2023屆新高考數(shù)學真題解析幾何專題講義第28講 仿射變換

PAGE第28講仿射變換一、問題綜述設橢圓，作變換得單位圓，記點在變換下的對應點分別為，設直線和的斜率分別為（斜率存在且非零），和的面積分別為．則變換有以下性質：性質1：共線結合性，即；；．性質2：或．證明：．性質3：線段中點變成線段中點．性質4：直線與曲線的位置關系保持不變．性質5：直線上線段成比例，則變成直線上對應的線段仍成比例．性質6：或，證明：因為，即證之．性質7：設線段在伸縮變換下的像為，顯然在伸縮變換下線段的長度關系不具有確定的關系，但是我們可以利用斜率的不變關系（性質2）尋找的關系：即設線段所在直線斜率為，則．二、典例分析類型1：取值范圍型【例1】設直線和橢圓有且僅有一個公共點，求和的取值范圍．解析：令，則已知橢圓和直線變?yōu)橄鄳膱A和直線，要使已知的直線與橢圓有且僅有一個公共點，只要相應的直線與圓相切．由直線和圓相切的充要條件可知，即，故得，即，解得．【方法小結】轉化到直線與圓相切，建立參數(shù)關系式，利用二次函數(shù)最值求解．類型2：三角形面積最值型【例2】若是橢圓上的三點，求面積的最大值．解析：對橢圓做伸縮變換，橢圓就變成圓．此時橢圓的內接就變成圓的內接，而圓的內接三角形以內接正三角形面積最大，從而的最大值是，還原到橢圓中，由伸縮變換對應多邊形面積比的不變性可知，的最大值是．【例3】已知橢圓，面積為的橢圓內接四邊形有（）．A．個B．個C．個D．個解析：對橢圓做伸縮變換，橢圓就變成圓，此時相應的橢圓內接四邊形就變成圓的內接四邊形，當橢圓的內接四邊形的面積時，其對應的圓內接四邊形的面積就是，由平面幾何知識知圓的內接正方形的面積為，而這樣的內接正方形有無數(shù)個，還原到橢圓可知對應的橢圓內接四邊形也有無數(shù)個，故選D．【例4】（2014年高考全國新課標1卷理第20題）已知點，橢圓：的離心率為，是橢圓的右焦點，直線的斜率為，為坐標原點.(Ⅰ)求的方程；（Ⅱ）設過點的直線與相交于兩點，當?shù)拿娣e最大時，求的方程．解析：（Ⅰ）橢圓的方程為．（Ⅱ）由伸縮變換，橢圓（如下圖）變成了單位圓，變?yōu)?，設直線的方程為．原點到直線的距離為，圓與直線相交，則需要滿足，從而易得，則，則當且僅當，即時，，此時直線的斜率為，且．又直線過點，所以直線的方程為或．【方法小結】對于求三角形面積和直線方程問題，可以用性質2和6求解．類型3：四邊形面積型【例5】（2013年高考全國新課標2卷理科第20題）平面直角坐標系中，過橢圓右焦點的直線交于兩點，為的中點，且的斜率為．（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）為上的兩點，若四邊形的對角線，求四邊形的最大值．解析：在伸縮變換下，橢圓（如下圖）變成圓，（Ⅰ）由伸縮變換性質知，又在橢圓中為的中點，則在單位圓中為的中點，則，故，即，又因為直線過橢圓的右焦點，則，于是，則橢圓的方程為．（Ⅱ）由知，則在單位圓中，．設與間的夾角為，則，則，又直線變換為直線，其方程為，則到直線的距離，則又，當為圓的直徑時取等號，由伸縮變換的性質知，．【方法小結】對于四邊形面積問題，在單位圓中利用三角函數(shù)的有界性和性質6求解．類型4：距離型【例6】在橢圓上求一點，使它到直線的距離最短，并求此距離．解析：作仿射變換，則已知橢圓和直線變?yōu)橄鄳膱A和直線，從而所求問題變?yōu)椋涸趫A上求一點到直線的距離的最短問題，由平面幾何知識可知，過圓的圓心作直線的垂線段，交圓于點，點到垂足的距離最短，由直線的垂線和圓相交，解方程可求得點為，則相應橢圓所求的點為，所求最短距離為．【方法小結】距離最短，轉化為單位圓中的垂線段最短，聯(lián)立方程后得到點的坐標，用點到直線的距離求解即可．類型5：證明型【例7】如圖，橢圓（其中）與過點的直線有只且只有個公共點，且橢圓的離心率．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設分別為橢圓的焦點，為線段的中點，求證：．解析：（Ⅰ）如下圖利用伸縮變換，橢圓上的點變換為圓上的點，因為切線的方程為，所以切線的方程為，由點到切線距離，得，又，解得，從而橢圓方程為．（Ⅱ）由點可變換得，因為，所以．由性質2可知，在橢圓中易得，從而，即，又，從而，得．【方法小結】用坐標伸縮變換將橢圓問題化作圓處理，解答過程完全退去了代數(shù)運算的成分，而是通過圖形的幾何性質進行解答，化繁為簡，事半功倍類型6：相切軌跡型【例8】（2014年廣東省數(shù)學高考理科試題第20題）已知橢圓的一個焦點為，離心率為．（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）若動點為橢圓外一點，且點到橢圓的兩條切線互相垂直，求點的軌跡方程．解析：（Ⅰ）（Ⅱ）如圖，設點在伸縮變換下的像分別為，可知，從而，直線與圓相切，設過點的圓的切線方程為，即，從而圓心到切線的距離為，即，根據韋達定理知，，化簡得，故點的軌跡方程為．【方法小結】在單位圓中得到切線方程，用點到直線的距離建立二次方程，用韋達定理得到，即可求得軌跡方程為．類型7：定值型【例9】（2011年重慶卷理科第20題）如題（20）圖，橢圓的中心為原點，離心率，一條準線的方程為．（Ⅰ）求該橢圓的標準方程；(Ⅱ)設動點滿足：，其中是橢圓上的點，直線與的斜率之積為，問：是否存在兩個定點，使得為定值？若存在，求的坐標；若不存在，說明理由．解析：（Ⅰ）所求橢圓的方程為（Ⅱ）在伸縮變換的作用下（如下圖）橢圓變?yōu)閳A：，變?yōu)?，點變?yōu)辄c．在圓中，由，知，設，即，因為，所以，兩式平方相加，得，即點的軌跡為圓，由伸縮變換知，在橢圓中，點的軌跡為橢圓，所以存在兩個定點，使得．【方法小結】利用單位圓的參數(shù)方程得到點的軌跡為圓，通過伸縮變換得到點的軌跡為橢圓，所以存在兩個定點，使得．三、鞏固練習1.（2014年浙江省數(shù)學高考理科試題第21題）如圖，設橢圓，動直線與橢圓只有一個公共點，且點在第一象限．（Ⅰ）已知直線的斜率為，用表示點的坐標；（Ⅱ）若過原點的直線與垂直，證明：點到直線距離的最大值為．MPAxyBC2、（2011年江蘇卷理科第18題）如圖，在平面直角坐標系中，分別是橢圓的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于兩點，其中在第一象限，過作軸的垂線，垂足為，連接，并延長交橢圓于點，設直線的斜率為．MPAxyBC（Ⅰ）當直線平分線段時，求的值；（Ⅱ）當時，求點到直線的距離；（Ⅲ）對任意，求證：．3.（2013年山東高考理文科第22題）在平面直角坐標系中，已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，短軸長是2，離心率為．(Ⅰ)求橢圓的方程；(Ⅱ)，是橢圓上滿足三角形的面積為的任意兩點，為線段的中點，射線交橢圓于點.設，求實數(shù)的值.參考答案：1.第1小題的伸縮變換解法如下：解析：（Ⅰ）如圖，設切點，在伸縮變換的作用下，橢圓變換為圓，橢圓上的點變換為圓上的點，過點的切線變換為過點的切線，且，由點在圓上得=1\*GB3①，由得，從而，即，代入