2022年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)5

專題5.4三角恒等變換

練基礎(chǔ)

1.(2021?四川德陽市?高三二模(文))在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(2cos80°,2sin80°),

5(2cos20°,2sin20°),那么()

A.2B.272C.2GD.4

【答案】A

【解析】

利用利用兩點(diǎn)間的距離公式求得|A8|.

【詳解】

\AB\^^(2COS20°-2cos800)2+(2sin200-2sin800)2

=J4+4-8(cos20。cos80。+sin20。sin80。)

=^8-8cos(20°-80°)=^8-8x1=4=2.

故選：A

2.(2018?全國高考真題(文))(2018年全國卷HI文)若sina=5則cos2a=()

A.-B.-C.--D.--

9999

【答案】B

【解析】

27

cos2a=1—2s譏,a=1—-

99

故答案為B.

3.(2021?商丘市第一高級中學(xué)高三月考(文))已知2sin(2e-1^=l+sin2。，則tan6的所有取值之和

為()

A.-5B.-6C.-3D.2

【答案】D

【解析】

利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式化簡已知式，得到sine=-cos?；騭in6=3cos，，即得tan。的可能取值,

求和即可.

【詳解】

依題意得，一2cos26=l+sin2(9，即一cos2e)=(sine+cos8『，

即2(sin8+cose)(sine-cose)=(sine+cos8)2,

故sin6+cose=0或2(sin(9-cos6)=sin6+cose,

所以sin6=—8S?；騭in6=3cose,可得tan6=-l或tan9=3，

所以tan8的所有取值之和為2.

故選：D.

4.(2021?北京北大附中高三其他模擬)已知。€(0,萬)，且cos2a=g,貝ijsina=()

J321J3

A.—B.-C.-D.—

3339

【答案】A

【解析】

山余弦的二倍角公式，先求出Side的值，結(jié)合角a的范圍可得答案.

【詳解】

11

由cos2a=l-2sin2，a=—,可■得sin2a=—

33

又aw(0,〃)，則sina=^^

故選：A

5.(2022?河南高三月考(理))若。6［工,乃］,且cos?a—sin2cz=上，貝ijtana=()

(2)10

11-1

A.-7B.-C.——D.-7或一

373

【答案】A

【解析】

利用二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，再解方程即可；

【詳解】

3

解：因?yàn)閏os-9a-sin2a=一，

10

匚匚…cos2a一sin2acos2a-2sinacosa3

所以--------------=--------------；-----=一，

1sina+cosa10

l-2tana3

所以——-----=一，

tan~a+l10

得3tan?a+20tana-7=0，

則tana=-7或tana='，

3

又問肘,

所以tana=-7.

故選：A

tan32。

6.（2021?江蘇淮安市?高三三模）設(shè)。=5皿246°，=cos2350-sin235%c=----~則“，b,

1-tan232°

c的大小關(guān)系為（）

A.h<c<aB.c<a<b

C.a<b<cD.b<a<c

【答案】D

【解析】

根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合不等式性質(zhì)，可得到。的范圍；利用二倍角公式化簡爪c,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，

可得到從C的大致范圍；從而，可以比較。、氏C的大小.

【詳解】

因?yàn)閟in450<sin460<sin60°,所以有sin?45°<sin2460<sin260°，

即（當(dāng)了（sin?46。<（￥）2，所以g<a<?；

因?yàn)閏os2350-sin235°=l-2sin235°>而sin300<sin350<sin45°,

1,1,1J

所以有一<sin?35°<一,所以0<l—2sin235°〈一，即0<。（一;

4222

,,.tan32°12tan32°

因?yàn)?-----——=-x-----------——=-tan64°,而tan64°>tan60°=5/3

1-tan232°21-tan232°

所以c〉迫;

2

顯然，b<a,而c?>(￥)2=(〉(()2,所以c〉;，即c>a

所以匕<a<c

故選：D

7.(2020?河北高三其他模擬(文))已知函數(shù)〃x)=2sin23x+26sin3xcosqx(6y>0)的最小正周期

為兀，關(guān)于函數(shù)/(力的性質(zhì)，則下列命題不正確的是()

A.a)=\

B.函數(shù)/(X)在R上的值域?yàn)閇-1,3]

rrrr

C.函數(shù)/(x)在一至,§上單調(diào)遞增

D.函數(shù)/(x)圖象的對稱軸方程為x=覬+?(AeZ)

【答案】D

【解析】

首先把函數(shù)的關(guān)系式進(jìn)行恒等變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求

出結(jié)果.

【詳解】

解：函數(shù)/(x)=2sin?sin3coss

=1-cos2cox+>/3sin2a)x=2sin2cox--+1,

27r

由于函數(shù)的最小正周期為萬，即一=乃，所以刃=1,故4止詢；

269

故/(x)=2sin12x-^j+1.

對于8：由于xeR,所以函數(shù)/(x)的最小值為-1，函數(shù)的最大值為3,

故函數(shù)的值域?yàn)椋跿3］,故B正確;

TT'llJT'JLJL

對于C當(dāng)時，2X--G,故函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增，故C正確；

_63」6|_22_

jrjrKTC7T

對于D：當(dāng)2%-==女乃+（左eZ）時，整理得x==+W（&eZ）為函數(shù)的對稱軸，故。錯誤.

6223

故選：D.

_2

8.（2020?全國高考真題（文））若sinx=-一，則cos2x=

3

【答案】-

9

【解析】

81

2=

cos2x=1-2sin2x=1-2x(--)29-9-

故答案為：

9.（2021?貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期末）tan42。+tan18°+6tan42。tan18。的值是.

【答案】73

【解析】

山36?！豁?xiàng)8。+42。）=黑霜篝=6進(jìn)行轉(zhuǎn)化,可得答案.

【詳解】

tan180+tan42°

解:由tan60°=tan(180+42。)=

l-tanl80-tan42°

tan180+tan42°=布(1-tan180-tan420)

，tan180+tan42°+Gtan180tan420=G

故答案為：.

10.（2021?山東高三其他模擬）若tan（;r-a）=4,則饃5（2。+［萬）=

Q

【答案】--

【解析】

先用誘導(dǎo)公式化簡，再根據(jù)二倍角及siYa+cos2a=1變形，再求值即可.

【詳解】

解：因?yàn)閠an（乃-。）=-tana=4,

所以tana=-4,

32sinacos。2tana8

貝IJcos(2a---7T)=sin2a=2sinacosa=--------------=------—=----

2sinQ+COSa1+tan"a17

Q

故答案為：----.

1.（2021?廣東佛山市?高三其他模擬）sin40（tanl0-73）=（）

A.2B.-2C.1D.-1

【答案】D

【解析】

利用切化弦，三角恒等變換，逆用兩角差的正弦公式，二倍角公式，誘導(dǎo)公式化簡求值.

【詳解】

sin40°-(tanl0->/3)

sin10°

=sin400?

cos10°

.s。sinlO。-百coslO。

=sin400-----------------------------

cos10°

i舊

2(-sinl0°--coslO°)

=sin400,—2--------------2--------------

cos10°

-sin4002(cos60°-sin10°-sin60°-cos10°)

cos10°

2sin(10?！?0。)

=sin400-

cos10°

—2sin50。

sin400?

cos10°

-2sin40°-cos40°

cos10°

——sin80。

cos10°

=-l

2.（2021?沈陽市?遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三二模）攢尖是古代中國建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為撮尖，清

代稱攢尖.攢尖建筑的屋面在頂部交匯為一點(diǎn)，形成尖頂，依其平面有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、

八角攢尖.也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑、園林建筑.遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校園內(nèi)的明心亭，為一

個八角攢尖，它的主要部分的輪廓可近似看作一個正八棱錐,設(shè)正八棱錐的側(cè)面等腰三角形的頂角為2。,

它的側(cè)棱與底面內(nèi)切圓半徑的長度之比為（）.

>/2—1口V2—111

C.產(chǎn)D?-"產(chǎn)

sin0cos0\Z2sin。，2cos。

【答案】A

【解析】

分別用SA和夕表示出AB的一半，得出側(cè)棱與底面邊長的比,再根據(jù)正八邊形的結(jié)構(gòu)特征求出底面內(nèi)切圓

的半徑與邊長的關(guān)系，即可求出結(jié)果.

【詳解】

設(shè)。為正八棱錐S-ABCDEFG”底面內(nèi)切圓的圓心，連接OA,0B,

取A8的中點(diǎn)/，連接SM、OM,則是底面內(nèi)切圓半徑R,如圖所示:

設(shè)側(cè)棱長為％,底面邊長為。，

I

由題意知ZAS8=26,ZASM=6,則.〃2"，解得a=2xsin。；

x

由底面為正八邊形，其內(nèi)切圓半徑是底面中心。到各邊的距離，

△AO3中，ZAOB=45°,所以NAOM=22.5。，

2tan22.5°〔“口廠

由tan45°=-------^―—=1,解得tan22.5°=V2-1.

1-tan-22.5°

I

所以2"aton〈0片i，

=——=tan22.5=<2-1

R2R

所以2xsm6>=j^_i,解得土=也二1,

2RRsin。

即側(cè)棱與底面內(nèi)切圓半徑的長度之比為變」

sin。

故選:A.

TTjr

3.（2020?海南楓葉國際學(xué)校高一期中）若3cos2a=2sin（二—a）,a6仁㈤則sin2a的值為（)

42

5夜77

A.一晅RC.——D.-

9999

【答案】C

【解析】

JI

因?yàn)?cos2a=2sin(---a),

4

所以3cos2a=2(sin—cosa-cos—sina)=夜(cosa-sina),

44

3(cos2a-sin2a)=V2(cosa-sina)，

3(cosa+sina)(cosa-sina)=A/2(COSa-sina)，

因?yàn)閍e(：,；r),所以cosa-sina/O,

2

所以3(cosa+sina)=&，

所以cosa+sina=

3

兩邊平方得,l+2cos￡zsina=—

9

7

所以sin2a=—,

9

故選：C

tana_2(、

4.(2019?江蘇高考真題)已知,('兀3,則sin(2a+f］的值是

tanla+-I14J

【答案】顯..

10

【解析】

tanatanatana(l-tancr)2

由，(tana+1―tana+1-3,

tan。+---------

14)1-tan?

得3tan2a-5tana-2=0，

解得tana=2,或tan2=一-.

3

sin26z+—=sin2acos—+cos2asin—

I4j44

^-(sin2a+cos2a)2sin(7cos?4-cos2?-sin2a

sin2dz+cos2a

V2f2tana+1-tan2a

2Itan2a4-1

V2

10

綜上，sin(2a+工71］

410

5.(2021?全國高三其他模擬(理))已知函數(shù)/(xXsink+j+zGsinZe+^J-J^在［0,〃”上恰有

10個零點(diǎn)，則〃?的取值范圍是.

【答案】

【解析】

先用降募公式和輔助角公式化簡/(x),再轉(zhuǎn)化為圖象與％軸交點(diǎn)個數(shù)問題.

【詳解】

\

712X71infx^71

?/〃x)=sinXH---|+273sin—+一-石S++^31-cosx~\—-6

6212JI6j6

c?兀

2sinx——

I6

/./(x)=0o2sin尢一胃二0,

V/（X）在。網(wǎng)上恰有10個零點(diǎn),

=0在［0,上恰有10個解,

c一,口55兀61兀

971,,771---<1。兀,解得----,,<----f

666

55n61兀］

故答案為:

6.（202L上海復(fù)旦附中高三其他模擬）已知函數(shù)/3=35畝2》+48$2%.若存在/6大，對任意xeR，

都有/（%）2/（?。┏闪?給出下列兩個命題：

（1）對任意xeR,不等式/（力?/（%+|^都成立.

（2）存在?！怠?，使得/（x）在1%0—至'，4+夕）上單調(diào)遞減.

則其中真命題的序號是.（寫出所有真命題的序號）

【答案】（1）（2）

【解析】

由輔助角公式可得/（x）=5sin（2x+。），由題意可得/是/（x）的最小值點(diǎn)，/（力關(guān)于x=/對稱，由三

角函數(shù)的性質(zhì)逐個分析各個選項(xiàng)，即可求得結(jié)論.

【詳解】

3

解：函數(shù)_/（x）=3sin2x+4cos2x=5sin（2x+。），其中夕為銳角，且85夕=二，

由題意，不是f（x）的最小值點(diǎn)，所以/（x）關(guān)于尤=%對稱，

因?yàn)?（x）的最小正周期7=券=%，所以“%+9為最大值，所以任意xeR,/（x）?/（x0+1）,故（1）

正確；

因?yàn)楹瘮?shù)/（%）在（玉）一+左肛/+攵萬（％eZ）上單調(diào)遞減,

jrI3乃7t］［J［I/、兀兀\

取6=——,則［工0-］彳，玉）一］）。玉）J，所以/（x）即在卜o-w，x（）-J內(nèi)單調(diào)遞減，故（2）

正確;

故答案為：（1）（2）

713

7.（2021?全國高三其他模擬（文））已知角，若sin[a

5

卜卜-

cos則cos(a-0=

【答案】一十

【解析】

根據(jù)a,用的范圍確定a-工n,生71一尸的范圍，然、求出cos（a—。J和sin（。一￡），將cos（a_/?）變形為

33

K

COSCL-,結(jié)合兩角和的余弦公式即可求解.

37

【詳解】

兀

4

7171712萬7T八TC

—<a----<-----------v—B<—

3312336

71

/.cos(a-2)=cosCC—

3

717C

二cosa--sina-

孫。，33

413

=—xx9

5I252J

4+373

10

故答案為：—4+3—

10

TT

8.(2021?江西新余市?高一期末(理))已知單位圓上第三象限內(nèi)的一點(diǎn)P沿圓周逆時針旋轉(zhuǎn)二到點(diǎn)。，若

點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為

【答案】一變

10

【解析】

首先設(shè)P(cose,sin6)(-萬<0<一^]?根據(jù)題意得到cos(e+7),sin(e+?)],從而得到

乃13.(4(冗

cos6+—=—,sin0+—=——，再根據(jù)cos。=COS8+———求解即可.

14j5I4；5IA4J4」

【詳解】

由題意設(shè)P(cos6,sin0)^-7r<0<-^)

TT//7T\//7T\\

從而點(diǎn)尸沿圓周逆時針旋轉(zhuǎn)一到點(diǎn)Q,即。點(diǎn)坐標(biāo)為COS6+—,sin(9+—,

4II"4I〃

所以cos(e+ij=g,^+4€rT

Vcosf^+—^=—>0,/.^+―ef-子H一力乃、則,,,可.(外八萬力、.歹4

l4j54I

夕+4：os工+sin仿+[si心=，絲一乜顯=一顯.

所以cos6=cos0+———=cos

A4j4」I4J4k4；4525210

所以點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為一絲.

10

故答案為：一注

10

%41

9.(2020?浙江吳興O湖州中學(xué)高三其他)已知0<or<—,sinez=—,tan(^-/?)=--,則tan0=

sin(尸+乃)

>/2cos(/74-—)

3

【答案】3-

2

【解析】

7143

因?yàn)?<a<一，sina=一，所以cose

255

b…sina4

所以tana=----

cosa3

因?yàn)閠an（a-，）=一;

cr/tana-tan(cr-/?)

所以tan"tan["("0]=i+ta吃tan(二0

4-(-1)2

=_3__3_=3=3

4-5，

1+—X

39

sin(/?+7i)_-sinp_-tan/7_-3_3

所以收cos(/7+為cos/J-sin/?l-tan/71-35,

4

3

故答案為：3；—.

2

JTrr

10.（2021.聊城市.山東聊城一中高三其他模擬）在①x=—-是函數(shù)/（X）圖象的一條對稱軸，②二是函數(shù)

612

/（X）的一個零點(diǎn)，③函數(shù)Ax）在可上單調(diào)遞增，且匕-a的最大值為叁，這三個條件中任選一個，補(bǔ)

充在下面問題中，并解答.

已知函數(shù)/(1)=2sinscos(-1,7171

,求/（X）在一上的單調(diào)遞減

222

區(qū)間.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

71717171

【答案】選擇見解析；單調(diào)遞減區(qū)間為一彳，-7

26T2-

【解析】

TT

利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得/(x)=sin(2Gx-7),

6

7TC1)TCTC

若選①，利用正弦函數(shù)的對稱性可得--------=左萬+—，左eZ,得口=一3攵一2,攵eZ,又0<。<2,

362

可得0,可求/(x)=sin(2x—看)；

77n

若選②，由題意可得一X2G——=k7T,可得啰=6攵+1,keZ、又Ov①<2,可得口，可求

126

/(x)=sin(2x-亳)；

O

2乃

若選③，可求T=〃=—,可得0=1,可得/(x)=sin(2x-答)，

2。6

利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合-2弱k即可求解了(x)在［--，2］上的單調(diào)遞減區(qū)間.

2222

【詳解】

(乃(兀..乃

解：j(x)=2sma)xcos\cox————=2sin<yxcos69xcos—+sin69xsin———

\6/2I66/2

1

V3coscoxsincox+sin2cox——

2

—sin2(yx--cos2(yx

22

=sin2(ox--

I6

IT

①若X=—是函數(shù)圖象的一條對稱軸，

6

m|710)71兀，r2713.2%,一

則--------=k7iH—，keZ,即-----=k7iH----，keZ,

36233

得g=—3k—2,keZ,

/(x)=sin(2x-^-

又0V2，;?當(dāng)攵=—1時，69=1

②若春是函數(shù)/(x)的一個零點(diǎn)，

jrjrTCTC

則一x2co---=攵"，即一勿=攵"H——，keZ,

12666

得〃>=6Z+1,kwZ.

又0＜。＜2,...當(dāng)Z=0時，0=1,所以，/(x)=sin|

③若f(x)在[。,句上單調(diào)遞增，目2—a的最大值為

則7=乃=紅，故(y=i,所以/(x)=sin(2x-￡].

2co<6J

7FTT34

由J+2br42x—々《二+2女萬，keZ，

262

乃J7T

得—Fk,7TWxK---Fk兀,keZ、

36

令4=0,得工且，令后=一1，得一生<%<—工，

3636

又---<x<—，

22

所以/(x)在一不卜的單調(diào)遞減區(qū)間為一77，—T，—

xx

1.(2021?全國高考真題(文))函數(shù)/(x)=sin§+cos§的最小正周期和最大值分別是()

A.3兀和近B.3兀和2C.6兀和&D.6兀和2

【答案】C

【解析】

利用輔助角公式化簡/(X)，結(jié)合三角函數(shù)最小正周期和最大值的求法確定正確選項(xiàng).

【詳解】

由題，/(x)=0sin、+?),所以“X)的最小正周期為，=子=6j最大值為逝

故選：C.

2.(2021?北京高考真題)函數(shù)/(x)=cosx-cos2x,試判斷函數(shù)的奇偶性及最大值()

A.奇函數(shù)，最大值為2B.偶函數(shù)，最大值為2

99

C.奇函數(shù)，最大值為7D.偶函數(shù)，最大值為x

88

【答案】D

【解析】

由函數(shù)奇偶性的定義結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷奇偶性；利用二倍角公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷最大

值.

【詳解】

由題意，/(-%)=cos(-x)-cos(-2x)=cosx-cos2x=f(x),所以該函數(shù)為偶函數(shù),