第三屆網(wǎng)絡(luò)建模題特一等

第三屆“ScienceWord杯”數(shù)學(xué)中編號專用頁參賽隊伍的參賽號碼：（請各個參賽隊提前填寫好競賽統(tǒng)一編號（由競賽送至評委團前編號競賽評閱編號（由競賽評委團評閱前進行編號2010年第三屆“ScienceWord杯”數(shù)學(xué)中國 關(guān)鍵 側(cè)位停車，有效車位，動力學(xué)模型，理想路 要聰明的汽車不僅能識別有效車位，而且能以最理想的路徑進行側(cè)位停車，側(cè)位停車是廣大車主難以解決的問題.實現(xiàn)側(cè)位泊車的最小有效車位，從而判斷本車是否能在該處停車.束等,位外調(diào)整路徑和汽車以最小半徑至最優(yōu)位置路徑兩部分.圍內(nèi)對于每個不同的初始點的圓弧我們都可以找到唯一的一個半徑軌跡與（是有界的半徑之間有無數(shù)條不相交的路徑，這就是允許的偏差路徑.（填寫（填寫SMART:Smartcarcannotonlyidentifyparkingspaceseffectively,butalsofindthebestpathtolalparking.Solvingthegeneralsideparkingisadifficultproblemforcarowners.Accordingtovehiclelengthandwidth,wheelbase, umdeviationanglegeometry,obtainedbygeometricalgorithmscanachievelalminimumcarparkingspaces,whichcanhelptodeterminewhetherthecarcanparkinthearea.Pathnning,accordingtothegeometricshapeofparkingspace,vehicledynamicsmodel,collisionconstraints,etc.,bycontrollingthesteeringangleandtherelativelocationofparkingspaces,parkingcontrolvehiclestoachieve.Meettheconstraintsofthevehicledynamicsmodel,itsorbitisacombinationofanumberoftangentialarcs,itspathintotheparkingspaceisdividedintospacesoutsidetheadjustmentpathandthecarparkingtoaminimumradiusoftheoptimallocationofthepathoftwoparts.Inaddition,wetakeadvantageofthetativeysisofscenariostounderstandtolerance.Paperfirstlyassumesthattheinitialpointsareinthesameverticalstraightline,andtheyallstartngtheminimumradiusofcircularmotion.Apparentlywithinacertainrangeforeachdifferentinitialpoint'sarccanbefoundauniquetangentwiththeradius,andtheradiusinofcoursenotinfinite(theyarelimited).ThisisthepathdeviationthatisallowedbetweentheMinimumRadiusandboundaryradii.:LalParking,EffectiveSpace,DynamicsModel,Best一、問題聰明的汽駛員技術(shù)與信心的問題.有報告稱：57%的駕駛員對自己的停車技術(shù)缺乏自信，這對側(cè)位停車而言，在空位較短的時候，駕駛員會難以確定自己的汽車是否能順利停入.請你建立合理的模型，以判斷本車是否能在該處側(cè)位停車.我們假設(shè)可以得到停車位1.能夠容易測得，例如幾何尺寸、轉(zhuǎn)彎半徑等.我們假設(shè)停車位置的平面圖能夠顯示在汽車的車載顯示器上.請給出本車為了進入停車位，應(yīng)當(dāng)從哪個位置和角度進入..二、問題(一)有效車由車體幾何尺寸和最大偏轉(zhuǎn)角可得出汽車最大轉(zhuǎn)彎半徑假設(shè)汽車在過程中始終以最小轉(zhuǎn)彎半徑進行泊車，這種情況下,汽車所走過的(二)理想路進退兩難的困境，除非重新再調(diào)整，否則別人或者自己的車體難免損傷.1首先了解汽車低速移動的原理：所有汽車都是以前輪轉(zhuǎn)向、后輪跟隨前輪行進的，言之，多數(shù)時候用入庫的方法泊車比較合適.如果試圖直頭泊車，則出現(xiàn)車頭用盡如果前進太多，時車頭右側(cè)很容與前車尾部有相觸的.此時如果回正方向盤如果前進太少前進未到位就開始進入車位雖然前車距離很遠但可以用于倒如果與車位距離太遠這時會出現(xiàn)車子橫擺角度太大就算后輪可以進入車位，如果角度過大，汽車的偏轉(zhuǎn)半徑過小，入庫時車頭右側(cè)很容與前車尾部有相觸的，并且這時會出現(xiàn)車子橫擺角度太大，就算后輪可以入庫，剩余的距離是將車身開直，當(dāng)達到某個最恰點時就可以開始.而路線要求最優(yōu)，只需要相應(yīng)行車路路徑最短即可，因此讓汽車以最大偏轉(zhuǎn)角θmax即最小半徑行駛即是最優(yōu).作(三)允許偏三、模型103km/h.假設(shè)前后停置的汽車都在三上沾滿整個車位，車位邊角線為汽車向碰的點；即汽車及汽車在地面的垂直投影，在整個過程當(dāng)中都不與車庫垂直方向的汽車結(jié)束后，汽車及汽車在地面的垂直投影離車庫四邊的最小距離都不能小100mm100mm假設(shè)車主開始調(diào)整入車位時都以最小半徑，再轉(zhuǎn)向運動本文汽車側(cè)位停車都時調(diào)整入車位的四、文中用到模型數(shù)據(jù)及符號說(一)按照題目中提供的平面圖，測量出相關(guān)數(shù)據(jù)如下(二)由于題目中提供的平面圖不能測量出如軸距、后輪到杠距離等數(shù)據(jù)，為了長寬后輪到杠距θmax車方向盤右左前輪轉(zhuǎn)方向盤右右前輪轉(zhuǎn)(三 相關(guān)符號及其說明 a后輪到杠的距離d汽車前后兩輪的軸距θmax最大偏轉(zhuǎn)角m Q’A N’

R1R2Rmin最小偏向半徑車位除去兩個m 車位除去一個m Ns汽車在標(biāo)準(zhǔn)點準(zhǔn)備進車位時后軸中心Nf五、模型的建立、求解及驗車輛動力學(xué)模型圖圖0中，車輛前后車軸的距離為L，車身與參考坐標(biāo)X軸夾角為.因為要求車輛轉(zhuǎn)圖1看出，左、右前輪偏轉(zhuǎn)角度是不相同的.可以把兩個前輪等效于車軸中點F的一個車輪，等效的偏轉(zhuǎn)角度為.假設(shè)車輛前車軸中點F的運行速度為v，后車軸中點R（一）一：有效車首先假設(shè)已知汽車的幾何尺寸.1dd W 后輪到杠的距θ(θmax)最大偏轉(zhuǎn)角圖對于側(cè)位停車的車位長度要由前面假設(shè)汽車結(jié)束后汽車及汽車在地面的垂直投影離車庫四邊的最小距離都不能小于m，以滿足目前選用的超聲傳感器測量的最小距離不大于mBmA、BHH>D+ Rmintanr W/2 R

W/2)2(L R2r1R2r1綜合式子①②可得車位的最小長度Hmin③對于側(cè)位停車的車位寬度要由前面假設(shè)，汽車結(jié)束后，汽車及汽車在離路肩邊緣距離為m.如圖3，為了不與車A、BE>h+ hR2R2a2rW ⑥L=4.908米，W=2.114米，d=2.350米，a=0.884米，θ=45°，m=0.1Hmin≈6.195倍；有效車位的最小寬度為Emin≈2.215米，與車的寬度相似H=6.652米；E=4.213米3）

Hmin≈6.195米；Emin≈2.215米H>Hmin；E>于是可以判斷，本車能夠順利在該處側(cè)位停車（二）:理想路當(dāng)達到某個最恰點時就可以開始.而路線要求最優(yōu)，只需要相應(yīng)行車路路徑最短即可，因此讓汽車以最大偏轉(zhuǎn)角θmax我們參照題目給出的停車位置平面圖以及可以知道，最理想的停車位置是車體后身中心點與圖上的點Nf重合，且此時車身呈豎起方向.為方便起見，我們用此時的汽車后軸中心點N作為坐標(biāo)原點，建立直角坐標(biāo)系.下面以理想路線來進行模3km/h，并且為保證平緩開行，不妨假設(shè)轉(zhuǎn)動時的角速度恒定.于是由V=RW為保持車身方向，我們做勻速直線運動.在這個過程中，不妨以汽車后軸中心點N作為NAN的位置為B.于是由簡單的幾何關(guān)系可以知道A到B的偏轉(zhuǎn)角也為θ，并且在水平方向上車的位移為x=XA-XB=R-RSinθXA、XB為A、B4)圖4車位外調(diào)整 至最優(yōu)位置（即點Nf此時與坐標(biāo)原點重合：BY距離將保持不變，不妨記作dx.在以前豎起方向上的任意點與初始點A的位置記dy

dx

XA-x5：由簡單的幾何關(guān)系式，我們不難列出下面的方程，其中NfsdxxNf 2Rmin1cosNfs消去，

y

d ddmin 由上式不難知當(dāng)給當(dāng)一個具體的dx時，我們總可以確定一個相應(yīng)的dy值，從而使得在在對模型二進行實際檢驗與誤差分析前，我們有必要對一些數(shù)據(jù)再進行說明.根據(jù)地各數(shù)據(jù)也可以按照相應(yīng)比例對應(yīng)圖上一定的長度.基于這樣的事實，在所在的平車長L=3.32cm,車寬=1.43cm,車=4.5cm,車庫寬W=2.85cm,后輪到杠的m=0.0676cm的軸距為d=1.59cm.模型一的②式可以知道

Rmintand面圖上的結(jié)果.下面以理想路線和允許偏差兩部分來進行.RSinθ=（1-Cosθ=0.0097R，Rmin代替Rx=0.0297*2.35=0.00611=0.07m另根據(jù)弧 ，l1r=Rmin=1.59過程二：至理想點位 ddmin dy

從而可知只要讓汽車運動至點Ns(-3.72cm,3.134cm),（0，0x2y2Rminx2x2

同理對于圓o，據(jù)下面的圖及幾何關(guān)系可以知道，它的半徑也 ，圓心（ －dx,dy）.從而有方程 (x dx)2(ydy)2 x24.26xx24.26x

我們再聯(lián)立（6.2.1）與（6.2.2）式就可以解得切點坐標(biāo)G，經(jīng)計算為x2x2y fx24.26xf

(1.86x0)(3.72x1.86) 從 l2lNG 2

cos

2

2

2ONfGNl2＝5.5332

NNSGNf6Rmin現(xiàn)在我們運動中的右前輪T，它也是以O(shè)為圓心以某固定半徑做圓運動.要判斷此方案是否可行，我們只要論證當(dāng)和右前輪T運動至點KLxH W/2)2(L W/2)2(Lx

W/2)2L2

( ( W/2)2(La)2m)2W/

我們繼續(xù)運動中的右后輪V，它同樣也是以點O為圓心，以一固定半徑為半徑的圓周運動.而要判斷此方案是否可行，只要論證當(dāng)右后輪VULymE/2（Ly是如圖所示距離，m為兩安全距離，E為車庫有效寬度

RmE/ W/ W/2)2故該方案在情形二下也是成立的綜上所述，該理想路線經(jīng)檢驗是可以成功的（三）模型三：路徑允許偏在模型三里我們主要討論理想路徑所允許達到的變動范圍.首先我們假設(shè)在兩圓RminNs.（如圖我們在模型二的檢測里已經(jīng)發(fā)現(xiàn)R是有一個有界的值.其臨界條件即是LxHa

(RW/2)2(Ha)2

(RW/(RW/2)2(L根據(jù)判斷得知，RRRmin2.43823.0132

(x

)2(d )2 （xNsNs之間的距離，dxdyNsRmax小半徑代入數(shù)據(jù)可求

Rmin3.72cm，3.9913cm2.13,3.9913)，W(x2.13)2(y3.9913)2又易知圓W的方程為：x2y2聯(lián)立上面的二式，可以解得切點G坐標(biāo)為（-綜上我們

NSGNf2.5281(x2.13)2

(3.72xy 5.9449

(1.9183x

NNSGNfNNSGNf之間變動.（其中點N）2.5281(x2.5281(xR23.18Ry

(3.72x

3.72R1.59

R2其中RminR

(1.59

x也就是說理想路徑是由一些滿足(*R六、模型誤差分(一)系統(tǒng)誤差題目示意圖沒有給出汽車的軸距、汽車后軸到后杠的距離和汽車前輪最大偏轉(zhuǎn)角，因此我們無法直接根據(jù)示意圖判讀小車是否能以理想路徑停進規(guī)定車位.因此我們找了某一車型其長/4908mm/214m（490832..6.652mm,.21mm.但實例汽車的長寬比不能完全吻合示意圖汽車的長寬比，它是我們所建立的模型產(chǎn)生了不可避免的誤差.進行偏轉(zhuǎn)的，因此汽車是在做半徑不斷增大的圓周運動.但是考慮到汽車的速度3km/h，通過路逕積分發(fā)現(xiàn)這個偏差很小可以忽略.(二)測量誤差1mm的測量工具測量的15211mm的偏差.這在實際應(yīng)用來說是不忽略的.輪胎產(chǎn)生的誤差：(一 模型評價

七、模型的評價及推可以實現(xiàn)側(cè)位泊車的最小有效車位，從而判斷本車是否能在該處停車.經(jīng)過數(shù)據(jù)對于泊車位空問大小的要求過大，一般情況下，大部分的泊車位的大小這(二 模型的實際擴展與應(yīng)用庫寬后軸到后杠離通過上表我們可以算出一下數(shù)據(jù)（θ45°：車長度期望 車寬度期望 車軸距期望 車后軸到后杠 車位長度期望 車位寬度期望 通過上文得出的最 和庫 我們得出2dWcotmax2dWcotmax(L2

a2(a2(d

到位條件，因車實際時，至少出現(xiàn)2次或兩次以上的調(diào)整才能使汽車停好. A點時，未能處于最佳狀態(tài).即不是水平放置，而其余水平線的夾角為，在AO3Rmin為半徑做圓周調(diào)整.A’為調(diào)整完畢.由BA=Hmin-L2所以可以經(jīng)過兩次調(diào)整使車與水平線平行

八、參考文Zhao,Y,Collins,EGJr. Robustautomaticparallelparkingin spacesviafuzzy logic.RobAuton Syst,2005,51 Paralleland diagonalparkinginnonholonomicautonomousvehicles.Eng. In, 14:419~434 DGillespie. FundamentalsofVehicle Dynamics.SocietyofAutomotiveEngineers,Inc, Chian-SongYowLian,PeterLiu. FuzzyGainSchedulingfor ParallelParkingaLike .IEEETransactionsonControl Technology,:1084- D,Widrow truckupper:an exampleofselflearningin neuralnetworks.IEEEConstSystMag, 1990,10 (3):18-23. K