第5章相交與平行線5.12垂線

5．1．2垂線★垂線的定義兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就叫這兩條直線互相垂直．其中一條直線叫另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫垂足.★垂線的性質(zhì)：在同一平面內(nèi)，過(guò)

或

一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線 垂直．直線外直線上★垂線段：過(guò)直線外一點(diǎn)畫已知直線的垂線，以這點(diǎn)和垂足為端點(diǎn)的線段就是這點(diǎn)到這條直線的垂線段．直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連結(jié)的所有線段中，

最短．★點(diǎn)到直線的距離：從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度．注：“垂線段”和“點(diǎn)到直線的距離”是兩個(gè)不同的概念．垂線段是圖形，點(diǎn)到直線的距離是一個(gè)長(zhǎng)度，是一個(gè)數(shù)量，不是垂線段這個(gè)圖形本身，但在求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，需先作出垂線段，然后計(jì)算或度量出該垂線段的長(zhǎng)度．垂線段例1讀句子畫圖，并回答問(wèn)題：(1)作∠BAC=90°，交直線l于點(diǎn)B，C，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥l于點(diǎn)D；解：(1)如圖5-1-15；(2)根據(jù)所畫圖形，判斷下列說(shuō)法是否正確.①線段BC的長(zhǎng)叫點(diǎn)B到直線AC的距離.()②線段AD的長(zhǎng)叫點(diǎn)A到直線l的距離.()③線段AD叫點(diǎn)B到直線AD的距離.()④線段AB，AC，AD中，AD最短.()×√×√1．(2017北京)如圖5-1-16所示，點(diǎn)P到直線l的距離是()A．線段PA的長(zhǎng)度B．線段PB的長(zhǎng)度C．線段PC的長(zhǎng)度D．線段PD的長(zhǎng)度B2．如圖5-1-17，AC⊥CD，∠BED=90°，回答下列問(wèn)題：(1)∠ACD=

度；(2)直線AD與BE的位置關(guān)系是

；90互相垂直(3)點(diǎn)B到直線AD的距離是線段

的長(zhǎng)度，點(diǎn)D到直線AB的距離是線段

的長(zhǎng)度；(4)在線段DA、DB、DC中，最短的線段是

；在線段BA、BE、BD中，線段

最短，理由是

.BEDCDCBE垂線段最短3．用三角尺在圖5-1-18中分別過(guò)點(diǎn)C畫AB的垂線段．解：如圖.例2如圖5-1-19，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OM⊥AB．(1)若∠1=∠2，求∠NOD的度數(shù)；解：(1)∵OM⊥AB，∴∠BOM=∠AOM=90°．∵∠AOM=∠1+∠AOC，∠1=∠2，∴∠AOM=∠2+∠AOC=90°，即∠CON=90°．∴∠NOD=∠COD-∠CON=90°.(2)若∠1=∠BOC，求∠MOD的度數(shù)．(2)由題意得∠BOC-∠1=90°，∴∠1=∠BOC=∠BOC-90°，∴∠BOC=120°，∴∠1=∠BOC=30°，∴∠MOD=∠COD-∠1=150°．4．如圖5-1-20，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，EO⊥CD于點(diǎn)O，∠AOE=36°，則∠BOD的度數(shù)為()A．36°B．44°C．50°D．54°D5．如圖5-1-21，∠PQR=138°，SQ⊥QR，QT⊥PQ，則∠SQT=

.42°6．如圖5-1-22，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠AOC

與∠AOD的度數(shù)比為4∶5，OE⊥AB，OF平分∠DOB，求∠EOF的度數(shù)．解：設(shè)∠AOC=4x，則∠AOD=5x.∵∠AOC+∠AOD=180°，∴4x+5x=180°，解得x=20°，∴∠AOC=4x=80°，∴∠BOD=80°.∵OE⊥AB，∴∠BOE=90°.∵OF平分∠DOB，∴∠BOF=∠BOD=40°，∴∠EOF=∠BOE-∠BOF=50°．C1．已知直線AB、CB、l在同一平面內(nèi)，若AB⊥l，垂足為B，CB⊥l，垂足也為B，則符合題意的圖形可以是()2．下列說(shuō)法正確的是()A．有且只有一條直線垂直于已知直線B．從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做這點(diǎn)到這條直線的距離C．互相垂直的兩條線段一定相交D．直線外一點(diǎn)A與直線上各點(diǎn)連結(jié)而成的所有線段中最短線段的長(zhǎng)是3cm，則點(diǎn)A到該直線的距離大于3cmB3．在直線AB上任取一點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作射線OC、OD，使OC⊥OD，當(dāng)∠AOC=30°時(shí)，∠BOD的度數(shù)是()A．60°B．120°C．60°或90°D．60°或120°D4．如圖5-1-23，計(jì)劃把河中的水引到水池C中，可以先過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，然后沿CD開(kāi)渠，可使所開(kāi)的渠最短，你認(rèn)為這種設(shè)計(jì)方案的根據(jù)是

.垂線段最短5．如圖5-1-24，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足為D．(1)點(diǎn)C到AB的垂線段是線段AB；(2)點(diǎn)A到BC的距離是線段AD；(3)線段AB的長(zhǎng)度是點(diǎn)B到AC的距離；(4)∠BAD=∠C．上面的結(jié)論中，正確的有

(填序號(hào))．(3)(4)6．如圖5-1-25，三條直線AB、CD、EF相交于點(diǎn)O，若∠1∶∠2∶∠3=1∶2∶3，則∠2的度數(shù)為

，直線AB與CD的位置關(guān)系是

.60°垂直7．如圖5-1-26，點(diǎn)O是直線AB上一點(diǎn)，∠AOC= 40°，OD平分∠AOC，∠COE=70°．(1)請(qǐng)你說(shuō)明DO⊥OE；解：(1)∵OD平分∠AOC，∴∠DOC=∠AOC=20°．∵∠COE=70°，∴∠DOE=90°，即DO⊥OE．(2)OE平分∠BOC嗎？為什么？(2)OE平分∠BOC．理由如下：∵∠AOC+∠COE+∠BOE=180°，∠AOC=40°，∠COE=70°，∴∠BOE=70°，即∠BOE=∠COE，∴OE平分∠BOC．8．如圖5-1-27，在這個(gè)圖形中完成下列作圖：(1)作出點(diǎn)A到BC的垂線段AD，并量出點(diǎn)A到直線BC的距離；解：(1)如圖，線段AD是點(diǎn)A到直線BC的垂線段，而點(diǎn)A到直線BC的距離是指垂線段AD的長(zhǎng)度，約為0.9cm．(2)過(guò)點(diǎn)B作AC的垂線，垂足為E；過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為F；(2)畫一條線段或射線的垂線，就是畫這條線段或射線所在直線的垂線，因此垂足可能在線段或線段的延長(zhǎng)線上．在本題中作垂線時(shí)，分別將BA、CA畫長(zhǎng)一些，即延長(zhǎng)線段BA、CA，如圖．(3)延長(zhǎng)段線DA、CF、BE，你會(huì)發(fā)現(xiàn)什么有趣的結(jié)論？(3)延長(zhǎng)DA、CF、BE后，可以發(fā)現(xiàn)它們交于同一點(diǎn)G．9．如圖5-1-28，直線AB、CD、EF相交于點(diǎn)O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD=28°，則∠AOG的度數(shù)為()A．56°B．59°C．60°D．62°B10．如圖5-1-29，三條直線a、b、c兩兩相交，且b⊥c，若∠1=∠3，則∠2=

．120°11．(1)如圖5-1-30，直線AB、CD、EF相交于點(diǎn)O，CD⊥AB，∠AOE∶∠AOD=3∶5.求∠BOF、∠DOF的度數(shù)；解：∵CD⊥AB，∴∠AOD=90°.又∵∠AOE∶∠AOD=3∶5，∴∠AOE=54°，∴∠BOF=∠AOE=54°，∠DOF=∠BOD-∠BOF=36°.(2)如圖5-1-31，直線AB、CD、EF相交于點(diǎn)O，EF⊥AB，OG為∠COF的平分線，若∠BOC∶ ∠COG=5∶1．求∠DOF的大?。猓骸逜B⊥EF，∴∠BOF=90°.∵∠BOC∶∠COG=5∶1，OG為∠COF的平分線，∴∠COG∶∠COF=1∶2，∴∠COG∶∠BOF=1∶3，∴∠COG=∠BOF=30°，∴∠COF=60°，∴∠DOF=180°-∠COF=120°.12．如圖5-1-32①②所示，將兩個(gè)相同三角尺的兩個(gè)直角頂點(diǎn)O重合在一起，像圖5-1-32①②那樣放置．(1)若∠BOC=60°，如圖①，猜想∠AOD的度數(shù)；解：(1)∵∠AOB=90°，∠BOC=60°，∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=30°．又∵∠COD=90°，∴∠AOD=∠AOC+∠COD=120°．(2)若∠BOC=70°，如圖②，猜想∠AOD的度數(shù)；(2)∵∠AOB+∠COD+∠BOC+∠AOD=360°，∠AOB=90°，∠COD=90°，∠BOC=70°，∴∠AOD=360°-∠AOB-∠COD-∠B