聲波方程正演模擬

聲波方程正演模擬第一頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日2一、地震勘探基本原理

二、波動(dòng)方程類(lèi)型及其局限性

三、數(shù)值算法類(lèi)型及其局限性

四、聲波方程的有限差分法數(shù)值模擬內(nèi)容提綱第二頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日3一、地震勘探基本原理＊▽▽▽▽▽xt第三頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日4

同相軸為雙曲線，即反射波的時(shí)距曲線為雙曲線，反射波一個(gè)同相軸可帶來(lái)一個(gè)地層的信息。實(shí)際地下介質(zhì)非常復(fù)雜，所得到的炮集記錄也包含更多的地下信息。實(shí)際的炮集記錄見(jiàn)圖1-1和1-2。第四頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日5圖1-1陸上某區(qū)實(shí)際地震記錄第五頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日6圖1-2海上某區(qū)實(shí)際地震記錄第六頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日7

廣義的地震反演即是從地震炮集記錄出發(fā)，經(jīng)過(guò)復(fù)雜的去噪、速度分析以及偏移成像處理等手段得到反映地下的地質(zhì)結(jié)構(gòu)的地震剖面。實(shí)際的地震剖面見(jiàn)圖1-3和1-4。第七頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日8圖1-3 陸上某區(qū)地震剖面第八頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日9圖1-4海上某區(qū)地震剖面第九頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日10

地震波場(chǎng)模擬即地震正演，是指已知模型結(jié)構(gòu)，通過(guò)物理或數(shù)值計(jì)算的方法模擬該地質(zhì)結(jié)構(gòu)下的地震波的傳播，最終合成地震記錄，也可以認(rèn)為其是野外數(shù)據(jù)采集過(guò)程的室內(nèi)再現(xiàn)。物理模擬花費(fèi)昂貴，人們一般采用比較經(jīng)濟(jì)的數(shù)值模擬技術(shù)。地震波場(chǎng)數(shù)值模擬是在給定數(shù)學(xué)模型（如彈性波方程，聲波方程等）、震源和地下幾何界面、物性參數(shù)（巖層密度、速度等）情況下，研究彈性波或聲波的傳播規(guī)律。第十頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日11 一、地震勘探基本原理

二、波動(dòng)方程類(lèi)型及其局限性

三、數(shù)值算法類(lèi)型及其局限性

四、聲波方程的有限差分法數(shù)值模擬內(nèi)容提綱第十一頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日12二、波動(dòng)方程類(lèi)型及其局限性1、聲波方程：

一階壓力-速度方程組：二階標(biāo)量聲波方程：第十二頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日13二、波動(dòng)方程類(lèi)型及其局限性能夠描述且只能描述縱波的傳播規(guī)律，包括直達(dá)波、反射波、透射波、折射波等，但不能描述轉(zhuǎn)換波傳播規(guī)律。需要的已知條件包括：1）震源函數(shù)2）地層速度/密度3）邊界條件第十三頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日142、彈性波方程：第十四頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日15能夠描述縱、橫波的傳播規(guī)律，包括直達(dá)波、反射波、透射波、折射波以及轉(zhuǎn)換波等。需要的已知條件包括：1）震源函數(shù)2）地層速度或根據(jù)方程的類(lèi)型需要提供的地層的其它彈性參數(shù)3）邊界條件第十五頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日163、粘聲波/彈性波方程 前面討論的是理想彈性介質(zhì)，波在其中傳播時(shí)，沒(méi)有能量的損耗，介質(zhì)中應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系嚴(yán)格遵循胡克定律（這種理想介質(zhì)稱(chēng)虎克固體），但波在實(shí)際介質(zhì)中傳播時(shí)，是有能量損耗的，這就是所謂的彈性波吸收。波在傳播過(guò)程中，實(shí)際介質(zhì)的不同部位之間會(huì)出現(xiàn)某種摩擦力，稱(chēng)為內(nèi)摩擦力或粘滯力。這種力導(dǎo)致機(jī)械能向其他形式能量轉(zhuǎn)換，最終轉(zhuǎn)化為熱能消耗掉。第十六頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日17 在地震勘探中，地震波傳播的實(shí)際介質(zhì)是十分復(fù)雜的。在一定條件下，即震源作用時(shí)間短，作用力微小，地球介質(zhì)可以看作完全彈性模型，但隨著地震勘探技術(shù)的發(fā)展，勘探精度要求提高，面臨復(fù)雜地質(zhì)目標(biāo)時(shí)，要求地震勘探采用更加符合實(shí)際的介質(zhì)模型進(jìn)行研究。粘彈性介質(zhì)模型更符合實(shí)際。 但是到目前為止，在地震資料反演處理中應(yīng)用最多的還是聲波方程，彈性波以及粘彈性波方程的應(yīng)用還只是停留在模擬層次上。第十七頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日18 一、地震勘探基本原理

二、波動(dòng)方程類(lèi)型及其局限性

三、數(shù)值算法類(lèi)型及其局限性

四、聲波方程的有限差分法數(shù)值模擬內(nèi)容提綱第十八頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日19三、數(shù)值算法類(lèi)型及其優(yōu)缺點(diǎn)

地震波波動(dòng)方程數(shù)值模擬方法主要包括克希霍夫積分法、傅里葉變換法、有限元法和有限差分法等?？讼；舴蚍e分法引入射線追蹤過(guò)程，本質(zhì)上是波動(dòng)方程積分解的一個(gè)數(shù)值計(jì)算，在某種程度上相當(dāng)于繞射疊加。該方法計(jì)算速度較快，但由于射線追蹤中存在著諸如焦散、多重路徑等問(wèn)題，故其一般只能適合于較簡(jiǎn)單的模型，難以模擬復(fù)雜地層的波場(chǎng)信息。第十九頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日20

傅里葉變換法是利用空間的全部信息對(duì)波場(chǎng)函數(shù)進(jìn)行三角函數(shù)插值，能更加精確地模擬地震波的傳播規(guī)律，同時(shí)，利用快速傅里葉變換(FFT)進(jìn)行計(jì)算，還可以提高運(yùn)算效率，其主要優(yōu)點(diǎn)是精度高，占用內(nèi)存小，但缺點(diǎn)是計(jì)算速度較慢，對(duì)模型的適用性差，尤其是不適應(yīng)于速度橫向變化劇烈的模型。第二十頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日21

波動(dòng)方程有限元法的做法是：將變分法用于單元分析，得到單元矩陣，然后將單元矩陣總體求和得到總體矩陣，最后求解總體矩陣得到波動(dòng)方程的數(shù)值解；其主要優(yōu)點(diǎn)是理論上可適宜于任意地質(zhì)體形態(tài)的模型，保證復(fù)雜地層形態(tài)模擬的逼真性，達(dá)到很高的計(jì)算精度，但有限元法的主要問(wèn)題是占用內(nèi)存和運(yùn)算量均較大，不適用于大規(guī)模模擬，因此該方法在地震波勘探中尚未得到廣泛地應(yīng)用。第二十一頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日22

相對(duì)于上述幾種方法，有限差分法是一種更為快速有效的方法。雖然其精度比不上有限元法，但因其具有計(jì)算速度快，占用內(nèi)存較小的優(yōu)點(diǎn)，在地震學(xué)界受到廣泛的重視與應(yīng)用。第二十二頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日23 一、地震勘探基本原理

二、波動(dòng)方程類(lèi)型及其局限性

三、數(shù)值算法類(lèi)型及其局限性

四、聲波方程的有限差分法數(shù)值模擬內(nèi)容提綱第二十三頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日24四、聲波方程的有限差分法數(shù)值模擬

對(duì)于二維速度-深度模型，地下介質(zhì)中地震波的傳播規(guī)律可以近似地用聲波方程描述：是介質(zhì)在點(diǎn)（x,z）處的縱波速度，為描述速度位或者壓力的波場(chǎng)，為震源函數(shù)。(4-1)第二十四頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日25空間模型網(wǎng)格化（如圖4-1所示）：圖4-1差分網(wǎng)格劃分示意圖第二十五頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日26網(wǎng)格間隔長(zhǎng)度，時(shí)間采樣步長(zhǎng)表示(i,j)點(diǎn)k時(shí)刻的波場(chǎng)值

第二十六頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日27

時(shí)間二階、空間二階差分格式推導(dǎo)如下：將在(i,j)點(diǎn)k時(shí)刻用Taylor展式展開(kāi)：(4-2)(4-3)第二十七頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日28將上兩式相加，略去高階小量，整理得(i,j)點(diǎn)k時(shí)刻的二階時(shí)間微商為：(4-4)第二十八頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日29同理可得(i,j)點(diǎn)k時(shí)刻的二階空間微商分別為：(4-5)(4-6)第二十九頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日30這就實(shí)現(xiàn)了用網(wǎng)個(gè)點(diǎn)波場(chǎng)值的差商代替了偏微分方程的微商，將上三個(gè)式子代入(4-1)式中得：(4-7)式中為介質(zhì)速度的空間離散值是空間離散步長(zhǎng)為時(shí)間采樣率第三十頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日31同理可得空間四階精度的差分格式為：第三十一頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日32

同理可得時(shí)間二階、空間四階精度的聲波方程差分格式為：(4-8)第三十二頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日33為震源函數(shù)，一般使用一個(gè)理論的雷克型子波代替，即：為時(shí)間為中心頻率，一般取為20-40HZ為控制頻帶寬度的參數(shù)，一般取2-5確定震源位置第三十三頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日344.1穩(wěn)定性條件

對(duì)于特定的偏微分方程只有特定的幾種有限差分格式是無(wú)條件或有條件穩(wěn)定的，（4-7）、（4-8）式即是已被證明的有條件穩(wěn)定格式，其穩(wěn)定性條件分別為：(4-9)(4-10)第三十四頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日354.2頻散關(guān)系式

同時(shí)，在差分計(jì)算過(guò)程中，如果空間和時(shí)間采樣間隔不當(dāng)，就會(huì)導(dǎo)致波形畸變，甚至派生出多個(gè)同相軸，這種現(xiàn)象稱(chēng)為頻散現(xiàn)象。偏微分方程本身沒(méi)有頻散，網(wǎng)格頻散是由于差分方程近似替代微分方程引起的。當(dāng)波場(chǎng)按照波動(dòng)方程所表示的微分方程傳播時(shí)，波場(chǎng)的傳播速度就是波動(dòng)方程中的速度，但當(dāng)波場(chǎng)按照波動(dòng)方程離散化后的差分方程傳播時(shí)，波場(chǎng)的傳播速度就不再是波動(dòng)方程中的速度了，而是與波的頻率和波數(shù)有關(guān)的函數(shù)，具有不同頻率和波數(shù)的波有不同的傳播速度，因而在傳播過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)頻散，發(fā)生畸變，且隨走時(shí)的增加而增加。第三十五頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日36Dablain給出了一個(gè)能有效減少頻散的經(jīng)驗(yàn)公式為：為Nyquist頻率，一般取為主頻的兩倍G為每個(gè)波長(zhǎng)所占的網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)，時(shí)間、空間為兩階差分的情況G取8，而時(shí)間、空間為四階差分的情況G取4。(4-9)第三十六頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日37

當(dāng)所給震源函數(shù)、空間網(wǎng)格間隔、時(shí)間采樣間隔以及地下介質(zhì)的波速滿足穩(wěn)定性條件及頻散關(guān)系式時(shí)，就可以應(yīng)用(4-7)式遞推求得所給的速度—深度模型內(nèi)任意時(shí)刻、任何采樣點(diǎn)的波場(chǎng)值，并可最終得到一個(gè)人工合成的地震記錄。第三十七頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日38*4.3 邊界條件

在地震波場(chǎng)正演模擬中，必須引入人工邊界來(lái)界定計(jì)算區(qū)域。人工邊界若不做特殊處理，就會(huì)隨著波場(chǎng)的遞推計(jì)算在邊界上產(chǎn)生虛假反射波從而擾亂波場(chǎng)，人工邊界的處理是地震波場(chǎng)正演數(shù)值模擬的一個(gè)重要課題。

本次作業(yè)不涉及邊界條件的使用，可通過(guò)增大模型來(lái)避免邊界反射干擾，有精力的同學(xué)可通過(guò)查閱資料獲得解決邊界問(wèn)題的方法。第三十八頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日39本次大作業(yè)的具體要求為：1、應(yīng)用聲波方程作為正演模擬的波動(dòng)方程；2、將所提供震源函數(shù)離散后繪圖；3、給定兩個(gè)二維速度-深度模型（一個(gè)小模型；一個(gè)大模型），繪出圖形來(lái)；4、對(duì)于小模型，整個(gè)區(qū)域的速度值可設(shè)為常數(shù)，即只有一種介質(zhì)，將震源點(diǎn)放在模型中間，分別記錄兩個(gè)時(shí)刻的波前快照（即該時(shí)刻區(qū)域內(nèi)所有網(wǎng)格點(diǎn)的波場(chǎng)值）。第一時(shí)刻為地震波還未傳播到邊界上的某時(shí)刻，第二時(shí)刻為地震波已經(jīng)傳播到邊界上的某時(shí)刻，體會(huì)其人工邊界反射；第三十九頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日405、對(duì)于大模型，定義為水平層狀速度模型（至少兩層）；做兩個(gè)實(shí)驗(yàn)，一是將震源點(diǎn)放在區(qū)域表層任一點(diǎn)，記錄下某些時(shí)刻的波前快照，體會(huì)地震波在兩種介質(zhì)的分界面上傳播規(guī)律；二是合成一個(gè)地震記錄，即記錄下與震源同一深度點(diǎn)的各點(diǎn)所有時(shí)刻的波場(chǎng)值，并指出記錄上的同向軸分別對(duì)應(yīng)哪些波？6、要附有實(shí)驗(yàn)報(bào)告，格式不固定，內(nèi)容主要涉及實(shí)驗(yàn)分析、對(duì)