人教b版選擇性必修第一冊1.2.2空間中的平面與空間向量學(xué)案

【標(biāo)題】1．2．2空間中的平面與空間向量今日頭條1．利用向量法來解決有關(guān)直線與平面、平面與平面的關(guān)系問題，不必考慮圖形的位置關(guān)系，只需通過向量運(yùn)算，就可得到證明的結(jié)果．2．三垂線定理以及逆定理是證明線線垂直、線面垂直的有力工具，應(yīng)用時要分清定理和逆定理的關(guān)系：線射垂直線斜垂直．平面的法向量1．如果α是空間中的一個平面，n是空間中的一個非零向量，且表示n的有向線段所在的直線與平面α垂直，則稱n為平面α的一個法向量，此時也稱n與平面α垂直，記作n⊥α．2．平面的法向量的性質(zhì)（1）如果直線l垂直于平面α，則直線l的任意一個方向向量都是平面α的一個法向量．（2）如果n是平面α的一個法向量，則對任意的實(shí)數(shù)λ≠0，空間向量λn也是平面α的一個法向量，且平面α的任意兩個法向量都平行．（3）如果n為平面α的一個法向量，A為平面α上一個已知的點(diǎn)，則對于平面α上任意一點(diǎn)B，向量AB一定與向量n垂直，即n·AB＝0，從而可知平面α的位置可由n和A唯一確定．3．如果v是直線l的一個方向向量，n是平面α的一個法向量，則n∥v?l⊥α，n⊥v?l∥α或l?α．4．如果n1是平面α1的一個法向量，n2是平面α2的一個法向量，則n1⊥n2?α1⊥α2，n1∥n2?α1∥α2或α1與α2重合．三垂線定理及其逆定理1．三垂線定理：如果平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直，則它也和這條斜線垂直．2．三垂線定理的逆定理：如果平面內(nèi)的一條直線和這個平面的一條斜線垂直，則它也和這條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直．一、思考判斷（正確的打“√”，錯誤的打“×”）1．平面α的法向量是唯一的，即一個平面不可能存在兩個不同的法向量． （×）2．已知直線l垂直于平面α，向量a與直線l平行，則a是平面α的一個法向量． （×）3．若直線l是平面α外的一條直線，直線m垂直于l在平面α內(nèi)的投影，則l與m垂直． （×）二、思考題1．若已知平面外一直線的方向向量和平面的法向量，則這兩向量滿足哪些條件可說明直線與平面平行？答案：可探究直線的方向向量與平面的法向量是否垂直，進(jìn)而確定線面是否平行．2．用向量法處理空間中兩平面平行的關(guān)鍵是什么？答案：關(guān)鍵是找到兩個平面的法向量，利用法向量平行來說明兩平面平行．探究1求平面的法向量待定系數(shù)法求平面法向量的步驟①設(shè)出平面的一個法向量為n＝（x，y，z），②找出（求出）平面內(nèi)的兩個不共線的向量的坐標(biāo)：a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），③依據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x，y，z的方程組n·④解方程組，取其中的一個解，即得法向量，由于一個平面的法向量有無數(shù)多個，故可在方程組的解中取一個最簡單的作為平面的法向量．【例1】如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，AB＝AP＝1，AD＝3，試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求直線PC的一個方向向量和平面PCD的一個法向量．[思路點(diǎn)撥]求直線的方向向量時只需在直線上任取兩點(diǎn)構(gòu)成向量即可，求平面的法向量經(jīng)常用待定系數(shù)法解方程組求解．解析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD，AP的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則P（0，0，1），C（1，3，0），所以PC＝（1，3，－1），即為直線PC的一個方向向量．設(shè)平面PCD的法向量為n＝（x，y，z）．因?yàn)镈（0，3，0），所以PD＝（0，3，－1）．由n·PC所以x=0,z=3y,令y＝所以平面PCD的一個法向量為（0，1，3）．【針對訓(xùn)練】1．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB＝60°，AB＝2AD＝2，PD⊥底面ABCD，且PD＝AD，求平面PAB的一個法向量．解析：因?yàn)椤螪AB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝3AD，從而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD，以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線DA，DB，DP為x，y，z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，則A（1，0，0），B（0，3，0），P（0，0，1）．∴AB＝（－1，3，0），PB＝（0，3，－1），設(shè)平面PAB的法向量為n＝（x，y，z），則n即n即-x+3y=0,3y-z=0∴平面PAB的一個法向量為（3，1，3）．2．在△ABC中，A（1，－1，2），B（3，3，1），C（3，1，3），設(shè)M（x，y，z）是平面ABC內(nèi)任意一點(diǎn)．（1）求平面ABC的一個法向量；（2）求x，y，z滿足的關(guān)系式．解析：（1）設(shè)平面ABC的法向量n＝（a，b，c）．因?yàn)锳B＝（2，4，－1），AC＝（2，2，1），所以n·AB令b＝2，則a＝－3，c＝2．所以平面ABC的一個法向量為n＝（－3，2，2）．（2）因?yàn)辄c(diǎn)M（x，y，z）是平面ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，所以AM⊥n，所以－3（x－1）＋2（y＋1）＋2（z－2）＝0，所以3x－2y－2z－1＝0．故x，y，z滿足的關(guān)系式為3x－2y－2z－1＝0．探究2利用空間向量證明平行關(guān)系線線平行證明兩直線的方向向量共線線面平行①證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；②證明直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行面面平行①證明兩平面的法向量為共線向量；②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題【例2】已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別是BB1，DD1的中點(diǎn)．（1）求證：FC1∥平面ADE；（2）求證：平面ADE∥平面B1C1F．[思路點(diǎn)撥]利用向量證明平行問題，可以先建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量和平面的法向量，然后根據(jù)向量之間的關(guān)系證明平行問題．證明：（1）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，則有D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），C1（0，2，2），E（2，2，1），F(xiàn)（0，0，1），B1（2，2，2）．FC1＝（0，2，1），DA＝（2，0，0），AE＝（0，2，1設(shè)n1＝（x1，y1，z1）是平面ADE的法向量，則n1⊥DA,令z1＝2，則y1＝－1．所以n1＝（0，－1，2）．因?yàn)镕C1·n1＝－2＋2＝0．所以FC1因?yàn)镕C1?平面ADE，所以FC1∥平面ADE．（2）證明：由（1）知C1B1＝（2，0設(shè)n2＝（x2，y2，z2）是平面B1C1F的法向量．由n2⊥FC1，n2⊥Cn2·令z2＝2得y2＝－1，所以n2＝（0，－1，2），因?yàn)閚1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F．【針對訓(xùn)練】1．在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，四邊形ADPQ是梯形，PD∥QA，PD⊥平面ABCD，且AD＝PD＝2QA＝2，求證：QB∥平面PDC．證明：由題意得，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DP的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正向建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則D0,0,0，B2,2,0，C0,2依題意易得AD＝-2,0,又QB＝0,2,-1，∴QB·AD＝0，∴又∵直線QB?平面PDC，∴QB∥平面PDC．2．如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD的中點(diǎn)．在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由．解析：以A為原點(diǎn)，AB，AD，AA1的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)AB＝A（0，0，0），D（0，1，0），D1（0，1，1），Ea2，1，0，B1（a，0，1）假設(shè)在棱AA1上存在一點(diǎn)P（0，0，z0），使得DP∥平面B1AE，此時DP＝（0，－1，z0），再設(shè)平面B1AE的一個法向量為n＝（x，y，z），AB1＝（a，0，1），AE＝a2，1，0．因?yàn)閚⊥平面B1AE所以n⊥AB1，n⊥AE，取x＝1，得y＝－a2，z＝－a，得平面B1AE的一個法向量n＝1，－a2，－a．要使DP∥平面B1AE，只要n⊥DP，所以有a2－az0＝0，解得z0＝12．又DP?平面B1AE，所以存在點(diǎn)P，滿足DP∥平面B1AE，此時AP＝探究3利用空間向量證明垂直關(guān)系線線垂直證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零線面垂直證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示面面垂直證明兩個平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎尽纠?】如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，垂足為A，AB⊥AD于A，AC⊥CD于C，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn)．（1）求證：AE⊥CD；（2）求證：PD⊥平面ABE．[思路點(diǎn)撥]證明線線垂直只需證明兩條直線的方向向量垂直，證明線面垂直只需證明直線的方向向量與平面內(nèi)兩個相交向量都垂直，或者證明直線的方向向量與平面的法向量平行．證明：（1）因?yàn)镻A⊥底面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，又AB⊥AD，所以PA，AB，AD兩兩垂直，所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB，AD，PA分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PA＝AB＝BC＝1，則A（0，0，0），P（0，0，1）．因?yàn)椤螦BC＝60°，所以△ABC為正三角形．所以C12,32設(shè)D（0，y，0），則CD＝-1由AC⊥CD得AC·CD＝0，解得y＝233，則D所以CD＝-1又AE＝14所以AE·CD＝－12×14＋36所以AE⊥CD，即AE⊥CD．（2）由（1）知AE＝14,34,又AE·PD＝34×233＋12×（所以PD⊥AE，即PD⊥AE．由（1）知AB＝（1，0，0），所以PD·AB＝0，所以PD⊥AB．又AB∩AE＝A，AB?平面ABE，AE?平面ABE，所以PD⊥平面ABE．【針對訓(xùn)練】1．在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中點(diǎn)．求證：平面BDE⊥平面ABCD．證明：設(shè)AS＝AB＝1，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B（1，0，0），D（0，1，0），A（0，0，0），C（1，1，0），S（0，0，1），E12，12，12法一：連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接OE，則點(diǎn)O的坐標(biāo)為12，12，0．易知AS＝（0，0，1），OE＝0，0，12，所以O(shè)E＝12AS，所以O(shè)E∥AS又AS⊥底面ABCD，所以O(shè)E⊥平面ABCD．又OE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD．法二：設(shè)平面BDE的法向量為n1＝（x，y，z）．易知BD＝（－1，1，0），BE＝－12，12，12所以n即n令x＝1，可得平面BDE的一個法向量為n1＝（1，1，0）．因?yàn)锳S⊥底面ABCD，所以平面ABCD的一個法向量為n2＝AS＝（0，0，1）．因?yàn)閚1·n2＝0，所以平面BDE⊥平面ABCD．2．如圖，在多面體ABC－A1B1C1中，四邊形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝2AB，B1C112BC，二面角A1－AB－C是直二面角．求證：A1B1⊥平面AA1C證明：∵二面角A1－AB－C是直二面角，四邊形A1ABB1為正方形，∴AA1⊥平面ABC．又∵AB＝AC，BC＝2AB，∴∠CAB＝90°，即CA⊥AB，∴AB，AC，AA1兩兩互相垂直．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，設(shè)AB＝2，則A（0，0，0），B1（0，2，2），A1（0，0，2），C（2，0，0），C1（1，1，2）．A1B1＝（0，2，0），A1A＝（0，AC＝（2，0，0），設(shè)平面AA1C的一個法向量n＝（x，y，z），則n·A即x=0,z=0.取y＝1，則n＝（0，∴A1B1＝2n，即A∴A1B1⊥平面AA1C．探究4三垂線定理及逆定理的應(yīng)用利用三垂線定理證明垂直的步驟（1）找平面（基準(zhǔn)面）及平面的垂線．（2）找射影線（平面上的直線與斜線）．（3）證明射影線與直線垂直，從而得線線垂直，更進(jìn)一步證明線面垂直或面面垂直．【例4】如圖，已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，連接BD1，AC，CB1，B1A，求證：BD1⊥平面AB1C．[思路點(diǎn)撥]利用三垂線定理證明線線垂直．證明：連接BD，A1B，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．又DD1⊥平面ABCD，∴BD是斜線BD1在平面ABCD上的射影，∴BD1⊥AC．而A1B是BD1在平面ABB1A1內(nèi)的射影，∴BD1⊥AB1，又AB1∩AC＝A，AB1?平面AB1C，AC?平面AB1C，∴BD1⊥平面AB1C．【針對訓(xùn)練】1．在四面體PABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，求證：PC⊥AB．證明：過P作PH⊥平面ABC，連AH延長交BC于E，連BH并延長交AC于F，PH⊥平面ABC，PA⊥BC，而PA在面ABC內(nèi)的射影為AH，由三垂線定理的逆定理知BC⊥AH，同理可證BH⊥AC．則H為△ABC的垂心，連CH并延長交AB于G，于是CH⊥AB，而CH是PC在面ABC的射影，故PC⊥AB．2．如圖，矩形紙片A1A2A3A4，B、C、B1、C1分別為A1A4、A2A3的三等分點(diǎn)，將矩形片沿BB1，CC1折成三棱柱，若面對角線A1B1⊥BC1．求證：A2C⊥A1B1．證明：取A2B1中點(diǎn)D1，∵A2C1＝B1C1，∴C1D1⊥A2B1．又A1A2⊥面A2B1C1，∴C1D1⊥A1A2，而A1A2∩A2B1＝A2，∴C1D1⊥面A1A2B1B，∴BD1是BC1在面A2B上的射影由A1B1⊥BC1，∴BD1⊥A1B1取A1B中點(diǎn)D，同理可證A2D是A2C在面A2B上的射影∵A2DBD1，∴A2DBD1是平行四邊形由BD1⊥A1B1，∴A1B1⊥A2D，∴A2C⊥A1B1．1．若直線l的方向向量為a＝（1，0，2），平面α的法向量為u＝（－2，0，－4），則 （B）A．l∥αB．l⊥αC．l?α D．l與α斜交解析：∵a＝（1，0，2），u＝－2（1，0，2）＝－2a，∴u與a平行，∴l(xiāng)⊥α．2．平面α的一個法向量為（1，2，0），平面β的一個法向量為（2，－1，0），則平面α與平面β的位置關(guān)系為 （C）A．平行 B