2022-2023學年湖南省張家界市成考專升本高等數學一自考真題(含答案)

2022-2023學年湖南省張家界市成考專升本高等數學一自考真題(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.A.

B.0

C.ln2

D.-ln2

2.

3.

4.設z=ysinx，則等于()．A.A.-cosxB.-ycosxC.cosxD.ycosx

5.設y1，y2為二階線性常系數微分方程y"+p1y'+p2y=0的兩個特解，則C1y1+C2y2()．A.A.為所給方程的解，但不是通解B.為所給方程的解，但不一定是通解C.為所給方程的通解D.不為所給方程的解

6.

7.設k＞0，則級數為()．A.A.條件收斂B.絕對收斂C.發(fā)散D.收斂性與k有關

8.

9.設函數f(x)=COS2x，則f′(x)=()．

A.2sin2x

B.-2sin2x

C.sin2x

D.-sin2x

10.設f(x)在點x0的某鄰域內有定義，且，則f'(x0)等于()．A.-1B.-1/2C.1/2D.1

11.

12.若y(x-1)=x2-1，則y'(x)等于（）A.2x+2B.x(x+1)C.x(x-1)D.2x-1

13.

14.

15.函數y=x2-x+1在區(qū)間[-1，3]上滿足拉格朗日中值定理的ξ等于()．

A.-3/4B.0C.3/4D.1

16.在空間中，方程y=x2表示()A.xOy平面的曲線B.母線平行于Oy軸的拋物柱面C.母線平行于Oz軸的拋物柱面D.拋物面

17.已知y=ksin2x的一個原函數為y=cos2x，則k等于()。A.2B.1C.-1D.-2

18.

19.下列關于構建的幾何形狀說法不正確的是()。

A.軸線為直線的桿稱為直桿B.軸線為曲線的桿稱為曲桿C.等截面的直桿稱為等直桿D.橫截面大小不等的桿稱為截面桿

20.A.A.2B.1C.0D.-1

二、填空題(20題)21.設，其中f(x)為連續(xù)函數，則f(x)=______．

22.

23.

24.

25.

26.

27.設z=x2y2+3x,則

28.

29.

30.

31.

32.微分方程dy+xdx=0的通解y=_____.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.微分方程xy'=1的通解是_________。

40.

三、計算題(20題)41.

42.求微分方程的通解．

43.

44.

45.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．

46.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發(fā)散，其中常數a>0．

47.已知某商品市場需求規(guī)律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

48.設平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．

49.證明：

50.

51.

52.求曲線在點(1，3)處的切線方程．

53.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

54.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

55.

56.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則

57.

58.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區(qū)間和極值．

59.求函數y=x-lnx的單調區(qū)間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．

60.求函數一的單調區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點．

四、解答題(10題)61.

62.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

63.求微分方程的通解。

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.求，其中D為y=x-4，y2=2x所圍成的區(qū)域。

五、高等數學(0題)71.當x→0時，tan2x是()。

A.比sin3x高階的無窮小B.比sin3x低階的無窮小C.與sin3x同階的無窮小D.與sin3x等價的無窮小

六、解答題(0題)72.

參考答案

1.A為初等函數，定義區(qū)間為，點x=1在該定義區(qū)間內，因此

故選A．

2.D解析：

3.A

4.C本題考查的知識點為高階偏導數．

由于z=ysinx，因此

可知應選C．

5.B本題考查的知識點為線性常系數微分方程解的結構．

已知y1，y2為二階線性常系數齊次微分方程y"+p1y'+p2y=0的兩個解，由解的結構定理可知C1y1+C2y2為所給方程的解，因此應排除D．又由解的結構定理可知，當y1，y2線性無關時，C1y1+C2y2為y"+p1y'+p2y=0的通解，因此應該選B．

本題中常見的錯誤是選C．這是由于忽略了線性常系數微分方程解的結構定理中的條件所導致的錯誤．解的結構定理中指出：“若y1，y2為二階線性常系數微分方程y"+p1y'+p2y=0的兩個線性無關的特解，則C1y1+C2y2為所給微分方程的通解，其中C1，C2為任意常數．”由于所給命題中沒有指出)y1，y2為線性無關的特解，可知C1y1+C2y2不一定為方程的通解．但是由解的結構定理知C1y1+C2y2為方程的解，因此應選B．

6.A

7.A本題考查的知識點為級數的絕對收斂與條件收斂．

由于為萊布尼茨級數，為條件收斂．而為萊布尼茨級數乘以數-k，可知應選A．

8.D

9.B由復合函數求導法則，可得

故選B．

10.B由導數的定義可知

可知，故應選B。

11.C解析：

12.A因f(x-1)=x2-1，故f(x)=(x+1)2-1=x2+2x，則f'(x)=2x+2.

13.B解析：

14.D

15.D解析：本題考查的知識點為拉格朗日中值定理的條件與結論．

由于y=x2-x+1在[-1，3]上連續(xù)，在(-1，3)內可導，可知y在[-1，3]上滿足拉格朗日中值定理，又由于y'=2x-1，因此必定存在ξ∈(-1，3)，使

可知應選D．

16.C方程F(x，y)=0表示母線平行于Oz軸的柱面，稱之為柱面方程，故選C。

17.D本題考查的知識點為可變限積分求導。由原函數的定義可知(cos2x)'=ksin2x，而(cos2x)'=(-sin2x)·2，可知k=-2。

18.B

19.D

20.Df(x)為分式，當x=-1時，分母x+1=0，分式沒有意義，因此點

x=-1為f(x)的間斷點，故選D。

21.2e2x本題考查的知識點為可變上限積分求導．

由于f(x)為連續(xù)函數，因此可對所給表達式兩端關于x求導．

22.y=Cy=C解析：

23.

本題考查了一元函數的導數的知識點

24.

25.

26.1/21/2解析：

27.2xy(x+y)+3本題考查的知識點為二元函數的偏導數．

由于z=x2y2+3x，可知

28.11解析：

29.-1本題考查了利用導數定義求極限的知識點。

30.x(asinx+bcosx)

31.6．

本題考查的知識點為無窮小量階的比較．

32.

33.y=f(0)

34.

35.

36.

37.

38.5．

本題考查的知識點為二元函數的偏導數．

解法1

解法2

39.y=lnx+C

40.x=-3x=-3解析：

41.由一階線性微分方程通解公式有

42.

43.

則

44.

45.

46.

47.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

48.由二重積分物理意義知

49.

50.

51.

52.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

53.

54.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

55.

56.由等價無窮小量的定義可知

57.

58.函數的定義域為

注意

59.

60.

列表：

說明

61.

62.

63.

對應的齊次方程為特征方程為特征根為所以齊次方程的通解為設為原方程的一個特解，代