圓冪定理 教學(xué)課件

1.3.1圓冪定理自學(xué)導(dǎo)引1．相交弦定理

(1)定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的

相等．

(2)如圖所示，AB、CD是⊙O的兩條弦，

AB、CD相交于點P，則PA·PB＝________.兩條線段長的積PC·PD2．切割線定理

(1)切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的___________．

(2)如圖所示，PBA是⊙O的割線，PC是⊙O的切線，則PC2＝__________.比例中項PA·PB

已知⊙(O，r)，通過一定點

的任意一條割線交圓于A，B兩點，則：當(dāng)點P在圓外時，k=PO2-r2；當(dāng)點P在圓內(nèi)時，k=r2-PO2；當(dāng)點P在⊙O上時，k=0.我們稱定值k為點

P對⊙O的

“冪”3.圓冪定理：例1.

已知圓中兩條弦相交，第一條弦被交點分為

12cm和16cm兩段，第二條弦的長度為32cm，

求第二條弦被交點分成的兩端的長.例題解析解：

設(shè)第二條弦被交點分成的一端長為

x

cm，

則另

一段長為

(32–x)

cm，根據(jù)相交弦定理，有

x

(32–x)=12×16，即x2–32x+192=0.

解得x1=8或x2=24.因此

32–x1=24，32–x2=8.

另一條弦被交點分成的兩端長分別為8cm

，24cm.例2.

已知：線段a，b(如圖)求作：線段c，使c2=ab.作法：1.作線段AP=a；2.延長AP到點B，使PB=b；3.以AB為直徑作半圓；4.過點P作PC⊥AB，交半圓于點C.PC就是a，b的比列中項c.例3.

已知如圖，在⊙O中，C是⊙O上異于A，B的一點，弦AB的延長線與過點C的切線相交于P，過B作⊙O的切線交CP于點D，且∠CDB=90°，CD=3，PD=4.求⊙O的弦AB的長.解：因為DC切⊙O于點C，DB切⊙O于點B，所以CD=BD=3，因為∠CDB=90°，PD=4，所以題型一相交弦定理的應(yīng)用【例1】

在半徑為12cm的圓中，垂直平分半徑的弦的長為(

)．

A．3cm

B．27cm

C．12cm

D．6cm

[思維啟迪]

準(zhǔn)確使用相交弦定理解決此題．答案C反思感悟用相交弦定理解決此類問題步驟：①結(jié)合圖形，找準(zhǔn)分點及線段被分點所分成的線段；②正確應(yīng)用相交弦定理列出關(guān)系式；③代入數(shù)值運(yùn)算，求出正確的答案．【變式1】

如圖所示，已知AP＝3cm，PB＝5cm，CP＝2.5cm，求CD.

解由相交弦定理，得PA·PB＝PC·PD.

將PA＝3cm，PB＝5cm代入上式，得PD＝6cm.

所以CD＝CP＋PD＝6＋2.5＝8.5(cm)．題型二切割線定理的應(yīng)用【例2】

如圖，AD為⊙O的直徑，AB為⊙O的切線，割線BMN交AD的延長線于C，且BM＝MN＝NC，

若AB＝2.求:

(1)BC的長；

(2)⊙O的半徑r.反思感悟(1)應(yīng)用切割線定理的一般步驟：①觀察圖形，尋找切割線定理成立的條件；②找準(zhǔn)相關(guān)線段的長度，列出等式；③解方程，求出結(jié)果．(2)應(yīng)用切割線定理及割線定理的前提條件：只有從圓外一點才可能產(chǎn)生割線定理或切割線定理，切割線定理是指一條切線和一條割線，而割線定理則是指兩條割線，只有弄清前提，才能正確運(yùn)用定理．【變式2】

如圖，已知Rt△ABC的兩條直角邊AC、BC的長分別為3cm、4cm，以AC為直徑作圓與斜邊AB交于點D，求BD的長．【考題1】

(2012·北京高考)如圖，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，以BD為直徑的圓與BC交于點E，則(

)．

A．CE·CB＝AD·DB

B．CE·CB＝AD·AB

C．AD·AB＝CD2

D．CE·EB＝CD2

解析∵CD⊥AB，∴以BD為直徑的圓與CD相切．∴CD2＝CE·CB.在Rt△ABC中，CD為斜邊AB上的高，有