圖形變換共頂點旋轉(zhuǎn).知識精講(2023-2023)

共頂點旋轉(zhuǎn)共頂點旋轉(zhuǎn)中考中考大綱中考內(nèi)容中考要求ABC圖形的旋轉(zhuǎn)了解圖形的旋轉(zhuǎn)，理解對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角彼此相等的性質(zhì)；會識別中心對稱圖形能按要求作出簡單平面圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形，能依據(jù)旋轉(zhuǎn)前、后的圖形，指出旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角能運用旋轉(zhuǎn)的知識解決簡單問題知識網(wǎng)絡(luò)圖知識網(wǎng)絡(luò)圖知識精講知識精講一、旋轉(zhuǎn)1、定義把一個圖形繞著某一點轉(zhuǎn)動一個角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)，點叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角，如果圖形上的點經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄c，那么這兩個點叫做這個旋轉(zhuǎn)的的對應(yīng)點．如以下圖．【注意】1、研究旋轉(zhuǎn)問題應(yīng)把握兩個元素：旋轉(zhuǎn)中心與旋轉(zhuǎn)角．2、每一組對應(yīng)點所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)角相等．2、性質(zhì)〔1〕旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形是全等的；〔進(jìn)而得到相等的線段、相等的角〕〔2〕旋轉(zhuǎn)前后兩個圖形對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；〔進(jìn)而得到等腰三角形〕〔3〕對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角都等于旋轉(zhuǎn)角；〔假設(shè)特殊角那么得到等邊三角形、等腰直角三角形〕3、作圖的重要條件由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，旋轉(zhuǎn)作圖必須具備兩個重要條件〔1〕旋轉(zhuǎn)中心〔2〕旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)角度．4、作圖的根本步驟具體步驟分以下幾步連：即連接圖形中每一個關(guān)鍵點與旋轉(zhuǎn)中心．轉(zhuǎn)：即把連線按要求繞旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)過一定角度〔作旋轉(zhuǎn)角〕截：即在角的另一邊上截取關(guān)鍵點到旋轉(zhuǎn)中心的距離，得到各點的對應(yīng)點．連：即連接所得到的各點．二、中心對稱1、中心對稱的定義把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做中心對稱點，這兩個圖形中的對應(yīng)點叫做關(guān)于中心的對稱點〔如以下圖〕【注意】1、圖形成中心對稱是旋轉(zhuǎn)角為定角〔〕的旋轉(zhuǎn)問題，它是一種特殊的旋轉(zhuǎn)，反映的是兩個圖形的一種特殊關(guān)系．2、中心對稱呼明的是兩個圖形的特殊位置關(guān)系．2、中心對稱的性質(zhì)關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經(jīng)過對稱中心，而且被對稱中心所平分．關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等圖形．關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對應(yīng)線段平行〔或在同一直線上〕且相等．如果連接兩個圖形的對應(yīng)點的線段都經(jīng)過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形一定關(guān)于這一點成中心對稱．3、中心對稱圖形把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．〔如以下圖〕4、中心對稱與中心對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系中心對稱是指兩個圖形的關(guān)系，中心對稱圖形是指具有某種性質(zhì)的一個圖形．假設(shè)把中心對稱圖形的兩個局局部別看作兩個圖形，那么他們成中心對稱；假設(shè)把中心對稱的兩個圖形看作一個整體，那么成為中心對稱圖形．5、關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特征兩個點關(guān)于原點對稱時，他們坐標(biāo)符號相反，反過來，只要兩個點的坐標(biāo)符號相反，那么兩個點關(guān)于原點對稱．6、中心對稱圖形與旋轉(zhuǎn)對稱圖形的比較名稱定義區(qū)別聯(lián)系旋轉(zhuǎn)對稱圖形如果一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)一定角度〔小于周角〕后能與原圖形完全重合，那么這個圖形叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形旋轉(zhuǎn)角度不一定是旋轉(zhuǎn)對稱圖形只有旋轉(zhuǎn)才是中心對稱圖形，而中心對稱圖形一定是旋轉(zhuǎn)對稱圖形中心對稱圖形如果一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)后能與自身重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形必須旋轉(zhuǎn)7、中心對稱圖形與軸對稱圖形比較名稱定義根本圖形區(qū)別舉例中心對稱圖形如果一個圖形繞著某點旋轉(zhuǎn)后能與自身重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)線段、平行四邊形、矩形、菱形、圓軸對稱圖形如果一個圖形沿某一條直線翻折后，直線兩旁的局部能夠互相重合，那么這樣的圖形叫做軸對稱圖形沿某一條直線翻折〔對折〕線段、等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圓三、共頂點旋轉(zhuǎn)1、共頂點旋轉(zhuǎn)三角形有出現(xiàn)一個公共的頂點，兩個三角形可以通過旋轉(zhuǎn)相互得到，這類題目需要找到兩個旋轉(zhuǎn)三角形或者通過作出輔助線找到兩個旋轉(zhuǎn)三角形．【注意】以上給出了各種圖形連續(xù)變化圖形，圖中出現(xiàn)的兩個陰影局部的三角形是全等三角形，此模型需要注意的是利用“全等三角形〞的性質(zhì)進(jìn)行邊與角的轉(zhuǎn)化．證明的根本思想“SAS〞．【例題】如圖，等邊三角形與等邊共頂點于點．求證：．【答案】∵是等邊三角形，∴，．∴，同理，．∴在與 中，∴，∴．四、費馬點與最值1、三線共點問題圖形中出現(xiàn)有公共端點的相等線段，可考慮將含有相等線段的圖形繞公共端點旋轉(zhuǎn)兩相等線段的夾角后與另一相等線段重合．2、與共用頂點，固定將繞點旋轉(zhuǎn)過程中的，會出現(xiàn)的最大值與最小值，如圖．3、費馬點的定義到三個定理的三條線段之和最小，夾角都為°．旋轉(zhuǎn)與最短路程問題主要是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為兩點之間線段最短的問題，同時與旋轉(zhuǎn)有關(guān)路程最短的問題，比較重要的就是費馬點問題4、費馬點的結(jié)論〔1〕平面內(nèi)一點到△ABC三頂點的之和為，當(dāng)點P為費馬點時，距離之和最?。?〕三內(nèi)角皆小于120°的三角形，分別以,,為邊，向三角形外側(cè)做正三角形,,然后連接,,,那么三線交于一點,那么點就是所求的費馬點．〔3〕假設(shè)三角形有一內(nèi)角大于或等于120度,那么此鈍角的頂點就是所求的費馬點．〔4〕當(dāng)為等邊三角形時,此時內(nèi)心與費馬點重合【例題】下面簡單說明如何找點使它到三個頂點的距離之和最?。窟@就是所謂的費爾馬問題．【解析】如圖1，把繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AP′C′，連接PP′．那么△APP′為等邊三角形，AP=PP′，P′C′=PC，所以=PP′+PB+P′C′．點C′可看成是線段AC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)60°而得的定點，BC′為定長，所以當(dāng)B、P、P′、C′四點在同一直線上時，最?。@時∠BPA=180°-∠APP′=180°-60°=120°，∠APC=∠AP′C′=180°-∠AP′P=180°-60°=120°，∠BPC=360°-∠BPA-∠APC=360°-120°-120°=120°因此，當(dāng)?shù)拿恳粋€內(nèi)角都小于120°時，所求的點P對三角形每邊的張角都是120°，可在AB、BC邊上分別作120°的弓形弧，兩弧在三角形內(nèi)的交點就是P點；當(dāng)有一內(nèi)角大于或等于120°時，所求的P點就是鈍角的頂點．費爾馬問題告訴我們，存在這么一個點到三個定點的距離的和最小，解決問題的方法是運用旋轉(zhuǎn)變換．解題方法技巧解題方法技巧1、利用旋轉(zhuǎn)思想構(gòu)造輔助線〔1〕根據(jù)相等的線段先找出被旋轉(zhuǎn)的三角形．〔2〕根據(jù)對應(yīng)邊找出旋轉(zhuǎn)角度，畫出旋轉(zhuǎn)三角．2、四大旋轉(zhuǎn)全等模型〔關(guān)鍵找伴隨全等三角形〕等腰三角形、等腰直角三角形、等邊三角形伴隨旋轉(zhuǎn)出全等，處于各種位置的旋轉(zhuǎn)模型，及殘缺的旋轉(zhuǎn)模型都要能很快看出來〔1〕等腰三角形旋轉(zhuǎn)模型圖〔共頂點旋轉(zhuǎn)等腰出伴隨全等〕〔2〕等邊三角形旋轉(zhuǎn)模型圖〔共頂點旋轉(zhuǎn)等邊出伴隨全等〕〔3〕等腰直角旋轉(zhuǎn)模型圖〔共頂點旋轉(zhuǎn)等腰直角出伴隨全等〕〔4〕不等邊旋轉(zhuǎn)模型圖〔共頂點旋轉(zhuǎn)不等腰出伴隨相似〕〔5〕正方形共頂點旋轉(zhuǎn)3、旋轉(zhuǎn)秘籍〔1〕圖形中出現(xiàn)等腰三角形，?？紤]將以腰為邊的某三角形繞等腰三角形的頂角所在的頂點旋轉(zhuǎn)一頂角后與另一腰重合．〔1〕圖形中出現(xiàn)等邊三角形，常考慮將含有等邊三角形邊長的某個三角形繞頂點旋轉(zhuǎn)角后與另一邊重合．〔2〕圖形中出現(xiàn)正方形時，?？紤]將含有正方形邊長的某個三角形繞頂點旋轉(zhuǎn)角后與另一邊重合．4、正方形等面積結(jié)論〔1〕〔2〕為中點，那么〔3〕為中點，5、等邊三角形手拉手共線的結(jié)論〔和均為等邊三角形，三點共線〕〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕，〔7〕為等邊三角形〔8〕平分〔9〕6、等腰直角三角形共頂點旋轉(zhuǎn)常見的變式〔1〕根本模型：和均為等腰直角三角形結(jié)論：，〔2〕變式一：在上面模型的根底上連接，分別取、、的中點、、，連接、結(jié)論：，〔3〕變式二：在上面模型的根底上連接、，那么和均為等腰直角三角形，如以下圖去掉別的線段結(jié)論：，〔4〕變式三：在上面模型的根底上分別取、的中點、，分別以、為邊作正方形結(jié)論：，7、等邊三角形共頂點旋轉(zhuǎn)常見的變式〔1〕根本模型：和均為等腰三角形結(jié)論：，與所夾銳角為〔2〕變式：在上面模型的根底上連接，分別取、、的中點、、，連接、結(jié)論：，8、等腰三角形共頂點旋轉(zhuǎn)常見的變式〔1〕根本模型：和均