開方術(shù)九章算術(shù)

中國數(shù)學史主講人：占曉軍萌芽體系形成發(fā)展旺盛中西方數(shù)學結(jié)合（2）西安半坡出土的陶器有用1～8個圓點組成的等邊三角形和分正方形為100個小正方形的圖案，半坡遺址的房屋基址都是圓形和方形。為了畫圓作方，確定平直，人們還創(chuàng)建了規(guī)、矩、準、繩等作圖與測量工具。據(jù)《史記·夏本紀》記載，夏禹治水時已運用了這些工具。（3）商代中期，在甲骨文中已產(chǎn)生一套十進制數(shù)字和記數(shù)法，其中最大的數(shù)字為三萬；與此同時，殷人用十個天干和十二個地支組成60個名稱來記60天的日期；周代又把以前用陰陽符號構(gòu)成的八卦發(fā)展為六十四卦，表示64種事物。（4）“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”——《莊子天下》呵呵，這是我老人家的名言哦墨家不同意“一尺之棰”的命題，提出一個“非半”的命題來進行反對：將一線段按一半一半地無限分割下去，就必將出現(xiàn)一個不能再分割的“非半”，這個“非半”就是點。名家的命題論述了有限長度可分割成一個無窮序列，墨家的命題則指出了這種無限分割的變更和結(jié)果。名家和墨家的數(shù)學定義和數(shù)學命題的探討，對中國古代數(shù)學理論的發(fā)展是很有意義的《墨攻》數(shù)學體系形成秦漢是封建社會的上升時期，經(jīng)濟和文化均得到快速發(fā)展。中國古代數(shù)學體系正是形成于這個時期，它的主要標記是算術(shù)已成為一個特地的學科，以及以《九章算術(shù)》為代表的數(shù)學著作的出現(xiàn)?！毒耪滤阈g(shù)》是中國漢族學者在古代第一部數(shù)學專著，是算經(jīng)十書中最重要的一種。該書內(nèi)容豐富，系統(tǒng)總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學成就。同時，《九章算術(shù)》在數(shù)學上還有其獨到的成就，不僅最早提到分數(shù)問題，也首先記錄了盈不足等問題，“方程”章還在世界數(shù)學史上首次闡述了負數(shù)及其加減運算法則。要留意的是《九章算術(shù)》沒有作者，它是一本綜合性的歷史著作，是當時世界上最先進的應用數(shù)學，它的出現(xiàn)標記中國古代數(shù)學形成了完整的體系。《九章算術(shù)》《九章算術(shù)》中典型的盈虧類問題：今有共買物，人出八盈三；人出七不足四。問人數(shù)、物價各幾何？答曰：七人，物價53錢。

盈不足術(shù)也可以用來解決不屬于盈虧類的問題。二、代數(shù)方面1、方程術(shù)：即線性聯(lián)立方程組的解法。

題目：今有上禾（上等黍米）三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(l糧食）三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下實一秉各幾何？解：設(shè)上中下禾各一秉打出的糧食分別為x，y，z斗則解方程組

不過在《九章算術(shù)》中沒有表示未知數(shù)的符號，而是用算籌將x，y，z的系數(shù)和常數(shù)項排列成一個方陣，消元的過程想當于現(xiàn)在矩陣中的初等變換。2、正負術(shù)在《九章算術(shù)》的“方程術(shù)”中，當用遍乘直除算法消元（即用加減消元法解一次方程組）時，可能出現(xiàn)減數(shù)大于被減數(shù)的情形，于是在“方程”章中提出了正負術(shù)，即正、負數(shù)的加減運算法則。

法則：同名（同號）相除，異名（異號）相益，正無入負之，負無入正之，其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。也就是我們現(xiàn)在用的正負數(shù)和零之間的運算，前四句為減法法則，后四句為加法法則。3、開方術(shù)

《九章算術(shù)》“少廣”章有“開方術(shù)”和”開立方術(shù)”，給出了開平方和開立方的算法。開方術(shù)本質(zhì)上是一種減根變換法，開創(chuàng)了后來開更高次方和求高次方程數(shù)值解之先河。

《九章算術(shù)》開方術(shù)實際上包含了二次方程的數(shù)值求解程序，稱為“開帶從平方法”。而且在《九章算術(shù)》中還指出了存在有開不盡的情形：若開之不盡者，為不可開。古代數(shù)學發(fā)展

魏、晉時期出現(xiàn)的玄學，不為漢儒經(jīng)學束縛，思想比較活躍；它詰辯求勝，又能運用邏輯思維，分析義理，這些都有利于數(shù)學理論上的提高。吳國趙爽注《周髀算經(jīng)》，漢末魏初徐岳撰《九章算術(shù)》注，魏末晉初劉徽撰《九章算術(shù)》注、《九章重差圖》都是出現(xiàn)在這個時期。趙爽與劉徽的工作為中國古代數(shù)學體系奠定了理論基礎(chǔ)。趙爽：又名嬰，字君卿，中國數(shù)學家。東漢末至三國時代吳國人。他是我國歷史上著名的數(shù)學家與天文學家。生平不詳，約生活于公元3世紀初。他簡明扼要地總結(jié)出中國古代勾股算術(shù)的深邃原理。具體說明白《周髀算經(jīng)》中勾股定理，將勾股定理表述為：“勾股各自乘，并之，為弦實。開方除之，即弦?！?。又給出了新的證明以及勾股三邊及其和、差的24個命題。另外，他的個人探討還包括出入相補原理，并探討二次方程問題，得出與韋達定理類似的結(jié)果，得到二次方程求根公式之一。勾股各自乘，并之為弦實，開方除之即弦劉徽（約公元225年—295年）漢族，山東鄒平縣人，魏晉期間宏大的數(shù)學家，中國古典數(shù)學理論的奠基者之一。是中國數(shù)學史上一個特殊宏大的數(shù)學家，他的杰作《九章算術(shù)注》和《海島經(jīng)》，是中國最珍貴的數(shù)學遺產(chǎn)，劉徽思想靈敏，方法靈敏，既提倡推理又主見觀．在中國最早明確主見用邏輯推理的方式來論證數(shù)學命題．劉徽對《九章算術(shù)》中的大多數(shù)解法做了具體證明；代數(shù)方面，在線性方程組求解問題上創(chuàng)建了比直除法更簡便的互乘相消法，與現(xiàn)今解法基本一樣；幾何方面，提出了“割圓術(shù)”，即將圓周用內(nèi)接或外切正多邊形窮竭的一種求圓面積和圓周長的方法．他利用割圓術(shù)通過對3072邊形的計算科學地求出了圓周率π=3.1416的結(jié)果。有《海島算經(jīng)》傳世?！逗u算經(jīng)》由劉徽于三國魏景元四年（公元263年）所撰，本為《九章算術(shù)注》之第十卷，題為《重差》。唐初起先單行，探討的對象全是有關(guān)高與距離的測量，所運用的工具也都是利用垂直關(guān)系所連接起來的測竿與橫棒。全部問題都是利用兩次或多次測望所得的數(shù)據(jù)，來推算可望而不行及的目標的高、深、廣、遠。全書共9題，全是利用測量來計算高深廣遠的問題，首題測算海島的高、遠，故得名?！逗u算經(jīng)》是中國最早的一部測量數(shù)學著作，亦為地圖學供應了數(shù)學基礎(chǔ)。李淳風（602年－670年）唐代杰出的天文學家、數(shù)學家，岐州雍人（今陜西省岐山縣）。他受詔主持并與國學算學博士梁述、太學助教王真儒等注解的《周髀算經(jīng)》和《古算十經(jīng)》頒行為全國教材，是世界上最早的數(shù)學教材，對后世東方數(shù)學影響巨大深遠。中國、日本、朝鮮、越南等國始終沿用到近代。李約瑟博士稱其為：“整個中國歷史上最宏大的數(shù)學著作注解”?！吨荀滤憬?jīng)》《九章算術(shù)》《海島算經(jīng)》《孫子算經(jīng)》《夏侯陽算經(jīng)》《張丘建算經(jīng)》《綴術(shù)》《五曹算經(jīng)》《五經(jīng)算術(shù)》《緝古算術(shù)》《孫子算經(jīng)》有各類算題64問“雞兔同籠問題”：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？”《張邱建算經(jīng)》“百雞問題”：“今有雞翁一，直錢五；雞母一，直錢三；雞雛三，直錢一。凡百錢買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何？”“今有環(huán)山道路一周長325里，甲、乙、丙三人環(huán)山步行，已知他們每天分別能步行150、120、90里，假如步行不間斷，問從同一起點動身，多少天后再相遇于動身點？”祖沖之（公元429年─公元500年）是我國杰出的數(shù)學家，科學家。南北朝時期人，漢族人，字文遠。祖籍范陽郡遒縣（今河北淶水縣）。為避戰(zhàn)亂，河北遷至江南。祖沖之從小接受家傳的科學學問。青年時進入華林學省，從事學術(shù)活動。其主要貢獻在數(shù)學、天文歷法和機械三方面。祖沖之證明圓周率應當在3.1415926和3.1415927之間。成為世界上第一個把圓周率的精確數(shù)值計算到小數(shù)點以后七位數(shù)字的人。直到一千年后，這個記錄才被阿拉伯數(shù)學家阿爾·卡西和法國數(shù)學家維葉特所打破。祖沖之還與他的兒子祖暅一起，用奇異的方法解決了球體體積的計算。他們當時接受的一條原理是：“冪勢既同，則積不容異?！币饧矗何挥趦善叫衅矫嬷g的兩個立體，被任一平行于這兩平面的平面所截，假如兩個截面的面積恒相等，則這兩個立體的體積相等。在西方被稱為“卡瓦列利原理”，但這是在祖沖之以后一千多年才由意大利數(shù)學家卡瓦列利發(fā)覺的。古代數(shù)學旺盛960年，北宋的建立結(jié)束了五代十國割據(jù)的局面。北宋的農(nóng)業(yè)、手工業(yè)、商業(yè)空前旺盛，科學技術(shù)突飛猛進，火藥、指南針、印刷術(shù)三大獨創(chuàng)就是在這種經(jīng)濟高漲的狀況下得到廣泛應用。1084年秘書省第一次印刷出版了《算經(jīng)十書》，這些都為數(shù)學發(fā)展創(chuàng)建了良好的條件。從11～14世紀約300年期間，出現(xiàn)了一批著名的數(shù)學家和數(shù)學著作，很多領(lǐng)域都達到古代數(shù)學的高峰，其中一些成就也是當時世界數(shù)學的高峰。宋元數(shù)學四大家楊輝，字謙光，漢族，錢塘（今杭州）人，中國古代數(shù)學家和數(shù)學教化家，生平履歷不詳。由現(xiàn)存文獻可推知，楊輝擔當過南宋地方行政官員，為政清廉，蹤跡遍及蘇杭一帶，他署名的數(shù)學書共五種二十一卷。他是世界上第一個排出豐富的縱橫圖和探討其構(gòu)成規(guī)律的數(shù)學家。(1)楊輝不遺余力改進計算技術(shù)，大大加快了運算工具改革的步伐。(2)縱橫圖：楊輝不僅給出了這些圖的編造方法，而且對一些圖的一般構(gòu)造規(guī)律有所相識，打破其奇異性。這是世界上對幻方最早的系統(tǒng)探討和記錄。(3)垛積術(shù)：是繼沈括“隙積術(shù)”之后，關(guān)于高階等差級數(shù)求和的探討。在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中記敘了若干二階等差級數(shù)求和公式。沈括、楊輝等所探討的級數(shù)與一般等差級數(shù)不同，前后兩項之差并不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次差相等(4)楊輝還是一位杰出的數(shù)學教化家。他一生致力于數(shù)學教化和數(shù)學普及，其著述有很多是為了數(shù)學教化和普及而寫。《算法通變本末》中載有楊輝特地為初學者制訂的“習算綱目”，它集中體現(xiàn)了楊輝的數(shù)學教化思想和方法。李冶(1192～1279)，中國金元時期的數(shù)學家，原名李治，字仁卿，號敬齋，真定欒城人（今河北省石家莊）。金代曾任河南鈞州地方長官。元朝后，長期在封龍山（今河北元氏）隱居講學。著有《測圓海鏡》、《益古演段》、《泛說》、《敬齋古今》、《壁書叢削》。其主要貢獻是天元術(shù)（設(shè)未知數(shù)并列方程的方法），用以探討直角三角形內(nèi)切圓和旁切圓的性質(zhì)。《測圓海鏡》9種求直角三角形內(nèi)切圓直徑的方法，且給出一批新的求圓徑公式。闡明白圓城圖式中各勾股形邊長之間的關(guān)系以及它們與圓徑的關(guān)系，還總結(jié)出一套簡明好用的天元術(shù)程序，并給出化分式方程為整式方程的方法。他獨創(chuàng)了負號和一套先進的小數(shù)記法，接受了從零到九的完整數(shù)碼。并首先運用記號〇李冶相識到，天元術(shù)是從幾何中產(chǎn)生。因此，為使人們理解天元術(shù)，就需回顧它與幾何的關(guān)系，給代數(shù)以幾何說明，于是便產(chǎn)生了《益古演段》

秦九韶（1208年－1261年）南宋官員、數(shù)學家，字道古，漢族，自稱魯郡（今山東曲阜）人，生于普州安岳（今屬四川）。精研星象、音律、算術(shù)、詩詞、弓劍、營造之學，歷任瓊州知府、司農(nóng)丞，后遭貶，卒于梅州任所，著作《數(shù)書九章》，其中的大衍求一術(shù)、三斜求積術(shù)和秦九韶算法是具有世界意義的重要貢獻。（1）“大衍求一術(shù)”，領(lǐng)先卡爾·弗里德里?！じ咚?54年，被康托爾稱為“最幸運的天才”?！按笱芮笠恍g(shù)”，即現(xiàn)代數(shù)論中一次同余式組解法，是中世紀世界數(shù)學的最高成就，比西方1801年著名數(shù)學家高斯建立的同余理論早554年，被西方稱為“中國剩余定理”。（2）創(chuàng)擬了正負開方術(shù)，即隨意高次方程的數(shù)值解法，也是中世紀世界數(shù)學的最高成就，秦九韶的此項成果比1819年英國人霍納的同樣解法早572年。（3）秦九韶改進了一次方程組的解法，用互乘對減法消元，與現(xiàn)今的加減消元法完全一樣；（4）三斜求積術(shù)”，海倫公式。朱世杰（1249年－1314年），字漢卿，號松庭，漢族，燕山（今北京）人氏，元代數(shù)學家、教化家，畢生從事數(shù)學教化。有“中世紀世界最宏大的數(shù)學家”之譽。朱世杰在當時天元術(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展出“四元術(shù)”，也就是列出四元高次多項式方程，以及消元求解的方法。此外他還創(chuàng)建出“垛積法”，即高階等差數(shù)列的求和方法，與“招差術(shù)”，即高次內(nèi)插法。主要著作是《算學啟蒙》與《四元玉鑒》。朱世杰的主要貢獻是創(chuàng)建了一套完整的消未知數(shù)方法，稱為四元消法．這種方法在世界上長期處于領(lǐng)先地位，直到18世紀，法國數(shù)學家貝祖提出一般高次方程組解法，才超過朱世杰。除四元術(shù)外，《四元玉鑒》中還有兩項重要成就，即創(chuàng)立了一般的高階等差級數(shù)求和公式及等間距四次內(nèi)插法公式，此書代表著宋元數(shù)學的最高水平，美國科學史家薩頓贊揚它“是中國數(shù)學著作中最重要的一部，同時也是中世紀的杰出數(shù)學著作之一”。在數(shù)學的很多領(lǐng)域，宋元數(shù)學的成就代表了當時世界數(shù)學發(fā)展的高度，但宋元數(shù)學成就沒有得到繼承，緣由有：

1.中國數(shù)學的局限性。它與社會須要的關(guān)系，始終以婢女的身份出現(xiàn)，少有數(shù)學自身發(fā)展的獨立性，另外，中國數(shù)學的算法體系壓抑了數(shù)學發(fā)展的內(nèi)動力—思辨性。

2.籌算的沒落。籌算數(shù)學曾在解決實際問題過程中得到發(fā)展，因此籌算數(shù)學所能創(chuàng)建的成就的范圍基本上也是數(shù)學計算方面的，數(shù)學的其它領(lǐng)域它很難顧及，籌算成為絕學是必定趨勢明清時期—中國傳統(tǒng)數(shù)學的衰落與復蘇在明清特殊的社會歷史條件下，即使依據(jù)中國傳統(tǒng)科學技術(shù)固有的發(fā)展模式，其發(fā)展速度也大大減慢，更何況與文藝復興之後歐洲科學技術(shù)的加速發(fā)展相比，老大腐朽的清朝更是一落千丈。沒落的緣由有：嚴禁民間探討天文資本主義萌芽受遏制統(tǒng)治政策嚴酷西學東漸受阻排外心情，天朝上國思想總之，明清時期的科技落后了，其緣由有科技體系內(nèi)部的緣由，也有社會條件的外部緣由，中國古代的科技體系的突出特點是它極強的好用性，在封建社會中表現(xiàn)為干脆滿足封建王朝各方面的須要。由于它的極端好用性，一旦現(xiàn)實不提出干脆的要求，它就沒有了發(fā)展的動力。希臘人不講好用，為理論而理論，這就為科學的發(fā)綻開拓了無限的空間。希臘人的數(shù)學和自然哲學時隔一千多年后照舊能推動歐洲科學的發(fā)展，充分顯示出理論的力氣，而好用性科學眼光不夠遠大，為自己設(shè)定的發(fā)展空間是微小的。另一方面，由于中國科技干脆服務于封建社會的須要，封建社會結(jié)構(gòu)本身就為它設(shè)定了一個發(fā)展的極限，過了這個極限，除非社會結(jié)構(gòu)發(fā)生重大變更，這種好用型科技就只有停滯不前。不幸的是中國的封建社會太長，持續(xù)了兩千多年，中國好用型科技體系事實上在宋元時期就達到了其高峰也就是達到了它的極限，此后在封建社會結(jié)構(gòu)的約束下不再可能有太大的突破與發(fā)展。但是，中國數(shù)學的傳統(tǒng)沒有因此而消逝，其豐厚的基礎(chǔ)有效地維持著它再發(fā)展的朝氣，比如珠算的出現(xiàn)。16世紀末，隨著西方傳教活動在中國綻開，包括數(shù)學在內(nèi)西方科學文化漸漸地傳入中國，一些人主動吸取和傳播西方數(shù)學，另一些人則努力發(fā)掘和整理中國古代數(shù)學，這些活動客觀上為中國數(shù)學復蘇起到了主動的推動作用。一些重要的工作利瑪竇+徐光啟《幾何原本》前六卷偉烈亞力+李善蘭《幾何原本》后九卷利瑪竇+李之藻《同文算指》梅文鼎《梅氏歷算全書》到20世紀初，數(shù)學教科書與西方已大致相同，中國數(shù)學走上世界化道路?！冻绲潥v書》：主要是介紹歐洲天文學家第谷的“地心學說”《幾何原本》：影響：第一部數(shù)學翻譯著作數(shù)學名詞首創(chuàng)徐光啟傳統(tǒng)數(shù)學的探討外部緣由：1.閉關(guān)自守，西方科學的停止輸入2.政府高壓政策內(nèi)在緣由：《算經(jīng)十書》和宋元時期的數(shù)學著作的收集整理成果：1.焦循在《加減乘除釋》（1798）中，列出加、減、乘、除的幾個基本定律，用甲、乙、丙、丁……等天干字表示具體的數(shù)，用這些符號和定律來說明古代算法原理2.汪萊著有《衡齋算學》，探討了二次、三次方程有多少正根以及正根和系數(shù)的關(guān)系問題中國傳統(tǒng)數(shù)學的特點追求好用留意算法寓理于算古希臘的學術(shù)崇尚“唯理論”，不僅要解決真理“是什么”的問題，還要回答“為什么”的問題。為了證明自己的學問是真理，先設(shè)一些人人都同意的“公理”，規(guī)定一些名詞的意義，然后把要陳述的命題，成為公理的邏輯推論。歐氏的《原本》正是在這樣的背景下產(chǎn)生的。中國實行君王統(tǒng)治制度，理論的核心是幫助君王統(tǒng)治臣民、管理國家。在這樣的環(huán)境下，中國的古代數(shù)學多半以“管理數(shù)學”的形式出現(xiàn)，目的是為了丈量田畝、興修水利、計算稅收等國家管理的好用目標。理性探討在這里退居其次。因此，從文化意義上看，中國數(shù)學可以說是“管理數(shù)學”和“木匠數(shù)學”，存在的形式是正式的文書，而不是學術(shù)性的著作。古希臘的文化時尚，以追求精神上的享受、獲得對大自然的理解為最高目標。因此，“對頂角相等”這樣的命題也賜予證明。在中國的數(shù)學文化里，不行能給這樣的直觀命題留下位置。同樣，中國數(shù)學強調(diào)好用的管理數(shù)學，在算法上得到了長足的發(fā)展。負數(shù)的運用、解方程的開方法，以及楊輝三角、祖沖之的圓周率計算、天元術(shù)那樣的精致計算課題，也只能在中國誕生，而為古希臘文明所輕視。近代數(shù)學的春天1840：一個特殊的數(shù)字小：英人在滬設(shè)立書館老美傳教士到華傳教大：洋務運動“師夷長技以制夷”翻譯大量近代數(shù)學著作，介紹和學習西方科學“五四”：近代數(shù)學探討的春天陳省身數(shù)學家，美國國籍。曾獲美國國家科學獎(1975)，沃爾夫數(shù)學獎(1984)等。1994年當選為中國科學院外籍院士。陳省身是20世紀的宏大幾何學家，在微分幾何方面的成就尤為突出，被世人稱為“微分幾何之父”。丘成桐，1949年生,廣東汕頭人,1969年畢業(yè)于香港中文高校數(shù)學系,2