2022屆湖南省湘潭市一模數(shù)學(xué)試題及答案解析

湘潭市2022屆高三第一次模擬考試

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘。

2.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在本試卷和答題卡上。

3.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后.用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如有改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后.再選涂其他答案；回答非選擇題時(shí).符答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷

上無(wú)效。

4.考試結(jié)束后?將本試卷和答題卡一并交回。

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.已知集合A={—l,0,l,2,3},B={"2">2},則ADB=

A.{0,1,2,3}B.{1,2,3}C.{2,3}D.{-1,0,1}

2.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z1=l—2i,zz=2+i,則復(fù)數(shù)zizz對(duì)應(yīng)的復(fù)平面上的點(diǎn)位于

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限D(zhuǎn)c,

3.如圖，在直四棱柱3n中，下列結(jié)論正確的是/I

A.AC與是兩條相交直線(xiàn)

B.AAi〃平面BB.D,

C.

D.A,C,B一□四點(diǎn)共面產(chǎn)------\

4.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》是明代數(shù)學(xué)家程大位（1533—1606年）所著.程

少年時(shí).讀書(shū)極為廣博，對(duì)書(shū)法和數(shù)學(xué)頗感興趣.20歲起便在長(zhǎng)江中下游一|

帶經(jīng)商.因商業(yè)計(jì)算的需要，他隨時(shí)留心數(shù)學(xué)，遍訪(fǎng)名師，搜集很多數(shù)學(xué)書(shū)籍，

刻苦鉆研，時(shí)有心得.終于在他60歲時(shí)，完成了《算法統(tǒng)宗》這本著作.該書(shū)中

有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭

幾盞燈？”根據(jù)詩(shī)詞的意思，可得塔的最底層共有燈

A.192盞B.128盞C.3盞D.1盞

5.已知函數(shù)/（x）=sin2w,則

A./⑺的周期為今

B.將/（了）的圖象向左平移半個(gè)單位，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=cos2了

【高三第一次模擬考試?數(shù)學(xué)第1頁(yè)（共4頁(yè)）】

C.八7)的圖象關(guān)于點(diǎn)(￡,0)對(duì)稱(chēng)

D./⑺的圖象關(guān)于直線(xiàn)■對(duì)稱(chēng)

6.已知拋物線(xiàn)C，=2力工(">0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)、T在C上，且|FT\=亳，若點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,1),

且則C的方程為

A.J=2z或/=87B.?或/=&r

C.丁=21r或丁2=4zD.V=4,或/=4工

7.某地區(qū)公共衛(wèi)生部門(mén)為了了解本地區(qū)中學(xué)生的吸煙情況,對(duì)隨機(jī)抽出的200名學(xué)生進(jìn)行了調(diào)

查.調(diào)查中使用了下面兩個(gè)問(wèn)題：

問(wèn)題一：你的父親陽(yáng)歷生日日期是不是奇數(shù)？

問(wèn)題二：你是否經(jīng)常吸煙？

調(diào)查者設(shè)計(jì)了一個(gè)隨機(jī)化裝置：一個(gè)裝有大小、形狀和質(zhì)量完全一樣的50個(gè)白球和50個(gè)紅

球的袋子.每個(gè)被調(diào)查者隨機(jī)從袋子中摸取1個(gè)球(摸出的球再放回袋子中)，摸到白球的學(xué)

生如實(shí)回答第一個(gè)問(wèn)題，摸到紅球的學(xué)生如實(shí)回答第二個(gè)問(wèn)題，回答“是”的人往一個(gè)盒子中

放一個(gè)小石子，回答“否”的人什么都不要做.如果一年按365天計(jì)算，且最后盒子中有60個(gè)

小石子，則可以估計(jì)出該地區(qū)中學(xué)生吸煙人數(shù)的百分比為

A.7%B.8%C.9%D.30%

8.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)八了)的導(dǎo)函數(shù)為了'(",且/'(">/&),若實(shí)數(shù)。>0.則下列不等

式恒成立的是

A.a/(Ina)>e?-"Q-1)B.af(Inf(a-1)

C.e"-'/(lna)>a/(a-l)D.e^1/(In?)<?/(?-1)

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知向量。=(1,2))=(2,—4),且a與b的夾角為a,則

A.a-fr=(l,-2)B.|b|=2\a\C.a//bD.cosa=—

5

10.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,23,則

A.X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=0B.X的方差為D(X)=2

C.P(X>0)=yD.P(X>2)=y

11.若6"=2,6'=3,則

A.—>1B.a2+b2<^-C.I),ft—a>T7；

aN410

12.已知雙曲線(xiàn)端=13>。">。)的左,右焦點(diǎn)為匕5右頂點(diǎn)為A,則下列結(jié)論中,

正確的有

A.若a=b,則C的離心率為四

B.若以B為圓心"為半徑作圓F1，則圓儲(chǔ)與C的漸近線(xiàn)相切

C.若P為C上不與頂點(diǎn)重合的一點(diǎn)，則△PRK的內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)z=a

D.若M為直線(xiàn)z=S(c="TF)上縱坐標(biāo)不為0的一點(diǎn)，則當(dāng)M的縱坐標(biāo)為

C

土〃西(，一〃)時(shí),△MAB外接圓的面積最小

【高三第一次模擬考試?數(shù)學(xué)第2頁(yè)(共4頁(yè))】

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,2）,則sincosa=.

14.已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)/（1）在［0,+8）上單調(diào)遞減，且2是函數(shù)/'（1）的一個(gè)零點(diǎn)，則不

等式/（幻>0的解集為.

15.已知某正方體外接球的表面積為3冗，則該正方體的棱長(zhǎng)為.

16.用實(shí)數(shù)m（ni=0或1）表示命題p的真假，其中m=0表示命題p為假，〃?=1表示命題p為

19

真.設(shè)命題A：V/GZ,彳一歹+.r--y》a（a￡R）.

乙o

（1）當(dāng)a=2時(shí)，〃?=________；（2）當(dāng)m=\時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)________.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.

17.（本小題滿(mǎn)分10分）

已知S,,為數(shù)列｛a,,｝的前n項(xiàng)和，且a”+i=a”+d,（“GN,,d為常數(shù)），若S:i=12,asa5+2a3

—5a$一10=0.求：

（1）數(shù)列｛七｝的通項(xiàng)公式;

（2）S?的最值.

18.（本小題滿(mǎn)分12分）

在銳角△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,若4csinB-（A/6+72）6=0.

⑴求sinC的值；

（2）是否存在角A,B（A<B）,滿(mǎn)足tanAtanB=痣？若存在，求出A,B的值；若不存在，請(qǐng)

說(shuō)明理由.

19.（本小題滿(mǎn)分12分）

某學(xué)校舉行“英語(yǔ)風(fēng)采”大賽，有30名學(xué)生參加決賽.評(píng)委對(duì)這30名同學(xué)分別從“口語(yǔ)表達(dá)”

和“演講內(nèi)容”兩項(xiàng)進(jìn)行評(píng)分，每項(xiàng)評(píng)分均采用10分制，兩項(xiàng)均為6分起評(píng)，兩項(xiàng)分?jǐn)?shù)之和為

該參賽學(xué)生的最后得分.若設(shè)“口語(yǔ)表達(dá)”得分為X.“演講內(nèi)容”得分為y,比賽結(jié)束后，統(tǒng)計(jì)

結(jié)果如下表：

演講內(nèi)容

6分7分8分9分10分

6分11000

7分32120

口語(yǔ)表達(dá)8分12310

9分1m211

10分001n1

（1）從這30名學(xué)生中隨機(jī)抽取1人.求這名學(xué)生的最后得分為15分的概率;

【高三第一次模擬考試?數(shù)學(xué)第3頁(yè)（共4頁(yè)）】

(2)若“口語(yǔ)表達(dá)”得分X的數(shù)學(xué)期望為色.求:

0

①的值；

②這30名參賽學(xué)生最后得分的數(shù)學(xué)期望.

20.(本小題滿(mǎn)分12分)

如圖，在三棱錐P-ABC中，PAJ_底面ABC,/ABC=90°,PA=2,AC=2施;

(1)求證：平面PBC_L平面PAB；

(2)若二面角P-BC-A的大小為45°,過(guò)點(diǎn)4作4\_1_2(？于,\,求直線(xiàn)人'與平面「3。

所成角的大小.

21.(本小題滿(mǎn)分12分)

已知圓錐曲線(xiàn)E上的點(diǎn)M的坐標(biāo)(z,y)滿(mǎn)足V(a-+73)2+y+73)2+>2=276.

(1)說(shuō)明E是什么圖形，并寫(xiě)出其標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若斜率為1的直線(xiàn)/與E交于y軸右側(cè)不同的兩點(diǎn)A,3,點(diǎn)P為(2,1).

①求直線(xiàn)/在，軸上的截距的取值范圍；

②求證:NAPB的平分線(xiàn)總垂直于z軸.

22.(本小題滿(mǎn)分12分)

已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)f(jc)=er,g(x')=mx+n(.m,nER').

(1)若根+〃=0,且/(z)的圖象與g(.r)的圖象相切，求”的值；

(2)若/(Wg(_r)對(duì)任意的zGR恒成立，求，〃+”的最大值.

【高三第一次模擬考試?數(shù)學(xué)第4頁(yè)(共4頁(yè))】

湘潭市2022屆高三第一次模擬考試-數(shù)學(xué)

參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則

1.【命題意圖】本題重點(diǎn)考杳元素與集合的關(guān)系，集合的運(yùn)算，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí),屬容易題.

【答案】C

【解析】因?yàn)锽={川2，>2}={川1>1},所以ADB={2,3}.故選：C.

2.【命題意圖】本題重點(diǎn)考查復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)的運(yùn)算等復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，屬容易題.

【答案】D

【解析】因?yàn)?之2=（1—2i）（2+i）=4—3i.所以句之2對(duì)應(yīng)的復(fù)平面上的點(diǎn)為（4,—3）,它位于第四象限.故

選：D.

3.【命題意圖】本題重點(diǎn)考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征.空間點(diǎn)線(xiàn)面的位置關(guān)系.考查學(xué)生的空間想象能力?屬容易題.

【答案】B

【解析】因?yàn)樗訟Ai〃平面B用。，所以B正確；A?C?D都不正確.故選：B.

4.【命題意圖】本題重點(diǎn)考查等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式與前〃和等數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的閱讀理解能

力、數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和家國(guó)情懷,屬容易題.

【答案】A

【解析】設(shè)這個(gè)塔頂層有才盞燈，則問(wèn)題等價(jià)于一個(gè)首項(xiàng)為彳,公比為2的等比數(shù)列的前7項(xiàng)和為381,所以

等二1）=381?解得①=3,所以這個(gè)塔的最底層有3X277=192盞燈.故選：A.

4—1

5.【命題意圖】本題重點(diǎn)考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)?屬容易題.

【答案】B

【解析】因?yàn)?3=sin2工的周期為K,它的圖象關(guān)于直線(xiàn)工=竽+寸?和點(diǎn)（竽,0）（在Z）對(duì)稱(chēng)，所以A,C,D

都不對(duì)；將/（工）的圖象向左平移1■個(gè)單位?得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=sin2（_r+乎）=

sin（2z+<）=cos2了,所以B正確.故選：B.

6.【命題意圖】本題重點(diǎn)考查直線(xiàn)的方程.拋物線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系等解析

兒何的基礎(chǔ)知識(shí).考查函數(shù)與方程，轉(zhuǎn)化與化歸的思想，屬中檔題.

【答案】A

【解析】設(shè)設(shè)為為則蕭=Gr°,gT）,又F（專(zhuān)析）,所以淀=（￡,一1）,

因?yàn)镸FJ_MT，所以前?MT=0，可得-f.ro—山+1=0,又狀=2對(duì)，

聯(lián)立,消去了。，得J-4g+4=0,所以3=2.故T（y,2）,

又|FT|=_r0+3=4■，所以"一§■，即/>2—5/>+4=0,解得/>=1,或p=4,

乙乙LtLtP

所以C的方程為/=2①或V=8-故選：A.

7.【命題意圖】本題重點(diǎn)考查概率的有關(guān)知識(shí).考查學(xué)生的閱讀理解能力與數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，屬中檔題.

【答案】C

【解析】因?yàn)橐粋€(gè)裝有大小、形狀和質(zhì)量完全一樣的50個(gè)白球和50個(gè)紅球的袋子中，隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸到

白球和紅球的概率都為十，因此，這200人中，回答了第一個(gè)問(wèn)題的有100人?而一年365天中，陽(yáng)歷為奇數(shù)

的有186天，所以對(duì)第一個(gè)問(wèn)題回答“是”的概率為51,所以這100個(gè)回答第一個(gè)問(wèn)題的學(xué)生中，約有

51人回答了“是”,從而可以估計(jì)，在回答第二個(gè)問(wèn)題的100人中，約有9人回答了“是”，所以可以估計(jì)出該地

區(qū)中學(xué)生吸煙人數(shù)的百分比為9%.故選:C.

【高三第一次模擬考試?數(shù)學(xué)參考答案第1頁(yè)（共6頁(yè)）】

8.【命題意圖】本題重點(diǎn)考杳函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式的有關(guān)知識(shí)，考杳轉(zhuǎn)化與化歸的思想，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合解

題能力?屬稍難題.

【答案】D

【解析】令g（i）=3/，則久）］/"）＞（）,所以g（w）為增函數(shù)，

又當(dāng)。＞0時(shí)，Ina4a—1,所以g（Ina）＜g（a—1）,即/"",

ae

所以e""（In—1）.故選：D.

9.【命題意圖】本題重點(diǎn)考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的模?向量共線(xiàn)的條件,數(shù)量積，向量的夾角等平面向量

的基礎(chǔ)知識(shí)，屬容易題.

【答案】BD

【解析】對(duì)于A.因?yàn)椤?6=（1—2,2+4）=（—1,6）,所以A不正確；

對(duì)于B,因?yàn)閨a|=指_,|6|=2日,所以B正確；

對(duì)于C,因?yàn)槭曀訡不正確；

對(duì)于D,因?yàn)閏os。=1*2%2乂,1）=一白，所以D正確.故選：BD.

V5X2V55

10.【命題意圖】本題重點(diǎn)考查正態(tài)分布的有關(guān)概念和性質(zhì)?屬容易題.

【答案】AC

【解析】由正態(tài)分布的定義及正態(tài)曲線(xiàn)的性質(zhì)，可知A.C正確，B,D不正確.故選：AC.

11.【命題意圖】本題重點(diǎn)考查指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算.基本不等式，比較法等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的估算能力，

屬中檔題（選對(duì)A,得2分很容易）.

【答案】ACD

【解析】由已知，有a=1。須2"=logs3.

對(duì)于A,有投~=2%=log23＞l,所以A正確；

alogs2

對(duì)于B,因?yàn)椤?〃=晦2+*3=1,且a＞0心0,a*4,所以《裝》（竽）一，得/+加〉十，所以B不

正確；

對(duì)于C,因?yàn)椤?。=1隔2+*3=1,且。＞0心026所以岫＜（審）一=十，所以?正確；

13

對(duì)于D,因?yàn)閎~a=log63—logo2,而log63—log62—=log,；.、氓,

310C2-I11931

因?yàn)槎　?71n=-而—=~2""l~w+…>1,所以logs]”>0,故。一，所以D正確.故選：ACD.

0A444O2A/6

12.【命題意圖】本題重點(diǎn)考查雙曲線(xiàn)的定義與幾何性質(zhì).直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，正弦定理，三角變換及基本不等

式等有關(guān)知識(shí)，考查學(xué)生的綜合解題能力，屬稍難題（選對(duì)A,得2分很容易）.

【答案】ABD

【解析】對(duì)于A,因?yàn)閍=仇所以2a2=5,故。的離心率e=￡=&■，所以A正確；

a

/）（-

對(duì)于B?因?yàn)镕（—JO）到漸近線(xiàn)b.r-ay=0的距離為d=,=〃,所以B正確：

對(duì)于3由雙曲線(xiàn)的定義，可得△PRF2的內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)/=±a，所以C不正確；

對(duì)于D,由正弦定理，可知△MAB外接圓的半徑為/?="%片?，所以當(dāng)sinNAME,最大時(shí),R最小.

Zsin2_AMr2

因?yàn)樗訬AMB為銳角.故sinZ.AMF2最大，只需tanNAME最大.

由對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)M（9,，）（，＞0）.設(shè)直線(xiàn)上=（與上軸的交點(diǎn)為N.則tanNAMFz=tan（NNM6一

【高三第一次模擬考試?數(shù)學(xué)參考答案第2頁(yè)（共6頁(yè)）】

(—a,1

ZNMA)

iI啟(廠a)Va(c-a)

czt

當(dāng)且僅當(dāng),=也三，即，=心容五時(shí)“an/AMB取最大值,

由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知,當(dāng)，=一"衛(wèi)三叵時(shí)，tan/AMF?也取得最大值,所以D正確.

C

故選：ABD.

13.【命題意圖】本題重點(diǎn)考查三角函數(shù)的定義?屬容易題.

【答案吟

【解析】因?yàn)閟ina=—，cosa=-，所以sina~cos

，"225/FTF55

故答案為:g.

14.【命題意圖】本題重點(diǎn)考查函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性?函數(shù)的零點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合等函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，屬容易題.

【答案】<久|一2</<2}

【解析】因?yàn)?是函數(shù)八①）的一個(gè)零點(diǎn)，所以八2）=0,

因?yàn)楹瘮?shù)八］）是偶函數(shù)，所以原不等式等價(jià)于八1川）>/（2）,

又因?yàn)楹瘮?shù)/（外在［0,+8）上單調(diào)遞減?所以I川<2.解得一2V*<2.

故答案為：（川一2VxV2}.

15.【命題意圖】本題重點(diǎn)考查正方體與球的結(jié)構(gòu)特征，球的表面積等立體幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的空間想

象能力?屬容易題.

【答案】］

【解析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,外接球的半徑為R,則乃a=2R,又47^=37：?所以R=等，故a=L故答案為：

1.

16.【命題意圖】本題是一道新定義創(chuàng)新題，重點(diǎn)考查命題，分段函數(shù)，函數(shù)的圖象與性質(zhì)等函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，考

查學(xué)生的閱讀理解能力及函數(shù)與方程，數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸?分類(lèi)與整合等數(shù)學(xué)思想方法，屬稍難題（第

（1）問(wèn)中檔題，第（2）問(wèn)稍難題）.

【答案】⑴0;⑵（第（D問(wèn)2分，第（2）問(wèn)3分）

19

【解析】⑴當(dāng)a=2時(shí)，不等式|L十|+|L旬>2對(duì)了=1不成立,所以p為假命題，故>?=0;

19

（2）因?yàn)?"=1,所以命題p為真命題，令/（X）=|J—y|+|4—y|,

卷一2了,（工時(shí)）

則/（工）={春，（十〈工〈春）.所以當(dāng)咨1■時(shí)，/⑺為減函數(shù)，當(dāng)Q等時(shí)，/⑺為增函數(shù)，要使VzCZ,

2.r-y,（x>y）

［a4卷

hr—十|+|工一■成立，只需h=0和z=l時(shí)，|工一■；|+|工都成立，所以j「，得

々5

"三

故答案為：（1）0;（2）.《葛?

0

17.【命題意圖】本題重點(diǎn)考查等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式與求和公式等數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí),考查函數(shù)與方程,分類(lèi)

【高三第一次模擬考試?數(shù)學(xué)參考答案第3頁(yè)（共6頁(yè)）】

與整合等數(shù)學(xué)思想方法，屬容易題.

【解析】（1）由S3=12,得如=4,...............................................................1分

由。3a5+2心—5。5-10=0,得（圖-5）（as+2）=0,

所以。3=5，或。5=一2,.....................................................................3分

3=4

由（，得a1=3.4=1,此時(shí)，a”=〃一2；

1*=5

由產(chǎn)'?得川=6"=—2.此時(shí)，a“=—2〃+8；

1恁=-2

所以a”=〃+2,或a”=-2〃+8；................................................................5分

“2+6”2_|_弓

（2）當(dāng)6=〃+2時(shí)，S“=修也，因?yàn)?“=號(hào)也是關(guān)于正整數(shù)〃的增函數(shù).所以Si=3為S”的最小值，S“

無(wú)最大值；.....................................................................................7分

當(dāng)％=-2”+8時(shí),5,=—"2+7”=一（"一卷）-+￥，因?yàn)?為正整數(shù)，所以當(dāng)“=3或”=4時(shí),S,,有最大

值S3=S,i=12,S“無(wú)最小值....................................................................10分

18.【命題意圖】本題重點(diǎn)考查正弦定理，誘導(dǎo)公式、同角一:角函數(shù)關(guān)系與兩角和的正切公式等三角函數(shù)的基礎(chǔ)

知識(shí)，考查轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想和學(xué)生的探究能力，（1）屬容易題?（2）屬中檔題.

【解析】（1）因?yàn)?csinB-（V6H-72）6=O,

由正弦定理，得4sinCsinBT厭+72）sinB=0,

又因?yàn)?＜BV會(huì)所以sinBr0.故sinC=^f但；............................................4分

（2）假設(shè)存在角滿(mǎn)足tanAtanB=陰，

由sinC=巡/但及0＜（?＜告.可得tanC=2+#.

因?yàn)锳+B=A—C,所以tan（A+B）=-2—萬(wàn),...................................................7分

由tan（A卜B）=丁”）2^1呼號(hào)=-2一耳，可得tanA4-tanB=1+耳，........................10分

1—tanAtanD

（tanAtan13=^3,,「

由，且AVB,解得tanA=1,tan

ItanA+tanB=1+

從而A=寧，B=，故存在A=,B=-y-滿(mǎn)足題意...........................................12分

19.【命題意圖】本題重點(diǎn)考查概率統(tǒng)計(jì)的有關(guān)知識(shí).考查學(xué)生的閱讀理解能力和數(shù)據(jù)處理能力.屬中檔題.

【解析】（1）因?yàn)?5=6+9=7+8=8+7=9+6,

所以最后得分為15的人數(shù)有。+1+2+1=4,故從這30名學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，這名學(xué)生的最后得分為

15分的概率為白=白；.........................................................................4分

3015

（2）①由表可知?,口語(yǔ)表達(dá)”得分X有6分、7分、8分、9分、10分,

且每個(gè)分?jǐn)?shù)分別有2人，8人，7人，相+5人，〃+2人.

所以“口語(yǔ)表達(dá)”得分X的分布列為：

X678910

287///-~〃+2

P

30303030

「“+、1,,,日八M”口,曰、L49umIZ56.56.9（〃？+5）10（〃+2）49

又口語(yǔ)表達(dá)得分的數(shù)學(xué)期望為至,所以而+而+而+『^+-^=瓦.

化簡(jiǎn)?得96+10〃=56,

因?yàn)閷W(xué)生共有30人.所以初+〃=6,

9，〃+10〃=56

由，解得〃?=4,〃=2；8分

加+〃=6

【高三第一次模擬考試?數(shù)學(xué)參考答案第4頁(yè)（共6頁(yè)）】

②這30名參賽學(xué)生最后得分的分布列為

20.【命題意圖】本題重點(diǎn)考杳空間點(diǎn)線(xiàn)面的位置關(guān)系，二面角，宜線(xiàn)與平面所成的角等立體幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，考

查學(xué)生的空間想象能力和運(yùn)算推理能力，（1）屬容易題，（2）屬中檔題.

【解析】（1）因?yàn)镻AJ_底面ABC,所以PA_LBC,又NA8C=90°,

所以AB_LBC,又PA.AB為平面PAB內(nèi)的兩條相交直線(xiàn).所以3C_L平面PAB,

因?yàn)锽CU平面P3C,所以平面PBC-L平面PA3；.........................................................................................4分

（2）解法一由（1）可知，NABP為二面角P-BC-A的平面角，所以NA3P=45°.

又PA=2,AC=2&,NABC=90°,所以AB=BC=2,

過(guò)點(diǎn)A作AM_LP3于M,則AM_L平面P3C且M為P3中點(diǎn)，連接MN,

則NANM為直線(xiàn)AN與平面PBC所成的角，

在RtZ\ANM中，AM=&,AN=孚，

所以sinNANM=g^=哮，

AN乙

故NANM=60°,

所以直線(xiàn)AN與平面尸3C所成的角為60°......................................................................................................12分

解法二建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則由已知，可得B（0,0,0）,A（2,0,

0）.P（2,0,2）,C（0,2,0）,

設(shè)」\（才，3，之）.前=人逑（0</<1）,則x=2-2k.y=2X,z=2-2X.

因?yàn)锳N±PC,AN=（J—2,3r,z）,PC=（-2,2,-2）,

所以一2（1—2）+2y—2之=0,

解得<=1■，所以N（母，口，等），故京=（一等,系等）,

oO?5O'O?5,3z

設(shè)平面PBC的法向量為a=（工，必z）,因?yàn)?=（0,2,0）,誣=（2,0,2）,

（a?BC=012y=0

由一,得cIC，

la?BP=012“+2之=。

令才=1.則2=—1,

所以。=（1,0,—1）為平面P3C的一個(gè)法向量.

__2___￡

所以cos<a,AN>=--_*=一哮，

故直線(xiàn)AN與平面RBC所成的角的正弦值為等，所以直線(xiàn)AN與平面P3C所成的角為60°............12分

21.【命題意圖】本題重點(diǎn)考查直線(xiàn)的傾斜角、斜率與方程.橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程.直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系

等解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，考查坐標(biāo)法，函數(shù)與方程,數(shù)形結(jié)合.轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，（1）屬容易題，

（2）屬稍難題.

【解析】（1）圓錐曲線(xiàn)E是以（一乃,0）,（乃，0）為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2同的橢圓，........................2分

其標(biāo)準(zhǔn)方程為《一?=1;........................................................................................................................................4分

63

（2）①設(shè)直線(xiàn)A（ii，v）.鳳小，32）?

【高三第一次模擬考試?數(shù)學(xué)參考答案笫5頁(yè)（共6頁(yè)）】

nJ

由?（63，消去了，得3/+46彳+2〃戶(hù)一6=0.

7\=（4w）2-4X3（2m2-6）＞0

由題意，有《才""2=一下＞°，解得一3＜“＜一雷，

2m2—6.

X\jc2=二0

所以直線(xiàn)/在了軸上的截距的取值范圍為（-3,一四）；..........................................8分

②因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，若直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)P.即點(diǎn)A（或點(diǎn)B）與P重合，則/與E的另一個(gè)交點(diǎn)為

（一仔，一,），不合題意,所以點(diǎn)A（或點(diǎn)3）與P不重合；

若AP或3P的斜率不存在，則直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)（2,—1）,此時(shí)?/與E只有一個(gè)交點(diǎn)，

所以AP與3P的斜率都存在，.........................