專(zhuān)題四圓周運(yùn)動(dòng)

關(guān)于專(zhuān)題四圓周運(yùn)動(dòng)第1頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期二典例賞析要點(diǎn)回顧復(fù)習(xí)指南目錄第2頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期二專(zhuān)題四圓周運(yùn)動(dòng)

圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題是牛頓運(yùn)動(dòng)定律的應(yīng)用的延續(xù)，圓周運(yùn)動(dòng)涉及的問(wèn)題常有水平或豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)、天體的運(yùn)動(dòng)、帶電粒子在磁場(chǎng)或復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng).處理圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，先要明確研究對(duì)象，同時(shí)要確定研究對(duì)象的軌道平面和圓心的位置.對(duì)于做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，只存在改變速度方向的向心加速度，其受到的所有外力的合力即為產(chǎn)生向心加速度的向心力，對(duì)于做變速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，不僅存在改變速度方向的向心加速度，還存在改變速度大小的切向加速度，其中產(chǎn)生向心加速度的向心力應(yīng)為物體所受各力沿半徑方向分力的矢量和.無(wú)論哪一情況，一般采用正交分解法處理，其坐標(biāo)原點(diǎn)是做圓周運(yùn)動(dòng)的物體(視為質(zhì)點(diǎn))所在位置，相互垂直的兩個(gè)坐標(biāo)軸中，其中一個(gè)坐標(biāo)軸的方向一定沿半徑指向圓心.復(fù)習(xí)指南←返回目錄第3頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期二要點(diǎn)回顧

1.勻速圓周運(yùn)動(dòng)

勻速圓周運(yùn)動(dòng)是線速度大小

的運(yùn)動(dòng).因此它的角速度、周期和頻率都是

的.物體所受的合外力提供向心力.做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，向心力（即合外力）大小不變，方向始終與速度方向垂直，向心力只改變速度的方向，不改變速度的大小.做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體的線速度v、角速度ω、周期T、頻率f的關(guān)系是＝

.向心加速度a的大小為a＝

＝

.＝

＝4π2f2r，方向總是指向

，時(shí)刻變化.

2.變速圓周運(yùn)動(dòng)當(dāng)做圓周運(yùn)動(dòng)的物體所受合外力方向與速度方向

.時(shí)，速度大小、方向發(fā)生變化，向心加速度和向心力都相應(yīng)變化.←返回目錄專(zhuān)題四圓周運(yùn)動(dòng)第4頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期二要點(diǎn)回顧

一般地說(shuō)，當(dāng)做圓周運(yùn)動(dòng)物體所受的合力不指向圓心時(shí)，可以將它沿半徑方向和切線方向正交分解，其沿

方向的分力為向心力，只改變速度的方向，不改變速度的大小；其沿

方向的分力為切向力，只改變速度的大小，不改變速度的方向.分別與它們相應(yīng)的向心加速度描述速度方向變化的快慢，切向加速度描述速度大小變化的快慢.

3.萬(wàn)有引力定律及其應(yīng)用

①基本方法：將天體的運(yùn)動(dòng)看成是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其所需的向心力由

提供，即：

②測(cè)天體的質(zhì)量及密度：（萬(wàn)有引力全部提供向心力）由得：M＝.又M＝πR3·ρ得：ρ＝

（R為中心天體的半徑）.←返回目錄專(zhuān)題四圓周運(yùn)動(dòng)第5頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期二要點(diǎn)回顧

③衛(wèi)星的繞行速度、角速度、周期、向心加速度與半徑R的關(guān)系由可得：v＝

.r越大，v越小.由＝mω2r可得：ω＝

.r越大，ω越小.由r可得：T＝2π.r越大，T越大.由＝ma向可得：a向＝

.r越大，a向越小.④地球同步衛(wèi)星就是相對(duì)于地面

的，和地球自轉(zhuǎn)具有相同

的衛(wèi)星，即T＝24h.同步衛(wèi)星必須位于赤道正上方距地面高度約h≈3.6×104km處.

4.帶電粒子（不計(jì)重力）以速度v垂直射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，向心力由洛侖茲力提供，運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R＝，運(yùn)轉(zhuǎn)周期為T(mén)＝

.←返回目錄專(zhuān)題四圓周運(yùn)動(dòng)第6頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期二典例賞析例1如圖所示，細(xì)桿的一端與小球相連，可繞O點(diǎn)的水平軸在豎直面內(nèi)做自由轉(zhuǎn)動(dòng)，現(xiàn)給小球一個(gè)初速度，使它在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，圖中a、b分別為小球軌道的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)，則桿對(duì)球的作用力可能是（）

A.a處為推力，b處為拉力

B.a處為推力，b處為推力

C.a處為拉力，b處為拉力

D.a處為拉力，b處為推力［分析］當(dāng)物體在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，且處于最高點(diǎn)的臨界狀態(tài)時(shí)，要注意約束的區(qū)別：繩與桿，繩只能提供拉力，而桿既能提供拉力又能提供支持力.←返回目錄專(zhuān)題四圓周運(yùn)動(dòng)第7頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期二［解析］因改變小球速度方向的向心力是由小球所受的外力提供，且總是指向圓心的，故在最低點(diǎn)a處，無(wú)論小球速度大小如何，桿提供的只能是拉力，且拉力應(yīng)大于重力，才能提供指向圓心的向心力，而在最高點(diǎn)b處，重力的方向是指向圓心的，可充當(dāng)向心力，當(dāng)小球需要的向心力剛好等于重力時(shí)（即在b處球速vb＝時(shí)，R為圓軌道半徑），桿處于自由狀態(tài)，既不產(chǎn)生拉力，也不產(chǎn)生推力；當(dāng)小球的速度vb＜時(shí)，此時(shí)小球需要的向心力小于小球重力，球?qū)U產(chǎn)生擠壓作用，桿產(chǎn)生沿半徑向外的推力；當(dāng)小球的速度vb＞時(shí)，小球此時(shí)所需要的向心力大于重力，有向外離心運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)而拉伸桿使桿產(chǎn)生對(duì)球的拉力.由以上分析可知，桿在a處只能是拉力，而在b處，則可能提供拉力、推力或不提供任何作用力.本題正確答案是C、D.典例賞析

［答案］

CD←返回目錄專(zhuān)題四圓周運(yùn)動(dòng)第8頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

［點(diǎn)評(píng)］分析圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題時(shí)，一般應(yīng)從與研究對(duì)象相聯(lián)系的物體（如：繩、桿、軌道支持面等）的力學(xué)特征著手.

①?zèng)]有物體支撐的小球,在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng),在最高點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程為：mg＋F＝m，F(xiàn)為繩或軌道對(duì)小球的作用力,其特征是：只能向下,最小為零.所以小球做完整的圓周運(yùn)動(dòng)應(yīng)有一最小速度：v＝臨界條件：繩或軌道對(duì)小球沒(méi)有力的作用，mg＝m，v臨界＝小球能過(guò)最高點(diǎn)的條件：v≥，當(dāng)v＞時(shí)，繩對(duì)球產(chǎn)生拉力，軌道對(duì)球產(chǎn)生壓力.小球不能過(guò)最高點(diǎn)的條件：v＜（實(shí)際上球還沒(méi)有到達(dá)最高點(diǎn)就脫離了軌道）.

②輕質(zhì)桿連接小球在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程為：mg＋F＝m典例賞析←返回目錄專(zhuān)題四圓周運(yùn)動(dòng)第9頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

變式練習(xí)1如右圖所示，滑塊在恒定外力作用下從水平軌道上的A點(diǎn)由靜止出發(fā)到B點(diǎn)時(shí)撤去外力，又沿豎直面內(nèi)的光滑半圓形軌道運(yùn)動(dòng)，且恰好通過(guò)軌道最高點(diǎn)C，滑塊脫離半圓形軌道后又剛好落到原出發(fā)點(diǎn)A，試求滑塊在AB段運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的加速度.典例賞析←返回目錄

F為輕質(zhì)桿對(duì)小球的作用力，其特征是：可以向下（拉力），可以向上（支持力）.即F可以大于0（拉力），也可小于0（支持力）.不存在臨界情況.專(zhuān)題四圓周運(yùn)動(dòng)第10頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

例2質(zhì)量為mA和mB的兩個(gè)小球A和B用輕質(zhì)彈簧連在一起，用長(zhǎng)為L(zhǎng)1的細(xì)繩將A球系于O軸上，使A、B兩球均以角速度ω在光滑的水平面上繞OO′軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示.當(dāng)兩球間的距離為L(zhǎng)2時(shí)，將線燒斷，線被燒斷的瞬間，兩球加速度aA和aB各是多少？典例賞析←返回目錄專(zhuān)題四圓周運(yùn)動(dòng)［分析］兩球繞同一軸做圓周運(yùn)動(dòng)，圓周運(yùn)動(dòng)的半徑不同，小球A所需向心力由繩的拉力和彈簧的彈力提供.小球B所需向心力由彈簧的彈力提供.［解析］B球繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，向心力由彈簧的彈力提供，則F＝mBω2（L1＋L2）第11頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期二典例賞析←返回目錄

燒斷線的瞬間，A、B受的合外力均為

F＝mBω2（L1＋L2），所以，兩球的加速度分別為

ω2（L1＋L2）

ω2（L1＋L2）專(zhuān)題四圓周運(yùn)動(dòng)

［答案］

ω2（L1＋L2）ω2（L1＋L2）

［拓展］

線被燒斷的瞬間，兩球速度vA和vB各是多少？以后兩小球怎樣運(yùn)動(dòng)？

［點(diǎn)評(píng)］

物體做圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)原因是：物體所受的沿半徑方向的合外力和物體運(yùn)動(dòng)所需的向心力相等.向心力的作用效果是改變物體運(yùn)動(dòng)的方向，如果向心力突然消失，則物體的速度方向不再變化，由于慣性物體將沿切線方向飛出；如果提供的使物體做圓周運(yùn)動(dòng)的向第12頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期二心力太小，雖然物體的速度方向還要變化，但速度方向變化較慢，因此物體偏離原來(lái)的圓周做離心運(yùn)動(dòng)，其軌跡為圓周和切線間的某條曲線；如果做圓周運(yùn)動(dòng)的物體所受的合外力大于它做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，那么物體會(huì)逐漸靠近圓心.典例賞析←返回目錄專(zhuān)題四圓周運(yùn)動(dòng)

變式練習(xí)2如圖所示，A、B兩物體用輕繩連接，并穿在CD桿上，可沿桿滑動(dòng).已知A、B的質(zhì)量分別為m1和m2，桿CD對(duì)物體AB的最大靜摩擦力均與各物體的重力成正比，比例系數(shù)為μ，物體A離轉(zhuǎn)軸OO′的距離為R1，物體B到轉(zhuǎn)軸OO′距離為R2，且有R1＜R2和m1＜m2.當(dāng)裝置繞著轉(zhuǎn)軸OO′轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度緩慢增大到ω1時(shí)，連接兩物體的輕繩開(kāi)始有拉力；角速度增大到ω2時(shí)，其中一個(gè)物體受到桿的摩擦力為零；求：第13頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

（1）角速度ω1多大？此時(shí)兩物體受到摩擦力多大？

（2）角速度ω2多大？

（3）角速度為ω2時(shí)輕繩拉力多大？典例賞析←返回目錄專(zhuān)題四圓周運(yùn)動(dòng)

例32003年10月15日，我國(guó)成功發(fā)射了第一艘載人宇宙飛船“神舟五號(hào)”.火箭全長(zhǎng)58.3m，起飛重量為479.8t，火箭點(diǎn)火升空，飛船進(jìn)入預(yù)定軌道.“神舟五號(hào)”環(huán)繞地球飛行14圈用的時(shí)間是21h，飛船點(diǎn)火豎直升空時(shí)，航天員楊利偉感覺(jué)“超重感比較強(qiáng)”，儀器顯示他對(duì)座艙的最大壓力等于他重力的5倍.飛船進(jìn)入軌道后，楊利偉還多次在艙內(nèi)漂浮起來(lái)，假設(shè)飛船運(yùn)行的軌道是圓形軌道.（地球半徑R取6.4×103km，地面重力加速度g＝10m/s2）第14頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

試回答下列問(wèn)題：

(1)試分析航天員在艙內(nèi)“漂浮起來(lái)”的現(xiàn)象產(chǎn)生的原因.(2)求火箭點(diǎn)火發(fā)射時(shí)，火箭的最大推力.(3)估算飛船運(yùn)行軌道距離地面的高度.(估算結(jié)果可以保留根號(hào))典例賞析←返回目錄專(zhuān)題四圓周運(yùn)動(dòng)

［分析］

火箭點(diǎn)火發(fā)射時(shí)，火箭加速上升，處于超重狀態(tài).進(jìn)入圓形運(yùn)行軌道后，飛船做圓周運(yùn)動(dòng)，向心力由地球?qū)︼w船的萬(wàn)有引力（重力）提供，系統(tǒng)處于完全失重狀態(tài).

［解析］(1)宇宙飛船進(jìn)入軌道后，繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，其所受重力完全提供做圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力，宇航員處于完全失重狀態(tài)，所以會(huì)漂浮起來(lái).(2)對(duì)航天員，火箭點(diǎn)火升空時(shí)有：

FN－mg＝ma，∴a＝4g第15頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期二典例賞析←返回目錄

對(duì)飛船有：F－Mg＝MaF＝M(g＋a)＝479.8×103×(10＋40)N＝2.39×107N(3)飛船做圓周運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,萬(wàn)有引力提供向心力,設(shè)地球質(zhì)量為M0即：r

同時(shí)有：GM0＝gR2飛船在軌運(yùn)行周期：T＝s＝5400s由以上各式可得：r＝所以，飛船離地面的高度為：

h＝r－R＝m－6.4×106m＝3.2×105m專(zhuān)題四圓周運(yùn)動(dòng)

［答案］

見(jiàn)解析.

第16頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期二典例賞析←返回目錄變式練習(xí)3

如圖所示,質(zhì)量為m的飛行器在繞地球的圓軌道Ⅰ上運(yùn)行,半徑為r1,要進(jìn)入半徑為r2的更高的圓軌道Ⅱ,必須先加速進(jìn)入一個(gè)橢圓軌道Ⅲ,然后再進(jìn)入圓軌道Ⅱ,已知飛行器在圓軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)時(shí)速度大小為v,在A點(diǎn)時(shí)通過(guò)發(fā)動(dòng)機(jī)向后噴出一定質(zhì)量的氣體使飛行器速度增加到v′進(jìn)入橢圓軌道Ⅲ,設(shè)噴出的氣體的速度為u,求：專(zhuān)題四圓周運(yùn)動(dòng)

［點(diǎn)評(píng)］

研究天體運(yùn)動(dòng)(包括人造地球衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng))的基本方法是：把天體的運(yùn)動(dòng)看作是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，天體間的萬(wàn)有引力提供所需的向心力，即：＝＝mrω2＝另外，一般不考慮天體自轉(zhuǎn)因素的影響，而認(rèn)為物體在天體表面的重力大小等于天體對(duì)物體的萬(wàn)有引力，即：mg＝.第17頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

(1)飛行器在軌道Ⅰ上的速度v1及軌道Ⅰ處的重力加速度；

(2)飛行器噴出氣體的質(zhì)量.典例賞析←返回目錄

例4已知回旋加速器中D形盒內(nèi)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝1.5T,D形盒的半徑為R＝60cm,兩盒間隙d＝1.0cm,兩盒間電壓U＝2.0×104V,今將α粒子從近于間隙中心某點(diǎn)向D形盒內(nèi)以近似于零的初速度，垂直于半徑的方向射入，求粒子在加速器內(nèi)運(yùn)行的時(shí)間.［分析］回旋加速器、質(zhì)譜儀等科學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)備，其基本原理是帶電粒子在回旋加速器中被電場(chǎng)加速，在速度選擇器中選擇粒子，在偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)中因?yàn)槁鍌惼澚ψ饔孟露鰣A周運(yùn)動(dòng).回旋加速器最基本的原理是電場(chǎng)加速，磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn).被加速粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期與速度無(wú)關(guān)，是恒定的，每一周期被加速兩次，只要得到粒子最后的能量和每次加速后增加的能量，即可知加速次數(shù)，進(jìn)一步可知經(jīng)歷幾個(gè)周期，就可求得總時(shí)間.專(zhuān)題四圓周運(yùn)動(dòng)第18頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期二典例賞析←返回目錄［解析］粒子在D形盒中運(yùn)動(dòng)的最大半徑為R，則R＝，則其最大動(dòng)能為Ekm＝粒子被加速的次數(shù)為n＝＝則帶電粒子在加速器內(nèi)運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為

s＝4.3×10－5s專(zhuān)題四圓周運(yùn)動(dòng)［答案］

4.3×10－5s［點(diǎn)評(píng)］注意體會(huì)這種由最大運(yùn)動(dòng)半徑求最大動(dòng)能，由最大動(dòng)能和每次加速所獲得的動(dòng)能求加速次數(shù)，再求總時(shí)間的分析思路.

第19頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

［拓展2］回旋加速器不能無(wú)限制地給帶電粒子加速.在粒子的能量很高，它的速度接近光速時(shí).根據(jù)愛(ài)因斯坦的狹義相對(duì)論，這時(shí)粒子的質(zhì)量將隨著速率的增加而顯著地增大，從而使粒子回旋周期變大，這樣交變電場(chǎng)的周期難以與粒子回旋周期一致，破壞了加速器工作條件，也就無(wú)法提高速率了