2019年數(shù)學復習第6章不等式、推理與證明第4節(jié)歸納與類比學案理

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE5學必求其心得，業(yè)必貴于專精第四節(jié)歸納與類比［考綱傳真］(教師用書獨具）1。了解合情推理的含義,能進行簡單的歸納推理和類比推理，體會合情推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用.2.了解演繹推理的含義，了解合情推理和演繹推理的聯(lián)系和差異．（對應學生用書第99頁)[基礎知識填充]1．歸納推理根據(jù)一類事物中部分事物具有某種屬性,推斷該類事物中每一個都有這種屬性．我們將這種推理方式稱為歸納推理．2．類比推理由于兩類不同對象具有某些類似的特征,在此基礎上，根據(jù)一類對象的其他特征，推斷另一類對象也具有類似的其他特征，我們把這種推理過程稱為類比推理．3．歸納推理和類比推理是最常見的合情推理，合情推理的結果不一定正確．[基本能力自測]1．(思考辨析）判斷下列結論的正誤．（正確的打“√”，錯誤的打“×"）（1）歸納推理與類比推理都是由特殊到一般的推理．(）(2)在類比時，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適．（）(3）歸納推理得到的結論不一定正確，類比推理得到的結論一定正確．()（4)由平面三角形的性質推測空間四面體的性質，這是一種合情推理．（)[答案]（1）×（2)×(3）×（4）√2．（教材改編）已知數(shù)列｛an}中,a1＝1，n≥2時，an＝an－1＋2n－1，依次計算a2,a3,a4后，猜想an的表達式是(）A．a(chǎn)n＝3n－1 B．a(chǎn)n＝4n－3C．a(chǎn)n＝n2 D．a(chǎn)n＝3n－1C[a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2。］3．數(shù)列2，5，11，20，x,47，…中的x等于（)A．28 B．32C．33 D．27B[5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9,推出x－20＝12,所以x＝32.]4．在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1∶2，則它們的面積比為1∶4。類似地，在空間中，若兩個正四面體的棱長的比為1∶2，則它們的體積比為________．1∶8[這兩個正四面體的體積比為eq\f（V1,V2)＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3）S1h1）)∶eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，3）S2h2））＝eq\f(S1,S2）·eq\f(h1,h2）＝1∶8。］5．觀察下列不等式1＋eq\f（1,22）＜eq\f（3，2），1＋eq\f(1,22）＋eq\f(1，32)＜eq\f(5,3)，1＋eq\f（1，22)＋eq\f(1，32）＋eq\f(1，42）＜eq\f(7，4），…照此規(guī)律，第五個不等式為________．1＋eq\f（1，22)＋eq\f（1，32)＋eq\f（1,42）＋eq\f(1,52）＋eq\f(1,62）＜eq\f(11,6）[先觀察左邊，第一個不等式為2項相加，第二個不等式為3項相加，第三個不等式為4項相加，則第五個不等式應為6項相加，右邊分子為分母的2倍減1,分母即為所對應項數(shù)，故應填1＋eq\f（1,22)＋eq\f(1,32）＋eq\f（1，42)＋eq\f（1，52）＋eq\f(1,62）＜eq\f(11,6）。]（對應學生用書第100頁）歸納推理◎角度1與數(shù)字有關的推理（2018·蘭州實戰(zhàn)模擬)觀察下列式子：1，1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1,…，由以上可推測出一個一般性結論：對于n∈N＋，則1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝________.n2［因為1＝1＝12，1＋2＋1＝4＝22,1＋2＋3＋2＋1＝9＝32，1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42，……，由此可得1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2。]◎角度2與式子有關的推理已知f（x)＝eq\f（x，1＋x),x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x）＝f（fn（x)），n∈N＋，則f2019(x)的表達式為________.【導學號：79140205】f2019(x)＝eq\f(x,1＋2019x)[f1（x)＝eq\f(x,1＋x)，f2（x)＝eq\f（\f（x，1＋x）,1＋\f(x，1＋x)）＝eq\f（x,1＋2x），f3(x)＝eq\f(\f(x，1＋2x），1＋\f（x，1＋2x))＝eq\f(x，1＋3x），…，fn＋1(x）＝f(fn（x)）＝eq\f（x,1＋nx），歸納可得f2019(x)＝eq\f（x,1＋2019x）。]◎角度3與圖形有關的推理如圖6-4-1的圖形由小正方形組成，請觀察圖（1）至圖（4）的規(guī)律,并依此規(guī)律,寫出第n個圖形中小正方形的個數(shù)是________．圖6。4。1eq\f(n（n＋1）,2)(n∈N＋）［由題圖知第n個圖形的小正方形個數(shù)為1＋2＋3＋…＋n。所以總個數(shù)為eq\f(n(n＋1)，2)（n∈N＋)．][規(guī)律方法］歸納推理問題的常見類型及解題策略1與數(shù)字有關的等式的推理.觀察數(shù)字特點，找出等式左右兩側的規(guī)律及符號可解.2與式子有關的推理。觀察每個式子的特點，注意是縱向看,找到規(guī)律后可解.3與圖形變化有關的推理.合理利用特殊圖形歸納推理得出結論，并用賦值檢驗法驗證其真?zhèn)涡?[跟蹤訓練]（1)數(shù)列eq\f(1，2），eq\f(1,3)，eq\f（2,3），eq\f(1,4），eq\f(2，4）,eq\f(3，4)，…，eq\f(1,m＋1）,eq\f(2，m＋1),…，eq\f（m,m＋1），…的第20項是（）A。eq\f（5,8）B。eq\f（3，4)C。eq\f（5,7）D。eq\f(6，7）(2)已知x∈(0，＋∞)，觀察下列各式：x＋eq\f(1，x）≥2，x＋eq\f(4，x2)＝eq\f（x，2）＋eq\f（x,2)＋eq\f(4，x2）≥3，x＋eq\f(27,x3)＝eq\f(x,3)＋eq\f(x,3)＋eq\f(x,3)＋eq\f(27,x3）≥4，…,類比得x＋eq\f(a，xn）≥n＋1（n∈N＋），則a＝__________。（3)（2018·鄭州第二次質量預測)平面內凸四邊形有2條對角線，凸五邊形有5條對角線，依次類推，凸十三邊形的對角線條數(shù)為(）A．42 B．65C．143 D．169(1）C(2)nn(n∈N＋)（3)B［（1）數(shù)列eq\f（m，m＋1）在數(shù)列中是第1＋2＋3＋…＋m＝eq\f（m（m＋1）,2)項，當m＝5時,即eq\f（5,6）是數(shù)列中第15項，則第20項是eq\f（5，7），故選C.（2)第一個式子是n＝1的情況，此時a＝11＝1；第二個式子是n＝2的情況，此時a＝22＝4；第三個式子是n＝3的情況,此時a＝33＝27，歸納可知a＝nn。（3）可以通過列表歸納分析得到．凸多邊形45678…對角線條數(shù)22＋32＋3＋42＋3＋4＋52＋3＋4＋5＋6…所以凸13邊形有2＋3＋4＋…＋11＝eq\f(13×10，2)＝65條對角線．故選B.］類比推理(1)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則數(shù)列{bn｝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(bn＝\f(a1＋a2＋…＋an,n)）)也是等差數(shù)列，類比這一性質可知，若正項數(shù)列{cn}是等比數(shù)列，且{dn｝也是等比數(shù)列，則dn的表達式應為（）A．dn＝eq\f(c1＋c2＋…＋cn，n） B．dn＝eq\f（c1·c2·…·cn,n）C．dn＝eq\r(n，\f(c\o\al(n,1）＋c\o\al(n,2）＋…＋c\o\al(n,n），n)) D．dn＝eq\r(n,c1·c2·…·cn)（2)在平面幾何中，△ABC的∠C的平分線CE分AB所成線段的比為eq\f(AC,BC）＝eq\f（AE,BE)。把這個結論類比到空間:在三棱錐A-BCD中（如圖6。4。2),平面DEC平分二面角A。CD。B且與AB相交于E,則得到類比的結論是________________．圖6。4。2（1）D（2)eq\f(AE,EB）＝eq\f（S△ACD,S△BCD）［(1）法一：從商類比開方，從和類比到積,則算術平均數(shù)可以類比幾何平均數(shù)，故dn的表達式為dn＝eq\r（n，c1·c2·…·cn)。法二：若｛an｝是等差數(shù)列，則a1＋a2＋…＋an＝na1＋eq\f（n(n－1),2）d，∴bn＝a1＋eq\f((n－1），2)d＝eq\f(d,2)n＋a1－eq\f（d,2)，即{bn｝為等差數(shù)列；若{cn}是等比數(shù)列,則c1·c2·…·cn＝ceq\o\al(n，1)·q1＋2＋…＋（n－1）＝ceq\o\al(n，1)·qeq\s\up12(eq\f（n(n－1),2)），∴dn＝eq\r（n，c1·c2·…·cn）＝c1·qeq\s\up12（eq\f（n－1,2）），即{dn｝為等比數(shù)列,故選D。(2)由平面中線段的比轉化為空間中面積的比可得eq\f（AE，EB）＝eq\f(S△ACD,S△BCD)。］［規(guī)律方法]類比推理的常見情形與處理方法1常見情形：平面與空間類比；低維與高維類比；等差數(shù)列與等比數(shù)列類比；運算類比和與積、乘與乘方,差與除，除與開方。數(shù)的運算與向量運算類比;圓錐曲線間的類比等。2處理方法：進行類比推理，應從具體問題出發(fā)，通過觀察、分析、聯(lián)想進行對比，提出猜想，其中找到合適的類比對象是解題的關鍵。［跟蹤訓練]給出下面類比推理（其中Q為有理數(shù)集，R為實數(shù)集,C為復數(shù)集)：①“若a,b∈R,則a－b＝0?a＝b”類比推出“若a，c∈C，則a－c＝0?a＝c”；②“若a,b,c，d∈R，則復數(shù)a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d”類比推出“若a，b，c，d∈Q,則a＋beq\r（2)＝c＋deq\r(2）?a＝c,b＝d”;③“若a,b∈R，則a－