2023中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料（全國通用）分項專題09 二元一次方程（組）及其應(yīng)用（講通）-【講通練透】中考數(shù)學(xué)一輪（全國通用）（學(xué)生版）

專題09二元一次方程（組）及其應(yīng)用1、能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的有效模型2、掌握代入消元法和加減消元法，能解二元一次方程組。3、能根據(jù)具體問題的實際意義，檢驗方程的解是否合理。一、二元一次方程（1）二元一次方程的概念含有兩個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的整式方程叫做二元一次方程。二元一次方程的一般形式：ax+by+c=0（a≠0，b≠0）。判定二元一次方程必須同時滿足三個條件：①方程兩邊的代數(shù)式都是整式——整式方程；②含有兩個未知數(shù)——“二元”；③含有未知數(shù)的項的次數(shù)為1——“一次”。（2）二元一次方程的解使二元一次方程左、右兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解。一般情況下，一個二元一次方程有無數(shù)個解。例1．下列方程中是二元一次方程的是（）A． B． C． D．二、二元一次方程組（1）二元一次方程組的概念由幾個一次方程組成并且含有兩個未知數(shù)的方程組，叫二元一次方程組。注意：二元一次方程組不一定由兩個二元一次方程合在一起：方程可以超過兩個，有的方程可以只有一元（一元方程在這里也可看作另一未知數(shù)系數(shù)為0的二元方程）。（2）二元一次方程組的解二元一次方程組的解必須滿足方程組中的每一個方程，同時它也必須是一個數(shù)對，而不能是一個數(shù)。（3）二元一次方程組的解法a.代入消元法代入消元法是解二元一次方程組的基本方法之一。通過等量代換，消去方程組中的一個未知數(shù)，使二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程，從而求得一個未知數(shù)的值，然后再求出被消去未知數(shù)的值，從而確定原方程組的解的方法。步驟：①從方程組中選一個系數(shù)比較簡單的方程，將這個方程中的一個未知數(shù)，例如y，用另一個未知數(shù)如x的代數(shù)式表示出來，即寫成y=ax+b的形式；②y=ax+b代入另一個方程中，消去y，得到一個關(guān)于x的一元一次方程；③解這個一元一次方程，求出x的值；④回代求解：把求得的x的值代入y=ax+b中求出y的值，從而得出方程組的解。b.加減消元法加減法是消元法的一種，也是解二元一次方程組的基本方法之一。加減法不僅在解二元一次方程組中適用，也是今后解其他方程（組）經(jīng)常用到的方法。步驟：①變換系數(shù)：把一個方程或者兩個方程的兩邊都乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)，使兩個方程里的某一個未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)或相等；②加減消元：把兩個方程的兩邊分別相加或相減，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程；③解這個一元一次方程，求得一個未知數(shù)的值；④回代：將求出的未知數(shù)的值代入原方程組中，求出另一個未知數(shù)的值。例2．下列方程組為二元一次方程組的是（）A． B． C． D．例3．方程組的解是（）A． B． C． D．三、二元一次方程的應(yīng)用1、列方程組解應(yīng)用題的基本思想列方程組解應(yīng)用題是把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的相等關(guān)系。所列方程必須滿足：(1)方程兩邊表示的是同類量；(2)同類量的單位要統(tǒng)一；(3)方程兩邊的數(shù)值要相等。2、二元一次方程組的應(yīng)用步驟（1）審題：弄清題意及題目中的數(shù)量關(guān)系（2）設(shè)未知數(shù)：可直接設(shè)元，也可間接設(shè)元（3）找等量關(guān)系：根據(jù)相關(guān)公式變量等，找出題目中的等量關(guān)系（4）列方程組：根據(jù)題目中能表示全部含義的等量關(guān)系列出方程，并組成方程組（5）解方程組：利用消元法等方法解所列的方程組（6）檢驗：檢驗解的正確性，是否滿足實際問題（7）答話：回答題目問題3、常用的基本等量關(guān)系1.行程問題：(1)追擊問題：追擊問題是行程問題中很重要的一種，它的特點是同向而行。這類問題比較直觀，畫線段，用圖便于理解與分析。其等量關(guān)系式是:兩者的行程差＝開始時兩者相距的路程。(2)相遇問題：相遇問題也是行程問題中很重要的一種，它的特點是相向而行。這類問題也比較直觀，因而也畫線段圖幫助理解與分析。這類問題的等量關(guān)系是：雙方所走的路程之和＝總路程。(3)航行問題：①船在靜水中的速度＋水速＝船的順?biāo)俣龋虎诖陟o水中的速度－水速＝船的逆水速度；③順?biāo)俣龋嫠俣龋?×水速。注意：飛機(jī)航行問題同樣會出現(xiàn)順風(fēng)航行和逆風(fēng)航行，解題方法與船順?biāo)叫小⒛嫠叫袉栴}類似。2.利潤問題：(1)利潤＝售價－成本(進(jìn)價)；(2)利潤＝成本（進(jìn)價）×利潤率；(3)標(biāo)價＝成本(進(jìn)價)×(1＋利潤率)；(4)實際售價＝標(biāo)價×打折率；注意：“商品利潤＝售價－成本”中的右邊為正時，是盈利；為負(fù)時，就是虧損。打幾折就是按標(biāo)價的十分之幾或百分之幾十銷售。（例如八折就是按標(biāo)價的十分之八即五分之四或者百分之八十）3.儲蓄問題：(1)基本概念①本金：顧客存入銀行的錢叫做本金。②利息：銀行付給顧客的酬金叫做利息。③本息和：本金與利息的和叫做本息和。④期數(shù)：存入銀行的時間叫做期數(shù)。⑤利率：每個期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫做利率。⑥利息稅：利息的稅款叫做利息稅。(2)基本關(guān)系式①利息＝本金×利率×期數(shù)②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期數(shù)＝本金×(1＋利率×期數(shù))③利息稅＝利息×利息稅率＝本金×利率×期數(shù)×利息稅率④稅后利息＝利息×(1－利息稅率)⑤年利率＝月利率×12注意：當(dāng)題目中涉及免稅利息時，需要明晰免稅利息=利息4.數(shù)字問題：解決這類問題，首先要正確掌握自然數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等有關(guān)概念、特征及其表示。如當(dāng)n為整數(shù)時，奇數(shù)可表示為2n+1(或2n-1)，偶數(shù)可表示為2n等。有關(guān)兩位數(shù)的基本等量關(guān)系式為：兩位數(shù)=十位數(shù)字10+個位數(shù)字5.其他問題：（1）工程問題：工作效率×工作時間=工作量（2）增長率問題：原量×(1＋增長率)＝增長后的量；原量×(1－減少率)＝減少后的量（3）和差倍分問題：較大量＝較小量＋多余量，總量＝倍數(shù)×倍量（4）幾何問題：解決這類問題的基本關(guān)系式有關(guān)幾何圖形的性質(zhì)、周長、面積等計算公式（5）年齡問題：解決這類問題的關(guān)鍵是抓住兩人年齡的增長數(shù)是相等，兩人的年齡差是永遠(yuǎn)不會變的例4．《九章算術(shù)》中記載：“今有共買羊，人出五，不足四十五：人出七，余三：問人數(shù)、羊價各幾何？”其大意是：今有人合伙買羊，若每人出5錢，還差45錢；若每人出7錢，多余3錢，問合伙人數(shù)、羊價各是多少？設(shè)合伙人數(shù)為x人，羊價為y錢，根據(jù)題意，可列方程組為（）A． B．C． D．四、涉及二元一次方程需要注意以下要點：(1)解實際應(yīng)用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去(2)“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱(3)一般來說，設(shè)幾個未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個方程并組成方程組。(4)列方程組解應(yīng)用題應(yīng)注意的問題：①弄清各種題型中基本量之間的關(guān)系；②審題時注意從文字，圖表中獲得有關(guān)信息；③注意用方程組解應(yīng)用題的過程中單位的書寫，設(shè)未知數(shù)和寫答案都要帶單位，列方程組與解方程組時，不要帶單位；④正確書寫速度單位，避免與路程單位混淆；⑤在尋找等量關(guān)系時，應(yīng)注意挖掘隱含的條件；⑥列方程組解應(yīng)用題一定要注意檢驗。1．（2022·陜西九年級專題練習(xí)）在下列各式中①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是二元一次方程的有（）．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個2．（2022·江蘇蘇州市振華中學(xué)校九年級月考）已知則a+b的值是（）A．4 B．5 C．6 D．73．（2022·遼寧錦州·中考真題）二元一次方程組的解是（）A． B． C． D．4．（2022·黑龍江九年級三模）若一次購買單價分別為7元、5元的兩款筆記本共用了54元，則7元筆記本最少買（）A．2本 B．3本 C．4本 D．7本5．（2022·浙江）已知關(guān)于x、y的方程x2m-n-2+ym+n+1＝6是二元一次方程，則m，n的值為（）A．m＝1，n＝﹣1 B．m＝﹣1，n＝1C．m＝，n＝﹣ D．m＝﹣，n＝6．（2020·浙江九年級期末）我國明代數(shù)學(xué)讀本《算法統(tǒng)宗》一書中有這樣一道題：“一支桿子一條索，索比桿子長一托，對折索子來量桿，卻比桿子短一托．”若1托為5尺，則桿子、索長分別為____尺（）A．15，20 B．20，15 C．7.5，12.5 D．12.5，7.57．（2022·海南）為了防治“新型冠狀病毒”，我市某小區(qū)準(zhǔn)備用3400元購買醫(yī)用口罩和洗手液發(fā)放給本小區(qū)住戶．若醫(yī)用口罩買800個，洗手液買120瓶，則錢還缺200元；若醫(yī)用口罩買1200個，洗手液買80瓶，則錢恰好用完．求醫(yī)用口罩和洗手液的單價．8．（2022·海南海口·）為推廣海南各縣市名優(yōu)農(nóng)產(chǎn)品，省政府組織創(chuàng)辦了“海南冬交會”，顧客在“海南冬交會”發(fā)現(xiàn)，如果購買盒興隆咖啡和盒白沙綠茶，共需元；如果購買盒興隆咖啡和盒白沙綠茶共需元，問每盒興隆咖啡和每盒白沙綠茶分別需要多少元？9．（2022·沈陽市第四十三中學(xué)九年級月考）某班對周考進(jìn)步的同學(xué)進(jìn)行表彰，若購買甲種筆記本15個，乙種筆記本20個，需花費25