數(shù)模入門(mén)和初等模型

數(shù)模入門(mén)和初等模型第一頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型……~實(shí)物模型水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機(jī)……~物理模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖……~符號(hào)模型模型是為了一定目的，對(duì)客觀事物的一部分進(jìn)行簡(jiǎn)縮、抽象、提煉出來(lái)的原型的替代物模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征我們常見(jiàn)的模型1.1從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型第二頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日你碰到過(guò)的數(shù)學(xué)模型——“航行問(wèn)題”用x

表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小時(shí)20千米/小時(shí).甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時(shí)，從乙到甲逆水航行需50小時(shí)，問(wèn)船的速度是多少?x=20y=5求解第三頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日航行問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟作出簡(jiǎn)化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；用符號(hào)表示有關(guān)量（x,y表示船速和水速）；用物理定律（勻速運(yùn)動(dòng)的距離等于速度乘以時(shí)間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）；求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20,y=5）；回答原問(wèn)題（船速每小時(shí)20千米/小時(shí)）。第四頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)模型(MathematicalModel)和數(shù)學(xué)建模（MathematicalModeling)對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對(duì)象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程（包括表述、求解、解釋、檢驗(yàn)等）數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)建模第五頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)及飛速發(fā)展；數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透。數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的第一步，越來(lái)越受到人們的重視。

在一般工程技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地；

在高新技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具；

數(shù)學(xué)進(jìn)入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開(kāi)辟了許多處女地。1.2

數(shù)學(xué)建模的重要意義第六頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用

分析與設(shè)計(jì)

預(yù)報(bào)與決策

控制與優(yōu)化

規(guī)劃與管理數(shù)學(xué)建模計(jì)算機(jī)技術(shù)知識(shí)經(jīng)濟(jì)如虎添翼生產(chǎn)過(guò)程中產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的預(yù)報(bào),氣象預(yù)報(bào),人口預(yù)報(bào),經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)預(yù)報(bào)

描述藥物濃度在人體內(nèi)的變化,跨音速空氣流和激波的數(shù)學(xué)模型,用數(shù)值模擬設(shè)計(jì)新的飛機(jī)翼型

電力,化工生產(chǎn)過(guò)程的最優(yōu)控制,零件設(shè)計(jì)中的參數(shù)優(yōu)化

生產(chǎn)計(jì)劃,資源配置,運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃,水庫(kù)優(yōu)化調(diào)度,以及排隊(duì)策略,物資管理

第七頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日

1.了解問(wèn)題的實(shí)際背景，明確建模目的，收集掌握必要的數(shù)據(jù)資料。

2.在明確建模目的，掌握必要資料的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)資料的分析計(jì)算，找出起主要作用的因素，經(jīng)必要的精煉、簡(jiǎn)化，提出若干符合客觀實(shí)際的假設(shè)。

3.在所作假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具去刻劃各變量之間的關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)——即建立數(shù)學(xué)模型。

4.模型求解。

5.模型的分析與檢驗(yàn)。

在難以得出解析解時(shí)，也應(yīng)當(dāng)借助計(jì)算機(jī)求出數(shù)值解。

1.3

數(shù)學(xué)建模步驟和示例實(shí)體信息(數(shù)據(jù))假設(shè)建模求解驗(yàn)證應(yīng)用第八頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日示例:

可口可樂(lè)飲料罐的形狀可口可樂(lè)、雪碧、健力寶等銷(xiāo)量極大的飲料罐(易拉罐)頂蓋的直徑和從頂蓋到底部的高之比為多少?為什么?它們的形狀為什么是這樣的?第九頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日第十頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日示例:

可口可樂(lè)飲料罐的形狀找一個(gè)雪碧飲料罐具體測(cè)量一下:它頂蓋的直徑和從頂蓋到底部的高:約為6厘米和12厘米.中間胖的部分的直徑約為6.6厘米,胖的部分高約為10.2厘米.可口可樂(lè)飲料罐上標(biāo)明凈含量為355毫升(即355立方厘米).根據(jù)有關(guān)的數(shù)據(jù),要求通過(guò)數(shù)學(xué)建模的方法來(lái)回答相關(guān)的問(wèn)題.

第十一頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日我們先看這樣的數(shù)學(xué)題:“用鐵皮做成一個(gè)容積一定的圓柱形的無(wú)蓋(或有蓋)容器，問(wèn)應(yīng)當(dāng)如何設(shè)計(jì)，才能使用料最省，這時(shí)圓柱的直徑和高之比為多少?”(一般數(shù)學(xué)分析或高等數(shù)學(xué)教材中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(極值問(wèn)題)部分的一道例題).實(shí)際上,用幾何語(yǔ)言來(lái)表述就是:體積給定的圓柱體,其表面積最小的尺寸(半徑和高)為多少?

第十二頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日表面積用S表示,體積用V表示,則,即圓柱的直徑和高之比為1:1第十三頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日問(wèn)題分析和模型假設(shè)飲料罐近似看成一個(gè)正圓柱是有一定合理性的.要求飲料罐內(nèi)體積一定時(shí),求能使易拉罐制作所用的材料最省的頂蓋的直徑和從頂蓋到底部的高之比.實(shí)際上,飲料罐的形狀是如下平面圖形繞其中軸線旋轉(zhuǎn)而成的立體.第十四頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日模型的建立

飲料罐的半徑為(因此,直徑為),罐的高為.h罐內(nèi)體積為.V除頂蓋外的材料的厚度.b頂蓋的厚度為(頂蓋就能感覺(jué)到更硬)其中,r,h是自變量,所用材料的體積SV是因變量,而b和V是固定參數(shù),是待定參數(shù)第十五頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日飲料罐側(cè)面所用材料的體積

罐內(nèi)體積所用材料的體積頂蓋和底部所用材料第十六頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日

因,所以帶,的項(xiàng)可以忽略,所以,

這是極其重要的合理假設(shè)或簡(jiǎn)化!

其中是S目標(biāo)函數(shù),是約束條件,V是已知的(即罐內(nèi)體積一定),即要在體積一定的條件下,求罐的體積最小的

r,h和使得r,h和測(cè)量結(jié)果吻合.這是一個(gè)求條件極值的問(wèn)題.

第十七頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日模型的求解從約束中解出一個(gè)變量,化條件極值問(wèn)題為求一元函數(shù)的無(wú)條件極值問(wèn)題使原問(wèn)題化為:求使S最小,即,求r使下式最小.第十八頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日求臨界點(diǎn):令其導(dǎo)數(shù)為零得測(cè)量數(shù)據(jù)為,即即頂蓋厚度是其他材料厚度3倍

本題還可Lagrange乘子法來(lái)解(增加一個(gè)變量化條件極值問(wèn)題為多元函數(shù)無(wú)條件極值問(wèn)題)第十九頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日模型驗(yàn)證及進(jìn)一步的分析

有人測(cè)量過(guò)頂蓋的厚度確實(shí)為其他材料厚度的3倍.如果易拉罐的半徑為3厘米,則其體積為裝不下那么多飲料，為什么？模型到底對(duì)不對(duì)？第二十頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日實(shí)際上,飲料罐的形狀是左平面圖形繞其中軸線旋轉(zhuǎn)而成的立體.可以把飲料罐的體積看成兩部分,一是上底半徑為3厘米,下底半徑為3.3厘米,高為1厘米的錐臺(tái),二是半徑為3.3厘米,高為10.2厘米的圓柱體.它們的體積分別為31.2立方厘米和349立方厘米總共為380.2立方厘米.測(cè)量結(jié)果為:未打開(kāi)罐時(shí)飲料罐的重量為370克,倒出來(lái)的可樂(lè)確實(shí)重355克,空的飲料罐重量為15克,裝滿水的飲料罐重量為380克.這和我們的近似計(jì)算380.2立方厘米十分接近！飲料罐不能裝滿飲料(365克),而是留有10立方厘米的空間余量.第二十一頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日進(jìn)一步討論此外,諸如底部的形狀,上拱的底面,頂蓋實(shí)際上也不是平面的,略有上拱,頂蓋實(shí)際上是半徑為3+0.4+0.2=3.6平方厘米的材料沖壓而成的,從頂蓋到胖的部分的斜率為0.3,這些要求也許保證了和飲料罐的薄的部分的焊接(粘合)很牢固,耐壓.所有這些都是物理、力學(xué)、工程或材料方面的要求,必須要有有關(guān)方面的實(shí)際工作者或?qū)＜襾?lái)確定.因此,我們也可以體會(huì)到真正用數(shù)學(xué)建模的方法來(lái)進(jìn)行設(shè)計(jì)是很復(fù)雜的過(guò)程,只依靠數(shù)學(xué)知識(shí)是不夠的,必須和實(shí)際工作者的經(jīng)驗(yàn)緊密結(jié)合.第二十二頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日

1.了解問(wèn)題的實(shí)際背景，明確建模目的，收集掌握必要的數(shù)據(jù)資料。

2.在明確建模目的，掌握必要資料的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)資料的分析計(jì)算，找出起主要作用的因素，經(jīng)必要的精煉、簡(jiǎn)化，提出若干符合客觀實(shí)際的假設(shè)。

3.在所作假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具去刻劃各變量之間的關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)建模——即建立數(shù)學(xué)模型。

4.模型求解。

5.模型的分析與檢驗(yàn)。

在難以得出解析解時(shí)，也應(yīng)當(dāng)借助計(jì)算機(jī)求出數(shù)值解。

數(shù)學(xué)建模的一般步驟第二十三頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日模型評(píng)價(jià)模型應(yīng)用模型檢驗(yàn)第二十四頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日應(yīng)用領(lǐng)域人口,生態(tài),交通,環(huán)境,經(jīng)濟(jì)等數(shù)學(xué)方法初等數(shù)學(xué),網(wǎng)絡(luò),微分方程,運(yùn)籌,隨機(jī)模型等表現(xiàn)特性描述,分析,預(yù)報(bào),決策,控制等建模目的了解程度白箱灰箱黑箱確定和隨機(jī)靜態(tài)和動(dòng)態(tài)線性和非線性離散和連續(xù)1.4數(shù)學(xué)模型的分類(lèi)第二十五頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日①數(shù)學(xué)建模實(shí)踐的每一步中都蘊(yùn)含著能力上的鍛煉，在調(diào)查研究階段，需要用到觀察能力、分析能力和數(shù)據(jù)處理能力等。在提出假設(shè)時(shí)，又需要用到想象力和歸納簡(jiǎn)化能力。②在真正開(kāi)始自己的研究之前，還應(yīng)當(dāng)盡可能先了解一下前人或別人的工作，使自己的工作成為別人研究工作的繼續(xù)而不是別人工作的重復(fù)，你可以把某些已知的研究結(jié)果用作你的假設(shè)，去探索新的奧秘。因此我們還應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)在盡可能短的時(shí)間內(nèi)查到并學(xué)會(huì)想應(yīng)用的知識(shí)的本領(lǐng)。③還需要你多少要有點(diǎn)創(chuàng)新的能力。這種能力不是生來(lái)就有的，建模實(shí)踐就為你提供了一個(gè)培養(yǎng)創(chuàng)新能力的機(jī)會(huì)。1.5

數(shù)學(xué)建模與能力的培養(yǎng)開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)建模課的主要目的為了提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的本領(lǐng)。撰寫(xiě)論文的初步方法.數(shù)學(xué)建模與其說(shuō)是一門(mén)技術(shù),不如說(shuō)是一門(mén)藝術(shù).

技術(shù)大致有章可循,藝術(shù)無(wú)法歸納成普遍適用的準(zhǔn)則.第二十六頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日1雨中行走2實(shí)物交換3汽車(chē)剎車(chē)距離4公平的席位分配5發(fā)射衛(wèi)星為什么用三級(jí)火箭系統(tǒng)?1.6

初等方法建模第二十七頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日一個(gè)雨天，你有件急事需要從家中到學(xué)校去，學(xué)校離家不遠(yuǎn)，僅一公里，況且事情緊急，你來(lái)不及花時(shí)間去翻找雨具，決定碰一下運(yùn)氣，頂著雨去學(xué)校。假設(shè)剛剛出發(fā)雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你將被大雨淋濕。一個(gè)似乎很簡(jiǎn)單的事情是你應(yīng)該在雨中盡可能地快走，以減少雨淋的時(shí)間。但如果考慮到降雨方向的變化，在全部距離上盡力地快跑不一定是最好的策略。試建立數(shù)學(xué)模型來(lái)探討如何在雨中行走才能減少淋雨的程度。1雨中行走第二十八頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日1建模準(zhǔn)備建模目標(biāo)：在給定的降雨條件下，設(shè)計(jì)一個(gè)雨中行走的策略，使得你被雨水淋濕的程度最小。主要因素：淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（風(fēng)），路程的遠(yuǎn)近，行走的速度2）降雨大小用降雨強(qiáng)度厘米/時(shí)來(lái)描述，降雨強(qiáng)度指單位時(shí)間平面上的降下水的厚度。在這里可視其為一常量。3）風(fēng)速保持不變。4）你一定常的速度米/秒跑完全程米。2模型假設(shè)及符號(hào)說(shuō)明1）把人體視為長(zhǎng)方體，身高米，寬度米，厚度米。淋雨總量用升來(lái)記。由于人身體的表面非常復(fù)雜,為了使問(wèn)題簡(jiǎn)化,假設(shè)將人視為長(zhǎng)方體.第二十九頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日2）降雨大小用降雨強(qiáng)度厘米/時(shí)來(lái)描述，降雨強(qiáng)度指單位時(shí)間平面上的降下水的厚度。在這里可視其為一常量。3）風(fēng)速保持不變。4）你一定常的速度米/秒跑完全程米。1）把人體視為長(zhǎng)方體，身高米，寬度米，厚度米。淋雨總量用升來(lái)記。2模型假設(shè)及符號(hào)說(shuō)明由于人身體的表面非常復(fù)雜,為了使問(wèn)題簡(jiǎn)化,假設(shè)將人視為長(zhǎng)方體.第三十頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日3模型建立與計(jì)算1）不考慮雨的方向，此時(shí)，你的前后左右和上方都將淋雨。淋雨的面積雨中行走的時(shí)間降雨強(qiáng)度模型中結(jié)論，淋雨量與速度成反比。這也驗(yàn)證了盡可能快跑能減少淋雨量。第三十一頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日從而可以計(jì)算被淋的雨水的總量為2.041（升）。經(jīng)仔細(xì)分析，可知你在雨中只跑了2分47秒，但被淋了2升的雨水，大約有4酒瓶的水量。這是不可思議的。表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合實(shí)際。原因：不考慮降雨的方向的假設(shè)，使問(wèn)題過(guò)于簡(jiǎn)化。第三十二頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日2）考慮降雨方向。人前進(jìn)的方向若記雨滴下落速度為（米/秒）雨滴的密度為雨滴下落的反方向表示在一定的時(shí)刻在單位體積的空間內(nèi)，由雨滴所占的空間的比例數(shù)，也稱(chēng)為降雨強(qiáng)度系數(shù)。所以，因?yàn)榭紤]了降雨的方向，淋濕的部位只有頂部和前面。分兩部分計(jì)算淋雨量。第三十三頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日頂部的淋雨量前表面淋雨量總淋雨量（基本模型）第三十四頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日可以看出：淋雨量與降雨的方向和行走的速度有關(guān)。問(wèn)題轉(zhuǎn)化為給定，如何選擇使得最小。情形1結(jié)果表明：淋雨量是速度的減函數(shù)，當(dāng)速度盡可能大時(shí)淋雨量達(dá)到最小。假設(shè)你以6米/秒的速度在雨中猛跑，則計(jì)算得第三十五頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日情形2結(jié)果表明：淋雨量是速度的減函數(shù)，當(dāng)速度盡可能大時(shí)淋雨量達(dá)到最小。假設(shè)你以6米/秒的速度在雨中猛跑，則計(jì)算得情形3此時(shí)，雨滴將從后面向你身上落下。第三十六頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日出現(xiàn)這個(gè)矛盾的原因：我們給出的基本模型是針對(duì)雨從你的前面落到身上情形。因此，對(duì)于這種情況要另行討論。當(dāng)行走速度慢于雨滴的水平運(yùn)動(dòng)速度，即這時(shí)，雨滴將淋在背上，而淋在背上的雨水量是淋雨總量為第三十七頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日再次代如數(shù)據(jù)，得結(jié)果表明：當(dāng)行走速度等于雨滴下落的水平速度時(shí)，淋雨量最小，僅僅被頭頂上的雨水淋濕了。若雨滴是以的角度落下，即雨滴以的角從背后落下，你應(yīng)該以此時(shí)，淋雨總量為這意味著你剛好跟著雨滴前進(jìn)，前后都沒(méi)淋雨。第三十八頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)行走速度快于雨滴的水平運(yùn)動(dòng)速度，即你不斷地追趕雨滴，雨水將淋濕你的前胸。被淋得雨量是淋雨總量為若雨是迎著你前進(jìn)的方向向你落下,這時(shí)的策略很簡(jiǎn)單,應(yīng)以最大的速度向前跑；若雨是從你的背后落下,你應(yīng)控制你在雨中的行走速度,讓它剛好等于落雨速度的水平分量。第三十九頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日問(wèn)題甲有物品X,乙有物品Y,雙方為滿足更高的需要，商定相互交換一部分。研究實(shí)物交換方案。yxp.用x,y分別表示甲(乙)占有X,Y的數(shù)量。設(shè)交換前甲占有X的數(shù)量為x0,乙占有Y的數(shù)量為y0,作圖：若不考慮雙方對(duì)X,Y的偏愛(ài)，則矩形內(nèi)任一點(diǎn)p(x,y)都是一種交換方案：甲占有(x,y)，乙占有(x0-x,y0-y)xyyo0xo??2實(shí)物交換第四十頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日xyyoy1y20x1x2xop1p2..甲的無(wú)差別曲線分析與建模如果甲占有(x1,y1)與占有(x2,y2)具有同樣的滿意程度，即p1,p2對(duì)甲是無(wú)差別的，MN將所有與p1,p2無(wú)差別的點(diǎn)連接起來(lái)，得到一條無(wú)差別曲線MN,線上各點(diǎn)的滿意度相同,線的形狀反映對(duì)X,Y的偏愛(ài)程度，N1M1p3(x3,y3).比MN各點(diǎn)滿意度更高的點(diǎn)如p3，在另一條無(wú)差別曲線M1N1上。于是形成一族無(wú)差別曲線（無(wú)數(shù)條）。第四十一頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日p1.p2.c1y0xf(x,y)=c1無(wú)差別曲線族的性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)減(x增加,y減小)下凸(凸向原點(diǎn))互不相交在p1點(diǎn)占有x少、y多，寧愿以較多的y換取較少的x;在p2點(diǎn)占有y少、x多，就要以較多的

x換取較少的y。甲的無(wú)差別曲線族記作f(x,y)=c1c1~滿意度（f~等滿意度曲線）第四十二頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日xyOg(x,y)=c2c2乙的無(wú)差別曲線族g(x,y)=c2具有相同性質(zhì)（形狀可以不同）雙方的交換路徑xyyoOxof=c1O‘x’y’g=c2乙的無(wú)差別曲線族g=c2

(坐標(biāo)系x’O’y’,且反向）甲的無(wú)差別曲線族f=c1ABp

P’

雙方滿意的交換方案必在AB（交換路徑）上因?yàn)樵贏B外的任一點(diǎn)p’,(雙方)滿意度低于AB上的點(diǎn)p兩族曲線切點(diǎn)連線記作AB第四十三頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日ABp交換方案的進(jìn)一步確定交換方案~交換后甲的占有量(x,y)0xx0,0yy0矩形內(nèi)任一點(diǎn)交換路徑AB雙方的無(wú)差別曲線族等價(jià)交換原則X,Y用貨幣衡量其價(jià)值，設(shè)交換前x0,y0價(jià)值相同，則等價(jià)交換原則下交換路徑為CD(x0,0),(0,y0)兩點(diǎn)的連線CDAB與CD的交點(diǎn)p設(shè)X單價(jià)a,Y單價(jià)b,則等價(jià)交換下ax+by=s(s=ax0+by0)yyo0xo..x第四十四頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日美國(guó)的某些司機(jī)培訓(xùn)課程中的駕駛規(guī)則：背景與問(wèn)題正常駕駛條件下,車(chē)速每增10英里/小時(shí)，后面與前車(chē)的距離應(yīng)增一個(gè)車(chē)身的長(zhǎng)度。實(shí)現(xiàn)這個(gè)規(guī)則的簡(jiǎn)便辦法是“2秒準(zhǔn)則”：后車(chē)司機(jī)從前車(chē)經(jīng)過(guò)某一標(biāo)志開(kāi)始默數(shù)

2秒鐘后到達(dá)同一標(biāo)志，而不管車(chē)速如何判斷“2秒準(zhǔn)則”與“車(chē)身”規(guī)則是否一樣；建立數(shù)學(xué)模型，尋求更好的駕駛規(guī)則。3汽車(chē)剎車(chē)距離第四十五頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日問(wèn)題分析常識(shí)：剎車(chē)距離與車(chē)速有關(guān)10英里/小時(shí)(16公里/小時(shí))車(chē)速下2秒鐘行駛29英尺(9米)>>車(chē)身的平均長(zhǎng)度15英尺(=4.6米)“2秒準(zhǔn)則”與“10英里/小時(shí)加一車(chē)身”規(guī)則不同剎車(chē)距離反應(yīng)時(shí)間司機(jī)狀況制動(dòng)系統(tǒng)靈活性制動(dòng)器作用力、車(chē)重、車(chē)速、道路、氣候……最大制動(dòng)力與車(chē)質(zhì)量成正比，使汽車(chē)作勻減速運(yùn)動(dòng)。車(chē)速常數(shù)反應(yīng)距離制動(dòng)距離常數(shù)第四十六頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日假設(shè)與建模1.剎車(chē)距離d等于反應(yīng)距離d1與制動(dòng)距離d2之和2.反應(yīng)距離d1與車(chē)速v成正比3.剎車(chē)時(shí)使用最大制動(dòng)力F，F(xiàn)作功等于汽車(chē)動(dòng)能的改變;Fd2=mv2/2F

mt1為反應(yīng)時(shí)間且F與車(chē)的質(zhì)量m成正比第四十七頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日反應(yīng)時(shí)間t1的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)值為0.75秒?yún)?shù)估計(jì)利用交通部門(mén)提供的一組實(shí)際數(shù)據(jù)擬合k模型最小二乘法k=0.06計(jì)算剎車(chē)距離、剎車(chē)時(shí)間車(chē)速(英里/小時(shí))(英尺/秒)實(shí)際剎車(chē)距離（英尺）計(jì)算剎車(chē)距離（英尺）剎車(chē)時(shí)間（秒）2029.342（44）39.01.53044.073.5（78）76.61.84058.7116（124）126.22.15073.3173（186）187.82.56088.0248（268）261.43.070102.7343（372）347.13.680117.3464（506）444.84.3第四十八頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日“2秒準(zhǔn)則”應(yīng)修正為“t秒準(zhǔn)則”模型車(chē)速(英里/小時(shí))剎車(chē)時(shí)間（秒）201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3車(chē)速（英里/小時(shí)）0~1010~4040~6060~80t（秒）1234第四十九頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日系別學(xué)生比例20席的分配人數(shù)（%）比例結(jié)果甲10351.5

乙6331.5

丙3417.0總和200100.020.02021席的分配比例結(jié)果10.8156.6153.57021.00021問(wèn)題三個(gè)系學(xué)生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表會(huì)議共20席，按比例分配，三個(gè)系分別為10，6，4席。現(xiàn)因?qū)W生轉(zhuǎn)系，三系人數(shù)為103,63,34,問(wèn)20席如何分配。若增加為21席，又如何分配。比例加慣例對(duì)丙系公平嗎系別學(xué)生比例20席的分配人數(shù)（%）比例結(jié)果甲10351.510.3

乙6331.56.3

丙3417.03.4總和200100.020.020系別學(xué)生比例20席的分配人數(shù)（%）比例結(jié)果甲10351.510.310

乙6331.56.36

丙3417.03.44總和200100.020.02021席的分配比例結(jié)果10.815116.61573.570321.000214公平的席位分配第五十頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日“公平”分配方法衡量公平分配的數(shù)量指標(biāo)人數(shù)席位A方p1

n1B方p2n2當(dāng)p1/n1=p2/n2時(shí)，分配公平

p1/n1–p2/n2~對(duì)A的絕對(duì)不公平度p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n2=10p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2=100p1/n1–p2/n2=5但后者對(duì)A的不公平程度已大大降低!雖二者的絕對(duì)不公平度相同若p1/n1>p2/n2，對(duì)不公平A

p1/n1–p2/n2=5第五十一頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日公平分配方案應(yīng)使rA

,rB

盡量小設(shè)A,B已分別有n1,n2席，若增加1席，問(wèn)應(yīng)分給A,還是B不妨設(shè)分配開(kāi)始時(shí)p1/n1>p2/n2，即對(duì)A不公平~對(duì)A的相對(duì)不公平度將絕對(duì)度量改為相對(duì)度量類(lèi)似地定義rB(n1,n2)將一次性的席位分配轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的席位分配,即“公平”分配方法若p1/n1>p2/n2，定義第五十二頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日1）若p1/(n1+1)>p2/n2

，則這席應(yīng)給A2）若p1/(n1+1)<p2/n2

，3）若p1/n1>p2/(n2+1)，應(yīng)計(jì)算rB(n1+1,n2)應(yīng)計(jì)算rA(n1,n2+1)若rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),則這席應(yīng)給應(yīng)討論以下幾種情況初始p1/n1>p2/n2

問(wèn)：p1/n1<p2/(n2+1)

是否會(huì)出現(xiàn)？A否!若rB(n1+1,n2)>rA(n1,n2+1),則這席應(yīng)給B第五十三頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),該席給ArA,rB的定義該席給A否則,該席給B定義該席給Q值較大的一方推廣到m方分配席位該席給Q值最大的一方Q值方法計(jì)算，第五十四頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日三系用Q值方法重新分配21個(gè)席位按人數(shù)比例的整數(shù)部分已將19席分配完畢甲系：p1=103,n1=10乙系：p2=63,n2=6丙系：p3=34,n3=3用Q值方法分配第20席和第21席第20席第21席同上Q3最大，第21席給丙系甲系11席，乙系6席，丙系4席Q值方法分配結(jié)果公平嗎？Q1最大，第20席給甲系第五十五頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，說(shuō)明為什么不能用一級(jí)火箭而必須用多級(jí)火箭來(lái)發(fā)射人造衛(wèi)星？為什么一般都采用三級(jí)火箭系統(tǒng)？1、為什么不能用一級(jí)火箭發(fā)射人造衛(wèi)星?

（1）衛(wèi)星能在軌道上運(yùn)動(dòng)的最低速度假設(shè)：（i）衛(wèi)星軌道為過(guò)地球中心的某一平面上的圓，衛(wèi)星在此軌道上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。（ii）地球是固定于空間中的均勻球體，其它星球?qū)πl(wèi)星的引力忽略不計(jì)。分析：根據(jù)牛頓第三定律，地球?qū)πl(wèi)星的引力為:在地面有:得:k=gR2

R為地球半徑，約為6400公里故引力:假設(shè)(ii)5為什么要用三級(jí)火箭發(fā)射人造衛(wèi)星第五十六頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日dmm-dmvu-v假設(shè)(i)衛(wèi)星所受到的引力也就是它作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力故又有:從而:設(shè)g=9.81米/秒2，得:

衛(wèi)星離地面高度

(公里)衛(wèi)星速度

(公里/秒)10020040060080010007.807.697.587.477.377.86（2）火箭推進(jìn)力及速度的分析假設(shè)：火箭重力及空氣阻力均不計(jì)分析：記火箭在時(shí)刻t的質(zhì)量和速度分別為m(t)和υ(t)有：記火箭噴出的氣體相對(duì)于火箭的速度為u（常數(shù)），由動(dòng)量守恒定理：υ0和m0一定的情況下，火箭速度υ(t)由噴發(fā)速度u及質(zhì)量比決定。

故：由此解得：(3.11)

第五十七頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日（2）火箭推進(jìn)力及速度的分析現(xiàn)將火箭——衛(wèi)星系統(tǒng)的質(zhì)量分成三部分：（i）mP（有效負(fù)載，如衛(wèi)星）（ii）mF（燃料質(zhì)量）（iii）mS（結(jié)構(gòu)質(zhì)量——如外殼、燃料容器及推進(jìn)器）。最終質(zhì)量為mP+mS

，初始速度為0，所以末速度：根據(jù)目前的技術(shù)條件和燃料性能，u只能達(dá)到3公里/秒，即使發(fā)射空殼火箭，其末速度也不超過(guò)6.6公里/秒。目前根本不可能用一級(jí)火箭發(fā)射人造衛(wèi)星火箭推進(jìn)力在加速整個(gè)火箭時(shí)，其實(shí)際效益越來(lái)越低。如果將結(jié)構(gòu)質(zhì)量在燃料燃燒過(guò)程中不斷減少，那么末速度能達(dá)到要求嗎？第五十八頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日2、理想火箭模型假設(shè)：記結(jié)構(gòu)質(zhì)量mS在mS+mF中占的比例為λ，假設(shè)火箭理想地好，它能隨時(shí)拋棄無(wú)用的結(jié)構(gòu)，即結(jié)構(gòu)質(zhì)量與燃料質(zhì)量以λ與（1-λ）的比例同時(shí)減少。建模:

由

得到：解得：

理想火箭與一級(jí)火箭最大的區(qū)別在于，當(dāng)火箭燃料耗盡時(shí)，結(jié)構(gòu)質(zhì)量也逐漸拋盡，它的最終質(zhì)量為mP，所以最終速度為：

只要m0足夠大，我們可以使衛(wèi)星達(dá)到我們希望它具有的任意速度。考慮到空氣阻力和重力等因素，估計(jì)（按比例的粗略估計(jì)）發(fā)射衛(wèi)星要使υ=10.5公里/秒才行，則可推