新教材人教a版選擇性必修第二冊4.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式第1課時(shí)課件

第1課時(shí)

等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式數(shù)學(xué)文化《算法統(tǒng)宗》是我國古代數(shù)學(xué)名著,由明代數(shù)學(xué)家程大位編著,它對我國民間普及珠算和數(shù)學(xué)知識起到了很大的作用,是東方古代數(shù)學(xué)的名著.在這部著作中,許多數(shù)學(xué)問題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的,如“九兒問甲歌”就是其中一首:一個(gè)公公九個(gè)兒,若問生年總不知,自長排來差三歲,共年二百又零七,借問長兒多少歲,各兒歲數(shù)要詳推.在這個(gè)問題中,各個(gè)孩子的年齡構(gòu)成等差數(shù)列,利用這個(gè)等差數(shù)列的前9項(xiàng)和為207,可以求出長兒的年齡.【目標(biāo)認(rèn)知】課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.探索并掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.2.理解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系1.能推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,能說出“倒序相加法”的特點(diǎn)、適用條件及操作步驟.2.能說明等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的特征,能靈活運(yùn)用求和公式解決一些簡單問題知識點(diǎn)一倒序相加法課前預(yù)習(xí)如果一個(gè)數(shù)列{an}中,與首末項(xiàng)等“距離”的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和,那么求和時(shí)可采用把正著寫與倒著寫的兩個(gè)和式相加,這樣就得到了一個(gè)常數(shù)列的和,進(jìn)而求得數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,這一求和方法稱為

.

倒序相加法【診斷分析】

如圖4-2-2所示,某倉庫堆放了一堆鋼管,最上面的一層有4根鋼管,下面的每一層都比上一層多一根,最下面的一層有9根,共有6層.(1)假設(shè)在這堆鋼管旁邊倒放上同樣的一堆鋼管,其截面如圖4-2-3所示,則這樣共有

根鋼管.(2)原來有

根鋼管.

課前預(yù)習(xí)78圖4-2-2

圖4-2-339知識點(diǎn)二等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式課前預(yù)習(xí)

已知量首項(xiàng)、末項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)、公差與項(xiàng)數(shù)求和公式Sn=

Sn=

課前預(yù)習(xí)√

√

×

課前預(yù)習(xí)×

√

√

備課素材2.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的圖形理解我們可以根據(jù)梯形面積公式的兩種推導(dǎo)方法“補(bǔ)形”與“分割”來理解等差數(shù)列的兩個(gè)前n項(xiàng)和公式,如圖所示.備課素材

備課素材

探究點(diǎn)一等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的基本運(yùn)算課中探究

探究點(diǎn)一等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的基本運(yùn)算課中探究

課中探究D

(2)已知{an}是公差為d的無窮等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn.又d=-4,且S5=40,是否存在大于1的正整數(shù)k,使得Sk=S1?若存在,求k的值;若不存在,說明理由.課中探究

[素養(yǎng)小結(jié)]等差數(shù)列的五個(gè)基本量a1,an,d,n,Sn中知三可求其二,只需把每個(gè)公式看作方程,聯(lián)立方程組求解即可.課中探究例2已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知S2=2,S3=-6.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和Sn.(2)是否存在n,使Sn,Sn+2+2n,Sn+3成等差數(shù)列?若存在,求出n;若不存在,說明理由.探究點(diǎn)二等差數(shù)列的綜合問題課中探究

課中探究

[素養(yǎng)小結(jié)]靈活運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式,準(zhǔn)確理解前n項(xiàng)和的意義,是解決這類綜合問題的關(guān)鍵.課中探究課中探究拓展

在數(shù)列{an}中,a1=8,a4=2,且滿足an+2-2an+1+an=0,n∈N*.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)Sn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Sn.

課中探究拓展

在數(shù)列{an}中,a1=8,a4=2,且滿足an+2-2an+1+an=0,n∈N*.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)Sn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Sn.

1.基本量法:在解決等差數(shù)列問題時(shí),如已知a1,an,n,d,Sn中任意三個(gè),可求其余兩個(gè),這種問題在數(shù)學(xué)上常稱為“知三求二”型.解題時(shí)通常以a1與d(等差數(shù)列的基本量)為橋梁,利用已知條件建立關(guān)于a1與d的方程組,解出方程組后,再具體求解.這是求解等差數(shù)列問題的基本方法.備課素材例1已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a6=10,S5=5,求a8.備課素材

例2

在等差數(shù)列{an}中,a5=3,a10=18,則|a1|+|a2|+|a3|+…+|a10|= (

)A.80 B.81 C.82 D.83備課素材

B

備課素材例3

設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且Sn=2n2-30n.(1)求a1及an.(2)判斷這個(gè)數(shù)列是否是等差數(shù)列.備課素材解:(1)因?yàn)镾n=2n2-30n,所以當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=2×12-30×1=-28.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n2-30n-[2(n-1)2-30(n-1)]=4n-32.又a1=-28符合上式,所以an=4n-32.(2)由an=4n-32,得an-1=4(n-1)-32(n≥2),所以an-an-1=4n-32-[4(n-1)-32]=4,所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列.3.累加法在求值中的應(yīng)用備課素材

備課素材

C1.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S7=28,則a4= (

)A.4 B.7C.8 D.14課堂評價(jià)A

2.若等差數(shù)列{an}的前5項(xiàng)和S5=25,且a2=3,則a7= (

)A.12 B.13C.14 D.15課堂評價(jià)B[解析]∵S5=5a3=25,∴a3=5,又a2=3,∴公差d=a3-a2=5-3=2,∴a7=a2+5d=3+10=13.3.已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,公差d=-2,則其前10項(xiàng)和S10= (

)A.-20 B.-40C.-60 D.-80課堂評價(jià)D

4.等差數(shù)列{a