醫(yī)用高等數(shù)學(xué)：二階常系數(shù)線(xiàn)性齊次微分方程

第四節(jié)二階常系數(shù)線(xiàn)性齊次微分方程方程為二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程其中、、是已知常數(shù),且為二階常系數(shù)線(xiàn)性齊次微分方程下面介紹方程解的結(jié)構(gòu).證明:也是的解，其中、為任意常數(shù)

定理5-1

若函數(shù)、是方程的兩個(gè)解，則把、代入方程

的左邊，得

、線(xiàn)性無(wú)關(guān)，是指不存在不全為零的常數(shù)、,使,即常數(shù)否則稱(chēng)、線(xiàn)性相關(guān)．

定理5-2

若函數(shù)、是方程

的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特解，則是方程的通解,其中、為任意常數(shù)將其代入以上方程,得故有特征方程特征根

由定理5-2,求方程的通解的關(guān)鍵是先要求出它的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特解.

由于方程具有線(xiàn)性常系數(shù)的特點(diǎn),而指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為指數(shù)函數(shù),故我們可假設(shè)方程有形如的解.的解法方程有兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特解所以方程的通解為特征根為(１)當(dāng),特征方程有兩相異實(shí)根根據(jù)判別式的符號(hào)不同,分下面三種情況討論(2)當(dāng),方程有兩個(gè)相等的實(shí)根一特解為特征根為若是原方程的解,應(yīng)有所以方程的通解為將代入以上方程,得因,故所以特征根為(3)當(dāng),方程有一對(duì)共軛復(fù)根利用歐拉公式可將和改寫(xiě)成如下形式重新組合得方程的通解為不難看出和線(xiàn)性無(wú)關(guān)求解二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程的一般步驟:（1）寫(xiě)出相應(yīng)的特征方程;（2）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況,按下表寫(xiě)出方程的通解.

(4)若問(wèn)題要求出滿(mǎn)足初始條件的特解,再把初始條件代入通解中,即可確定、,從而獲得滿(mǎn)足初始條件的特解.例5-13

求下列方程的通解解

(1)特征方程為所以方程的通解為解得所以方程的通解為解得(2)特征方程為所以方程的通解為(3)特征方程為解得解特征方程為即特征方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根所以所求方程的通解為對(duì)上式求導(dǎo),得例5-14

求方程滿(mǎn)足初始條件

、的特解.將、代入以上二式,得解此方程組，得所以所求特解為解特征方程為例5-15

求方程滿(mǎn)足初始條件

、的特解.即特征方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根所以所求方程的通解為對(duì)上式求導(dǎo),得將、代入以上二式,得解此方程組，得所以所求特解為解特征方程為特征根為所以所求方程的通解為例5-16

求方程滿(mǎn)足初始條件

、的特解.對(duì)上式求導(dǎo),得所以所求特解為將、代入以上二式,得主要內(nèi)容二階常系數(shù)