自動控制原理 上 教學課件 謝昭莉第5章

第5章控制系統的頻域分析

5.1引言第5章

控制系統的頻域分析

1

5.2對數頻率特性

5.3頻率特性的極坐標圖

5.4奈魁斯特穩(wěn)定判據

5.5控制系統的相對穩(wěn)定性22345

5.6控制系統的頻域分析65.1引言3一.頻率特性的基本概念二.用圖形表示頻率特性頻域分析法是一種圖解方法，它是根據系統的頻域數學模型（即頻率特性）對系統的性能進行研究的。頻域分析法的特點是不必直接求解系統微分方程，主要是用系統開環(huán)頻率特性去判斷、分析閉環(huán)系統的性能，并能較方便地分析系統中的參量對系統動態(tài)性能的影響，從而進一步指出改善系統性能的途徑。頻率特性有明確的物理意義，除了一些超低頻控制系統，許多元部件和穩(wěn)定系統的頻率特性都可用實驗方法測定。一.頻域特性的基本概念4若保持輸入信號的幅值不變而改變其頻率ω，則系統輸出輸入的幅值比和相位差都將隨輸入信號角頻率的變化而不同。

定義輸出輸入幅值比隨ω的變化關系為幅頻特性,記為A(ω)。定義輸出輸入相位差隨ω的變化關系為相頻特性,記為。5幅頻特性A(ω)和相頻特性共同表征了系統(或環(huán)節(jié))G(s)在正弦輸入作用下的穩(wěn)態(tài)響應與輸入信號角頻率的關系特性，稱為系統（或環(huán)節(jié)）的頻率特性G(jω)

。幅頻特性相頻特性重要結論：對于正弦輸入信號

=穩(wěn)態(tài)輸出正弦信號與輸入正弦信號的幅值比

=穩(wěn)態(tài)輸出正弦信號相對于輸入正弦信號的相位差

任何線性系統或環(huán)節(jié)的頻率特性都可以由傳遞函數G(s)，令s=jω得到，即

二.用圖形表示頻率特性工程上用頻率法研究控制系統時，主要采用圖解法。圖解法可以方便、迅速地獲得關于系統的許多重要信息。工程實踐中形成了頻率特性的多種圖示方法，由于采用不同形式的坐標圖表示法，而有不同的圖示形式，其中主要有以下三種1.對數頻率特性圖

(Bode圖)2.極坐標圖

(Nyquist圖)3.對數幅-相圖(Nichols圖)返回5.2對數頻率特性7一.對數頻率特性圖二.典型環(huán)節(jié)的對數頻率特性三.控制系統開環(huán)對數頻率特性圖的繪制四.最小相位系統與非最小相位系統五.由頻率特性確定相應的傳遞函數一.

對數頻率特性圖8對數頻率特性圖（Bode圖），是工程中應用最廣泛的一種頻率特性圖示方式。不但計算簡單，作圖方便，而且能直觀地表現系統參數對系統性能的影響，便于系統分析及綜合校正。幅頻特性相頻特性頻率特性對數幅頻特性表達式為20lgA(ω)，用L(ω)表示

對數相頻特性表達式仍為對數頻率特性圖由對數幅頻特性曲線和對數相頻特性曲線組成。繪制對數頻率特性圖時通常把對數幅頻特性和對數相頻特性這兩條曲線畫在同一幅圖紙上，可共用一個橫坐標軸。對數頻率特性圖的橫坐標軸是按lgω分度，按頻率值標注的ω軸，單位為rad/s。對數幅頻特性曲線的縱坐標是線性分度的軸，單位是dB。對數相頻特性曲線的縱坐標也是采用線性分度，單位是(o),由此構成的坐標系稱為半對數坐標系，如圖5-2所示。

9對數頻率特性圖的優(yōu)點：1.采用ω的對數分度使橫坐標ω軸上的低頻展寬，高頻壓縮，當對頻率和幅值取對數后就能夠既清晰展現實際系統中甚為重要的低頻特性，又兼顧到頻率和幅值如此寬廣的變化范圍；

2.對數頻率特性曲線的形狀簡單易畫，計算量小，繪制方便；3.將串聯環(huán)節(jié)幅頻特性的幅值乘除運算轉化為對數幅頻特性的加減運算，而且可用簡便的方法繪制對數幅頻漸近特性，并易于修正獲得準確曲線，從而使頻率特性的繪制大為簡化；4.而當系統或環(huán)節(jié)的參數K或T值改變時，不會改變圖形形狀，只需對原有的對數頻率特性圖加以移動即可，給繪圖帶來極大方便，如圖5-3所示。1011二.典型環(huán)節(jié)的對數頻率特性控制系統由各種典型環(huán)節(jié)組成。常見的典型環(huán)節(jié)有6類，即比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)（包括理想微分環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)、二階微分環(huán)節(jié)）、慣性環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)及延遲環(huán)節(jié)。要用對數頻率特性圖分析控制系統的性能，有必要先熟悉各種典型環(huán)節(jié)的對數頻率特性圖。121.比例環(huán)節(jié)G(s)=K

（1）比例環(huán)節(jié)的頻率特性（2）比例環(huán)節(jié)的對數頻率特性比例環(huán)節(jié)的對數幅頻特性L(ω)為與0dB線相距20lgK的水平線，對數相頻特性始終為0°線，如圖5-5所示。

132.積分環(huán)節(jié)（1）積分環(huán)節(jié)的頻率特性（2）積分環(huán)節(jié)的對數頻率特性積分環(huán)節(jié)的對數幅頻特性L(ω)是一條斜率為–20dB/dec的直線，該直線在處通過0dB線。積分環(huán)節(jié)的對數相頻特性

是一條與ω軸平行、縱坐標為–90°的直線。如圖5-7所示。143.慣性環(huán)節(jié)（1）慣性環(huán)節(jié)的頻率特性（2）慣性環(huán)節(jié)的對數頻率特性幅頻特性相頻特性工程上常采用更簡便實用的漸近線法來繪制對數幅頻特性

15慣性環(huán)節(jié)的對數幅頻特性漸近線1）在低頻時(即ω<<1/T),可認為ωT→12）在高頻時(即ω>>1/T3）當ω=1/T時這說明ω=1/T是低、高頻段漸近線的交點頻率，稱為轉折頻率或交接頻率，是繪制慣性環(huán)節(jié)對數頻率特性的重要參數。16

4）誤差及其修正：在轉折頻率ω=1/T及其附近，漸近線與之間會有誤差如圖5-9誤差修正曲線所示。

在ω=1/T時，L(ω)的精確值在漸近線下方處-3dB處174.振蕩環(huán)節(jié)（1）振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性幅頻特性相頻特性幾個重要的點：=0時,A(0)=1，(0)=0=∞時,A(∞)=0，(∞)=-180=n時,A(n)=1/2，(n)=-90A()在某一頻率下達到最大值，這一現象稱為“諧振”。發(fā)生諧振的頻率稱為諧振頻率r。184.振蕩環(huán)節(jié)（2）振蕩環(huán)節(jié)的對數頻率特性給出不同的ω值和阻尼比

值，就可繪制出振蕩環(huán)節(jié)的對數頻率特性曲線簇（Bode圖），如圖5-10所示。1920振蕩環(huán)節(jié)的對數幅頻特性曲線以漸進線表示時的誤差及其修正215.微分環(huán)節(jié)對數頻率特性（1）理想微分環(huán)節(jié)頻率特性22對數頻率特性（2）一階微分環(huán)節(jié)頻率特性其中23對數頻率特性（3）二階微分環(huán)節(jié)頻率特性其中246.延遲環(huán)節(jié)（1）頻率特性（2）對數頻率特性其中25三.控制系統開環(huán)對數頻率特性圖的繪制對控制系統進行頻域分析時，常常是根據系統的開環(huán)頻率特性來判斷閉環(huán)系統穩(wěn)定性、估算閉環(huán)系統時域響應各項指標，或根據開環(huán)頻率特性計算或繪制閉環(huán)頻率特性，再分析及估算其動態(tài)性能，因此掌握開環(huán)對數頻率特性圖的繪制及特點是十分必要的。繪制開環(huán)對數頻率特性圖時，將開環(huán)傳遞函數分子、分母多項式因式分解為以“時間常數型”描述的典型環(huán)節(jié)串聯的標準形式26采用對數頻率特性圖的主要優(yōu)點在于將串聯環(huán)節(jié)頻率特性的幅值乘除運算轉化為對數幅頻特性的加減運算，并且可用簡便的方法繪制近似的對數幅頻漸近特性線，易于修正獲得準確曲線，從而使頻率特性的繪制大為簡化。掌握了典型環(huán)節(jié)的對數頻率特性，不難繪制控制系統的開環(huán)對數頻率特性。27已知系統開環(huán)傳遞函數為

【例5-1】解：系統的開環(huán)對數幅頻漸近特性分別作出各環(huán)節(jié)對數幅頻特性漸近線疊加后得到開環(huán)對數幅頻漸近特性線，如圖5-16所示。

繪制其開環(huán)對數漸近頻率特性曲線。2829繪制開環(huán)對數幅頻漸近特性曲線La

(ω)的步驟：1）將開環(huán)傳遞函數整理成以“時間常數型”描述的典型環(huán)節(jié)串聯的標準形式。2）確定各環(huán)節(jié)的轉折頻率，并由小到大依次標注在ω軸上。3）繪制開環(huán)對數幅頻漸近特性的低頻段4）隨ω增加，La

(ω)低頻段向中、高頻段延伸，每逢一個環(huán)節(jié)的轉折頻率,La(ω)的斜率就作一次相應變化。30開環(huán)對數相頻特性曲線的繪制開環(huán)對數相頻特性曲線可由逐個作出各典型環(huán)節(jié)的對數相頻特性疊加得到。

通常更簡便地由式取若干個頻率點列表計算各點的相角值并標注在半對數坐標圖中，最后將各點連接為光滑的開環(huán)對數相頻特性曲線。31

L(ω)=0時的交點頻率稱為開環(huán)截止頻率。它是頻域分析及系統設計中的一個重要參數，通常由開環(huán)對數幅頻漸近特性La(ω)與0dB線的交點頻率來近似代替。在系統分析和設計中，最關心的將是系統在處的相頻特性值。

32已知單位反饋系統開環(huán)傳遞函數為

【例5-2】解：1）將G(s)改寫為典型環(huán)節(jié)串聯的“時間常數”形式試繪制系統開環(huán)對數幅頻漸近特性和相頻特性曲線。2）確定各環(huán)節(jié)轉折頻率，依次標注在ω軸上，分別為①慣性環(huán)節(jié)1/(5s+1)的轉折頻率③慣性環(huán)節(jié)1/(0.1s+1)的轉折頻率④慣性環(huán)節(jié)1/(0.05s+1)的轉折頻率②一階微分環(huán)節(jié)(1.25s+1)的轉折頻率333）作開環(huán)對數幅頻漸近特性，如圖5-18中所示。34四.最小相位系統與非最小相位系統如果系統開環(huán)傳遞函數在右半s平面內既無極點也無零點，則稱為最小相位傳遞函數。具有最小相位傳遞函數的系統稱為最小相位系統。反之若系統的開環(huán)傳遞函數在右半s平面內有極點和（或）零點，則稱為非最小相位傳遞函數，相應的系統稱為非最小相位系統。對于具有相同幅頻特性的一些系統，最小相位系統的相頻特性變化范圍比非最小相位系統的小，即所謂“最小相位”。任何非最小相位系統的相頻特性范圍必定大于最小相位系統的相角范圍。35最小相位系統與非最小相位系統的對數幅頻特性是完全相同的，而相頻特性卻完全不同，如圖5-19所示。

36某控制系統如圖所示，設延遲時間τ分別為0、5s、10s?！纠?-3】（1）試作出開環(huán)對數頻率特性圖。（2）確定系統開環(huán)截止角頻率ωc。

解：該系統的開環(huán)傳遞函數可視為延遲環(huán)與不含延遲環(huán)節(jié)的最小相位部分G0(s)串聯

371）作開環(huán)對數頻率特性圖①作開環(huán)對數幅頻漸近特性：延遲系統開環(huán)對數幅頻特性不受延遲時間的影響，由惟一確定，如圖所示。38②作曲線：392）計算系統開環(huán)截止角頻率ωc。

40五.由頻率特性確定相應的傳遞函數頻率特性實際上是線性系統（環(huán)節(jié)）在特定情況（輸入正弦信號）下的傳遞函數，故由傳遞函數可以得到系統（環(huán)節(jié)）的頻率特性。反過來，由頻率特性即可求得相應的傳遞函數。最小相位系統的幅頻特性與相頻特性是惟一相關的，一條對數幅頻特性曲線只能有一條對數相頻特性曲線與之對應，由于二者間具有這種確定關系，因而利用對數頻率特性圖對最小相位系統寫出傳遞函數、進行分析以及綜合校正時，往往只需作出對數幅頻特性曲線即可。41已知最小相位系統開環(huán)對數幅頻特性如圖5-21所示，圖中ω=5附近的虛線為修正后的精確曲線。試確定開環(huán)傳遞函數?！纠?-4】解:由圖5-21中L(ω)各段斜率變化可知，對應的傳遞函數形式為求解可得1)L(ω)低頻段僅取決于G(s)中的422）由轉折頻率ω1=0.5知，一階微分環(huán)節(jié)的時間常數3）由圖知振蕩環(huán)節(jié)ωn=5，且有=n時,A(n)=1/2即：38–32=6dB=20lg(1/2ζ)

系統的開環(huán)傳遞傳遞函數為：43【例5-5】根據實驗數據繪制某系統開環(huán)對數頻率特性曲線如圖5-22中實線所示，確定對應的開環(huán)傳遞函數G(s)。該例請讀者閱讀教材。5.3頻率特性的極坐標圖45一.極坐標圖（幅相頻率特性曲線）二.典型環(huán)節(jié)的頻率特性極坐標圖三.控制系統的開環(huán)頻率特性極坐標圖一.極坐標圖（幅相頻率特性曲線）

頻率特性的極坐標圖，也稱為幅相頻率特性圖（簡稱為幅相曲線）或奈奎斯特圖，是頻率特性最基本、最直觀的圖形表示。46頻率特性的極坐標表達形式或直角坐標表達形式極坐標圖的優(yōu)點在于可以在一張圖上描繪出的整個頻域中的頻率特性；不足之處在于：不能清楚地看出開環(huán)傳遞函數中各環(huán)節(jié)的作用，當參數變化時還需重新計算作圖?！纠?-6】已知某環(huán)節(jié)傳遞函數如下，試作其頻率特性極坐標圖。解：該環(huán)節(jié)的頻率特性為其中47二.典型環(huán)節(jié)的頻率特性極坐標圖1.比例環(huán)節(jié)G(s)=K481）比例環(huán)節(jié)的頻率特性其頻率特性極坐標圖僅為[G]平面正實軸上距坐標原點為K的一個點，如圖5-25所示。2）比例環(huán)節(jié)的極坐標圖2.積分環(huán)節(jié)1）積分環(huán)節(jié)的頻率特性492）積分環(huán)節(jié)的極坐標圖其頻率特性極坐標圖為[G]平面沿負虛軸變化的直線，當ω→∞時G(jω)趨向于坐標原點O，如圖5-26所示。3.慣性環(huán)節(jié)1）慣性環(huán)節(jié)的頻率特性2）慣性環(huán)節(jié)的極坐標圖50幾個重要的點：=0時，A(0)=1，(0)=0=∞時,A(∞)=0，(∞)=-90=1/T時，A(1/T)=1/，(1/T)=-454.振蕩環(huán)節(jié)1）振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性幾個重要的點：=0時,A(0)=1，(0)=0=∞時,A(∞)=0，(∞)=-180=n時,A(n)=1/2，(n)=-9051幅頻特性相頻特性2）慣性環(huán)節(jié)的極坐標圖5.微分環(huán)節(jié)（1）理想微分環(huán)節(jié)1）頻率特性522）極坐標圖其頻率特性極坐標圖為[G]平面沿正虛軸變化的直線，相頻特性恒為+900，當ω→∞時A(ω)也趨于∞，如圖5-31a)所示。（2）一階微分環(huán)節(jié)1)頻率特性其中532）極坐標圖其頻率特性極坐標圖為[G]平面與正虛軸平行的直線，當ω由0→∞時，A(ω)由1→∞，由0o→90o,如圖5-31b)所示。（3）二階微分環(huán)節(jié)1）頻率特性其中542）極坐標圖其頻率特性極坐標圖如圖5-31c)所示。當ω由0→∞時，A(ω)由1→∞，由0o→+180o。6.延遲環(huán)節(jié)1）頻率特性其中552）極坐標圖延遲環(huán)節(jié)頻率特性極坐標圖是一個單位圓，ω=0時，極坐標圖始于[G]平面正實軸上(-1,j0)點，隨ω增加沿單位圓周而復始地順時針方向重復無限多次，如圖5-32所示。三.控制系統的開環(huán)頻率特性極坐標圖56如前所述，繪制開環(huán)頻率特性極坐標圖時同樣將開環(huán)傳遞函數寫為典型環(huán)節(jié)串聯的形式，系統的開環(huán)頻率特性表達式可由各環(huán)節(jié)幅頻特性相乘、相頻特性相加得到，對ω由0→∞時取若干不同值，列表計算相應的A(ω)、并通過描點作圖得到開環(huán)頻率特性的概略極坐標圖。絕大多數實際系統是最小相位的,對于最小相位系統其開環(huán)頻率特性概略極坐標圖具有如下特點1）極坐標圖的起始段

當ω→0時，極坐標圖的起始段取決于開環(huán)傳遞函數中積分環(huán)節(jié)個數υ和開環(huán)增益K，如圖5-33a所示。

①υ=0(0型系統)時，極坐標圖始于[GH]平面上(K，j0)點。②υ=1(Ⅰ型系統)時，ω→0+時極坐標圖趨于與負虛軸平行的一條漸近線，漸近線與虛軸的距離Vx可按下式確定

③υ=2(Ⅱ型系統)時，極坐標圖始于以負實軸為漸近線的無窮遠處。572）極坐標圖的終止段

當ω→∞時，由于n>m，極坐標圖總是以順時針方向趨于ω=∞點。即極坐標圖以-(n-m)90o方向終止于坐標原點，如圖5-33b所示。583）極坐標圖與負實軸交點由開環(huán)極坐標圖對系統進行頻域分析時，至關重要的是需掌握開環(huán)頻率特性極坐標圖與負實軸相交的狀況。交點頻率ω=ωx及交點處的幅值可按下述方法求出：

點處幅值594）極坐標圖的任何復雜形狀都是由分子上的一階微分環(huán)節(jié)引起的，若開環(huán)傳遞函數中不含一階微分環(huán)節(jié)，m=0，則當ω→∞時，極坐標圖是一條連續(xù)的平滑曲線；若開環(huán)傳遞函數中含有一階微分環(huán)節(jié)(Ts+1)，則曲線上會出現凹凸，如圖5-34、圖5-35所示。5）若υ=0，m=n，則開環(huán)頻率特性極坐標圖將始于實軸上某一有限點而止于實軸上另一有限點。60【例5-7】設已知某單位反饋系統的開環(huán)傳遞函數為解：系統開環(huán)頻率特性為試繪制系統開環(huán)頻率特性概略極坐標圖。1）極坐標圖的起點與終點起點處極坐標圖漸近線與虛軸距離為612）計算極坐標圖與負實軸交點

作出例5-7所示系統的開環(huán)極坐標圖如圖5-36中曲線1所示。由于系統分析中不需要準確掌握漸近線的位置，因此一般根據取漸近線為坐標軸，圖中曲線2為相應的開環(huán)概略極坐標圖。62【例5-8】繪制時的極坐標圖。解:

其極坐標圖如圖5-37所示。其中635.4奈魁斯特穩(wěn)定判據64在控制系統分析中穩(wěn)定性研究是首要問題，對系統進行頻域分析時亦然。對于一個自動控制系統，一般是開環(huán)數學模型易于獲得，開環(huán)模型中包含了閉環(huán)系統的所有環(huán)節(jié)的動態(tài)結構和參數，應能由開環(huán)特性來分析閉環(huán)系統穩(wěn)定性。頻域中的奈奎斯特判據，正是利用開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)由圖解來判斷閉環(huán)系統穩(wěn)定性及其穩(wěn)定儲備—相對穩(wěn)定性，而且能方便地研究參數及結構變化對系統穩(wěn)定性的影響，進而揭示出改善系統穩(wěn)定性的途徑。

一.奈奎斯特穩(wěn)定判據的數學基礎二.奈奎斯特穩(wěn)定判據三.對數頻率特性上的奈奎斯特判據一.奈奎斯特穩(wěn)定判據的數學基礎

651.幅角原理（映射定理）映射曲線CF可能是沿順時針方向封閉的，也可能是沿反時針方向封閉的，這與復變函數F(s)的特性有關。值得關注的是映射曲線CF包圍[F]平面坐標原點的次數和方向，因為正是這兩者與系統穩(wěn)定性密切相關。66幅角原理如果s平面上封閉曲線CS不通過復變函數F(s)的任何零點、極點，但包圍了F(s)的Z個零點、P個極點，則當s沿Cs順時針繞行一周時，在[F]平面上F(s)的封閉的映射曲線CF逆時針包圍坐標原點的次數R為P、Z之差，即R>0和R<0分別表示F(s)的映射曲線CF順時針和逆時針包圍[F]平面坐標原點的次數；R=0表示F(s)的映射曲線CF不包圍[F]平面坐標原點—當且僅當CS內不包圍F(s)的任何零點、極點時才使R=0。R=P-Z便是由幅角原理導出奈奎斯特判據的重要依據。2．特征函數和奈奎斯特圍線為將幅角原理用于閉環(huán)系統穩(wěn)定性分析，選擇特征函數作為幅角原理中的復函數F(s)，并合理選擇s平面上的封閉曲線Cs。設開環(huán)傳遞函數

F(s)的零點即為系統閉環(huán)傳遞函數的極點，閉環(huán)系統穩(wěn)定的充要條件是：特征函數F(s)的零點必須全部位于s平面虛軸以左。67為了判斷閉環(huán)系統穩(wěn)定性，需要檢驗F(s)是否有位于右半s平面的零點，為此把封閉曲線Cs擴展為包圍了整個右半s平面的按順時針方向運動的封閉曲線，稱為奈奎斯特圍線，如圖5-41所示，該圍線包圍了F(s)位于右半s平面的所有零點和極點，不通過F(s)的任何零點、極點。時的曲線稱為奈奎斯特曲線，是一條對稱于實軸的封閉曲線，也就是ω從時的開環(huán)頻率特性極坐標圖。如果能確定奈奎斯特曲線逆時針包圍(-1,j0)點的次數R，則可確定閉環(huán)右極點個數Z為

式中P為開環(huán)右極點個數，通常是容易知道的。68二.奈奎斯特穩(wěn)定判據691．開環(huán)傳遞函數不包含積分環(huán)節(jié)時的奈奎斯特穩(wěn)定判據若控制系統在右半s平面有P個開環(huán)極點，閉環(huán)系統穩(wěn)定的充要條件是：當ω由變化時，曲線逆時針包圍[GH]平面上(-1,j0)點的次數R等于開環(huán)傳遞函數右極點個數P。若開環(huán)傳遞函數在右半s平面沒有極點，即P=0，閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件為，ω由變化時曲線不包圍(-1,j0)點，如果則閉環(huán)系統不穩(wěn)定，且可由下式確定閉環(huán)右極點個數為如果奈奎斯特曲線正好通過(-1,j0)點,表明閉環(huán)系統臨界穩(wěn)定，此時閉環(huán)特征方程有純虛根，所以稱(-1,j0)點為臨界穩(wěn)定點（臨界點或穩(wěn)定邊界）。對于實際系統是不允許有閉環(huán)極點位于虛軸上的?！纠?-9】解:由G(s)知，系統開環(huán)右極點數P=1;

70某系統開環(huán)傳遞函數,其極坐標圖如圖5-42中實線所示。試判斷閉環(huán)系統穩(wěn)定性。且由圖5-42知，G(jω)H(jω)奈奎斯特曲線逆時針包圍(-1,j0)點1次，即R=1。滿足P=R，故閉環(huán)系統是穩(wěn)定的。2．開環(huán)傳遞函數包含積分環(huán)節(jié)時的奈奎斯特穩(wěn)定判據上述由幅角原理導出奈奎斯特穩(wěn)定判據時，要求s平面上的奈奎斯特圍線Cs不通過特征函數F(s)的任何零點、極點。

若開環(huán)傳遞函數中含有υ個積分環(huán)節(jié)，則當s沿虛軸變化時，必然要通過F(s)在s平面坐標原點上的這υ個極點，將不滿足幅角原理對封閉曲線Cs的要求。為了應用奈奎斯特判據分析閉環(huán)系統穩(wěn)定性，需要修改s平面上原點附近的奈奎斯特圍線Cs使它繞過s=0處的開環(huán)極點而又包圍整個右半s平面。修改方法見圖5-43a紅色實線。71含υ個積分環(huán)節(jié)時，在其G(jω)H(jω)曲線上就應從ω=0-到0+順時針方向畫出υ個半徑為無窮大的半圓，稱為輔助線，如圖5-43b中虛線所示。

由圖可見，時作出輔助線連接了G(jω)H(jω)曲線上從ω=0-到0+的間斷，ω從-∞→+∞的G(jω)H(jω)曲線仍是對稱于實軸的連續(xù)封閉曲線，而奈奎斯特穩(wěn)定判據不需作任何變化。作出輔助線后，ω從-∞→0-→0+→+∞，G(jω)H(jω)曲線逆時針包圍[GH]平面上(-1,j0)點的次數R若等于開環(huán)傳遞函數右極點個數P，即R=P，閉環(huán)系統穩(wěn)定；否則系統不穩(wěn)定，且有Z=P-R個右極點。

723.奈奎斯特穩(wěn)定判據在系統開環(huán)頻率特性極坐標圖上的應用

為簡單起見，常用開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)極坐標圖判斷閉環(huán)系統穩(wěn)定性。設奈奎斯特曲線繞(-1,j0)點轉過的周次為R=2N（逆時針方向轉過的N為正，順時針轉過時N為負），則開環(huán)頻率特性極坐標圖繞(-1,j0)點轉過的周次N僅為奈奎斯特曲線轉過周次的一半。因而當采用ω=0→∞的開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)極坐標圖判斷閉環(huán)系統穩(wěn)定性時，式(5-49)應改寫為同理，僅當Z=0時閉環(huán)系統穩(wěn)定，故

奈氏判據可敘述為：若系統開環(huán)傳遞函數有P個右極點，則閉環(huán)系統穩(wěn)定的充要條件是，當ω從0→∞變化時，G(jω)H(jω)極坐標圖逆時針包圍(-1,j0)點的次數為N=P/2；否則，閉環(huán)系統不穩(wěn)定，且有Z=P-2N個右極點。若P=0，則僅當G(jω)H(jω)極坐標圖不包圍(-1,j0)點時閉環(huán)系統穩(wěn)定。73如果開環(huán)傳遞函數G(s)H(s)中含υ個積分環(huán)節(jié)，根據圖5-43，則應從ω=0-→0+補作υ×(-90o)無窮大半徑圓弧的輔助線，方能正確確定開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)極坐標圖逆時針包圍(-1,j0)點的次數。對P=0的最小相位系統，如圖5-44,ω=0一定位于正實軸上。74【例5-10】解:1）由G(s)知P=0，υ=2

75已知單位反饋系統的開環(huán)傳遞函數為某一K值下G(jω)極坐標圖如圖5-45中實線所示，試分析閉環(huán)系統穩(wěn)定性。3）可見，當ω由0→0+→+∞變化時，

G(jω)極坐標圖不包圍

(-1,j0)點，該K值下閉環(huán)系統穩(wěn)定。2）從正實軸上ω=0到G(jω)極坐標圖

ω=0+補作2×(-90o)無大半徑圓弧的輔助線（如圖中虛線）4.由“正負穿越次數之差”判穩(wěn)

開環(huán)頻率特性極坐標圖對(-1,j0)點的包圍方向及次數，也就是開環(huán)頻率特性極坐標圖對負實軸上(-1,-∞)區(qū)段的“穿越”次數。

如圖5-46所示,若用N(+)表示正穿越次數，N(-)表示負穿越次數，并在極坐標圖上以(+)、(–)標注出穿越情況，則開環(huán)極坐標圖對(-1,j0)點逆時針包圍次數N=N(+)-N(-)，故奈氏判據可敘述為：

若開環(huán)傳遞函數有P個右極點，則閉環(huán)系統穩(wěn)定的充要條件是，當ω從0→∞變化時，開環(huán)頻率特性極坐標圖對(-1,-∞)實軸段的正負穿越次數之差為P/2，即若不滿足式(5-53)，閉環(huán)系統不穩(wěn)定，且有Z個右極點76三.對數頻率特性上的奈奎斯特判據77工程上廣泛使用的是開環(huán)對數頻率特性，在對數頻率特性圖上應用奈奎斯特判據判斷閉環(huán)系統的穩(wěn)定性也是十分方便的。在對數頻率特性圖上，奈奎斯判據可敘述為：若開環(huán)傳遞函數有P個右極點，則閉環(huán)系統穩(wěn)定的充要條件是:當ω從0→∞變化時，在開環(huán)對數幅頻特性的所有頻段內，對數相頻特性曲線對-180o線的正、負穿越次數(如圖5-47所示)之差為P/2,即

否則，閉環(huán)系統不穩(wěn)定且有個右極點。若P=0，僅當上述正、負穿越次數之差為零時閉環(huán)系統才穩(wěn)定?！纠?-11】已知a、b、c三個系統開環(huán)傳遞函數及相應的Bode圖如圖5-48所示。試判斷閉環(huán)系統穩(wěn)定性并討論K值變化時對系統穩(wěn)定性的影響。如果開環(huán)傳遞函數中有υ個積分環(huán)節(jié)，則在曲線最左端視為ω=0+處，由下至上補作υ×90o虛線段的輔助線，找到相當于ω=0時的起點，方能正確確定對180o線的穿越情況。

78解a系統1）由開環(huán)傳遞函數可知，P=0，υ=1。2）根據υ=1在最左端補作–90°輔助線（見紅色虛線）。3）由圖5-48a)知，在L(ω)>0的頻段內不穿越180o線，即所以閉環(huán)系統穩(wěn)定，而且在任何K值下，系統均穩(wěn)定。79解b系統1）由開環(huán)傳遞函數可知，P=0，υ=2。2）根據υ=2在最左端補作–2×90°輔助線（見紅色虛線）。3）由圖5-48b)知，在L(ω)>0的頻段內N(+)=0，N(-)=1故閉環(huán)系統不穩(wěn)定，而且任何K值下均無法穩(wěn)定，這是一個結構不穩(wěn)定系統。80解c系統1）由開環(huán)傳遞函數可知系統有一個開環(huán)右極點

，P=1，υ=1。2）根據υ=1在最左端補作–90°輔助線（見紅色虛線）。3）由圖5-48c)知，在L(ω)>0的頻段內N(+)=1，

N(-)=1/2故在圖中所示的K值下，閉環(huán)系統穩(wěn)定。若K增大，L(ω)平行上移，仍有N(+)-N(-)=1/2，故閉環(huán)系統是穩(wěn)定的。

若K減小，L(ω)平行下移，當K<1/T2時在L(ω)>0的頻段內僅有1/2次負穿越而無正穿越，系統不穩(wěn)定。這說明與一般最小相位系統不同，某些非最小相位系統當K降低時會失去穩(wěn)定性。815.5控制系統的相對穩(wěn)定性82在設計一個控制系統時，不僅要求它必須是絕對穩(wěn)定的，還應使系統具有一定的穩(wěn)定程度，即具備適當的相對穩(wěn)定性。一個雖然穩(wěn)定但一經擾動就會不穩(wěn)定的系統是無法投入實際使用的，只有具有一定的穩(wěn)定裕量，才能滿足性能指標要求。一.相角裕量與幅值裕量二.控制系統的相對穩(wěn)定性分析一.相角裕量與幅值裕量831.相角裕量開環(huán)頻率特性極坐標圖上對應于A(ω)=1的頻率，稱為開環(huán)截止頻率ωc

定義相角裕量為:

2．幅值裕量（增益裕量）開環(huán)頻率特性極坐標圖與負實軸相交時，交點頻率ωg稱為相角交界頻率，在ωg處的相角為-180o,即

定義在相角交界頻率ωg，開環(huán)幅頻特性A(ωg)的倒數為閉環(huán)系統的幅值裕量Kg,即

84二.控制系統的相對穩(wěn)定性分析85相角裕量和幅值裕量實際上表征了系統時域響應的振蕩傾向，反映了系統的動態(tài)性能，并能反映參數變化對系統性能影響的不靈敏程度。保持適當的穩(wěn)定裕量是使系統正常工作的必要保證。

工程實際中應用最多的最小相位系統開環(huán)傳遞函數通常為則系統的相角裕量【例5-13】某單位反饋系統開環(huán)傳遞函數為試計算系統的相角裕量γ、幅值裕量Kg，分析系統的穩(wěn)定性（按對數幅頻漸近特性計算ωc)。解：K=2時作系統開環(huán)對數幅頻漸近特性如圖5-53中實線所示，由圖可知開環(huán)截止頻率系統的相角裕量例5-7已解得該系統的相角交界頻率

系統的幅值裕量86【例5-14】已知單位反饋系統，其開環(huán)傳遞函數為

為滿足系統性能，要求Kv=20s-1，相角裕量γ=50o。1）試確定滿足Kv要求的參數K1值。2）分析系統能否同時滿足控制精度和相角裕量的要求。解1）①由可知

要求Kv=20s-1，則有K1=10②由作出系統開環(huán)對數頻率特性，如圖5-54所示。③計算可得計算系統的相角裕量87僅管該系統幅值裕量Kg=∞，但當達到控制精度要求滿足Kv=20s-1，相角裕量僅為17.5°。本例為典型二階系統，其阻尼比僅為0.158，顯然不能滿足系統平穩(wěn)性要求。若為了提高γ減小K1值，則又會增大斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差，無法滿足系統控制精度的要求，因此建議采用加進校正裝置的方法，通過改變開環(huán)對數頻率特性（Bode圖）形狀，達到系統的性能要求。校正方法將在第6章詳細討論。2）分析系統能否同時滿足控制精度和相角裕量的要求。885.6控制系統的頻域分析89對控制系統進行頻域分析可以直接根據閉環(huán)系統頻率特性進行性能分析，也可以根據系統開環(huán)頻率特性進行分析。頻域指標相應也分為閉環(huán)頻域指標和開環(huán)頻域指標。設單位反饋系統的閉環(huán)頻率特性定義閉環(huán)頻域性能指標：諧振峰Mr和諧振頻率ωr：諧振峰Mr是M(ω)上的最大幅值，諧振峰Mr所對應的頻率即為諧振頻率ωr。

帶寬頻率ωb和頻帶寬度：當系統幅值M(ω)上變化到初值（0頻幅值）的0.707倍時的頻率稱為帶寬頻率ωb;頻率范圍又稱為頻帶寬度或簡稱帶寬。帶寬表示系統跟蹤正弦輸入信號的能力。

一.典型二階系統的頻域分析1.閉環(huán)頻域性能指標及其與時域性能指標的關系典型二階系統閉環(huán)傳遞函數系統的閉環(huán)頻率特性為諧振峰Mr和諧振頻率ωr：帶寬頻率ωb：閉環(huán)頻域性能指標：902．開環(huán)對數頻率特性（Bode圖）上的性能指標γ、ωc二階系統的開環(huán)傳遞函數為可求得由由可求得由知91二.高階系統的頻域分析1．閉環(huán)頻域性能指標與時域性能指標的關系高階系統的頻域指標與時域指標之間不存在像二階系統那樣簡單的關系，