數(shù)學教育的基本理論

數(shù)學教育的基本理論第一頁，共四十八頁，2022年，8月28日培利數(shù)學教育改革F.克萊因的數(shù)學教育思想H.弗賴登塔爾的數(shù)學教育理論G.波利亞的數(shù)學教育理論認知主義建構主義情境認知理論……第二頁，共四十八頁，2022年，8月28日一、弗賴登塔爾的數(shù)學教育理論1.生平及貢獻HansFreudenthal（1905-1990年）,荷蘭數(shù)學家和數(shù)學教育家,生于德國.1930年獲柏林大學數(shù)學博士學位；1946年起任荷蘭Utrecht大學教授；1951年起為荷蘭皇家科學院院士；1971-1976年任數(shù)學教育研究所所長；1987年12月應邀來上海華東師范大學講學。第三頁，共四十八頁，2022年，8月28日弗賴登塔爾被稱為“二十世紀數(shù)學教育之父”“對于數(shù)學教育，本世紀的上半葉FelixKlein做出了不朽的功績；本世紀的下半葉HansFreudenthal做出了巨大的貢獻。”

——加亨(Kahane)教授第四頁，共四十八頁，2022年，8月28日主要工作：1967年當選為國際數(shù)學教育委員會主席；單獨舉行國際數(shù)學教育大會（ICME－1，1969．法國．里昂）；提倡數(shù)學教育的科學研究；創(chuàng)辦ICME的理論刊物——《EducationalStudiesinMathematics（數(shù)學教育研究）》第五頁，共四十八頁，2022年，8月28日主要數(shù)學教育論著：《作為教育任務的數(shù)學》；《除草與播種———數(shù)學教育學的序言》；《數(shù)學結構的教學法現(xiàn)象》；《數(shù)學教育再探———在中國的三次講學》第六頁，共四十八頁，2022年，8月28日2.弗賴登塔爾的數(shù)學教育觀——情境問題是教學的平臺——數(shù)學化是數(shù)學教育的目標——學生通過自己努力得到的結論和創(chuàng)造是教育內容的一部分——“互動”是主要的學習方式——學科交織是數(shù)學教育內容的呈現(xiàn)方式第七頁，共四十八頁，2022年，8月28日概括為：現(xiàn)實、數(shù)學化、再創(chuàng)造第八頁，共四十八頁，2022年，8月28日(1)何謂數(shù)學教育中的“現(xiàn)實”？數(shù)學教育中的現(xiàn)實——數(shù)學來源于現(xiàn)實，存在于現(xiàn)實，應用于現(xiàn)實，而且每個學生有各自不同的“數(shù)學現(xiàn)實”.數(shù)學教師的任務之一就是幫助學生構造數(shù)學現(xiàn)實，并在此基礎上發(fā)展他們的數(shù)學現(xiàn)實.第九頁，共四十八頁，2022年，8月28日弗賴登塔爾堅持主張：數(shù)學教育體系的內容應該是與現(xiàn)實密切聯(lián)系的數(shù)學，能夠在實際中得到應用的數(shù)學，即“現(xiàn)實的數(shù)學”。如果過于強調了數(shù)學的抽象形式，忽視了生動的具體模型，過于集中于內在的邏輯聯(lián)系，割斷了與外部現(xiàn)實的密切關系，那必然會給數(shù)學教育帶來極大的損害。“新數(shù)”運動的失敗就是個明證。第十頁，共四十八頁，2022年，8月28日如何理解“現(xiàn)實”？不同的社會需要是否就是“現(xiàn)實”？每個人的“數(shù)學現(xiàn)實”是一樣的嗎？第十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日數(shù)學教育應為不同的人提供不同的數(shù)學修養(yǎng)，從而為每個人培養(yǎng)適合于他所從事的不同專業(yè)所必需的數(shù)學態(tài)勢，使其能順利地處理有關的各種數(shù)學問題。為此，弗賴登塔爾的一個基本結論是：每個人都有自己生活、工作和思考著的特定客觀世界以及反映這個客觀世界的各種數(shù)學概念、它的運算方法、規(guī)律和有關的數(shù)學知識結構。這就是說，每個人都有自己的一套“數(shù)學現(xiàn)實”。第十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日從這個意義上說，所謂“現(xiàn)實”不一定限于具體的事物，作為屬于這個現(xiàn)實世界的數(shù)學本身，也是“現(xiàn)實”的一部分，或者可以說，每個人也都有自己所接觸到的特定的“數(shù)學現(xiàn)實”。大多數(shù)人的數(shù)學現(xiàn)實世界可能只限于數(shù)和簡單的幾何形狀以及它們的運算，另一些人可能需要熟悉某些簡單的函數(shù)與比較復雜的幾何，至于一個數(shù)學家的數(shù)學現(xiàn)實可能就要包含Hilbert空間的算，子、拓撲學以及纖維叢等等。

第十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日數(shù)學教育的任務就在于，隨著學生們所接觸的客觀世界越來越廣泛，應該確定各類學生在不同階段必須達到的“數(shù)學現(xiàn)實”，并且根據(jù)學生所實際擁有的“數(shù)學現(xiàn)實”，采取相應的方法予以豐富，予以擴展，從而使學生逐步提高所具有的“數(shù)學現(xiàn)實”的程度并擴充其范圍。從已有的“數(shù)學現(xiàn)實”發(fā)展到更高層次的“數(shù)學現(xiàn)實”第十四頁，共四十八頁，2022年，8月28日一些具體的例子如下：通過公共汽車上下車人數(shù)的變化引入整數(shù)的加減法，并找出運算規(guī)律；借助學生上學乘汽車、騎自行車或步行等多種交通工具以及途中出現(xiàn)的各種情況，介紹各種類型的圖象表示、解析表示，進一步可介紹變化率以及斜率等概念及有關性質；還可以從商店出售各種不同牌子、不同規(guī)格的商品所獲得的利潤計算，引進矩陣的乘法概念，以及它的運算法則；以及根據(jù)血壓的變化介紹一般周期函數(shù)的概念，再進到更有規(guī)律的正弦函數(shù)及其性質；或者從物質的生長率引進指數(shù)函數(shù)概念，從而導出對數(shù)函數(shù)等。

第十五頁，共四十八頁，2022年，8月28日由于人們對數(shù)學需求不盡相同，各人在不同階段又有特定的數(shù)學現(xiàn)實，弗賴登塔爾認為，在現(xiàn)實背景材料的使用上有下述三種不同的水平：

第一級是在實際問題中直接包含著有關的數(shù)學運算，只要通過簡單的變換或過渡，就可以從實際問題求得相應的數(shù)學問題。在這里，具體的現(xiàn)實問題起著核心作用。

第二級是提出了某個現(xiàn)實問題，希望學生能夠找出與之有關的數(shù)學，加以組織，建立結構，從而解決問題。這里需要運用數(shù)學作為工具來組織現(xiàn)實問題并予以解決，因而具體的實際問題是起著實質性的作用。

第十六頁，共四十八頁，2022年，8月28日

第三級則是指出某個數(shù)學概念或是描述了某個數(shù)學過程的特征，由此引進新的數(shù)學概念或是構造新的數(shù)學模型，在這兒所提供的現(xiàn)實背景材料已經從通常的具體客觀世界中抽象出來。

綜上所述，弗賴登塔爾提的“數(shù)學現(xiàn)實”原則，和我們通常所說的理論聯(lián)系實際有原則的區(qū)別，有其獨特的含義和理論深度，值得我們借鑒。

第十七頁，共四十八頁，2022年，8月28日(2)什么是“數(shù)學化”？弗賴登塔爾的名言是：與其說是學習數(shù)學，還不如說是學習“數(shù)學化”；與其說是學習公理系統(tǒng)，還不如說是學習“公理化”；與其說是學習形式體系，還不如說是學習“形式化”第十八頁，共四十八頁，2022年，8月28日人們運用數(shù)學的方法觀察現(xiàn)實世界，分析研究各種具體現(xiàn)象，并加以整理組織，這個過程就是數(shù)學化。簡單地說，數(shù)學地組織現(xiàn)實世界的過程就是數(shù)學化。

第十九頁，共四十八頁，2022年，8月28日數(shù)學化，是一個由淺入深，具有不同層次、不斷發(fā)展的過程。數(shù)學化的對象：水平數(shù)學化——現(xiàn)實客觀事物垂直數(shù)學化——數(shù)學本身水平數(shù)學化，形成數(shù)學概念、運算法則、規(guī)律、定理，以及為解決實際問題而構造的數(shù)學模型；垂直數(shù)學化，形成數(shù)學概念、運算法則、規(guī)律、定理，以及不同層次的公理體系和形式體系。第二十頁，共四十八頁，2022年，8月28日現(xiàn)實數(shù)學教育的數(shù)學化有兩種形式：一是實際問題轉化為數(shù)學問題的數(shù)學化，即發(fā)現(xiàn)實際問題中的數(shù)學成分，并對這些成分作符號化處理；二是從符號到概念的數(shù)學化，即在數(shù)學范疇之內對已經符號化了的問題作進一步抽象化處理。第二十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日對于前者，基本流程是：確定一個具體問題中包含的數(shù)學成分；建立這些數(shù)學成分與學生已知的數(shù)學模型之間的聯(lián)系；通過不同方法使這些數(shù)學成分形象化、符號化和公式化；找出蘊含其中的關系和規(guī)則；考慮相同數(shù)學成分在其他數(shù)學知識領域方面的體現(xiàn)；作出形式化表述。第二十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日對于后者，基本流程是：用數(shù)學公式表示關系；對有關規(guī)則作出證明；嘗試建立和使用不同的數(shù)學模型；對得出的數(shù)學模型進行調整和加工；綜合不同數(shù)學模型的共性，形成功能更強的新模型；用已知數(shù)學公式和語言盡量準確地描述得到的新概念和新方法；作一般化的處理、推廣。第二十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日(3)什么是“再創(chuàng)造”？弗賴登塔爾認為存在兩種數(shù)學，一種是現(xiàn)成的或已完成的數(shù)學，另一種是活動的或者創(chuàng)新的數(shù)學。完成的數(shù)學在人們面前以形式演繹的面目出現(xiàn)，它完全顛倒了數(shù)學的思維過程和實際創(chuàng)造過程，給予人們的是思維的結果；活動的數(shù)學則是數(shù)學家發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造數(shù)學的過程的真實體現(xiàn)，它表明了數(shù)學是一種艱難曲折又生動有趣的活動過程。

第二十四頁，共四十八頁，2022年，8月28日弗賴登塔爾所說的“再創(chuàng)造”，其核心是數(shù)學過程再現(xiàn)。學生“再創(chuàng)造”學習數(shù)學的過程實際上就是一個“做數(shù)學”的過程。教師的任務是引導和幫助學生去進行這種再創(chuàng)造的工作。第二十五頁，共四十八頁，2022年，8月28日日常生活中，象“狗”、“椅子”等概念，都不需要事先給以嚴格的定義，兒童通過實際接觸，自然地形成了概念。數(shù)學中的一些東西，同樣來自現(xiàn)實，也可以通過學生的實際感受而形成概念。第二十六頁，共四十八頁，2022年，8月28日以學習平行四邊形概念為例，教師可以出示一系列的平行四邊形的圖形或是實際例子，告訴學生這些就是“平行四邊形”，讓學生自己進行比較、分析、研究，在經過反復的觀察與思考后，他們就會發(fā)現(xiàn)“平行四邊形”的許多共同性質，如：對邊平行、對角相等、鄰角互補、對角線互相平分等等，接著就會進而發(fā)現(xiàn)這些性質之間的聯(lián)系，可以由一個性質出發(fā)推出其它的性質，在教師的引導與學生間相互討論的基礎上，學生就不僅掌握了平行四邊形的概念，同時也理解了形式定義的含義以及各種相關性與等價定義的概念.第二十七頁，共四十八頁，2022年，8月28日也就是說，學生通過自己的實踐活動學會了怎樣定義一個數(shù)學的概念，對于定義的必要性與作用都會有更深的體會，通過這樣的“再創(chuàng)造”方式進行的概念教學，顯然比將一個現(xiàn)成的定義強加給學生要有效得多.第二十八頁，共四十八頁，2022年，8月28日偉大的教育家夸美紐斯有一句名言：“教一個活動的最好方法是演示。”他主張要打開學生的各種感覺器官，那就不僅是被動地通過語言依賴聽覺來吸收知識，也包括眼睛看甚至手的觸摸及動作，弗賴登塔爾將這一思想進一步發(fā)展成為“學一個活動的最好方法是實踐”，這樣提法的目的是將強調的重點從教轉向學，從教師的行為轉到學生的活動，并且從感覺的效應轉為運動的效應。就象游泳本身也有理論，學游泳的人也需要觀摩教練的示范動作，但更重要的是他必須下水去實地練習，老是站在陸地上是永遠也學不會游泳的。

第二十九頁，共四十八頁，2022年，8月28日提倡按“再創(chuàng)造”原則來進行數(shù)學教育，就是基于以上原理，弗賴登塔爾認為可以從教育學的角度來找到這一做法的合理根據(jù)，至少可以提出以下三點：

(1)通過自身活動所得到的知識與能力比由旁人硬塞的理解得透徹，掌握得快，同時也善于應用，一般來說還可以保持較長久的記憶。

(2)發(fā)現(xiàn)是一種樂趣，通過“再創(chuàng)造”來進行學習能夠引起學生的興趣，并激發(fā)其學習動力。

(3)通過“再創(chuàng)造”方式，可以進一步促進人們形成數(shù)學教育是一種人類活動的看法。

第三十頁，共四十八頁，2022年，8月28日小結弗賴登塔爾的數(shù)學教育理論不是“教育學+數(shù)學例子”式的論述，而是抓住數(shù)學教育的特征，緊扣數(shù)學教育的特殊過程，因而有“數(shù)學現(xiàn)實”、“數(shù)學化”、“數(shù)學反思”、“再創(chuàng)造”、“思辨數(shù)學”等諸多特有的概念.每一個概念以及他的每一個想法，都值得我們去思考、去領悟、去實踐……第三十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日二、G.波利亞的數(shù)學教育理論G.Polya(1887-1985)生平及貢獻：

喬治·波利亞（GeorgePolya,1887~1985）美籍匈牙利數(shù)學家。波利亞是法國科學院、美國全國科學院和匈牙利科學院的院士。1887年出生在匈牙利，青年時期曾在布達佩斯、維也納、哥廷根，巴黎等地攻讀數(shù)學、物理和哲學，獲博士學位。1914年在蘇黎世著名的瑞士聯(lián)邦理工學院任教。第三十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日

1940年移居美國；

1942年起任美國斯坦福大學教授；他對實變函數(shù)、復變函數(shù)、組合論、概率論、數(shù)論，幾何等若干分支領域都做出了開創(chuàng)性的貢獻，一些術語和定理都以他的名字命名。由于他在數(shù)學教育方面所取得的成就和對世界數(shù)學教育所產生的影響，在他93歲高齡時，被ICME（國際數(shù)學教育大會）聘為名譽主席。第三十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日波利亞數(shù)學教育三部曲著,涂泓等譯.怎樣解題(1944).上?？萍汲霭嫔?2002,6著,劉景麟等譯.數(shù)學的發(fā)現(xiàn)(1954).科學出版社,2006,7著,李心燦等譯.數(shù)學與猜想(1961).科學出版社,2001,7其中，《怎樣解題》一書被譯成17種文字，僅平裝本就銷售了100萬冊以上。范.德.瓦爾登說：“每個大學生，每個學者，特別是每個老師都應該讀讀這本引人入勝的書”（1952）第三十四頁，共四十八頁，2022年，8月28日（一）波利亞的數(shù)學教育觀1.數(shù)學教育的根本目的：教會學生思考——不只是傳授知識，更應努力發(fā)展學生運用所學知識的能力，應該強調技能、技巧、有益的思考方式和理想的思維習慣。2.學習過程的三原則：主動學習——盡量讓學生在現(xiàn)有條件下親自發(fā)現(xiàn)盡可能多的東西。最佳動機——激發(fā)學生在學習中的好奇心，并尋求歡樂。循序漸進——從行動與感知開始，發(fā)展到詞語與概念，養(yǎng)成合理的思維習慣。第三十五頁，共四十八頁，2022年，8月28日探索——在直覺和啟發(fā)的水平上發(fā)展闡明——引進術語、定義、證明等，提升到概念水平吸收——吸納到已有知識系統(tǒng)中，擴大智力范圍學習過程第三十六頁，共四十八頁，2022年，8月28日3.一名好的數(shù)學教師必須具備兩方面的知識數(shù)學內容的知識一般中學數(shù)學教師最大的缺陷在于，他沒有主動完成數(shù)學工作的經驗.數(shù)學教學法的知識第三十七頁，共四十八頁，2022年，8月28日4.給數(shù)學教師的“十條建議”

1）對數(shù)學有興趣；

2）熟知數(shù)學；

3）懂得學習的途徑——親自獨立地發(fā)現(xiàn)所學東西的奧妙；

4）努力觀察學生的面部表情；

5）傳授知識、技能技巧，培養(yǎng)思維方式、科學的工作習慣；

6）讓學生學會猜想；

7）讓學生學會證明問題；

8）揭示存在于具體情況的一般模式；

9）讓學生獨立地找出盡可能多的東西；

10）啟發(fā)問題。第三十八頁，共四十八頁，2022年，8月28日（二）波利亞關于解題的研究1.解題的思維過程：聯(lián)想→念頭詳見《數(shù)學的發(fā)現(xiàn)》第十一章：思維的作用第三十九頁，共四十八頁，2022年，8月28日弄清問題（表征）擬定計劃（模式識別、引入輔助問題）實現(xiàn)計劃回顧（反思、優(yōu)化、拓展）2.怎樣解題表第四十頁，共四十八頁，2022年，8月28日“怎樣解題”表的精髓——啟發(fā)聯(lián)想聯(lián)想什么？怎樣聯(lián)想？通過一連串建議性或啟發(fā)性問題來加以回答.波利亞認為，“萬能方法”是不存在的，但是“各種各樣的規(guī)則還是有的，諸如行為準則、格言、指南等等，這些都還是有用的。第四十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日波利亞怎樣解題表與實例示范第四十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日【例】已知正四棱臺的高為h，上底邊長為a，下底邊長為b,求其面積F。弄清問題已知（a,b,h)未知（F)求:F(A,B)求：A,B(x)求：X(a,b,h)擬定計劃實施計劃回顧反思正面檢驗→特殊檢驗：知識聯(lián)系解題捕捉過程:信息提取信息組合信息解題方法：分析法思維策略：策略水平方法水平技能水平心理機制：激活→擴散立幾方法：分割與補形尋求別解