2022年九年級上半年數(shù)學單元測試試卷帶解析及答案

2022年九年級上半年數(shù)學單元測試試卷帶解析及答案選擇題關于拋物線y=﹣2（x﹣1）2說法正確的是（）A.頂點坐標為（﹣2，1）B.當x＜1時，y隨x的增大而增大C.當x=0時，y有最大值D.拋物線的對稱軸為直線x=﹣21【答案】B【解析】拋物線y=-2（x-1）2，開口方向由m的值為（）A.0B.2C.﹣2D.﹣1或﹣a的大小判定，a是關于x的二次函數(shù)，則常數(shù)2【答案】C【解析】據(jù)二次函數(shù)的最高指數(shù)是2，二次項系數(shù)不等于0列出方程求解即可.由題意得，=2且m-2≠0，解得m1=2，m2=-2，且x≠2，∴m=-2．1故選C．選擇題已知拋物線y=x2﹣x﹣1，與x軸的一個交點為（m，0），則代數(shù)式m2﹣m+2017的值為（）A.2015B.2016C.2017D.2018【答案】D【解析】把（m，0）代入y=x2﹣x﹣1，可求得m2﹣m=1，然后把m2﹣m=1代入m2﹣m+2017計算即可∵拋物線y=x2﹣x﹣1，與x軸的一個交點為（.m，0），∴m2﹣m﹣1=0，∴m2﹣m=1，∴m2﹣m+2017=1+2017=2018，故選：D．選擇題如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，C作CD∥x軸，與拋物線交于點D，若OA=1，CD=4，則線段AB過點的長為（）A.2B.1C.3D.1.52【答案】A【解析】由題意得出點D與點C是拋物線上的對稱點，得出CD=2OA+AB，即可得出結果．∵對稱軸平行于y軸的拋物線與x軸交于點A、B，CD∥x軸，D與點C是拋物線上的對稱點，∴點∴CD=2OA+AB，∴AB=CD﹣2OA=4﹣2×1=2；故選：A．選擇題頂點是（2，﹣1）的拋物線的表達式是（）A.y=﹣（x﹣2）2﹣1B.y=（x+2）2﹣1C.y=3（x﹣2）2+1D.y=2（x﹣1）2+1【答案】A【解析】根據(jù)頂點是（2，﹣1）逐項分析即可.A.y=﹣（x﹣2）2﹣1的頂點是（2，-1），故符合題意；B.y=（x+2）2﹣1的頂點是（-2，-1），故不符合題意；C.y=3（x﹣2）2+1的頂點是（2，1），故不符合題意；D.y=2（x﹣1）2+1的頂點是（1，1），故不符合題意；故選：A．選擇題3

當m＜﹣1時，二次函數(shù)y=（m+1）x2﹣1的圖象一定經(jīng)過的象限是（）A.一、二B.三、四C.一、二、三D.一、二、三、四【答案】B【解析】由m＜﹣1可知拋物線開口向下，結合頂點坐標（0，-1）可判定拋物線經(jīng)過的象限.∵m＜﹣1，∴m+1＜0，∴拋物線開口向下，∵﹣1＜0，∴拋物線與y軸相交于負半軸，∴二次函數(shù)y=（m+1）x2﹣1的圖象一定經(jīng)過第三、四象限．故選：B．選擇題二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列說法：①2a+b=0；1≤x≤3時，y＜0；②當﹣③若（x1，y1）、（x2，y2）在函數(shù)圖象上，當x1＜x2時，y1＜y2④9a+3b+c=0其中正確的是（）4

A.①②④B.①②③C.①④D.③④【答案】C【解析】①由拋物線與x軸的兩交點坐標可求出拋物線的對稱軸為x=1，進而即可得出2a+b=0，①符合題意；②結合圖形即可得出當﹣1≤x≤3時，y≤0，②不符合題意；③根據(jù)二次函數(shù)的性質找出：當x≤1時，y值隨x的增大而減小，進而即可得出③不符合題意；④由（3，0）在拋物線上，代入后即可得出9a+3b+c=0，④符合題意．綜上即可得出結論．（只需分析①②利用排除法即可得出結論）解：①∵拋物線與x軸的交點坐標為（﹣1，0）、（3，0），∴拋物線的對稱軸為x=﹣＝=1，∴b=﹣2a，即2a+b=0，①符合題意；②∵拋物線與x軸的交點坐標為（﹣1，0）、（3，0），且拋物線開口向上，∴當﹣1≤x≤3時，y≤0，②不符合題意；③∵拋物線的對稱軸為x=1，且開口向上，x≤1時，y值隨x的增大而減小，x1＜x2≤1時，y1＞y2，③不符合題意；④當x=3時，y=9a+3b+c=0，∴當∴當5∴9a+3b+c=0，④符合題意．C．故選選擇題已知m＞2，點（m﹣2，y1），（m，y2）（m+2，y3）都在函數(shù)y=x2的圖象上，則（）A.y1＜y2＜y3B.y1＜y3＜y2C.y3＜y2＜y1D.y2＜y1＜y3【答案】A【解析】由m＞2，可知m﹣2＞0，從而點（m﹣2，y1），（m，y2）（m+2，y3）都在對稱軸的右側，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質解答即可.∵m＞2，∴m+2＞m＞m﹣2＞0，∴點（m﹣2，y1），（m，y2）（m+2，y3）都在對稱軸的右側，∵函數(shù)y=x2在對稱軸的右側y隨x的增大而增大，∴y1＜y2＜y3．故選：A．選擇題y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，當△ABC為直角三角形時，則（）A.ac=﹣1B.ac=1C.ac=±1D.無法確定【答案】A【解析】6

設出A、B兩點的坐標，根據(jù)根與系數(shù)的關系可得到AO?BO，且OC=|c|，利用相似三角形的判定與性質可得到AO、BO、CO之間的關ac的值．設A（x1，0），B（x2，0），由△ABC為直角三角形可知x1、x2系，可得到必異號，∴x1?x2=＜0，y軸相交于由于函數(shù)圖象與C點，所以C點坐標為（0，c），∵∠ACO+∠BCO=90o,∠ACO+∠∠CAO=90o,∴∠BCO=∠CAO,∴△ACO∽△CBO,∴|OC|2=|AO|?|BO|，即c2=|x1|?|x2|=||，故|ac|=1，ac=±1，由于＜0，所以ac=﹣1．故選：A．選擇題小明同學從如圖所示的二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象中，觀察得出了下面五條信息：①c＜0；②abc＞0；③2a﹣b=0；④a+b+c＞0；⑤當﹣3＜x＜1時，y＜0．你認為其中正確信息的個數(shù)有（）7A.2個B.3個C.4個D.5個【答案】B【解析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．①由圖示知，拋物線與y軸交于負半軸，則c＜0．故①正確；②由圖示知，拋物線的開口方向向上，則a＞0．對稱軸在y軸的左側，則a、b同號，則b＞0．所以abc＜0．故②錯誤；③由圖示知，對稱軸是：x=-=﹣1，則2a﹣b=0，故③正確；④由圖示知，當x=1時，y＞0，即a+b+c＞0．故④正確；⑤由都有，圖示知，當﹣3＜x＜1時，y＞0、y=0、y＜0的情況故⑤錯誤．綜上所述，正確的信息的個數(shù)是3個．故選：B．填空題拋物線y=﹣x2的開口方向是_____，對稱軸是_____，頂點坐標8是_____．【答案】向下y軸（0，0）．【解析】根據(jù)二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的性質解答即可.∵在y=﹣x2中，a=﹣＜0，∴拋物線開口向下，對稱軸為y軸，頂點坐標為（0，0），故答案為：向下；y軸；（0，0）．填空題商場某種商品平均每天可銷售30件，每件盈利50元，商場決定每件商品每降價1元，商場平均每件商品降價_____元時，商場采取適當?shù)慕祪r措施．經(jīng)調查發(fā)現(xiàn)，每天可多售出2件，據(jù)日盈利最多．【答案】17.5．【解析】此規(guī)律計算，設每件商品降價x元，所獲利潤為y，分別表示出每件商品售價和每天銷售量，再根據(jù)銷售額為售價乘以銷售量列出函數(shù)關系式，進而根據(jù)二次函數(shù)的性質求解即可.設每件商品降價x元，所獲利潤為y，則y=（50﹣x）（30+2x）=﹣2x2+70x+1500=﹣2（x﹣17.5）2+2112.5，∴當x=17.5時，W取得最大值，最大值為2112.5，9即每件商品降價17.5元時，商場日盈利達到最大，是2112.5元．故答案為：17.5．填空題如圖，拋物線y=ax2+bx+c與直線y=mx+n交于點A（﹣1.5，1），B（3，4），則關于x、y的方程組的解為_____．【答案】或．【解析】圖像的交點坐標.∵拋物線y=ax2+bx+c與直線y=mx+n交于點A（﹣1.5，1），B（3，4），∴關于x、y的方程組的解為或，故答案為或．填空題對稱軸平行于y軸的拋物線的頂點為點（2，3）且拋物線經(jīng)過點（3，1），那么拋物線解析式是______．【答案】y＝-2(x-2)2+3【解析】根據(jù)題意,設y=a(x?2)2+3,拋物線經(jīng)過點(3,1)，所以a+3=1，a=?2.10因此拋物線的解析式為：y=?2(x?2)2+3.故答案為：y=?2(x?2)2+3.填空題已知m是正實數(shù)，關于x的方程2x2﹣mx﹣30=0的兩個根為x1、x2，且5x1+3x2=0，在直角坐標系中，拋物線y=mx2+（4+k）x+k與x軸有_____個交點．【答案】1或2．【解析】由一元二次方程方程根與系數(shù)的關系可知x1+x2=，由因為﹣=，求出m的值后，根據(jù)根的判別式解答即可.∵關于x的方程2x2﹣mx﹣30=0的兩個根為x1、x2，∴x1+x2=，∵5x1+3x2=0，∴3x1+3x2+2x1=0，3×+2x1=0，x1=﹣，∵m＞0，=，x=，∴﹣﹣4m=﹣，解得：m=±4，∴m=4，11△=（4+k）2﹣4mk=16+8k+k2﹣16k=（k﹣4）2，當k=4時，△=0，拋物線y=mx2+（4+k）x+k與x軸有1個交點．當k≠4時，△＞0，拋物線y=mx2+（4+k）x+k與x軸有2個交點．故答案為：1或2．填空題二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，可知方程ax2+bx+c=0的一個根是x=3，那么方程的另一個根是_____．【答案】x=﹣1．【解析】解答本題首先需明確：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交點的橫坐標即為方程ax2+bx+c=0的根；由圖象可知，拋物線與x軸的一個交點是點（-1，0），且拋物線的對稱軸為x=1，只要求出（-1，0）關于x=1對稱的點的坐標即可完成解答∵對稱軸x=1，一個交點是（3，0），∴另一個交點的橫坐標為：x=1×2﹣3=﹣1，ax2+bx+c=0另一個根是x=﹣1，x=﹣1．.∴方程故答案為：12填空題請寫一個二次函數(shù)，滿足2個條件：（1）函數(shù)圖象開口向下；（2）1，2），該函數(shù)是_____．y=﹣x2+3（本題答案不唯一）．經(jīng)過點（﹣【答案】【解析】由圖像開口向下可知a的圖象如圖所示，有以下結論：①abc＞0，②a﹣b+c＜0，③2a=b，④4a+2b+c＞0，⑤若點（﹣2，）和（，）在該圖象上，則．其中正確的結論是（填入正確結論的序號）．【答案】②④．【解析】試題∵二次函數(shù)開口向下，且與y軸的交點在x軸上方，∴a＜0，c＞0，∵對稱軸為x=1，∴，∴b=﹣2a＞0，∴abc＜0，故①、③都不正確；∵當x=﹣1時，y＜0，∴a﹣b+c＜0，故②正確；x軸的2和3之間，由拋物線的對稱性可知拋物線與另一交點在13∴當x=2時，y＞0，∴4a+2b+c＞0，故④正確；∵拋物線開口向下，對稱軸為x=1，∴當x＜1時，2＜，∴，故⑤不正確；y隨x的增大而增大，∵﹣綜上可知正確的為②④，故答案為：②④．解答題如圖，二次函數(shù)y=x2﹣m2（m＞0且為常數(shù)）的圖象與點A、B（A在B左側），與y軸交于C．（1）求A，B，C三點的坐標（用含m的式子表示）；（2）若∠ACB=90°，求m的值．x軸交于【答案】(1)A（﹣1．【解析】（1）令y=0，解方程x2﹣m2=0，可求A和點B的坐標；令出點當x=0，解方程x2﹣m2=0，可求C的坐標；（2）由∠ACB=90°及二次函數(shù)的對稱性可證明△BOC是等腰直從而可得m2=m，進而可求出m的值.（1）當y=0時，x2﹣m2=0，解得x1=﹣m，x2=m，則A（﹣m，0），B（m，0），C（0，﹣m2）；(2)m的值為出點角三角形，m，0），B（m，0），當x=0時，y=x2﹣m2=﹣m2，則C（0，﹣m2）；14（2）∵∠ACB=90°，OC⊥AB，OA=OB，∴∠CBO=45o,∴△BOC是等腰直角三角形，∴OC=OB，∴m2=m，解得m1=0（舍去），m2=1，∴m的值為1．解答題如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝c，AC＝b，BC＝a，拋物線y＝ax2+bx﹣c與x軸的一個交點為（m，0）．（1）若四邊形ABCD是正方形，求拋物線y＝ax2+bx﹣c的對稱軸；（2）若m＝c，ac﹣4b＜0，且a，b，c為整數(shù)，求四邊形ABCD的面積．【答案】(1)x=；（2）.【解析】（1）由四邊形ABCD是正方形，可求出a與b的關系，進而可根據(jù)對稱軸方程求出對稱軸；（2）把（c，0）代入y=ax2+bx﹣c，整理得ac=16﹣4b，結合ac﹣4b＜0，可求b＞2，由求根公式得x1=﹣，x2=，解＞0，得b＜4，從而2＜b＜4，而b為整數(shù)，所以b=3，然后可求出a和c的值，15從而可證明四邊形ABCD是菱形，根據(jù)菱形的面積公式即可求出四邊形ABCD的面積．（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，AC=AB，即b=a=c，∴拋物線y=ax2+bx﹣c的對稱軸為直線x=﹣=﹣=﹣；（2）∵m=c，∴拋物線y=ax2+bx﹣c與x軸的一個交點為（c，0）．把（c，0）代入y=ax2+bx﹣c得a?c2+bc﹣c=0，∴ac+4b﹣16=0，∴ac=16﹣4b，∵ac﹣4b＜0，∴16﹣4b﹣4b＜0，解得b＞2，對于方程ax2+bx﹣c=0，∵△=b2+4ac=b2+4（16﹣4b）=（b﹣8）2，∴x=，解得x1=﹣，x2=，x軸的交點為（﹣，0），（，0），∴拋物線與而m=c＞0，∴＞0，解得b＜4∴2＜b＜4，而b為整數(shù)，∴b=3，16∴ac=16﹣4×3=4，而a、c為整數(shù)，∴a=1，c=4（舍去）或a=2，b=2，即平行四邊形ABCD中，AB=2，BC=2，AC=3，∴四邊形ABCD為菱形，連接BD交AC于O，則OA=OC=，BO=DO，在Rt△BOC中，BO=∴BD=2OB=，=，∴四邊形ABCD的面積=×3×=．解答題有一種市場均衡模型是用一次函數(shù)和二次函數(shù)來刻化的：根據(jù)市場調查，某種商品的市場需求量y1（噸）與單價x（百元）之間的關系可看作是二次函數(shù)y1=4﹣x2，該商品的市場供應量y2（噸）與單價x（百元）之間的關系可看作是一次函數(shù)y2=4x﹣1．（1）當需求量等于供應量時，市場達到均衡．此時的單價x（百元）稱為均衡價格，需求量（供應量）稱為均衡數(shù)量．求所述市場均衡模型的均衡價格和均衡數(shù)量．（2）當該商品單價為50元時，此時市場供應量與需求量相差多少噸？（3）根據(jù)以上信息分析，當該商品①供不應求②供大于求時，該商品單價分別會在什么范圍內(nèi)？17【答案】（1）所述市場均衡模型的均衡1百元和均衡數(shù)量為3噸；3）①供不應求時，y1＜y2，觀察圖象可知1＜x＜2．【解析】（1）令y1=y2，解方程4﹣x2=4x﹣1，即可求出均衡家，進而求出均衡數(shù)量；（2）把分別代入y1=4﹣x2，y2=4x﹣1，求出y2﹣y1的值，然后y2﹣y1即可；（3）（3）①供不應求時，即y1＞y2，觀察圖象可的答案；②供大于求時，即y1＜y2，觀察圖象可得答案．（1）令y1=y2，得到4﹣x2=4x﹣1，解得x=1或﹣5（舍棄），y2=4×1﹣1=3（噸）．答：所述市場均衡模型的均衡1百元和均衡數(shù)量為3噸．y1=3.75，y2=1，y2﹣y1=﹣2.75，（2）當x=0.5時，答：此時市場供應量與需求量相差﹣2.75噸．18（3）①供不應求時，由題意：y1＞y2，觀察圖象可知＜x＜1，1＜x＜2．②供大于求時，y1＜y2，觀察圖象可知解答題已知拋物線y=ax2+bx+c．（Ⅰ）若拋物線的頂點為A（﹣2，﹣4），拋物線經(jīng)過點B（﹣4，0）①求該拋物線的解析式；②連接AB，把AB所在直線沿y軸向上平移，l，點P是直線l上一動點．設以點A，B，O，P為頂點的四邊形的面積為S，點P的橫坐標使它經(jīng)過原點O，得到直線為x，當4+6≤S≤6+8時，求x的取值范圍；（Ⅱ）若a＞0，c＞1，當x=c時，y=0，當0＜x＜c時，y＞0，試比較ac與l的大y=x2+4x②當4+6≤S≤6+8時，x的取值范圍≤x≤（Ⅱ）ac≤1小，并說明理由．為是≤x≤或【解析】（I）①由拋物線的頂點為A（-2,-4）,可設拋物線（x+2）2-4,代入點B的坐標即可求出a值,此問得解,②根據(jù)點A、B出直線AB的解析式,進而可求l的解析式,分點P在第二象限及點P在第四象限兩種情況考慮：當點P,x＜0,通過分割圖面積法結合4+6≤S≤6+8,即可求出x的取值范圍,當點P在第四象,x＞0,通過分割圖形求面積法結的解析式為y=a的坐標利用待定系數(shù)法可求出直線在第二象限時形求限時19合4+6≤S≤6+8,即可求出x的取值范圍,綜上即可得出結論,（2）由當x=c時y=0,可得出b=-ac-1,由當0＜x＜c時y＞0,可得出拋物線的對稱軸x=≥c,進而可得出b≤-2ac,結合b=-ac-1即可得出ac≤1．（I）①設拋物線的解析式為y=a（x+2）2﹣4，∵拋物線經(jīng)過點B（﹣4，0），∴0=a（﹣4+2）2﹣4，解得：a=1，∴該拋物線的解析式為y=（x+2）2﹣4=x2+4x．②設直線AB的解析式為y=kx+m（k≠0），將A（﹣2，﹣4）、B（﹣4，0）代入y=kx+m，得：，解得：，∴直線AB的解析式為y=﹣2x﹣8．∵直線l與AB平行，且過原點，l的解析式為y=﹣2x．P在第二象限時，x＜0，如圖所示．∴直線當點S△POB=×4×（﹣2x）=﹣4x，S△AOB=×4×4=8，∴S=S△POB+S△AOB=﹣4x+8（x＜0）．∵4+6≤S≤6+8，∴，即，解得：≤x≤，是≤∴x的取值范圍x≤．20當點P′在第四象限時，A作AE⊥x軸，垂足為點E，過點P′作P′F⊥x軸，垂足F，則x＞0，過點為點S四邊形AEOP′=S梯形AEFP′﹣S△OFP′=（?x+2）﹣?（x?2x）=4x+4．∵S△ABE=×2×4=4，∴S=S四邊形AEOP′+S△ABE=4x+8（x＞0）．∵4+6≤S≤6+8，∴，即，解得：≤x≤，∴x的取值范圍為≤x≤．綜上所述：當4+6≤S≤6+8時，x的取值范圍為是≤x≤或≤x≤．（II）ac≤1，理由如下：∵當x=c時，y=0，∴ac2+bc+c=0，∵c＞1，∴ac+b+1=0，b=﹣ac﹣1．由x=c時，y=0，可知拋物線與x軸的一個交點為（c，0）．把x=0代入y=ax2+bx+c，得y=c，21∴拋物線與y軸的交點為（0，c）．∵a＞0，∴拋物線開口向上．∵當0＜x＜c時，y＞0，∴拋物線的對稱軸x=﹣≥c，∴b≤﹣2ac．∵b=﹣ac﹣1，∴﹣ac﹣1≤﹣2ac，∴ac≤1．解答題如圖，?ABCD位于直角坐標系中，AB=2，點D（0，1），以點為頂點的拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過x軸正半軸上的點A，B，CE⊥x軸E．（1）求點（2）將該拋物線向上平移x軸于點M，N．①求MN的長．P是新拋物線對稱軸上一動點，將線段AP繞點C于點A，B，C的坐標．m個單位恰好經(jīng)過點D，且這時新拋物線交②點A順時針旋轉60°得AQ，則OQ的最小值為（直接寫出答案即可）221）A（1，0），B（3，0），C（2，1）；（2）①MN＝；②【解析】（1）由?ABCD可知CD，進而求出E和C點坐標，由AB長從而求出AB點.（2）①由第一問解出拋物線方程，上移m更改拋物線方程，由其過D，進而求出上移后拋物線方程，再求MN.②根據(jù)三角函數(shù)，求出最小值.（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD=AB=2，∵CE⊥x軸，∴OE=2，∵點E是AB中點，∴AE=BE=1，∴OA=2﹣1=1．OB=OE+BE=3，∴A（1，0），B（3，0），∵D（0，1），∴C（2，1）；（2）由（1）知，拋物線C（2，1），的頂點的解析式為y=a（x﹣2）2+1，∴設拋物線∵A（1，0）在拋物線上，∴a（1﹣2）2+1=0，∴a=﹣1，23∴拋物線解析式為y=﹣（①該拋物線向上平移m個單位恰好經(jīng)過點解析式為y=﹣（x﹣2）2+1+m，∵D（0，1），x﹣2）2+1，D，設平移后的拋物線∴﹣（﹣2）2+1+m=1，∴m=4，∴平移后的拋物線解析式為y=﹣（x﹣2）2+5，令y=0，∴0=﹣（x﹣2）2+5，∴x=2±，∴M（2+，0），N（2﹣，0），∴MN=2；②如圖，在第一象限的拋物線對稱軸上取一點P1，使∠P1AB=60°，在Rt△AEP1中，AP1=2AE=2，P2E=∴點Q1和點B重合，∴Q1（3，0），P1（2，），在第一象限的拋物線對稱軸上取一點P2，使∠P2AB=30°，在Rt△AEP2中，P2E=AEtan30°=，∴點Q2（2，﹣），∴直線Q1Q2的解析式y(tǒng)=x﹣在第二象限的拋物線對稱軸上取一點P3，使∠P3AE=60°，24由旋轉知，Q3和點P1關于點A對稱，∴Q3（0，﹣），∴點Q3在直線Q1Q2上，Q的運動軌跡是直線Q1Q2，∴點∴當OQ⊥Q1Q2時，OD最短，∵Q1Q3=2∴OD最小==，故答案為．解答題如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過0），C（0，﹣5）三點，O為坐標原點．（1）求此拋物線的解析式；A（3，0），B（﹣5，（2）把拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）向上平移個單位長度，再n（n＞0）個單位長度得到新拋物線，若新拋物線的頂點M在△ABC內(nèi)，求n的取值范圍；（3）設點P在y軸上，且滿足∠OPA+∠OCA=∠CBA，求CP的長．【答案】（1）y=x2+x﹣5；（2）0＜n＜3；（3）PC=7或17．25【解析】（1）設拋物線解析式為y=a（x﹣3）（x+5），將點C（0，﹣5）的坐標代入拋物線解析式中，利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；（2）先求得平移后新拋物線的頂點坐標，再根據(jù)新拋物線的頂點M在△ABC內(nèi)求得（3）分點P在y軸負半軸上和點行討論，求出兩種情況下CP的長度。（1）∵拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過A（3，0），B（﹣∴設拋物線解析式為y=a（x﹣3）（x+5），C（0，﹣5），∴a×（﹣3）×5=﹣5，∴a=，n的取值范圍；P在y軸正半軸上兩種情況進5，0），∵拋物線過點∴拋物線解析式為y=（x﹣3）（x+5）=x2+x﹣5，（2）記原拋物線的頂點為M’，由（1）知，拋物線解析式為y=（x﹣3）（x+5）=（x2+2x﹣15）=（x+1）2﹣，∴M’（﹣1，﹣），由平移知，M（﹣∵B（﹣5，0），C（0，﹣∴直線BC的解析式為y=﹣x﹣5，當y=﹣1時，﹣x﹣5=﹣1，∴x=﹣4，1﹣n，﹣1），5），26∴﹣4＜﹣1﹣n＜﹣1，∴0＜n＜3；（3）存在，理由：①當P在y軸正半軸上時，如圖，過點P作PD⊥AC于D，根據(jù)三角形的外角的性質得，∠OPA+∠OCA=∠PAD，又∵∠OPA+∠OCA=∠CBA=45°，∴∠PAD=∠CBA=45°，∴AD=PD，∵AO=3，CO=5，∴AC=，設AD=PD=m，則CD=AC+AD=m+，又∵∠PDA=∠COA=90°，∠PCD=∠ACO，∴△COA～△CDP，∴==，∴==∴m=，∴PC=×=17，P在y軸負半軸上時，知，OP=PC﹣CO=17﹣5=12，取OP’=OP=12，如圖，對稱知：∠OP’A=∠OPA，P’O=PO=12，②當記作P’，由①則由27∴∠OP’A+∠OCA=∠OPA+∠OCA=∠CBA═45°，同理P’也滿足題目條件，∴P’C=OP’﹣OC=12﹣5=7，綜合以上得：PC=7或17．解答題綜合與探究如圖1，拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于A（﹣1，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C，連接AC，BC．D為坐標平面第四象限內(nèi)一點，且使得△ABD與△ABC全等．（1）求拋物線的表達式．（2）請直接寫出點D的坐標，并判斷四邊形ACBD的形狀．（3）如圖2，將△ABD沿y軸的正方形以每秒1個單位長度的速度平移，得到△A′B′D′，A′B′與BC交于點E，A′D′與AB交于點F．連接EF，AB′，EF與AB′交于點G．設運動的時間為t（0≤t≤2）秒．①當直線EF經(jīng)過拋物線的頂點T時，請求出此時t的值；②請直接寫出點G經(jīng)過的路徑的長．【答案】（1）y=﹣x2+x+2；（2）D（3，﹣2）．四邊形ACBD是28矩形，理由見解析；（3）①t的值為；②點G經(jīng)過的路徑的長為1．【解析】（1）將A點和B點坐標代入y=ax2+bx+2得a、b的方程組，解此方程組即可得答案，（2）先利