2022-2023學(xué)年杭州市高一上期末考試數(shù)學(xué)模擬試卷附答案解析

2022-2023學(xué)年杭州市高一上期末考試數(shù)學(xué)模擬試卷

選擇題(共10小題，滿分40分，每小題4分)

1.(2021?湖南模擬)設(shè)集合N={x|-l<x?2},B=0,1,2,3},貝)

A.{-1,0,1,2}B.{0,1,2}

C.{0,1}D.{x|-1<x*2,或x=3}

2.(2020春?撫順期末)已知xeR,則下列等式恒成立的是()

A.sin(-x)=-sinxB.sin(5-x)=-cosx

C?cos(y+x)=tanxD.cos(^-x)=cosx

3.(2021?山東模擬)命題：“七0eHsinx0+歷/開％”的否定是()

A.3x0wR,sinx0+lnxQ<x0B.Vxe7?,sinx+lnx<x

C.YxwR,sinx+InxT^xD.3x0R,sinx0+

4.(2021秋?杭州期中)下列函數(shù)/(x)與g(x)表示同一函數(shù)的是()

A./(冗)=1與g(x)=sin90。B./(x)=|x|與g(x)=(4了

C./(x)=x°與g(x)=xD.f(x)=x與g(x)=

5.(2021春?南京期末)設(shè)XGR,則一工<0，，是，，|不一“<1”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.(2020秋?玉溪期末)已知〃，beR且a>b,下列不等式正確的是()

A.B.->1C.a-b>0D.a+b>0

abb

7.(2020秋?河南期末)已知函數(shù)/(x)=南-末+3在閉區(qū)間[0,間上的值域是[2,3],

則實(shí)數(shù)，”的取值范圍是()

A.[1,+00)B.[0,2]C.(-00,-2]D.[1,2]

當(dāng)時(shí)，不等式士+開？恒成立,

8.(2020秋?如東縣期末)已知機(jī)>0,xy>0,x+y=23

xy2

則〃？的取值范圍是()

A.[；,+<?)B.[1,+oo)

第1頁共18頁

9.(2020秋?遼陽期末)已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)锳,/(x+4)是偶函數(shù)，f(6)=3,/(x)

在(-8,4］上單調(diào)遞減，則不等式〃2x-4)<3的解集為()

A.(4,6)B.(-co,4)0(6,+oo)

C.(-00,3)55，+<?)D.(3,5)

10.(2020秋?陽泉期末)己知函數(shù)/(x)=(sinx+」一)(sinx--一),現(xiàn)有命題：

sinxsinx

①/(x)的最大值為0；

②/(X)是偶函數(shù)；

③f(x)的周期為4；

④/(X)的圖象關(guān)于直線X.對稱.

其中真命題的個(gè)數(shù)是()

A.4B.3C.2D.1

二.填空題(共7小題，滿分36分)

11.(2021秋?寶山區(qū)校級月考)若角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(4,-3),則sin(/+a)=.

12.(2021?北京模擬)函數(shù)f(x)=J1-2"的定義域是.

13.(2016春?保山校級期中)函數(shù)y=3sin(gx-^)的振幅,周期,頻率,

相位,初相.

14.(2020秋?長安區(qū)校級期末)已知>tana=2-百,則tan(工+a)=—.

14-tancr4

2

15.(2021春?瑤海區(qū)月考)計(jì)算：-”+log3歷+21g5+/g4+7'%2=.

..8TT.JT

sin(a+—)-cos(cr+—)

16.(2020秋?荔灣區(qū)校級期末)已知tan(a+C)=2,則——-一［---------，一=____.

cos(［:-a)-sin(a+彳)

17.(2021秋?浦東新區(qū)校級期中)不等式2"和)對任意xeR恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范

圍為.

三.解答題(共5小題，滿分74分)

18.已知tana=2,求下列各式的值：

/1、cosa+2sina

(1)------------；

cosa-sina

(2)cos2a+2+3sinacosa；

第2頁共18頁

/、、Ssi^a+cosa

（3）i~,

cosa-smacosa

19.（2021秋?中山區(qū)校級期中）十九大指出中國的電動(dòng)汽車革命早已展開，通過以新能源

汽車替代汽/柴油車，中國正在大力實(shí)施一項(xiàng)將重塑全球汽車行業(yè)的計(jì)劃，2020年某企業(yè)計(jì)

劃引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備看,通過市場分析，全年需投入固定成本3000萬元,每生產(chǎn)x（百

10x2+100x,0<x<40

輛）需另投入成本y（萬元），且y=?10000?由市場調(diào)研知，每輛車售

501x+-^^-4500,xffi0

.x

價(jià)5萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.

（1）求出2020年的利潤S（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；（利潤=銷售額-

成本）

（2）當(dāng)2020年產(chǎn)量為多少百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤.

20.（2020秋?巴中期末）已知函數(shù)/（x）=2sin（2（yx+工）（。>0）.

6

（1）若點(diǎn)（至,0）是函數(shù)〃乃圖象的一個(gè)對稱中心,且求函數(shù)f（x）在［0,紅］上

84

的值域；

（2）若函數(shù)人外在g,與）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

21.（2019秋?思南縣校級期末）已知函數(shù)/（刈=1暇。2-水+1）.

（1）若/（x）的定義域，值域都是A,求。的值；

（2）當(dāng)a=2時(shí)，討論/（x）在區(qū)間［0,可上的值域.

22.（2010?北京學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)/（幻=依2+云-1,其中ae（0,4）,b&R.

（I）當(dāng)a=1時(shí),解不等式/（x）+f（-x）<3x；

I?

（II）設(shè)b<0,當(dāng)-一，0］時(shí)，0］,求a,b的值；

aa

（III）若函數(shù)/（x）恰有一個(gè)零點(diǎn)（1,2）,求〃-6的取值范圍.

第3頁共18頁

2022-2023學(xué)年杭州市高一上期末考試數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一.選擇題(共10小題，滿分40分，每小題4分)

1.(2021?湖南模擬)設(shè)集合Z={x|-l<x?2},B={-1,0,1,2,3},貝)

A.{-1,0,1,2}B.{0,1,2}

C.{0,1}D.{x|-l<x?2,或x=3}

【考點(diǎn)】1￡：交集及其運(yùn)算

【專題】11：計(jì)算題；37：集合思想；49：綜合法；5J：集合；65：數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】進(jìn)行交集的運(yùn)算即可.

【解答】解：A={x\-\<x<2},B={-1,0,1,2,3},

二.40|8={0，1>2}.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了描述法、列舉法的定義，交集的運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.(2020春?撫順期末)已知xeR,則下列等式恒成立的是()

..7C

A.sin(-x)=-sinxB.sin(--x)=-cosx

-ji

C.cos(y+x)=tanxD.cos(^-x)=cosx

【考點(diǎn)】GE：誘導(dǎo)公式

【專題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；4R：轉(zhuǎn)化法；56：三角函數(shù)的求值；65：數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡即可求解.

【解答】解：sin(-x)=-sinx,故/成立；

sin(y-x)=cosx。-cosx,故B不成立；

rr_

cos(y+x)=-sinx,故。不成立；

cos(^-x)=-cosx，故。不成立.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查了誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基

礎(chǔ)題.

第4頁共18頁

3.(2021?山東模擬)命題：“HxocR,sinx。+歷/開”的否定是()

A.3x0eR,sinx0+lnxu<x0B.Vxe7?,sinx+Inx<x

C.\fxeR,sinx+InxT^x:D.3x0gR,sinx0+/nx()Hr0

【答案】B

【考點(diǎn)】命題的否定

【專題】計(jì)算題；對應(yīng)思想；定義法；簡易邏輯；邏輯推理

【分析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題即可求出.

【解答】解：特稱命題的否定是全稱命題，故"叫)eR,sin/+/"XoW,"的否定是VxeR,

sinx+Inx<x,

故選：B.

【點(diǎn)評】本題以特稱命題為背景，考查了特稱命題的否定，考查了推理論證能力，考查了邏

輯推理核心素養(yǎng).

4.(2021秋?杭州期中)下列函數(shù)“X)與g(x)表示同一函數(shù)的是()

A./(x)=1與g(x)=sin90°B./(x)=|x|與g(x)=(正了

C./(x)=x°與g(x)=xD./(x)=x與g(x)=?7?

【答案】A

【考點(diǎn)】判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)

【專題】函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用：邏輯推理

【分析】根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系相同，定義域也相同，即可判斷它們是同一函數(shù).

【解答】解：對于N,/(x)=1,x&R,與g(x)=sin9()o=l,xeR的定義域相同，對應(yīng)關(guān)

系也相同，是同一函數(shù)；

對于B,/(x)=|x|,x&R,與g(x)=(4>=x,x亢)的定義域不同，不是同一函數(shù)：

對于C,/'(X)=x°=1,xwO,與g(x)=x,xeR的對應(yīng)關(guān)系不同，定義域也不同，不是

同一函數(shù)；

對于。，f(x)=x,xeR,與g(x)=4^'=|x|,xeR的對應(yīng)關(guān)系不同，不是同一函數(shù).

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

第5頁共18頁

5.（2021春?南京期末）設(shè)xwR,則“/-x<0”是"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【考點(diǎn)】充分條件、必要條件、充要條件

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；簡易邏輯；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】分別解出不等式：x2-x<0,|x-l|<l,即可判斷出結(jié)論.

【解答】解：由解得：0<x<1；

由解得：0<x<2.

,（x2-x<0^^是的充分不必要條件.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬

于基礎(chǔ)題.

6.（2020秋?玉溪期末）已知a,bwR且a>b,下列不等式正確的是（）

A.->-B.->1C.a-b>0D.a+b>0

abb

【答案】C

【考點(diǎn)】不等關(guān)系與不等式

【專題】計(jì)算題：轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式；邏輯推理

【分析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)是否正確，即可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對于當(dāng)。=2,6=1時(shí)，a>—<->/錯(cuò)誤，

ab

對于8,當(dāng)a=2,b=-l時(shí)，a>b但@<0,8錯(cuò)誤，

b

對于C,若。>b,必有a-b>0,C正確，

對于。，當(dāng)0>a>6時(shí)，a+b<0,D錯(cuò)誤,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查不等式的性質(zhì)，涉及不等式的大小比較，屬于基礎(chǔ)題.

7.（2020秋?河南期末）已知函數(shù)/（x）=南-末+3在閉區(qū)間［0,加］上的值域是［2,3］,

第6頁共18頁

則實(shí)數(shù)”的取值范圍是（）

A.[1,+oo）B.[0,2]C.（-00,-2]D.[1,2]

【答案】D

【考點(diǎn)】3H：二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象

【專題】11：計(jì)算題

【分析】本題利用數(shù)形結(jié)合法解決，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，當(dāng)x=l時(shí)，y最小,

最小值是2,當(dāng)x=2時(shí)，y=3,欲使函數(shù)〃x）=f-2x+3在閉區(qū)間[0,刈上的值域是[2,

引，

則實(shí)數(shù)m的取值范圍要大于等于1而小于等于2即可.

【解答】解：作出函數(shù)/（x）的圖象，如圖所示，

當(dāng)x=l時(shí)，v最小，最小值是2,當(dāng)x=2時(shí)，y=3,

函數(shù)/（》）=f-2》+3在閉區(qū)間[0,〃?]上的值域是[2,3],

則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是[1,2].

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的值域問題，其中要特別注意它的對稱性及圖象的應(yīng)用，屬于基

礎(chǔ)題.

4777___Q

8.（2020秋?如東縣期末）已知加＞0,中＞0,當(dāng)x+y=2時(shí)，不等式—+—開—恒成立，

xy2

則〃7的取值范圍是（）

A.[-,+＜?）B.[1,+00）C.（0,1]D.（0,-]

【答案】B

第7頁共18頁

【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用

【專題】整體思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】根據(jù)“乘1法”，可得士+竺=,(±+”)(x+y),展開后，結(jié)合基本不等式可推出

xy2xy

±+竺開_1(4+加+2屈)開2,解此不等式即可.

xy22

【解答】解：丁孫>0，且x+y=2,x>0,y>0,

4mI/m、/、1一4y加x、".~Hymx、1-r―；

/.—l—=一(—H—)(x+y)=—(4+zwd---1----)n—(4+w+2I—1——)=—Z(44+機(jī)+2/加)，

xy2xy2xy2

當(dāng)且僅當(dāng)肛="即J嬴=2y時(shí)，等號成立，

xy

...不等式d+二開2恒成立，

xy2

二.；(4+/n+2j4/n)ffg,化簡得，m+4yfm-5H),

解得,即wH,

.的取值范圍是［1,+oo).

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查利用基本不等式解決最值問題，熟練掌握“乘1法”是解題的關(guān)鍵，考查

學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.(2020秋?遼陽期末)已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,〃x+4)是偶函數(shù)，/(6)=3,f(x)

在(-8,4］上單調(diào)遞減，則不等式/(2x-4)<3的解集為()

A.(4,6)B.(-00,4)0(6,十》)

C.(-00,3)55，+<?)D.(3,5)

【答案】D

【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，即可得到結(jié)論.

【解答】解：因?yàn)?(x+4)是偶函數(shù)，

所以“X)的圖象關(guān)于x=4對稱，

則f(6)=/(2)=3,

因?yàn)椤▁)在(-8,4］上單調(diào)遞減，

第8頁共18頁

所以f(x)在［4,+00)上單調(diào)遞增，

由/(2x-4)<3可得，2<2x-4<6,

解得，3Vx<5.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查不等式的解法，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的

關(guān)鍵，綜合考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用.

10.(2020秋?陽泉期末)已知函數(shù)/(x)=(sinx+—-—)(sinx----),現(xiàn)有命題：

sinxsinx

①/(x)的最大值為0；

②“X)是偶函數(shù)：

③/(x)的周期為萬；

④/(X)的圖象關(guān)于直線X=T對稱.

其中真命題的個(gè)數(shù)是()

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用

【專題】函數(shù)思想；分析法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；邏輯推理

【分析】①求出最大值判斷，②用偶函數(shù)定義判斷，③用周期函數(shù)定義判斷，④用對稱條件

判斷.

【解答】解：/(x)=(sinx+」一)(sinx-」一)=sii?x--1?.

sinxsinxsin^x

對于①，因?yàn)楹瘮?shù)歹在(0,+8)上，單調(diào)增加，sin2x?1=>sin2x---*0,當(dāng)％=工

tsinx2

時(shí)等號成立，所以①對；

對于②，因?yàn)?(x)=sin2%---=>f(-x)=f(x),nf(x)是偶函數(shù)，所以②對；

sinx

對于③，因?yàn)?(x)=sin。--1=>/(x+;r)=/(x),n/(x)的周期為;r,所以③對；

sinx

對于④，因?yàn)?(x)=sin2x---=/(2---x)=x)=/(%)=>f(x)的圖象關(guān)于直線

sinx2

%=工對稱，所以④對；

2

故選：A.

【點(diǎn)評】本題以命題的真假判斷為載體，考查了函數(shù)周期性、對稱性、奇偶性的基本概念，

第9頁共18頁

考查了函數(shù)最值問題，屬中檔題.

二.填空題(共7小題，滿分36分)

11.(2021秋?寶山區(qū)校級月考)若角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(4,-3),則sing+a)=_*_.

【答案】

5

【考點(diǎn)】任意角的三角函數(shù)的定義

【專題】計(jì)算題；對應(yīng)思想；定義法；三角函數(shù)的求值；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式即可求解.

【解答】解：???角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)尸(4,-3),

:.x=4,y=-3,rOP\=y142+(-3)2=5,

,.71X4

/.sin(—+a)=cosa=—=—.

2r5

故答案為：—.

5

【點(diǎn)評】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義和誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于

基礎(chǔ)題.

12.(2021?北京模擬)函數(shù)/(x)=J1-2'的定義域是—{x|x?0}_.

【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法

【專題】函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

【分析】由1-2*環(huán))，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得到所求定義域.

【解答】解：由1-2'而，

即2"?1=20,

解得x,0,

定義域?yàn)閧x|x?0}.

故答案為：{x|x?0}.

【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的定義域的求法，注意偶次根式和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

13.(2016春?保山校級期中)函數(shù)y=3sin(gx-g的振幅」周期,頻率,

相位,初相.

【考點(diǎn)】HL:y=，sin?x+s)中參數(shù)的物理意義

第10頁共18頁

【專題】38：對應(yīng)思想；40：定義法；57：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【分析】根據(jù)函數(shù)y=/sin（5+s）的解析式，直接寫出函數(shù)的振幅、周期、頻率、相位和

初相即可.

【解答】解：函數(shù)尸3sin（L-」）的振幅是Z-3,

26

周期是7=爺=4%，

2

頻率是f——―――，

T4〃

相位是8+9=；X-看，

初相是9=-看.

故答案為：3,4^,—,-%--,

4〃266

【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)y=4sin（5+e）的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目.

14.（2020秋?長安區(qū)校級期末）已知1-tana=2_0,則tan（&+cr）=_2+b_

1+tana4

【答案】2+5

【考點(diǎn)】兩角和與差的三角函數(shù)

【專題】轉(zhuǎn)化思想；計(jì)算題；綜合法；三角函數(shù)的求值；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】利用兩角和的正切公式即可得解.

【解答】解：因?yàn)椋総a吧=2_6,

1+tana

所以tan（￡+a）="X=」=2+6.

41-tana2-

故答案為：2+6.

【點(diǎn)評】本題主要考查兩角和的正切公式，屬于基礎(chǔ)題.

2a

15.（2021春?瑤海區(qū)月考）計(jì)算：-R+logs歷+21g5+/g4+7*物2=_］一

【答案】

2

【考點(diǎn)】對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】進(jìn)行指數(shù)式、根式和對數(shù)式的運(yùn)算即可.

第11頁共18頁

【解答】解：原式=-4+/(妒5+依4)+2=-4+>2+2=].

故答案為：

2

【點(diǎn)評】本題考查了指數(shù)式、根式和對數(shù)式的運(yùn)算性質(zhì)，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

./8"、/71、

sin(a+——)-cos(a+—)

16.(2020秋?荔灣區(qū)校級期末)已知tan(a+工)=2,則——-~~1--------------=_-3_.

7,5%..9%、一

cos(--a)-sin(a+-)

【答案】-3.

【考點(diǎn)】兩角和與差的三角函數(shù)

【專題】整體思想；綜合法；三角函數(shù)的求值：數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】令a+工=6,代入已知式子，結(jié)合誘導(dǎo)公式及同角基本關(guān)系進(jìn)行化簡可求.

7

【解答】解：令a+工=6

7

則tan(a+y)=tan0=2,

sin(cz+-)-cos(a+-)sin(0+^)-cos0-sin0-cos0tan0+1

叫--------------------=-------------------=------------=--------=—3?

('冗、.9萬、7i八./八，71\sin0-cos0-tan0+1

cos(瓦-a)-sinz(a+-)cos(y-6)—sin(6+—)

故答案為：-3.

【點(diǎn)評】本題主要考查了同角基本關(guān)系，誘導(dǎo)公式在三角化簡求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

17.(2021秋?浦東新區(qū)校級期中)不等式2、-a哥)對任意xeR恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范

圍為_(F_0]_.

【答案】0]

【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用：數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】不等式2'-。環(huán))對任意xeR恒成立，轉(zhuǎn)化為a?2’對任意xeR恒成立，由2、>0,

可解得。的取值范圍.

【解答】解：不等式2'-“兩對任意xeH恒成立，

所以a?2”對任意xeR恒成立，

又xeR時(shí)，2'>0,

第12頁共18頁

所以a?0.

故答案為：（-00,0]

【點(diǎn)評】本題考查恒成立問題，屬基礎(chǔ)題.

三.解答題（共5小題，滿分74分）

18.已知tana=2,求下列各式的值：

,.、cosa+2sina

（1）----------------;-------;

cosa-sina

（2）cos2a+2+3sinacosa；

c、5s“a+cosa

（J）3^-2,

cosa-sinacosa

【答案】D

【考點(diǎn)】三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值

【分析】（1）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡表達(dá)式為正切函數(shù)的形式，代入求解即可.

（2）通過“1”的代換，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡表達(dá)式為正切函數(shù)的形式，代入

求解即可.

（3）通過“1”的代換，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡表達(dá)式為正切函數(shù)的形式，代入

求解即可.

r的族,\.ccosa+2sinal+2tana_l+2x2

L解答】解：(1)tana=2,------------------

cosa-sina1-tana1-2

，一、--3+2zan2a+3tana3+2x2z+3x2_17

(2)cos2a+2+3sinacosa=---------------、--

I+tana1+22

5s加％+cosa5sin}a+cos5a+sin2acosaStanza+1+tan2a45,,

co^a-suracosa=芯…〃%cosa=『一】'

【點(diǎn)評】本題考查三角函數(shù)化簡求值，推薦三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.

19.（2021秋?中山區(qū)校級期中）十九大指出中國的電動(dòng)汽車革命早已展開，通過以新能源

汽車替代汽/柴油車，中國正在大力實(shí)施一項(xiàng)將重塑全球汽車行業(yè)的計(jì)劃，2020年某企業(yè)計(jì)

劃引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備看，通過市場分析，全年需投入固定成本3000萬元,每生產(chǎn)x（百

10x2+100x,0<x<40

輛）需另投入成本y（萬元），且10000.由市場調(diào)研知，每輛車售

501x+----------4500,xfft0

.x

價(jià)5萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.

（1）求出2020年的利潤S（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量*（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；（利潤=銷售額-

第13頁共18頁

成本）

（2）當(dāng)2020年產(chǎn)量為多少百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤.

【考點(diǎn)】5C：根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型

【專題】11：計(jì)算題；33：函數(shù)思想；49：綜合法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；65：數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】（1）根據(jù)年利潤=銷售額-投入的總成本-固定成本，分0<x<40和x用0兩種情

況得到利潤S（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百輛）的分段函數(shù)關(guān)系式：

（2）當(dāng)0<x<40時(shí)利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出S的最大值，當(dāng)x陰0時(shí)，利用基本不等式求S

的最大值，最后再比較即可.

【解答】解：(1)當(dāng)0<x<40時(shí)，S(x)=500x-1Ox2-100x-3000=-1Ox2+400x-3000,

當(dāng)x用0時(shí)，5(x)=500x-501x-+4500-3000=1500-x-,

XX

-1Ox2+400x-3000,0<x<40

S(x)=<

15OO-X-^2,^()

、X

(2)當(dāng)0<x<40時(shí)，S(X)=-10X2+400X-3000,

這個(gè)二次函數(shù)的對稱軸為x=20,所有當(dāng)x=20時(shí)，S（x）=1000為最大值,

當(dāng)x開40時(shí)，5（加15。。7-3=15。。y+密），

XX

10000^I10000ccc業(yè)口E也10000ICC□卜

x+-----Rx?-----=200,當(dāng)且僅當(dāng)尢=------即Hn工=100時(shí),等號成立,

xVxx

S(x)*1500-200=1300，

即當(dāng)x=100時(shí)，S（x）取到最大值1300,

v1300>1000，

.,.當(dāng)x=100時(shí)，即2020年產(chǎn)量為100百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤最大，且最大利潤為1300萬

元.

【點(diǎn)評】本題主要考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了利用基本不等式

求最值，是中檔題.

20.（2020秋?巴中期末）已知函數(shù)/（》）=2$皿25+與（0>0）.

6

（1）若點(diǎn)（至,0）是函數(shù)“X）圖象的一個(gè)對稱中心，且0€（0,1）,求函數(shù)/㈤在［0,紅］上

84

的值域;

第14頁共18頁

（2）若函數(shù)在弓,葛）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的單調(diào)性

【專題】轉(zhuǎn)化思想：綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)：數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】（1）由題意利用正弦函數(shù)的圖象的對稱性求得。，可得函數(shù)的解析式，再利用正

弦函數(shù)的定義域和值域，得出結(jié)論.

（2）由題意利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求出實(shí)數(shù)0的取值范圍.

【解答】解：(1)由題意得：2。?2，+工=k1，keZco=—(k—keZ.

8656

\'6>G(O,1)，(t)=—,/(x)=2sin(269x+-)=2sin(—x+—),

3636

???xe［O,寫，？+￡吟,巧，

43666

.A71.1n

...sin(—x+—)Gr［--,1］，

362

故函數(shù)/(x)在［0,紅］上的值域?yàn)椋?1,2］.

4

(2)令一工+?2GX+工?工+2人乃，左wZ,

262

bji4日kjt71k,7C7C

解得-------—+—,

CO3d)CD6(0

V函數(shù)/(X)在(y.y)上單調(diào)遞增，

71%o乃冗、,7

五丁藐）’2,

.嗎爭u電(0

k。兀冗71

CD3a）3,即3ko”+公

k。九7102〃6左0+1用G'

------1-----—

、①6a)3

b2〃乃12〃_3

3322G2

二.一工＜上o，；人=口,

66

（）＜@?工，即o的取值范圍為

4

【點(diǎn)評】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的對稱性，正弦函數(shù)的定義域和值域，正弦函數(shù)的單

調(diào)性，屬于中檔題.

21.（2019秋?思南縣校級期末）已知函數(shù)/8）=唾2（--奴+1）.

（1）若/（x）的定義域，值域都是R,求。的值；

第15頁共18頁

(2)當(dāng)“=2時(shí)，，討論/(x)在區(qū)間[0,切上的值域.

【考點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】(1)若f(x)的定義域是R,則丁=N2一如+1的△=/一4<0,由此求得。的范圍；

若“X)的值域是R,則了=X2一?+1的△=Y—4利，由此求得。的范圍.再把這兩個(gè)。的

范圍取交集，從而得出結(jié)論.

(2)當(dāng)a=2時(shí)，分類討論6的范圍，利用二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得“X)在區(qū)間[0,

可上的值域.

【解答】解：(1)?.?函數(shù)/(x)=k>g2，-ar+l)的定義域?yàn)镽,

.,.--辦+1>0恒成立，.?.△=/_4<0,求得-2<a<2,

故。的范圍為(-2,2).

根據(jù)函數(shù)的值域?yàn)榭傻煤瘮?shù)了=/-辦+1能取遍所有的正實(shí)數(shù)，

故有了=》2-辦+1的△=〃2-4汽)，求得afC,或a--2,

故。的范圍為(-8,-2]|J[2,+8).

/(x)的定義域，值域都是夫，則a范圍應(yīng)是這兩個(gè)范圍的交集，顯然，它們的交集為0,

故滿足條件的a不存在.

(2)當(dāng)a=2時(shí)，/(x)=log,(x2-2x+l),在區(qū)間[0,可上，b>0,

①若0<6<1,則/(x)單調(diào)遞減，故當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)最大為/(b)=log,1=0,

當(dāng)x=6時(shí)，函數(shù)的最小值為1。4(從-26+1),

故函數(shù)/(x)的值域?yàn)閇logzE-Zb+l),0].

②若6=