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文檔簡介
2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷請考生注意:1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若雙曲線的一條漸近線與直線垂直,則該雙曲線的離心率為()A.2 B. C. D.2.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4名學(xué)生平均分成兩個(gè)志愿者小組到校外參加兩項(xiàng)活動(dòng),則乙、丙兩人恰好參加同一項(xiàng)活動(dòng)的概率為A. B. C. D.3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓的右焦點(diǎn)為,若F到直線的距離為,則E的離心率為()A. B. C. D.4.設(shè)集合A={y|y=2x﹣1,x∈R},B={x|﹣2≤x≤3,x∈Z},則A∩B=()A.(﹣1,3] B.[﹣1,3] C.{0,1,2,3} D.{﹣1,0,1,2,3}5.在中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,D是AB的中點(diǎn),若,且,則面積的最大值是()A. B. C. D.6.已知四棱錐的底面為矩形,底面,點(diǎn)在線段上,以為直徑的圓過點(diǎn).若,則的面積的最小值為()A.9 B.7 C. D.7.已知,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有最值,給出下列四個(gè)結(jié)論:①在上單調(diào)遞增;②③在上沒有零點(diǎn);④在上只有一個(gè)零點(diǎn).其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是()A.②④ B.①③ C.②③ D.①②④8.如圖所示,直三棱柱的高為4,底面邊長分別是5,12,13,當(dāng)球與上底面三條棱都相切時(shí)球心到下底面距離為8,則球的體積為()A.1605π3 B.6429.己知全集為實(shí)數(shù)集R,集合A={x|x2+2x-8>0},B={x|log2x<1},則等于()A.[4,2] B.[4,2) C.(4,2) D.(0,2)10.已知與之間的一組數(shù)據(jù):12343.24.87.5若關(guān)于的線性回歸方程為,則的值為()A.1.5 B.2.5 C.3.5 D.4.511.在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù),使直線與圓相交的概率為()A. B. C. D.12.小張家訂了一份報(bào)紙,送報(bào)人可能在早上之間把報(bào)送到小張家,小張離開家去工作的時(shí)間在早上之間.用表示事件:“小張?jiān)陔x開家前能得到報(bào)紙”,設(shè)送報(bào)人到達(dá)的時(shí)間為,小張離開家的時(shí)間為,看成平面中的點(diǎn),則用幾何概型的公式得到事件的概率等于()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.三個(gè)小朋友之間送禮物,約定每人送出一份禮物給另外兩人中的一人(送給兩個(gè)人的可能性相同),則三人都收到禮物的概率為______.14.如圖,在菱形ABCD中,AB=3,,E,F(xiàn)分別為BC,CD上的點(diǎn),,若線段EF上存在一點(diǎn)M,使得,則____________,____________.(本題第1空2分,第2空3分)15.某高中共有1800人,其中高一、高二、高三年級的人數(shù)依次成等差數(shù)列,現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取60人,那么高二年級被抽取的人數(shù)為________.16.已知向量,,滿足,,,則的取值范圍為_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,其前項(xiàng)和為,滿足,且成等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列滿足,求的值.18.(12分)改革開放40年,我國經(jīng)濟(jì)取得飛速發(fā)展,城市汽車保有量在不斷增加,人們的交通安全意識(shí)也需要不斷加強(qiáng).為了解某城市不同性別駕駛員的交通安全意識(shí),某小組利用假期進(jìn)行一次全市駕駛員交通安全意識(shí)調(diào)查.隨機(jī)抽取男女駕駛員各50人,進(jìn)行問卷測評,所得分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖如圖所示.規(guī)定得分在80分以上為交通安全意識(shí)強(qiáng).安全意識(shí)強(qiáng)安全意識(shí)不強(qiáng)合計(jì)男性女性合計(jì)(Ⅰ)求的值,并估計(jì)該城市駕駛員交通安全意識(shí)強(qiáng)的概率;(Ⅱ)已知交通安全意識(shí)強(qiáng)的樣本中男女比例為4:1,完成2×2列聯(lián)表,并判斷有多大把握認(rèn)為交通安全意識(shí)與性別有關(guān);(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,從交通安全意識(shí)強(qiáng)的駕駛員中隨機(jī)抽取2人,求抽到的女性人數(shù)的分布列及期望.附:,其中0.0100.0050.0016.6357.87910.82819.(12分)已知二階矩陣A=abcd,矩陣A屬于特征值λ1=-1的一個(gè)特征向量為α120.(12分)在四棱柱中,底面為正方形,,平面.(1)證明:平面;(2)若,求二面角的余弦值.21.(12分)在最新公布的湖南新高考方案中,“”模式要求學(xué)生在語數(shù)外3門全國統(tǒng)考科目之外,在歷史和物理2門科目中必選且只選1門,再從化學(xué)、生物、地理、政治4門科目中任選2門,后三科的高考成績按新的規(guī)則轉(zhuǎn)換后計(jì)入高考總分.相應(yīng)地,高校在招生時(shí)可對特定專業(yè)設(shè)置具體的選修科目要求.雙超中學(xué)高一年級有學(xué)生1200人,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取40人進(jìn)行選科情況調(diào)查,用數(shù)字1~6分別依次代表歷史、物理、化學(xué)、生物、地理、政治6科,得到如下的統(tǒng)計(jì)表:序號(hào)選科情況序號(hào)選科情況序號(hào)選科情況序號(hào)選科情況11341123621156312352235122342223532236323513145232453323541451413524235341355156152362525635156624516236261563623672561715627134371568235182362823538134923519145292463923510236202353015640245(1)雙超中學(xué)規(guī)定:每個(gè)選修班最多編排50人且盡量滿額編班,每位老師執(zhí)教2個(gè)選修班(當(dāng)且僅當(dāng)一門科目的選課班級總數(shù)為奇數(shù)時(shí),允許這門科目的1位老師只教1個(gè)班).已知雙超中學(xué)高一年級現(xiàn)有化學(xué)、生物科目教師每科各8人,用樣本估計(jì)總體,則化學(xué)、生物兩科的教師人數(shù)是否需要調(diào)整?如果需要調(diào)整,各需增加或減少多少人?(2)請創(chuàng)建列聯(lián)表,運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的知識(shí)進(jìn)行分析,探究是否有的把握判斷學(xué)生“選擇化學(xué)科目”與“選擇物理科目”有關(guān).附:0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828(3)某高校在其熱門人文專業(yè)的招生簡章中明確要求,僅允許選修了歷史科目,且在政治和地理2門中至少選修了1門的考生報(bào)名.現(xiàn)從雙超中學(xué)高一新生中隨機(jī)抽取3人,設(shè)具備高校專業(yè)報(bào)名資格的人數(shù)為,用樣本的頻率估計(jì)概率,求的分布列與期望.22.(10分)已知三棱柱中,,是的中點(diǎn),,.(1)求證:;(2)若側(cè)面為正方形,求直線與平面所成角的正弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
由題中垂直關(guān)系,可得漸近線的方程,結(jié)合,構(gòu)造齊次關(guān)系即得解【詳解】雙曲線的一條漸近線與直線垂直.∴雙曲線的漸近線方程為.,得.則離心率.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線和離心率,考查了學(xué)生綜合分析,概念理解,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.2、B【解析】
求得基本事件的總數(shù)為,其中乙丙兩人恰好參加同一項(xiàng)活動(dòng)的基本事件個(gè)數(shù)為,利用古典概型及其概率的計(jì)算公式,即可求解.【詳解】由題意,現(xiàn)有甲乙丙丁4名學(xué)生平均分成兩個(gè)志愿者小組到校外參加兩項(xiàng)活動(dòng),基本事件的總數(shù)為,其中乙丙兩人恰好參加同一項(xiàng)活動(dòng)的基本事件個(gè)數(shù)為,所以乙丙兩人恰好參加同一項(xiàng)活動(dòng)的概率為,故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了排列組合的應(yīng)用,以及古典概型及其概率的計(jì)算問題,其中解答中合理應(yīng)用排列、組合的知識(shí)求得基本事件的總數(shù)和所求事件所包含的基本事件的個(gè)數(shù),利用古典概型及其概率的計(jì)算公式求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】
由已知可得到直線的傾斜角為,有,再利用即可解決.【詳解】由F到直線的距離為,得直線的傾斜角為,所以,即,解得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的問題,一般求橢圓離心率的問題時(shí),通常是構(gòu)造關(guān)于的方程或不等式,本題是一道容易題.4、C【解析】
先求集合A,再用列舉法表示出集合B,再根據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】解:∵集合A={y|y=2x﹣1,x∈R}={y|y>﹣1},B={x|﹣2≤x≤3,x∈Z}={﹣2,﹣1,0,1,2,3},∴A∩B={0,1,2,3},故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】
根據(jù)正弦定理可得,求出,根據(jù)平方關(guān)系求出.由兩端平方,求的最大值,根據(jù)三角形面積公式,求出面積的最大值.【詳解】中,,由正弦定理可得,整理得,由余弦定理,得.D是AB的中點(diǎn),且,,即,即,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.的面積,所以面積的最大值為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查正、余弦定理、不等式、三角形面積公式和向量的數(shù)量積運(yùn)算,屬于中檔題.6、C【解析】
根據(jù)線面垂直的性質(zhì)以及線面垂直的判定,根據(jù)勾股定理,得到之間的等量關(guān)系,再用表示出的面積,利用均值不等式即可容易求得.【詳解】設(shè),,則.因?yàn)槠矫妫矫?,所?又,,所以平面,則.易知,.在中,,即,化簡得.在中,,.所以.因?yàn)?,?dāng)且僅當(dāng),時(shí)等號(hào)成立,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體的線面位置關(guān)系及基本不等式的應(yīng)用,考查空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合思想,涉及線面垂直的判定和性質(zhì),屬中檔題.7、A【解析】
先根據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有最值求出或.再根據(jù)已知求出,判斷函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)情況得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)沒有最值.所以,或解得或.又,所以.令.可得.且在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí),,且,所以在上只有一個(gè)零點(diǎn).所以正確結(jié)論的編號(hào)②④故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),考查函數(shù)的零點(diǎn)問題,意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的理解掌握水平.8、A【解析】
設(shè)球心為O,三棱柱的上底面ΔA1B1C1的內(nèi)切圓的圓心為O1,該圓與邊B【詳解】如圖,設(shè)三棱柱為ABC-A1B1C所以底面ΔA1B1C1為斜邊是A1C1則圓O1的半徑為O設(shè)球心為O,則由球的幾何知識(shí)得ΔOO1M所以O(shè)M=2即球O的半徑為25所以球O的體積為43故選A.【點(diǎn)睛】本題考查與球有關(guān)的組合體的問題,解答本題的關(guān)鍵有兩個(gè):(1)構(gòu)造以球半徑R、球心到小圓圓心的距離d和小圓半徑r為三邊的直角三角形,并在此三角形內(nèi)求出球的半徑,這是解決與球有關(guān)的問題時(shí)常用的方法.(2)若直角三角形的兩直角邊為a,b,斜邊為c,則該直角三角形內(nèi)切圓的半徑r=a+b-c9、D【解析】
求解一元二次不等式化簡A,求解對數(shù)不等式化簡B,然后利用補(bǔ)集與交集的運(yùn)算得答案.【詳解】解:由x2+2x-8>0,得x<-4或x>2,
∴A={x|x2+2x-8>0}={x|x<-4或x>2},
由log2x<1,x>0,得0<x<2,
∴B={x|log2x<1}={x|0<x<2},
則,
∴.
故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算,考查了對數(shù)不等式,二次不等式的求法,是基礎(chǔ)題.10、D【解析】
利用表格中的數(shù)據(jù),可求解得到代入回歸方程,可得,再結(jié)合表格數(shù)據(jù),即得解.【詳解】利用表格中數(shù)據(jù),可得又,.解得故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了線性回歸方程過樣本中心點(diǎn)的性質(zhì),考查了學(xué)生概念理解,數(shù)據(jù)處理,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】
根據(jù)直線與圓相交,可求出k的取值范圍,根據(jù)幾何概型可求出相交的概率.【詳解】因?yàn)閳A心,半徑,直線與圓相交,所以,解得所以相交的概率,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系,幾何概型,屬于中檔題.12、D【解析】
這是幾何概型,畫出圖形,利用面積比即可求解.【詳解】解:事件發(fā)生,需滿足,即事件應(yīng)位于五邊形內(nèi),作圖如下:故選:D【點(diǎn)睛】考查幾何概型,是基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
基本事件總數(shù),三人都收到禮物包含的基本事件個(gè)數(shù).由此能求出三人都收到禮物的概率.【詳解】三個(gè)小朋友之間準(zhǔn)備送禮物,約定每人只能送出一份禮物給另外兩人中的一人(送給兩個(gè)人的可能性相同),基本事件總數(shù),三人都收到禮物包含的基本事件個(gè)數(shù).則三人都收到禮物的概率.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率的求法,考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
根據(jù)題意,設(shè),則,所以,解得,所以,從而有.15、【解析】
由三個(gè)年級人數(shù)成等差數(shù)列和總?cè)藬?shù)可求得高二年級共有人,根據(jù)抽樣比可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)高一、高二、高三人數(shù)分別為,則且,解得:,用分層抽樣的方法抽取人,那么高二年級被抽取的人數(shù)為人.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣問題的求解,涉及到等差數(shù)列的相關(guān)知識(shí),屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
設(shè),,,,由,,,根據(jù)平面向量模的幾何意義,可得A點(diǎn)軌跡為以O(shè)為圓心、1為半徑的圓,C點(diǎn)軌跡為以B為圓心、1為半徑的圓,為的距離,利用數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】設(shè),,,,如圖所示:因?yàn)?,,,所以A點(diǎn)軌跡為以O(shè)為圓心、1為半徑的圓,C點(diǎn)軌跡為以B為圓心、1為半徑的圓,則即的距離,由圖可知,.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的模及運(yùn)算的幾何意義,還考查了數(shù)形結(jié)合的方法,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】
(1)由公比表示出,由成等差數(shù)列可求得,從而數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求(1)得,然后對和式兩兩并項(xiàng)后利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可求解.【詳解】(1)∵是等比數(shù)列,且成等差數(shù)列∴,即∴,解得:或∵,∴∵∴(2)∵∴【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查并項(xiàng)求和法及等差數(shù)列的項(xiàng)和公式.本題求數(shù)列通項(xiàng)公式所用方法為基本量法,求和是用并項(xiàng)求和法.?dāng)?shù)列的求和除公式法外,還有錯(cuò)位相關(guān)法、裂項(xiàng)相消法、分組(并項(xiàng))求和法等等.18、(Ⅰ).0.2(Ⅱ)見解析,有的把握認(rèn)為交通安全意識(shí)與性別有關(guān)(Ⅲ)見解析,【解析】
(Ⅰ)直接根據(jù)頻率和為1計(jì)算得到答案.(Ⅱ)完善列聯(lián)表,計(jì)算,對比臨界值表得到答案.(Ⅲ)的取值為,計(jì)算概率得到分布列,計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到答案.【詳解】(Ⅰ),解得.所以該城市駕駛員交通安全意識(shí)強(qiáng)的概率.(Ⅱ)安全意識(shí)強(qiáng)安全意識(shí)不強(qiáng)合計(jì)男性163450女性44650合計(jì)2080100,所以有的把握認(rèn)為交通安全意識(shí)與性別有關(guān)(Ⅲ)的取值為所以的分布列為期望.【點(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn),分布列,數(shù)學(xué)期望,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.19、A=【解析】
運(yùn)用矩陣定義列出方程組求解矩陣A【詳解】由特征值、特征向量定義可知,Aα即abc同理可得3a+2b=12,3c+2d=8.解得a=2,b=3,c=2,d=1.因此矩陣【點(diǎn)睛】本題考查了由矩陣特征值和特征向量求矩陣,只需運(yùn)用定義得出方程組即可求出結(jié)果,較為簡單20、(1)詳見解析;(2).【解析】
(1)連接,設(shè),可證得四邊形為平行四邊形,由此得到,根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論;(2)以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,利用二面角的空間向量求法可求得結(jié)果.【詳解】(1)連接,設(shè),連接,在四棱柱中,分別為的中點(diǎn),,四邊形為平行四邊形,,平面,平面,平面.(2)以為原點(diǎn),所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè),四邊形為正方形,,,則,,,,,,,設(shè)為平面的法向量,為平面的法向量,由得:,令,則,,由得:,令,則,,,,,二面角為銳二面角,二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中線面平行關(guān)系的證明、空間向量法求解二面角的問題;關(guān)鍵是能夠熟練掌握二面角的向量求法,易錯(cuò)點(diǎn)是求得法向量夾角余弦值后,未根據(jù)圖形判斷二面角為銳二面角還是鈍二面角,造成余弦值符號(hào)出現(xiàn)錯(cuò)誤.21、(1)不需調(diào)整(2)列聯(lián)表見解析;有的把握判斷學(xué)生“選擇化學(xué)科目”與“選擇物理科目”有關(guān)(3)詳見解析【解析】
(1)可估計(jì)高一年級選修相應(yīng)科目的人數(shù)分別為120,2,推理得對應(yīng)開設(shè)選修班的數(shù)目分別為15,1.推理知生物科目需要減少4名教師,化學(xué)科目不需要調(diào)整.(2)根據(jù)列聯(lián)表計(jì)算觀測值,根據(jù)臨界值表可得結(jié)論.(3)經(jīng)統(tǒng)計(jì),樣本中選修了歷史科目且在政治和地理2門中至少選修了一門的人數(shù)為12,頻率為.用頻率估計(jì)概率,則,根據(jù)二項(xiàng)分布概率公式可得分布列和數(shù)學(xué)期望
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