導數(shù)專題-零點專練-2023屆高考數(shù)學二輪復習（含答案詳解）

導數(shù)專題—零點專練-2023屆高考數(shù)學二輪復習導數(shù)專題——零點專練1.已知函數(shù)在處取得極值．當時，求曲線在處的切線方程；若函數(shù)有三個零點，求實數(shù)的取值范圍．2.若函數(shù)，當時，函數(shù)有極值．求函數(shù)的極大值；若方程在上有三個零點，求實數(shù)的取值范圍．3.函數(shù)．

討論函數(shù)的極值；

當時，求函數(shù)的零點個數(shù)．4.已知函數(shù)．若在處取得極小值，求實數(shù)的值；當時，設函數(shù)，討論的零點個數(shù)．5.已知函數(shù)，．若，討論在區(qū)間上的單調性；若，是關于的方程的兩個相異實根，且，是的兩個零點，證明：．6.已知函數(shù)．根據(jù)函數(shù)單調性的定義，研究的單調性．若有唯一零點，求的值．7.已知函數(shù)．

設，．

求方程的根；

若對于任意，不等式恒成立，求實數(shù)的最大值；

若，，函數(shù)有且只有個零點，求的值．8.已知函數(shù)，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，．求曲線在點處的切線方程；證明：函數(shù)有唯一零點；判斷方程實數(shù)根的個數(shù)．9.已知函數(shù)．若有兩個零點，的取值范圍若方程有兩個實根、，且，證明：．答案和解析1.【答案】解：由題意可得，

所以，

即，

即，經(jīng)檢驗符合題意所以．

當時，，，

所以，，

所以在處的切線方程為，即．

令，則設，

則與的圖象有三個交點．

，

及時，

時，

所以在、遞增，在遞減，

又因為，．

又當時，；

當時，，

要使函數(shù)有三個零點，只需，即．

所以的取值范圍為．

2.【答案】解：因為，所以，由題意知解得所以所求的解析式為；所以，令，解得或，當或時，

當時，

即在和上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，函數(shù)取得極大值，所以，由可知在和上單調遞增，在上單調遞減，又，，，，函數(shù)圖象如下所示：

因為方程在上有三個零點，即與在上有個交點，由函數(shù)圖象可知，即．3.【答案】解：，

當時，，在上為單調增函數(shù)，無極值，

當時，

由，，在上為單調增函數(shù)，

由，，在上為單調減函數(shù)，

所以，，無極大值．

綜上所述：當時，無極值，

當時，，無極大值．

由知當時，在上為單調增函數(shù)，

在上為單調減函數(shù)，，

而，當時，，

當時，；

當，即時，無零點，

當，即時，有個零點，

當，即時，有個零點，

綜上：當時，無零點，

當時，有個零點，

當時，有個零點．

4.【答案】解：因為，

所以，得，

因為，

當時，，當時，，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

所以在處取得極小值，符合題意，

故實數(shù)的值為．

根據(jù)題意，函數(shù)的零點問題轉化為直線與函數(shù)圖象的公共點問題，

由可知當時，在上單調遞減，在上單調遞增，且，

又當趨近于時，，且趨近于，當趨近于時，趨近于，

當或時，直線與函數(shù)的圖象有一個公共點，函數(shù)的零點個數(shù)為，

當時，直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點，函數(shù)的零點個數(shù)為，當時，直線與函數(shù)的圖象沒有公共點，函數(shù)的零點個數(shù)為．

5.【答案】解：，，令，解得，

當時，，有，單調遞增，

當時，，有，單調遞減，

，有，單調遞增，

綜上所述，當時，在上單調遞增

當時，在上單調遞減，在上單調遞增．

先證．

方程等價于，

令，則，為曲線與直線交點的橫坐標，

易知，令，解得，

當，有，單調遞減且，當，有，單調遞增，

又，要使曲線與直線有兩個交點，可設，

，，即，

令，，則，

在上單調遞減，

，，即，

，即．

再證．

易知，令，解得，

當，有，單調遞增，

當，有，單調遞減，

可設，要證，即證．

在單調遞增，即證，

令，

則，

易得，當，，單調遞增，

，，即，

，綜上所述，．

6.【答案】解的定義域為，對任意的，有，

所以函數(shù)為偶函數(shù)

考慮在上的單調性：，，且，

有

由，得，，，于是，

即，所以在上單調遞增．

又因為是偶函數(shù)，所以在上單調遞減．

綜上所述，在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減．

解法一：因為

將的圖象向左平移個單位得到，

對任意的，有，故是偶函數(shù)．

要使有唯一零點，即有唯一零點，而的圖象關于軸對稱，

故，求得．

由可知，當時，在區(qū)間上單調遞增，在上單調遞減，

又，故可知有唯一零點，符合題意，故．

解法二：因為，

，

所以，即為的對稱軸．

要使函數(shù)有唯一零點，所以的零點只能為，

即，解得

由可知，當時，在區(qū)間上單調遞增，在上單調遞減，

又，故可知有唯一零點，符合題意，故．

7.【答案】解：函數(shù)．

設，．

方程，即，即，

可得，解得；

不等式恒成立，

即恒成立．

令，．

不等式化為在時恒成立．

可得：或

即或，

．

實數(shù)的最大值為；

，

，

，可得，

令，則是遞增函數(shù)，

又，，

因此，時，，

因此時，，，則．

時，，，則，

則在單調遞減，單調遞增，因此的最小值為

若，時，，，則，

因此當，且時，，因此在有零點，

則至少有兩個零點，與條件矛盾．

若，函數(shù)有且只有個零點，的最小值為，可得，

由，

因此，因此，則，即，，則．

可得．

8.【答案】解：因為，所以．

所以，，

所以曲線點處的切線方程．

因為的定義域為，

當時，，

當時，由，

所以在上單調遞增，

又，，且函數(shù)圖象連續(xù)不間斷，

所以，有．

綜上所述，函數(shù)在上有唯一的零點．

由可知：在上恒小于零，在上恒大于零．

設函數(shù)，

當時，，

所以，

因為，，

所以，即函數(shù)在上單調增．

又因為，

，

所以函數(shù)在上存在唯一零點，即方程在上存在唯一的根．

當時，，

由于，，則，

所以，

所以函數(shù)在上無零點，即方程在上沒有根．

綜上所述，方程有且只有一個實根．

9.【答案】解：函數(shù)的定義域為，

當時，函數(shù)無零點，不合題意，所以．

由，可得，

設函數(shù)，其中，

所以直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，

，由可得，列表如下：增函數(shù)極大值減函數(shù)所以函數(shù)的極大值，如下圖所示：

且當時，，

由圖可知：當時，即當時，直線與函數(shù)