t —2x(—6)+12 , sin20 +tg20= *^= = =+6 =一o-o12—10 2 cos20 +%y顯然2e為第I象限角：2e=arctg(+6)=+80?5376°貝人e=+40.2688-40°16， 或(-139°44，)2—19.己知應(yīng)力分量為：。廣。y=。rtxy=0,tzy=a,tzx=b，試計(jì)算出主應(yīng)力。「。2、。3并求出。2的主方向。解：由2—11題計(jì)算結(jié)果知該題的三個(gè)主應(yīng)力分別為：oI=4a2+b2；o2=0；o=-ya2+b2；設(shè)。2與三個(gè)坐標(biāo)軸X、y、z的方向余弦為：I#122、123,于是將方向余弦和。2值代入下式即可求出。2的主方向來。TOC\o"1-5"\h\z一121(°Lf)+122t+123t「123t「0 C1)<lt+1Vo-o)+1t=lt=0 (2)lt+1t+1(o-o)=lt+1t=0 (3)以及：l2+12+12=1 (4)22 23 ll-^2-二—l21由(1)(2)得：123=0

l由（3）得：產(chǎn)=-22將以上結(jié)果代入⑷式分別得：121l22l2111+-al:.lb22 2211+(b)2aa2+b2同理l21于是主應(yīng)力。2的一組方向余弦為：（土一，一人. 22b <2a'的一'組方向余弦為（±—,±—, ,±2“'a2+b22ja2+b22—20.證明下列等式:小 17⑴：J2=I2+3I；；(3)：I=-1(oo-oo)；2 2iikkikik證明⑴：等式的右端為：/2+3112=-(oo+oo+oo122331+o+o3 12 32+o2+o2+2oo+2oo+2oo)-(oo+oo+oo)1223311223312+O2+O2)+4(oo+oo+oo122331)-6(oo+oo+oo)122331o2+o2+o2-oo-oo-oo1223311「o2-2oo+o2+o2-2oo+o2+o2-2oo+o261=1(o

6-122331-o)+(o-o)+(o-o故左端=右端證明(3)： I=-1(oo-oo)2 2iikkikik右端=1(oo-oo)2iikkikik1J c(kk=—o2+o2+o2+2Vr2+T2+T22LXyyzzX+o+o)Q+o+o)1XyzXyz=1「o2+o2+o2+2(T2+T2+T2)-o2-o2-o2-2(oo+OO+oo2LXyyzzXXyyzzXO+OO+OO-T2-T2-T2)=ITOC\o"1-5"\h\zxyyzzxxy yz, zxu=a+ax+ay+az2—28：設(shè)一物體的各點(diǎn)發(fā)生如下的位移一v=b0+b1x+b2y+b3zw=c+cx+cy+cz0 0 12 3式中a0、% q、c2均為常數(shù)，試證各點(diǎn)的應(yīng)變分量為常數(shù)。 一證明：將己知位移分量函數(shù)式分別代入幾何方程得：du dv7 dw dudv7e=—=a；e=—=b；e= —c；y=—+—=b+ax d.x 1 y dy 2z dz 3盯 Sy dx 1 2dvdv Sw 7y——+———c+b；yz Sz Sy 2 3Su Swy———+———a+c；zx Sy Sx 3 12—29：設(shè)己知下列位移，試求指定點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)。（1）：u=2—29：設(shè)己知下列位移，試求指定點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)。（1）：u=(3x2+20)x10-2

v=(4yx)x10-2在（0，2）點(diǎn)處;u=(6x2+15)x10-2（2）：<w（2）：<w=(3z2-2xy)x10-2在（1，3,4）點(diǎn)處v=(8zy)x10-2Su解(1)：Su解(1)：———e=6x?10-2Sx xSv ?——e=4x-10-2Sy yyxySuSv——+—=0+4y-10-2SySx在（0，2）點(diǎn)處，該點(diǎn)的應(yīng)變分量為：ere「0；y沖=8x10-2；一040一寫成張量形式則為：e=400x10-2；j000解（2）：將己知位移分量函數(shù)式代入幾何方程求出應(yīng)變分量函數(shù)式，然后將己知點(diǎn)坐標(biāo)（1，3,4）代入應(yīng)變分量函數(shù)式。求出設(shè)點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)。Su Sv_.e=一=12x10-2=12x10-2； e=——8z10-2=32x10-2xSx ySy

dw——=6z10-2=24x10-2；氏AvSwy-B+Sw-「8y+(-2x)110-2=(24-2)x10-2—22x10-2yzSzSy「 」SwSuy——+———(-2y+0)10-2=—6x10-2；zxSxSz用張量形式表示則為：一120-3一￡―03211X10-2ij-311242—32：試說明下列應(yīng)變狀態(tài)是否可能（式中a、b、c均為常數(shù)）c（x2+y2）cxy0（1）:￡= cxy cy20ij0 00(2):ijaxy2(2):ijaxy2ax2y1(j)1—axx2+by272, 、2(az2+by2)2(2(ax2+by2)2(az2+by2)c(x2+y2)zcxyz0(3):￡=cxyzcy2z0ij0 0 0解（1）：由應(yīng)變張量￡j知：￡xz=￡yz=￡zx=￡zy=￡z=0而\、￡y、￡xy及8yx又都是x、y坐標(biāo)的函數(shù)，所以這是一個(gè)平面應(yīng)變問題："zXyxyyx將一、）、^^代入二維情況下，應(yīng)變分量所應(yīng)滿足的變形協(xié)調(diào)條件知：

d2￡ d2￡ d2y—一十〒1二0y也即：2c+0=2c 知滿足。dy2 dx2 dxdy所以說，該應(yīng)變狀態(tài)是可能的。解（2）：將己知各應(yīng)變分量代入空間問題所應(yīng)滿足的變形協(xié)調(diào)方程得:S2S28Sx2S28+ xSz2S2ySz-^zxSxS(SySySy)S28)— zx-+ xy— k=2 x-Sx[SySzSxJSySzS(SySySy)S28 x^+ yz— zx=2 Syl&SxSyJSzSxSSSySy)cS28一 y^+ z^— xy=2 zSzlSxSySzJSxSy（1）d28S28S2y Xr+ y= xySy2SX2SxSyd28S28S2y y■+ z= yzSz2Sy2SySz2ax+2ay=00+0=00+0=0得：八八》不滿足，因此該應(yīng)變狀態(tài)是不可能的。0=02b中00=0解（3）：將己知應(yīng)變分量代入上（1）式得：2cz+0=2cz0+0200=0 ）不滿足，因此該點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)是不可能的。2cy=2cy2cx中0第三章：彈性變形及其本構(gòu)方程3-5.試依據(jù)物體三向受拉，體積不會(huì)縮小的體積應(yīng)變規(guī)律，來證明泊松比V的上下限為0VVV2；證明：當(dāng)材料處于各向等值的均勻拉伸應(yīng)力狀態(tài)下時(shí)，其應(yīng)力分量為： 011=°22=°33訝 012=023=031=0 如果我們定義材料的體積彈性模量為瓦則顯然：4=-,e為體積應(yīng)變。e將上述應(yīng)力分量的值代入廣義胡克定律：j2G5十九3』得：'p=2G8+ke<p=2G8+Xen三式相加得：3p=（3X+2G）e2.p=2G8VkeI 3 將p=ke代入上式得：k=3（2G+3入）=入+3G （1）~~由彈性應(yīng)變能多的正定性（也就是說在任何非零的應(yīng)力值作用下，材料變形時(shí)，其彈性應(yīng)變能總是正的。）知k>0,E>0,G>0。 ~~H ： 1一1,~~「“因：u=u+u=12+——J=—ke2+Gee0ood18k12G22 ijij~~我們知道體積變形e與形狀變化部分，這兩部分可看成是相互獨(dú)立的，因此由〃o的正定性可推知: k>0,G>0。 而又知： E=9kG 所以：E>0。3k+G我們將（1）式變化為: 72k 2c2GV2GG-2V）+6GV2GG+V） 2（1+V）E E=3+X=3+1-2V 3（1-2V） 3（1-2V）—3（1-2V）2-（1+V）—3（1-2V）GG+V）=前一 ⑵由（2）式及k>0,G>0,E>0知：1+V20,1-2V20。解得：-1<VW1。但是由于到目前為止，還沒有發(fā)現(xiàn)有VV0的材料，而只發(fā)現(xiàn)有V值接近于其極限值1的材料（例如：橡膠、石臘）和V值幾乎等于零的材料（例如：軟木）。因此，一般認(rèn)為泊

松比V的上、下限值為1和0,所以得：0VVV1或：0<VW1；3-10.直徑為D=40mm的鋁圓柱體，緊密地放入厚度為5=2mm的鋼套中，圓柱受軸向壓力P=40KN。若鋁的彈性常數(shù)據(jù)E1=70GPa.V產(chǎn)0.35,鋼的彈性常數(shù)E=210Gp。。試求筒內(nèi)的周向應(yīng)力。解：設(shè)鋁塊受壓?！?2/TOC\o"1-5"\h\z-40x103 100解：設(shè)鋁塊受壓。「02/而O=-i =———1 萬兀X42X10-4 兀4則周向應(yīng)變-q-嗎IK1qx4x10則周向應(yīng)變-q-嗎IK8二 二 鋼E鋼2x0.2x10-2 E鋼8鋁=8鋼 q=2.8MN/m2鋼套o(hù)=8鋁=8鋼 q=2.8MN/m2qvo=—rqvo=—r2to=—；et'4-14.試證明在彈性范圍內(nèi)剪應(yīng)力不產(chǎn)生體積應(yīng)變，并由純剪狀態(tài)說明y=0。證明：在外力作用下，物體將產(chǎn)生變形，也即將產(chǎn)生體積的改變和形狀的改變。前者稱為體變，后者稱為形變。并且可將一點(diǎn)的應(yīng)力張量。.和應(yīng)變張量￡.分解為，球應(yīng)力張量、球應(yīng)變張量和偏應(yīng)力張量、偏應(yīng)變張量。o=o5+s8J=85J+e

liJmijij而球應(yīng)變張量只產(chǎn)生體變，偏應(yīng)變張量只引起形變。通過推導(dǎo)，我們?cè)谛∽冃蔚那疤嵯?，?duì)于各向同性的線彈體建立了用球應(yīng)力、球應(yīng)變分量和偏應(yīng)力分量，偏應(yīng)變分量表示的廣義胡克定律：TOC\o"1-5"\h\z[o=3k8=k (1)1m“me ()[s=2Ge (2)(1)式中：e為體積應(yīng)變e=8+8+8=^+8+8=Ixyz12 3 110

由（1）式可知，物體的體積應(yīng)變是由平均正力。m確定，由力中的三個(gè)正應(yīng)力之和為令，以及（2）式知，應(yīng)變偏量只引起形變，而與體變無關(guān)。這說明物體產(chǎn)生體變時(shí)，只能是平均正應(yīng)力。加作用的結(jié)果，而與偏應(yīng)力張量無關(guān)進(jìn)一步說就是與剪應(yīng)力無關(guān)。物體的體積變形只能是并且完全是由球應(yīng)力張量引起的。 77^~~,一,' 3 1 -…，一由單位體積的應(yīng)變比能公式：u=u+u=-c8+-se；也可說明物體的體變oovod2mm2ijij只能是由球應(yīng)力分量引起的。當(dāng)某一單元體處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)時(shí)：其彈性應(yīng)變比能為：=0當(dāng)某一單元體處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)時(shí)：其彈性應(yīng)變比能為：=0+—T22G xy1+v T2Exy由uo的正定性知：E>0,1+y>0.得：羽>-1。由于到目前為止還沒有X0的材料，所以，v必須大于零。即得：y>0。3-16.給定單向拉伸曲線如圖所示，￡s、E、E'均為已知，當(dāng)知道B點(diǎn)的應(yīng)變?yōu)椤陼r(shí)，試求該點(diǎn)的塑性應(yīng)變。故：￡p=￡-￡e=8———=8故：￡p=￡-￡e=8———=8一

E—「O+E<8-8)]=8——rE8+E'(&-8)]ELe e」E'~s s」EEEEEE8 8 18+—8EsEEs(E'、—81 （ （（E/二（8—8）1——；11113-19.已知藻壁圓筒承受拉應(yīng)力o=0s及扭矩的作用，若使用Mises條件，試求屈服時(shí)扭z2轉(zhuǎn)應(yīng)力應(yīng)為多大？并求出此時(shí)塑性應(yīng)變?cè)隽康谋戎?。解：由于是藻壁圓筒，所可認(rèn)圓筒上各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是均勻分布的。據(jù)題意圓筒內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為：（采用柱坐標(biāo)表示）2；T田二0，T0z*；Tzr=0；于是據(jù)miess屈服條件知，當(dāng)該藻壁圓筒在軸向拉力（固定不變）P及扭矩M（遂漸增大,直到材料產(chǎn)生屈服）的作用下，產(chǎn)生屈服時(shí)，有：r-O\+（O-O）+（O-O）+6Q2+T2+T2rr0 0zzr+6+6T2+6t2解出T得：T=（；t就是當(dāng)圓筒屈服時(shí)其橫截面上的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力。任意一點(diǎn)的球應(yīng)力分量。m為:OmO任意一點(diǎn)的球應(yīng)力分量。m為:OmO+O+O

-0——r——

3應(yīng)力偏量為：s0=O0一°m；s=O-O；s=O-Om2Os=s=T=T=0；s=T=T=—s-；

0rrz0rrz z0 z0 2由增量理論知：d￡由增量理論知：d￡p=sd九ijijTOC\o"1-5"\h\z于是得：d￡p=d入s=——s-d入；d￡p=d入s=—-sd入；d￡p=d入s=—sd'；0 0 6 'rr6 'zz3 ；d￡p=d九s =0；d￡p=d九s=0； d￡p=d入s0r 0r rz rz z0 z0所以此時(shí)的塑性應(yīng)變?cè)隽康谋戎禐?T：0：0：3 2（-1）：（-1）：2：0：0：6；d￡p：d￡p：d￡p：d￡p：d￡p：dT：0：0：3 2（-1）：（-1）：2：0：0：6；0 r z 0r rz z0也即：d￡p：d￡p：d￡p：dyp：dp：dp0 r z 0r rz z03-20.一藻壁圓筒平均半徑為r,壁厚為t,承受內(nèi)壓力p作用，且材料是不可壓縮的，v=1；討論下列三種情況:（1）：管的兩端是自由的;12

（2）：管的兩端是固定的;（3）：管的兩端是封閉的;分別用mises和Tresca兩種屈服條件討論p多大時(shí)，管子開始屈服，如已知單向拉伸試驗(yàn)or值。 解：由于是藻壁圓筒，若采用柱坐標(biāo)時(shí)，。,仁0,據(jù)題意首先分析三種情況下，圓筒內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)：⑴：°。pr——°；°—0=°=⑴：°。pr——°；°—0=°=°=°=0⑵：°。pr——°；°=0=°；°z=v?°。vprpr⑶：°。pr——°；°pr2t顯然知，若采用Tresca條件討論時(shí)，（1）、（2）、（3）三種情況所得結(jié)果相同，也即:T=kT=k=T°-°—1 32pr°解出得：p=匚r若采用mises屈服條件討論時(shí)，則（2）（3）兩種情況所得結(jié)論一樣。于是得:(1)：2°(1)：2°2=(°-°>+(°-°>+(°-°1tJI2tJ解出得：p二二；r(2)、(3)：2°2(2)、(3)：2°2―(prpr)2pr)21t2°t解出得：p=點(diǎn)；J3r3-22.給出以下問題的最大剪應(yīng)力條件與畸變能條件:（1）：受內(nèi)壓作用的封閉藻壁圓管。設(shè)內(nèi)壓q，平均半徑為r，壁厚為￡,材料為理想彈塑性。（2）：受拉力p和旁矩作用的桿。桿為矩形截面，面積bXh，材料為理想彈塑性。t解（1）：由于是藻壁圓管且-<<1。所以可以認(rèn)為管壁上任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為平面應(yīng)力狀r態(tài)，即。,=0,且應(yīng)力均勻分布。那么任意一點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力為:qr——°qr——°；——°；2t2；若采用Tresca屈服條件，則有:13

=To-oo-oqr故得：o=—；或:stqrT二—；s21若采用mises屈服條件，則有：1r；22221max=To-oo-oqr故得：o=—；或:stqrT二—；s21若采用mises屈服條件，則有：1r；22221maxs2o2=6t2=(o—o—oA+(o—o故得:v3qr21=(o—oqr或：Tsb?+(o—o?+(o—oqrqr2t、2qr、2qr五解（2）：該桿內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為單向應(yīng)力狀態(tài)，（受力如圖示）PMyo=—+^-=oxFJ1

zo=o=o=o=0TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"_ __ h且知，當(dāng)桿件產(chǎn)生屈服時(shí)，首先在桿件頂面各點(diǎn)屈服，故知y=+-, P6M\o"CurrentDocument"得■:o=o=—+ ；1xbhbh2；若采用Tresca屈服條件，則有:o-olax"—1 lax"bhbh2bhbh2J2故得：obh；或：T1(2bh若采用mises屈服條件，則有:bhbh2J2o2=6t2=(o—o\+(o—o\+(o—o)=2o2=21—+bhbh2J14

一般以。,為準(zhǔn)（拉伸討驗(yàn)）第五章平面問題直角坐標(biāo)解答5-2：給出甲=axy；（1）：撿查中是否可作為應(yīng)力函數(shù)。（2）：如以平為應(yīng)力函數(shù)，求出應(yīng)力分量的表達(dá)式。（3）：指出在圖示矩形板邊界上對(duì)應(yīng)著什么樣的邊界力。（坐標(biāo)如圖所示）解：將①=axy代入V仰=0式求出相應(yīng)的應(yīng)力分量為：S2中 S2中S29；求出相應(yīng)的應(yīng)力分量為：S2中 S2中S29；； U；x Sy2 y Sx2u a；xy SxSy故知甲=axy可作為應(yīng)力函數(shù)。上述應(yīng)力分量\=oy=0；、y=-a在圖示矩形板的邊界上對(duì)應(yīng)著如圖所示邊界面力，該板處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)。5-4：試分析下列應(yīng)力函數(shù)對(duì)一端固定的直桿可解出什么樣的平面問題。5-4：試分析下列應(yīng)力函數(shù)對(duì)一端固定的直桿可解出什么樣的平面問題。 y2xy2h3I4 )xy顯然上述應(yīng)力分量在ad邊界及bc邊界上對(duì)應(yīng)的面力分量均為零，而在ad邊界上則切向面力分量呈對(duì)稱于原點(diǎn)。的拋物線型分布，指向都朝下，法向面力為均布分布的載荷q。顯然法向均布載荷q在該面上可合成為一軸向拉力p且p=2cq；而切向面力分量在該面上則可合成為一切向集中力：15

17fhfh乂 6FF17fhfh乂 6FF-J2Fdy=J2-dy=十——-h -hxy h32 22F(h3h3) +—+h3I8 8)「h2afh 12dy—2y2dy-h24 -h26Fh2(hh)F3F

+————+—4h3122) 2 2-+F—6F—y3

3h3,而cd邊界則為位移邊界條件要求，u=0,v=0,w=0以及轉(zhuǎn)角條件。由以上分析可知，該應(yīng)力函數(shù)對(duì)于一端固定的直桿（坐標(biāo)系如圖示），可解決在自由端受軸向拉伸（拉力為p=2cq）和橫向集中力F作用下的彎曲問題。（如圖示）5-6：已求得三角形壩體的應(yīng)力為：o=ax+byo=cx+dy，y一,一t-T——dx—ay—yxxyyxT-T-T-T-O-0其中Y為壩體的材料容重，Y1為水的容重，試據(jù)邊界條件求出常數(shù)a、b、c、d的高解：據(jù)圖示列出水壩OA邊界和OB邊界面上的應(yīng)力邊界條件:(a)(b)OB邊：x=0,I=cos（180°）=-1,m=0,Tx=Yy(a)(b)I—o-T-yy故得:1—Tx-Tx-01lxyyOA邊：x=ytgB,I=cosB,m=cos(90°+B)=-sinB,Tx=T=016

故有:ocos故有:ocosP-tsinP=0tcosP-osinP=0(c)

(d)將o 0=ax+bybby代入［)式得:…b.二分；；將：tI =-ay代入6)式得：-(-ay)=0得a=0；xyx=0將o、t代入“）式得：d=yctg2P-y；xxy 1將o、t代入@)式得：c=yctgB-2yctg3P；yyx 15-7：很長的直角六面體，在均勻壓力q的作用下，放置在絕對(duì)剛性和光滑和基礎(chǔ)上，不計(jì)體力。試確定其應(yīng)力分量和位移分量。解：由題意知，該問題為一平面應(yīng)變問題。由于不計(jì)體力所以平面應(yīng)力與平面應(yīng)變的變形協(xié)調(diào)方程是一樣的，故可取一單位長度的直角六面體來研究其應(yīng)力狀態(tài)。當(dāng)求知應(yīng)力分量函數(shù)后，再由平面應(yīng)變的本構(gòu)關(guān)系求得應(yīng)變分量，進(jìn)一步積分再利用有關(guān)位移邊界條件確定積分常數(shù)后求得位移分量。這里我們采用逆解法，首先據(jù)題目設(shè)應(yīng)力函數(shù)P=ay2顯然中式滿足雙調(diào)和方程式V仰=0。相應(yīng)應(yīng)力分量為：ox=2a，Oy=0，t叮=0顯然直角六面體左右兩面的應(yīng)力邊界條件自動(dòng)滿足。 “ y"—q對(duì)于項(xiàng)邊：y4，l=1,m=0:h/q,Ty=0則可定出：a=宣；q對(duì)于底邊：y=0,l=-1,m=0,9Tx=q,Ty=0同樣定出：a=—1；17

因此滿足該問題所有應(yīng)力邊界條件的解為:o=q，o=0，T=T=0應(yīng)這分量為:V2V2一1R，8,(1+V)Vu=^E^qx+f(y)+A(1+v)v /\積分得:4v= qy+f(x)+B積分得:E ”/ i利用位移邊界條件確定積分常數(shù)：當(dāng)x=0,y=0時(shí)，u=0貝U：4=0⑵當(dāng)x=0,y=0時(shí)，了=0貝U：B=0當(dāng)x=0時(shí)，u=0貝U：f(y)=0⑷當(dāng)y=0時(shí)，y=0貝U：f(x)=0因此知該問題的位移分量為:V2V2一1

u= qx；E'(1+V)VV=^qy；5-10:設(shè)圖中的三角形懸臂梁只受重力作用。而梁的比重為p,試用純?nèi)问?①=ax3+bx2y+cxy2+dy3的應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量？解:顯然甲式滿足V2中=0式，可做為應(yīng)力函數(shù),相應(yīng)的應(yīng)力分量為:18

o=2cx+6byd2Woy=云-py=6ax+2by-py>t=--^-=—2bx-2^yxy d.xOy邊界條件：ox邊：y=0,l=0即=-1,Fx=Fy=0則：2fer=0得：b=0-6ax=0 得：a=0oa邊：y=xtga,l=cos(90+a)=-sina;m=cosa;F=F=0(a(a)(b)［一(2cx+6dxtga)sina-2cxtga-cosa=0則：，oI2cxtga?sina-pxtga?cosa=0- -， p由(c)式得：c=3ctga;p-代入（b）式得：d="ctg法；所以（a）式變?yōu)椋簅=pxctga-2pyctg2ao=-pyyt=-pyctgaxy第六章平面問題的極坐標(biāo)解6-3:在極坐標(biāo)中取P=Alnr+Cr2,式中A與C都是常數(shù)。（i）：檢查中是否可作應(yīng)力函數(shù)？（ii）：寫出應(yīng)力分量表達(dá)式？（iii）：在r=a和r=b的邊界上對(duì)應(yīng)著怎樣的邊界條件？解：首先將中式代入V4P=0式，其中：即,1=A—+即,1=A—+2Cr;0r r故：V4P+2C02P_A' 0r2 r2+2C;0p00=L/A A—-+2C+—(r2 r2\++2C+0=0;)2,0,1Op_Ar0rr210 102 + r0rr200故：p式可作為應(yīng)力函數(shù)。應(yīng)力分量為:19

TOC\o"1-5"\h\z1即1s24Aa(\

o= + =+2C; (a)rrSrr2392r2\o"CurrentDocument"o="」+2C; (b)9Sr2 r2T=工粵」M=0；Q)r9r2S9rSrS9對(duì)于右圖所示圓環(huán)，上述應(yīng)力分量對(duì)應(yīng)著如下邊界條件：當(dāng)r=a時(shí)（內(nèi)環(huán)）：（l=-1,m=0.）=or(A 、=or(A 、--+2C;Ia2 J9 r9r=aF=oF=T9 r9F=oF=T9 r9r=b=0;6-5：試確定應(yīng)力函數(shù)①="2（cos29-cos2a）中的常數(shù)c值。使?jié)M足題5圖中的條件:（1）在9=a面上，。。=0t用二s;（2）在9=-a面上，。9=0t陽=-s;并證明楔頂不有集中力與力偶作用。解：首先將甲式代入V4P=0式，知其滿足,故可做為應(yīng)力函數(shù)。相應(yīng)的應(yīng)力分量為:—=2cr(—=2cr(cos29-cosSrS2PSrS9=-2cr2sin29;^-P-=2c(cos29-cos2a) P=-4cr2cos29;Sr2 S92=-4crsin29; 則得:20(a)s2csin2a=s.得(a)s2csin2a=s.得:c= ;9=-a時(shí).o2sin2a 9=0,t=-s;當(dāng)-2clcos(-2a)-cos2a]=0.r9因cos(-a)=cosa,則0=0,2csin(-2a)=-2csin2a=-s得c= S ;故得:2sin2a①=sr2《os29-cos2a)2sin2a0) -(cos29sin2a+cos2a)oa-s-(cos29sin2a-cos2a)tr9 sin29sin2ao=18+—^2^=—2c(cos29-cos2a)rrdrr2392o=^^=2c(cos20-cos2a). 93r2,『白條；嘉"2cs-9 。邊界條件：當(dāng)9=a時(shí)，。一=0.T陽=s;貝h-2c（cos2a-cos2a）=0得0=0.自動(dòng)滿足由（e）式可知，該應(yīng)力函數(shù)在r=0處并不適用，所以（f）式也不反映o點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)。如果我們以a為半徑截取一部分物體為研究對(duì)象（見右圖示），并假設(shè)在o點(diǎn)處存在集中力Rx、Ry及集中力偶Mo，那么這部分物體在Rx、Ry、Mo、、以及s、o和T這一力系的作用下應(yīng)保持平衡狀TOC\o"1-5"\h\zr r9態(tài)。但事實(shí)上，由于s及or力的作用線都通過o點(diǎn)，Tr9及or、s的分布又都對(duì)稱為x軸，所以當(dāng)考慮ZMo（F）=0,及ZFy=0兩平衡條件時(shí)，要求Mo=Ry=0否則該物體將不平衡。R =Ja Io sin9+t cos91d9 =0;M= -fa Io sin9+t cos912d9 =0y r r9 o r r9—a —a如果存在Rx，則由楔形尖項(xiàng)處承受集中載荷的應(yīng)力的討論知（8-25）式，在楔形體內(nèi)就一定存在有隨r和9而變化的應(yīng)力分量or。然而我們?cè)谏鲜鲇懻撝兴媒Y(jié)果f）中第一式中，并不存在隨r而變化的這部分or應(yīng)力，所以要求R=0。因此知，在楔頂（就題8-5圖所示問題）不存在集中力與集中力偶的作用。R=』atocos9-tsin9rd9=-2srcosa A邊界力s平衡，Vxar r9 721

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