自動控制原理 第2版 作者 李曉秀第7章 非線性系統(tǒng)

第7章非線性控制系統(tǒng)7.1非線性系統(tǒng)概述7.2非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)分析法7.3非線性系統(tǒng)的相平面分析法7.4改善非線性系統(tǒng)性能的措施7.5基于Simulink的非線性系統(tǒng)分析

7.1非線性系統(tǒng)概述非線性系統(tǒng)的特征非線性系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)方法常見非線性特性及其對系統(tǒng)運(yùn)動的影響7.1.1非線性系統(tǒng)的特征當(dāng)系統(tǒng)中含有一個或多個具有非線性特性的元件時，該系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)。非線性特性普遍存在于控制系統(tǒng)中。非線性是宇宙間的普遍規(guī)律，而線性只是對實(shí)際情況在一定條件下理想化的近似。對于線性系統(tǒng)，描述其運(yùn)動狀態(tài)的數(shù)學(xué)模型是線性微分方程，它的根本標(biāo)志就在于能使用疊加原理。而非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為非線性微分方程，不能使用疊加原理。

1.穩(wěn)定性分析復(fù)雜非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和響應(yīng)形式除了與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)外，還與輸入信號的大小及系統(tǒng)的初始條件有關(guān)。非線性元件的正弦響應(yīng)會產(chǎn)生非線性畸變，輸出中除了會有與輸入同頻率的基波成分外，還有其它各種諧波分量。

2.自持振蕩非線性系統(tǒng)響應(yīng)除了發(fā)散和收鹼兩種運(yùn)動狀態(tài)外，系統(tǒng)本身還會產(chǎn)生幅值、頻率與自身結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)的自振運(yùn)動

3.頻率響應(yīng)復(fù)雜7.1.2非線性系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)方法１.相平面法

相平面法是推廣應(yīng)用時域分析法的一種圖解分析方法。相平面法適用于分析一、二階線性或非線性系統(tǒng)。２.描述函數(shù)法

描述函數(shù)法一種圖解分析法，是一種工程近似方法。該方法對于滿足結(jié)構(gòu)要求的一類非線性系統(tǒng)，通過諧波線性化，將非線性特性近似表示為復(fù)變增益環(huán)節(jié)，分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性或自激振蕩３.李亞普諾夫第二法

４.逆系統(tǒng)法

逆系統(tǒng)法是運(yùn)用內(nèi)環(huán)非線性反饋控制，構(gòu)成偽線性系統(tǒng)，并以此為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)外環(huán)控制網(wǎng)絡(luò)。該方法應(yīng)用數(shù)學(xué)工具直接研究非線性控制問題，不必求解非線性系統(tǒng)的運(yùn)動方程，是非線性系統(tǒng)控制研究的一個發(fā)展方向。常見非線性特性：死區(qū)（不靈敏區(qū)）特性飽和（限幅）特性間隙（滯環(huán)）特性繼電器特性7.1.3常見非線性特性常見的非線性特性

——死區(qū)（不靈敏區(qū)）非線性

xy0k影響：①提高抗擾性能②增大穩(wěn)態(tài)誤差常見的非線性特性

——飽和（限幅）非線性影響：①增益降低穩(wěn)定性提高②快速性和穩(wěn)態(tài)精度下降yx0常見的非線性特性

——間隙非線性影響：①降低穩(wěn)定裕量②穩(wěn)態(tài)精度下降yb-bxa0-ak常見的非線性特性

——繼電特性

具有滯環(huán)的繼電特性

繼電特性

理想繼電特性有死區(qū)繼電特性具有死區(qū)繼電特性理想繼電特性7.2描述函數(shù)法7.2.1描述函數(shù)的基本概念7.2.2典型非線性特性的描述函數(shù)7.2.3非線性系統(tǒng)的簡化7.2.4描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性1.描述函數(shù)的定義

非線性系統(tǒng)可變換為如圖所示結(jié)構(gòu):一般，y(t)是一個非正弦周期函數(shù)。將y(t)按傅立葉級數(shù)展開：當(dāng)設(shè)非線性環(huán)節(jié)輸入輸出描述為：7.2.1描述函數(shù)的基本概念其中，A0為直流分量；為第n次諧波分量。

若非線性元件具有中心對稱性質(zhì)，則為奇函數(shù)，A0＝0；且線性部分的低通濾波性能很好，可略去y(t)中的高次諧波后其中：AnBn

由于N(A)描述了非線性環(huán)節(jié)輸出量的基波和輸入正弦信號的幅值和相位關(guān)系，又稱為非線性環(huán)節(jié)的等效幅相特性。當(dāng)非線性元件用描述函數(shù)表示后，就可用線性理論中的頻率法來研究非線性系統(tǒng)的基本特性了。又由于描述函數(shù)是在只考慮基波分量，忽略高次諧波分量后得到的結(jié)果，所以這種近視處理方法又稱為“諧波線性化法”。定義：

表明，非線性環(huán)節(jié)可近似認(rèn)為具有和線性環(huán)節(jié)相類似的頻率響應(yīng)形式。為此，定義正弦輸入信號作用下，非線性環(huán)節(jié)輸出量的一次諧波分量和輸入信號的復(fù)數(shù)比為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)。用N(A)表示：

用函數(shù)描述法分析非線性系統(tǒng)的基本條件：

1）非線性部分輸出中的高次諧波振幅小于基波幅值；2）線性部分的低通濾波性能很好。2.描述函數(shù)的求取步驟

1)取輸入信號為，根據(jù)非線性環(huán)節(jié)的靜態(tài)特性繪制出輸出非正弦周期信號的曲線形式，根據(jù)曲線形式寫出輸出y(t)在一周期內(nèi)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

2）據(jù)非線性環(huán)節(jié)的靜態(tài)特性及輸出y(t)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，求相關(guān)系數(shù)A1、B1。若非線性特性中心對稱，則y(t)具有奇次對稱性，A0=0。輸出的基波分量為：3）

用下式計(jì)算描述函數(shù)。7.2.2典型非線性特性的描述函數(shù)*理想繼電器特性

其輸出是一個奇函數(shù)，對于任何奇函數(shù)，A1=0。y(t)的一次諧波分量是：*飽和特性數(shù)學(xué)表達(dá)式：式中：aA的波形具有奇次對稱性，A1=0,A0=0。飽和特性的描述函數(shù)為：*死區(qū)與滯環(huán)繼電特性數(shù)學(xué)表達(dá)式：y(t)為奇對稱函數(shù)，而非奇函數(shù)，故死區(qū)滯環(huán)繼電特性的描述函數(shù)為：其它典型非線性特性的描述函數(shù)見表7－1理想繼電特性（h=0）死區(qū)繼電特性(m=1)滯環(huán)繼電特性7.2.3

非線性系統(tǒng)的簡化

當(dāng)系統(tǒng)由多個非線性環(huán)節(jié)和多個線性環(huán)節(jié)組合而成時，在一些情況下，可通過等效變換，使系統(tǒng)簡化為典型結(jié)構(gòu)形式。1.非線性特性的并聯(lián)N(A)＝N1(A)＋N2(A)

2.非線性特性的串聯(lián)其中：7.2.4非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的描述函數(shù)法

如果非線性控制系統(tǒng)滿足非線性系統(tǒng)描述函數(shù)法分析的條件，則可利用線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)法，分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

1.非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)

當(dāng)非線性特性采用描述函數(shù)N(A)近似等效時，如圖所示系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為：

即：

稱為非線性環(huán)節(jié)的負(fù)倒描述函數(shù)。在復(fù)平面上繪制負(fù)倒描述函數(shù)曲線時，曲線上箭頭表示隨A增大的變化方向。就是系統(tǒng)線性部分的頻率特性，

相當(dāng)線性系統(tǒng)的(-1，j0)

點(diǎn)。非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)：

若線性部分開環(huán)頻率特性是穩(wěn)定的，則1)如果曲線不包圍線，則非線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。2)如果曲線包圍線，則非線性系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。3)如果曲線與曲線相交，則在非線性系統(tǒng)中產(chǎn)生周期運(yùn)動。1）2）3）2.非線性系統(tǒng)存在周期運(yùn)動時的穩(wěn)定性分析系統(tǒng)處于周期運(yùn)動時，如果該周期運(yùn)動能夠維持，即考慮外界小擾動作用使系統(tǒng)偏離該周期運(yùn)動，當(dāng)該擾動消失后，系統(tǒng)的運(yùn)動仍能恢復(fù)原周期運(yùn)動，則稱為穩(wěn)定的周期運(yùn)動，即自持振蕩。振蕩的振幅由交點(diǎn)處曲線對應(yīng)的A值決定，振蕩的頻率由交點(diǎn)處曲線對應(yīng)的值決定，該交點(diǎn)稱為自振點(diǎn)。否則，為不穩(wěn)定工作點(diǎn)。

如圖7-11所示系統(tǒng)，N10點(diǎn)為不穩(wěn)定工作點(diǎn)，N20點(diǎn)為自振點(diǎn)。

周期運(yùn)動穩(wěn)定性判據(jù)：

在曲線和曲線的交點(diǎn)處，若曲線沿著振幅A增加的方向由不穩(wěn)定區(qū)域進(jìn)入穩(wěn)定區(qū)域時，該交點(diǎn)為自振點(diǎn)。反之，若曲線沿著振幅A增加的方向在交點(diǎn)處由穩(wěn)定區(qū)域進(jìn)入不穩(wěn)定區(qū)域時，該交點(diǎn)為不穩(wěn)定工作點(diǎn)。

非線性系統(tǒng)周期運(yùn)動穩(wěn)定性分析舉例

例7-1

設(shè)具有飽和非線性特性的控制系統(tǒng)如圖所示，其中飽和非線性的參數(shù)k＝2，a＝1，試分析：1)

非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性；2)

若系統(tǒng)有自振，計(jì)算自振頻率和振幅。解:①

非線性部分飽和非線性描述函數(shù)為：

作負(fù)倒描述函數(shù)曲線如圖。負(fù)倒描述函數(shù)：②線性部分可見曲線與實(shí)軸有交點(diǎn)，計(jì)算交點(diǎn)：由圖可見，曲線與曲線存在交點(diǎn)。在該交點(diǎn)處，曲線沿著振幅A增加的方向由不穩(wěn)定區(qū)域進(jìn)入穩(wěn)定區(qū)域，故該交點(diǎn)為自振點(diǎn)。求自振蕩振幅：用試探法，可解得：自振蕩頻率為交點(diǎn)處對應(yīng)的頻率，即③確定穩(wěn)定性7.3相平面法7.3.1相平面的基本概念7.3.2繪制相軌跡的方法7.3.3相平面分析7.3.4用相平面法分析非線性系統(tǒng)7.3.1相平面的基本概念相平面法——是一種二階微分方程的圖解法。此法即可用于線性二階系統(tǒng),也可用于線性部分是二階的非線性系統(tǒng)。來描述，其中為和的線性函數(shù)或非線性函數(shù)。上式所示系統(tǒng)的時間解可用與的關(guān)系圖來表示，也可以為參變量，用和的關(guān)系圖來表示。

當(dāng)時間變化時，該點(diǎn)在平面上便描繪出一條表征系統(tǒng)狀態(tài)變化過程的相軌跡，平面稱為相平面，t作為參變量在相平面上并不出現(xiàn)。

設(shè)二階系統(tǒng)用下面的微分方程其對應(yīng)的在相平面上的曲線為：例：二階系統(tǒng)的和曲線為這種曲線稱為系統(tǒng)在某一初始條件下的相軌跡。由于系統(tǒng)的初始條件可有無窮多個,因此相應(yīng)的相軌跡也有無窮多條,這無窮多條相軌跡構(gòu)成的相軌跡簇叫相平面圖。7.3.2繪制相軌跡的方法

如可通過積分法，直接由微分方程求解和的解析關(guān)系式。若可以將分解為則可以兩端同時求定積分由此可解得以(，)為初始條件的和的解析關(guān)系式，即相軌跡方程。

1.解析法因?yàn)椋航馕龇ā鶕?jù)系統(tǒng)的微分方程求出相軌跡方程,然后由相軌跡方程繪制相平面圖。此方法僅用于簡單的一﹑二階線性系統(tǒng)或分段線性系統(tǒng).例如：二階系統(tǒng)系統(tǒng)的微分方程為

可變換成

對于無阻尼情況（）上式可變成分離變量并積分，得如當(dāng)時：還可以直接解微分方程求解x，然后求dx/dt，并消去t。

A是由初始條件決定的積分常數(shù)。對于不同的初始條件，它表示的運(yùn)動軌跡是一族同心的橢圓。2.等傾線法由式可得

方程實(shí)際給出了相軌跡在相平面上任一點(diǎn)處切線的斜率。若取斜率為某一常數(shù)，則上式可改寫為——稱為等傾線方程

由等傾線方程可在相平面上作一條曲線，稱為等傾線，當(dāng)相軌跡經(jīng)過該曲線上任一點(diǎn)時，其切線的斜率都相等，均為。給定不同的可在相平面上繪制出若干條等傾線，在等傾線上各點(diǎn)處作斜率為的短直線。由給定的初始點(diǎn)便可沿各條等傾線所決定的相軌跡的切線方向依次畫出系統(tǒng)的相軌跡。例7-3

已知系統(tǒng)的微分方程為當(dāng)初始條件為、時，繪制系統(tǒng)的相軌跡。

解：系統(tǒng)方程可改寫為

令可得相軌跡的等傾線方程

可見，等傾線方程是一條通過原點(diǎn)且斜率等于的直線，其中

是通過等傾線處相軌跡斜率。取為不同的值，有－1－1.2－1.4－1.8－2－2.5－3－6－∞94210∞52.51.2510.670.50.20－0.1－0.2－0.33－0.5－1以此可作出取不同值時的等傾線，以及等傾線上表示斜率為

的許多的許多短直線。

從A點(diǎn)出發(fā)順著切線方向?qū)⒏鞫讨本€光滑地連接起來，就得到了一條從A點(diǎn)出發(fā)的相軌跡。如圖：注意點(diǎn)：1）坐標(biāo)軸應(yīng)選用相同；2）在相平面的上半平面，相軌跡的走向是由左向右；在相平面的下半平面，相軌跡的走向是由右向左；3）除平衡點(diǎn)外，相軌跡與x軸垂直相交。7.3.3奇點(diǎn)和極限環(huán)1.奇點(diǎn)相軌跡上每一點(diǎn)切線的斜率為若相平面上某點(diǎn)滿足即有的不定形式，則稱該點(diǎn)為相平面的奇點(diǎn)。

相軌跡在奇點(diǎn)處的切線斜率不定，表明系統(tǒng)在奇點(diǎn)處可以按任意方向趨近或離開奇點(diǎn)，因此在奇點(diǎn)處，多條相軌跡相交。而在相軌跡的非奇點(diǎn)(稱為普通點(diǎn))處，相軌跡的切線斜率是一個確定的值，故經(jīng)過普通點(diǎn)的相軌跡只有一條。由于在奇點(diǎn)處的速度和加速度都為零，故奇點(diǎn)與系統(tǒng)的平衡狀態(tài)相對應(yīng)。奇點(diǎn)一定位于相平面的橫軸上。

設(shè)描述二階系統(tǒng)自由運(yùn)動的線性微分方程為：

將上列方程改寫成：上式代表描述二階系統(tǒng)自由運(yùn)動的相軌跡各點(diǎn)處的斜率。從式中看出在及，即坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)處的斜率，這說明，該點(diǎn)二階系統(tǒng)唯一的奇點(diǎn)。

根據(jù)特征方程根的不同形式，相平面圖將以不同的型式趨向奇點(diǎn)，或由奇點(diǎn)向外發(fā)散出去。有6種類型：

s1，s2為共軛復(fù)數(shù)根，位于s平面的左半部，奇點(diǎn)為穩(wěn)定焦點(diǎn)；s1，s2為共軛復(fù)數(shù)根，位于s平面的右半部，奇點(diǎn)為不穩(wěn)定焦點(diǎn)；s1，s2一對實(shí)根，位于s平面的左半部，奇點(diǎn)為穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)；s1，s2為一對實(shí)根，位于s平面的右半部，奇點(diǎn)為不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)；s1，s2為共軛虛根，位于虛軸上，奇點(diǎn)為中心點(diǎn)；s1，s2為實(shí)根，一個位于左半平面，一個位于右半平面，奇點(diǎn)為鞍點(diǎn)。2.極限環(huán)

相平面圖中孤立的封閉軌跡定義為極限環(huán)，或稱“奇線”。極限環(huán)的位置和形式與相平面存在的奇點(diǎn)共同確定了二階非線性系統(tǒng)的所有運(yùn)動狀態(tài)和性能。根據(jù)極限環(huán)鄰近相軌跡的運(yùn)動特點(diǎn)，可將極限環(huán)分為三種類型：(1)穩(wěn)定極限環(huán)——具有穩(wěn)定的周期運(yùn)動，自振蕩(2)不穩(wěn)定極限環(huán)(3)半穩(wěn)定極限環(huán)——具有不穩(wěn)定的周期運(yùn)動7.3.4

由相平面求時間解為了分析與時間有關(guān)的系統(tǒng)性能指標(biāo)，經(jīng)常需要由相軌跡求出系統(tǒng)的時間解。

設(shè)系統(tǒng)的相軌跡如圖所示?？紤]到的微小增量及時間，則狀態(tài)由A點(diǎn)轉(zhuǎn)移到B點(diǎn)的平均速度為可求得系統(tǒng)的狀態(tài)由A轉(zhuǎn)移到B所需要的時間1.根據(jù)相軌跡的平均斜率求時間

2.用面積法求時間

由

即有

當(dāng)圖所示系統(tǒng)的狀態(tài)由A轉(zhuǎn)移到B所需要的時間

如果以為縱坐標(biāo)以為橫坐標(biāo)，重新繪制相軌跡，則時間間隔等于曲線與軸之間包含的面積，如圖的陰影部分。7.3.5非線性系統(tǒng)的相平面法分析大多數(shù)非線性系統(tǒng)所含有的非線性特性具有分段特性。用相平面法分析這類系統(tǒng)時，常將整個相平面分成若干個區(qū)城，使每一個線性微分方程在相平面上對應(yīng)著一個區(qū)域。這類非線性特性曲線的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，構(gòu)成了相平面區(qū)域的分界線，稱為開關(guān)線。只要作出每個區(qū)域內(nèi)的相軌跡后，在開關(guān)線上把相應(yīng)的相軌跡依次連接起來，就可得出系統(tǒng)完整的相軌跡圖。

對應(yīng)于每個分區(qū)域，如果奇點(diǎn)位于該的區(qū)域以內(nèi)，則該奇點(diǎn)為“實(shí)奇點(diǎn)”；如果奇點(diǎn)位于相應(yīng)區(qū)域之外，則表示這個區(qū)域內(nèi)的相軌跡實(shí)際上不可能到達(dá)該平衡點(diǎn)，稱為“虛奇點(diǎn)”。一個系統(tǒng)一般只可能有一個實(shí)奇點(diǎn)。例7-5

設(shè)具有飽和特性的非線性控制系統(tǒng)如圖所示。給定參數(shù)T＝0.5，K＝0.25。設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，試用相平面法分析系統(tǒng)在階躍輸入作用下的響應(yīng)特性。解：線性部分的微分方程為微分方程可表示為：根據(jù)飽和非線性特性，有線性區(qū)系統(tǒng)方程為線性二階微分方程，其特征根s1，2＝-1±j2，為欠阻尼情況。負(fù)飽和區(qū)和正飽和區(qū)的等傾向方程為：

由零初始條件和輸入，得設(shè)R0=