新教材人教b版必修第三冊(cè)7.1.1角的推廣課件

第七章三角函數(shù)1.了解任意角的概念,能正確區(qū)分正角、負(fù)角和零角.2.掌握象限角的概念,并會(huì)用集合表示象限角.3.掌握終邊相同的角的含義及其表示方法,并能解決有關(guān)問(wèn)題.4.體會(huì)數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程,加強(qiáng)直觀(guān)想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng).任意角的概念與弧度制7.1.1角的推廣1|角的相關(guān)概念一條射線(xiàn)繞其端點(diǎn)按照①逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)而成的角稱(chēng)為正角,按照②順時(shí)針?lè)较?/p>

的始邊與終邊③重合.這樣定義的角,由于是旋轉(zhuǎn)生成的,所以也常稱(chēng)為轉(zhuǎn)角.這樣,

我們就把角的概念推廣到了任意角.α,β是任意兩個(gè)角.我們規(guī)定,把角α的終邊旋轉(zhuǎn)角β,這時(shí)終邊對(duì)應(yīng)的角為④

α+β.

角的減法可以轉(zhuǎn)化為角的加法,即α-β=⑤

α+(-β).第七章三角函數(shù)1.為了方便起見(jiàn),通常將角放在平面直角坐標(biāo)系中來(lái)討論,并約定:角的頂點(diǎn)與

坐標(biāo)原點(diǎn)重合,角的始邊落在x軸的正半軸上.這時(shí),角的終邊在第幾象限,就把這個(gè)

角稱(chēng)為第幾象限角.如果終邊在⑦坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限.2|終邊相同的角3|象限角所有與角α終邊相同的角組成一個(gè)集合,這個(gè)集合可記為⑥

S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即集合S的每一個(gè)元素的終邊都與α的終邊相同,k=0時(shí)對(duì)應(yīng)元素為α.(1)終邊在第一象限的角:{α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z}.(2)終邊在第二象限的角:{α|k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z}.(3)終邊在第三象限的角:{α|k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z}.(4)終邊在第四象限的角:{α|k·360°-90°<α<k·360°,k∈Z}.第七章三角函數(shù)°角是第四象限角.

(√)2.終邊相同的角不一定相等,但相等的角終邊一定相同.

(√)3.終邊相同的角有無(wú)數(shù)個(gè),它們相差360°的整數(shù)倍.(√)4.終邊相同的角的表示不唯一.

(√)5.終邊與始邊重合的角是零角.

(?)判斷正誤，正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“?”.第七章三角函數(shù)1|任意角的概念在花樣滑冰比賽中,運(yùn)動(dòng)員的動(dòng)作是那么優(yōu)美!尤其是原地轉(zhuǎn)身和空中翻轉(zhuǎn)的動(dòng)作

讓我們嘆為觀(guān)止.運(yùn)動(dòng)員在原地轉(zhuǎn)身的動(dòng)作中,僅僅幾秒內(nèi)就能旋轉(zhuǎn)十幾圈,甚至二

十幾圈,因此,花樣滑冰美麗而危險(xiǎn).第七章三角函數(shù)第七章三角函數(shù)問(wèn)題1.他們順時(shí)針旋轉(zhuǎn)兩圈半是多大的角度?提示:順時(shí)針旋轉(zhuǎn)兩圈半，即-(2×360°+180°）=-900°.2.若是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)兩圈半呢?提示:應(yīng)為900°.1.理解角的概念的關(guān)鍵與技巧:(1)關(guān)鍵:正確理解象限角、銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念;(2)技巧:判斷一種說(shuō)法正確需要證明,而判斷一種說(shuō)法錯(cuò)誤只要舉出反例即可.2.確定任意角的度數(shù)關(guān)鍵看終邊旋轉(zhuǎn)的方向和圈數(shù).(1)表示角時(shí),箭頭的方向代表角的正負(fù),因此箭頭不能丟掉;順時(shí)針旋轉(zhuǎn)形成負(fù)角常

常被忽視.

邊重合的角不一定是零角,只有沒(méi)做任何旋轉(zhuǎn),始邊與終邊重合的角才是零角.3.要求符合某種條件且與已知角終邊相同的角,其方法是先求出與已知角α終邊相

同的角的一般形式α+k·360°(k∈Z),再依條件構(gòu)建不等式求出k的值.第七章三角函數(shù)拔高問(wèn)題α+k·360°(k∈Z,且0°≤α<360°)的形式的關(guān)鍵是什么?提示:關(guān)鍵是確定k,可以用觀(guān)察法(角的絕對(duì)值較小),也可用除法.第七章三角函數(shù)思路點(diǎn)撥:根據(jù)旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量,畫(huà)出圖形,利用角的運(yùn)算求∠AOC的度數(shù).解析畫(huà)出簡(jiǎn)圖如圖,由圖和已知可得∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+(-30°)=60°.所以∠AOC的度數(shù)為60°.

1.(★☆☆)平行于x軸且方向與x軸正方向相同的射線(xiàn)OA繞端點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到射線(xiàn)OB的位置,接著再順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°到OC的位置,求∠AOC的度數(shù).解題模板角的概念推廣后,確定角的關(guān)鍵是確定旋轉(zhuǎn)的方向和旋轉(zhuǎn)量的大小,畫(huà)

圖分析有助于培養(yǎng)直觀(guān)想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng).第七章三角函數(shù)2.(★★☆)已知角α=2020°.(1)把α改寫(xiě)成k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第幾象限角;(2)求θ,使θ與α終邊相同,且-360°≤θ<720°.思路點(diǎn)撥:把任意角化為β+k·360°(k∈Z且0°≤β<360°)的形式,利用觀(guān)察法(角的絕對(duì)值較小)

或除法確定k的值.解析(1)2020°除以360°,商為5,余數(shù)為220°,∴k=5,β=220°,∴α=5×360°+220°.又β=220°是第三象限角,∴α為第三象限角.(2)由(1)知α=5×360°+220°,所以θ=n·360°+220°(n∈Z).當(dāng)n=-2時(shí),θ<-360°,不滿(mǎn)足題意;當(dāng)n=-1時(shí),θ=-140°,滿(mǎn)足題意;當(dāng)n=0時(shí),θ=220°,滿(mǎn)足題意;當(dāng)n=1時(shí),θ=580°,滿(mǎn)足題意;當(dāng)n=2時(shí),θ>720°,不滿(mǎn)足題意.綜上,角θ的值為-140°,220°,580°.第七章三角函數(shù)3.(★★☆)你的手表慢了5分鐘,你是怎樣將它校準(zhǔn)的?假如你的手表快了1.25小時(shí),你應(yīng)如何將它校準(zhǔn)?思路點(diǎn)撥:一要注意旋轉(zhuǎn)的大小,二要注意旋轉(zhuǎn)的方向.解析將分針按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)360°×

=30°;將分針按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)360°×1.25=450°.第七章三角函數(shù)問(wèn)題OB上的角?提示:先求∠x(chóng)OB=90°+40°=130°,再寫(xiě)終邊落在射線(xiàn)OB上的角,為k·360°+130°,k∈Z.φ的范圍?提示:由題圖可知k·360°+130°≤φ≤k·360°+180°,k∈Z.2|區(qū)域角的表示如圖，將圓O放在平面直角坐標(biāo)系中，圓心與原點(diǎn)重合.第七章三角函數(shù)1.求終邊在某條直線(xiàn)上的角的集合的策略:(1)若所求角β的終邊在某條射線(xiàn)上,則集合的形式為{β|β=k·360°+α,k∈Z};(2)若所求角β的終邊在某條直線(xiàn)上,則集合的形式為{β|β=k·180°+α,k∈Z}.2.區(qū)域角是指終邊落在坐標(biāo)系的某個(gè)區(qū)域內(nèi)的角.其寫(xiě)法可分為三步:(1)按逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界;(2)由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對(duì)應(yīng)的-360°到360°范圍內(nèi)的角α和β,并將該

范圍內(nèi)的區(qū)域角表示為{x|α<x<β},其中β-α<360°;(3)起始、終止邊界對(duì)應(yīng)角α、β再加上360°的整數(shù)倍,即得區(qū)域角的范圍.第七章三角函數(shù)例已知角α的終邊在如圖所示的陰影部分內(nèi)(不包括邊界),求角α的取值范圍.

解析

題圖中陰影在第一、三象限,根據(jù)象限角的表示可知角α的取值范圍是{α|k·

360°<α<k·360°+90°,k∈Z}∪{α|k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z}={α|2k·180°<α<2k·180°+90°,k∈Z}∪{α|(2k+1)·180°<α<(2k+1)·180°+90°,k∈Z}={α|n·180°<α<n·180°+90°,n∈Z}.第七章三角函數(shù)拔高問(wèn)題3.對(duì)頂區(qū)域的角如何表示?提示:對(duì)頂區(qū)域,先寫(xiě)出在0°~180°范圍內(nèi)始邊、終邊對(duì)應(yīng)的角,再加上k·180°(k∈Z),

即得對(duì)頂區(qū)域角的范圍.第七章三角函數(shù)1.(★★☆)寫(xiě)出終邊在如圖所示的直線(xiàn)上的角的集合.

思路點(diǎn)撥:分別表示圖中四個(gè)終邊上角的集合,再求并集即可.第七章三角函數(shù)解析在0°~360°范圍內(nèi),終邊在直線(xiàn)y=x上的角有兩個(gè),即45°和225°,因此,終邊在直線(xiàn)y=x上的角的集合為S1={β|β=45°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=225°+k·360°,k∈Z}={β|β=45°+n·180°,n∈Z}.同理,可得終邊在直線(xiàn)y=-x上的角的集合S2={β|β=135°+n·180°,n∈Z}.故所求角的集合為S={β|β=45°+n·180°,n∈Z}∪{β|β=135°+n·180°,n∈Z}={β|β=45°+2n·90°,n∈Z}∪{β|β=45°+(2n+1)·90°,n∈Z}={β|β=45°+m·90°,m∈Z}.第七章三角函數(shù)延伸探究:(★★☆)已知角β的終邊在如圖所示的陰影部分內(nèi),求角β的取值范圍.

解析在x軸上方的陰影部分的角的集合為A={β|k·360°+45°≤β<k·360°+135°,k

∈Z}={β|2k·180°+45°≤β<2k·180°+135°,k∈Z}.在x軸下方的陰影部分的角的集合為B={β|k·360°+225°≤β<k·360°+315°,k∈Z}={β|k·360°+180°+45°≤β<k·360°+180°+135°,k∈Z}={β|(2k+1)·180°+45°≤β<(2k+1)·180°+135°,k∈Z}.所以陰影部分內(nèi)角β的取值范圍是A∪B={β|2k·180°+45°≤β<2k·180°+135°,k∈Z}∪{β|(2k+1)·180°+45°≤β<(2k+1)·180°+135°,k∈Z}={β|n·180°+45°≤β<n·180°+135°,n∈Z}.第七章三角函數(shù)2.(★★★)若角α是第一象限角,問(wèn)角(1)2α,(2)

,(3)

各是第幾象限角?第七章三角函數(shù)解析(1)∵α是第一象限角,∴k·360°<α<k·360°+90°(k∈Z).

(*)∴k·720°<2α<k·720°+180°(k∈Z).故2α是第一或第二象限角或是終邊重合于y軸的非負(fù)半軸的角.(2)由(*)得k·180°<

<k·180°+45°(k∈Z).①當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),令k=2n(n∈Z),得n·360°<

<n·360°+45°(n∈Z),這表明

是第一象限角.②當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),令k=2n+1(n∈Z),得n·360°+180°<

<n·360°+(180°+45°)(n∈Z),這表明

是第三象限角.綜合①②知,

是第一或第三象限角.(3)解法一:由(*)得k·120°<

<k·120°+30°(k∈Z).①當(dāng)k=3n(n∈Z)時(shí),n·360°<

<n·360°+30°(n∈Z),這表明

是第一象限角.第七章三角函數(shù)②當(dāng)k=3n+1(n∈Z)時(shí),n·36