(人教版)2017年中考數(shù)學(xué)：題型(3)規(guī)律探索題(有答案)

PAGE題型三規(guī)律探索題類型一數(shù)式規(guī)律針對(duì)演練1.(2016新疆)如圖，下面每個(gè)圖形中的四個(gè)數(shù)都是按相同規(guī)律填寫的，根據(jù)此規(guī)律確定x的值為________．第1題圖2.(2016綏化)古希臘數(shù)學(xué)家把數(shù)1，3，6，10，15，21…叫三角數(shù)，它有一定的規(guī)律．若把第一個(gè)三角數(shù)記為a1，第二個(gè)三角數(shù)記為a2，…，第n個(gè)三角數(shù)記為an，計(jì)算a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4，…，由此推算a399＋a400＝________．3.(2016濟(jì)寧)按一定規(guī)律排列的一列數(shù)：eq\f(1,2)，1，1，eq\x()，eq\f(9,11)，eq\f(11,13)，eq\f(13,17)，…，請(qǐng)你仔細(xì)觀察，按照此規(guī)律方框內(nèi)的數(shù)字應(yīng)為________．4.(2016郴州)觀察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，….試猜想，32016的個(gè)位數(shù)字是________．5.(2016百色)觀察下列各式的規(guī)律：(a－b)(a＋b)＝a2－b2；(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4；…；可得到(a－b)(a2016＋a2015b＋…＋ab2015＋b2016)＝________．6.請(qǐng)觀察下列等式的規(guī)律：eq\f(1,1×3)＝eq\f(1,2)(1－eq\f(1,3))，eq\f(1,3×5)＝eq\f(1,2)(eq\f(1,3)－eq\f(1,5))，eq\f(1,5×7)＝eq\f(1,2)(eq\f(1,5)－eq\f(1,7))，eq\f(1,7×9)＝eq\f(1,2)(eq\f(1,7)－eq\f(1,9))，…，則eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,3×5)＋eq\f(1,5×7)＋…＋eq\f(1,99×101)＝________．7.(2016濱州)觀察下列式子：1×3＋1＝22；7×9＋1＝82；25×27＋1＝262；79×81＋1＝802；…可猜想第2016個(gè)式子為______________．8.(2016黃石)觀察下列等式：第1個(gè)等式：a1＝eq\f(1,1＋\r(2))＝eq\r(2)－1，第2個(gè)等式a2＝eq\f(1,\r(2)＋\r(3))＝eq\r(3)－eq\r(2)，第3個(gè)等式：a3＝eq\f(1,\r(3)＋2)＝2－eq\r(3)，第4個(gè)等式：a4＝eq\f(1,2＋\r(5))＝eq\r(5)－2，按上述規(guī)律，回答以下問題：(1)請(qǐng)寫出第n個(gè)等式：an＝__________________；(2)a1＋a2＋a3＋…＋an＝__________．9.(2011省卷20，9分)如下數(shù)表是由從1開始的連續(xù)自然數(shù)組成，觀察規(guī)律并完成各題的解答．(1)表中第8行的最后一個(gè)數(shù)是________，它是自然數(shù)________的平方，第8行共有________個(gè)數(shù)；(2)用含n的代數(shù)式表示：第n行的第一個(gè)數(shù)是________，最后一個(gè)數(shù)是________，第n行共有________個(gè)數(shù)；(3)求第n行各數(shù)之和．【答案】1．370【解析】觀察可得，第n個(gè)圖形的數(shù)字為：n2n－12n2n(2n－1)－n當(dāng)2n＝20時(shí)，n＝10，∴x＝2n(2n－1)－n＝20×(20－1)－10＝370.2．160000【解析】由a1＋a2＝4＝22，a3＋a4＝6＋10＝16＝42，a5＋a6＝15＋21＝36＝62，…，依此類推可得an＋an＋1＝(n＋1)2，∴a399＋a400＝4002＝160000.3．1【解析】將原來的一列數(shù)變形為eq\f(1,2)，eq\f(3,3)，eq\f(5,5)，□，eq\f(9,11)，eq\f(11,13)，eq\f(13,17)，觀察可以得出分子依次為從小到大排列的連續(xù)奇數(shù)，分母是依次從小到大排列的質(zhì)數(shù)，故方框內(nèi)填eq\f(7,7)，故答案為1.4．1【解析】從前幾個(gè)3的冪來看，它的個(gè)位數(shù)依次是3，9，7，1，第5個(gè)數(shù)跟第一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)相同，于是3的整數(shù)次冪的個(gè)位數(shù)是每四個(gè)數(shù)一個(gè)循環(huán)，2016÷4＝504，于是32016的個(gè)位數(shù)與34的個(gè)位數(shù)相同，即為1.5．a(chǎn)2017－b2017【解析】由題可知，(a－b)(a＋b)＝a2－b2，(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3，(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4，…，∴(a－b)(an＋an－1b＋an－2b2＋…＋a2bn－2＋abn－1＋bn)＝an＋1－bn＋1,∴當(dāng)n＝2016時(shí)，(a－b)(a2016＋a2015b＋…＋ab2015＋b2016)＝a2017－b2017.6.eq\f(50,101)【解析】原式＝eq\f(1,2)(1－eq\f(1,3))＋eq\f(1,2)(eq\f(1,3)－eq\f(1,5))＋eq\f(1,2)(eq\f(1,5)－eq\f(1,7))＋…＋eq\f(1,2)(eq\f(1,99)－eq\f(1,101))＝eq\f(1,2)(1－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,5)＋eq\f(1,5)－eq\f(1,7)＋…＋eq\f(1,99)－eq\f(1,101))＝eq\f(1,2)(1－eq\f(1,101))＝eq\f(50,101).7．(32016－2)×32016＋1＝(32016－1)2【解析】第①個(gè)式子轉(zhuǎn)化為：(31－2)×31＋1＝(31－1)2，第②個(gè)式子轉(zhuǎn)化為：(32－2)×32＋1＝(32－1)2，第③個(gè)式子轉(zhuǎn)化為：(33－2)×33＋1＝(33－1)2，第④個(gè)式子轉(zhuǎn)化為：(34－2)×34＋1＝(34－1)2，…，由以上規(guī)律可得，第n個(gè)式子為：(3n－2)×3n＋1＝(3n－1)2，當(dāng)n＝2016時(shí)，第2016個(gè)式子為：(32016－2)×32016＋1＝(32016－1)2.8．(1)eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)；(2)eq\r(n＋1)－1【解析】(1)a1＝eq\f(1,1＋\r(2))＝eq\r(2)－1，a2＝eq\f(1,\r(2)＋\r(3))＝eq\r(3)－eq\r(2)，a3＝eq\f(1,\r(3)＋\r(4))＝eq\r(4)－eq\r(3)，…，an＝eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)；(2)a1＋a2＋a3＋…＋an＝(eq\r(2)－1)＋(eq\r(3)－eq\r(2))＋(eq\r(4)－eq\r(3))＋(eq\r(5)－eq\r(4))＋…＋(eq\r(n＋1)－eq\r(n))＝eq\r(n＋1)－1.9．解：(1)64，8，15；【解法提示】仔細(xì)觀察第一行最后一個(gè)數(shù)是1＝12，且共有1個(gè)數(shù)；第二行最后一個(gè)數(shù)是4＝22，且共有3個(gè)數(shù)，第三行最后一個(gè)數(shù)是9＝32，且共有5個(gè)數(shù)，以此類推，可知第n行最后一個(gè)數(shù)可以表示為n2，且共有(2n－1)個(gè)數(shù)，所以第8行最后一個(gè)數(shù)是82＝64，共有2×8－1＝15個(gè)數(shù)；(2)n2－2n＋2，n2，2n－1；【解法提示】由(1)中的分析得知第n行的第一個(gè)數(shù)是(n－1)2＋1＝n2－2n＋2，最后一個(gè)數(shù)是n2，第n行共有(2n－1)個(gè)數(shù)；第n行各數(shù)之和為：eq\f(n2－2n＋2＋n2,2)×(2n－1)＝(n2－n＋1)(2n－1)．類型二圖形規(guī)律針對(duì)演練圖形累加規(guī)律探索1.(2016荊州)如圖，用黑白兩種顏色的菱形紙片，按黑色紙片數(shù)逐漸增加1的規(guī)律拼成下列圖案．若第n個(gè)圖案中有2017個(gè)白色紙片，則n的值為()第1題圖A.671B.672C.673D.6742.下列圖形都是由同樣大小的小圓圈按一定規(guī)律所組成的，其中第①個(gè)圖形中一共有6個(gè)小圓圈，第②個(gè)圖形中一共有9個(gè)小圓圈，第③個(gè)圖形中一共有12個(gè)小圓圈，…，按此規(guī)律排列，則第⑦個(gè)圖形中小圓圈的個(gè)數(shù)為()第2題圖A.21B.24C.27D.303.(2016重慶B卷)觀察下列一組圖形，其中圖形①中共有2顆星，圖形②中共有6顆星，圖形③中共有11顆星，圖形④中共有17顆星，…，按此規(guī)律，圖形⑧中星星的顆數(shù)是()第3題圖A.43B.45C.51D.534.(2015曲靖)用火柴棒按如圖所示的方式擺大小不同的“H”，依此規(guī)律，擺出第9個(gè)“H”需用火柴棒________根．第4題圖5.(2015深圳)觀察下列圖形，它們是按照一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第五個(gè)圖有________個(gè)太陽．第5題圖6.(2016安順)觀察下列砌鋼管的橫截面圖：第6題圖則第n個(gè)圖的鋼管數(shù)是__________(用含n的式子表示)．【答案】1．B【解析】對(duì)于每個(gè)圖中的白色紙片的個(gè)數(shù)，依次是4，7＝4＋3，10＝4＋3×2，…，那么，第n個(gè)圖中的白色紙片的個(gè)數(shù)為4＋3×(n－1)＝3n＋1，令3n＋1＝2017，解得n＝672.2．B【解析】第①個(gè)圖形有6個(gè)小圓圈，第②個(gè)圖形有6＋3＝9個(gè)小圓圈，第③個(gè)圖形有6＋3×2＝12個(gè)小圓圈，…，按照這個(gè)規(guī)律，第個(gè)圖形有6＋3(n－1)＝3n＋3個(gè)小圓圈，故第⑦個(gè)圖形一共有3×7＋3＝24個(gè)小圓圈．3．C【解析】圖形①中星星的顆數(shù)為：2＝1＋(2×1－1)，圖形②中星星的顆數(shù)為：6＝(1＋2)＋(2×2－1)，圖形③中星星的顆數(shù)為：11＝(1＋2＋3)＋(2×3－1)，圖形④中星星的顆數(shù)為：17＝(1＋2＋3＋4)＋(2×4－1)，…，圖形中星星的顆數(shù)為：(1＋2＋…＋n)＋(2n－1)＝eq\f(n（n＋1）,2)＋2n－1，所以圖形⑧中星星的顆數(shù)為：eq\f(8×（8＋1）,2)＋2×8－1＝51.4．29【解析】圖形序號(hào)火柴棒數(shù)量圖形序號(hào)與火柴棒數(shù)量的關(guān)系15根3×1＋2＝528根3×2＋2＝8311根3×3＋2＝11………n(3n＋2)根3×n＋2＝3n＋2∴第9個(gè)“H”所需的火柴棒的數(shù)量為3×9＋2＝29根．5．21【解析】∵所有圖形中，第一行太陽的個(gè)數(shù)分別為1，2，3，4，…，n，∴第五個(gè)圖形第一行太陽的個(gè)數(shù)為5，∵所有圖形中，第二行太陽的個(gè)數(shù)分別為1，2，4，8，…，2n－1，∴第五個(gè)圖形第二行太陽的個(gè)數(shù)為24＝16個(gè)太陽，∴第五個(gè)圖形共有5＋16＝21個(gè)太陽．6.eq\f(3,2)n2＋eq\f(3,2)n【解析】n1234…n鋼管數(shù)391830……規(guī)律eq\f(3×1×2,2)eq\f(3×2×3,2)eq\f(3×3×4,2)eq\f(3×4×5,2)…eq\f(3n（n＋1）,2)由表可知，第n個(gè)圖的鋼管數(shù)是eq\f(3n（n＋1）,2)＝eq\f(3,2)n2＋eq\f(3,2)n.圖形成倍遞變規(guī)律探索1.(2016六盤水)如圖，已知AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4…，若∠A＝70°，則∠An的度數(shù)為()A.eq\f(70°,2n)B.eq\f(70°,2n＋1)C.eq\f(70°,2n－1)D.eq\f(70°,2n－2)第1題圖第2題圖2.(2016內(nèi)江)一組正方形按如圖所示的方式放置，其中頂點(diǎn)B1在y軸上，頂點(diǎn)C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x軸上，已知正方形A1B1C1D1的邊長(zhǎng)為1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…則正方形A2016B2016C2016D2016的邊長(zhǎng)是()A.(eq\f(1,2))2015B.(eq\f(1,2))2016C.(eq\f(\r(3),3))2016D.(eq\f(\r(3),3))20153.(2016南平)如圖，已知直線l：y＝2x，分別過x軸上的點(diǎn)A1(1，0)、A2(2，0)、…、An(n，0)，作垂直于x軸的直線交l于點(diǎn)B1、B2、…、Bn，將△OA1B1、四邊形A1A2B2B1、…、四邊形An－1AnBnBn－1的面積依次記為S1、S2、…、Sn，則Sn＝()A.n2B.2n＋1C.2nD.2n－1第3題圖第4題圖4.(2016威海)如圖，點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(1，0)，A2在y軸的正半軸上，且∠A1A2O＝30°，過點(diǎn)A2作A2A3⊥A1A2，垂足為A2，交x軸于點(diǎn)A3；過點(diǎn)A3作A3A4⊥A2A3，垂足為A3，交y軸于點(diǎn)A4；過點(diǎn)A4作A4A5⊥A3A4，垂足為A4，交x軸于點(diǎn)A5；過點(diǎn)A5作A5A6⊥A4A5，垂足為A5，交y軸于點(diǎn)A6；…按此規(guī)律進(jìn)行下去，則點(diǎn)A2016的縱坐標(biāo)為________．5.(2016欽州)如圖，∠MON＝60°，作邊長(zhǎng)為1的正六邊形A1B1C1D1E1F1，邊A1B1、F1E1分別在射線OM、ON上，邊C1D1所在的直線分別交OM、ON于點(diǎn)A2、F2，以A2F2為邊作正六邊形A2B2C2D2E2F2，邊C2D2所在的直線分別交OM、ON于點(diǎn)A3，F(xiàn)3，再以A3F3為邊作正六邊形A3B3C3D3E3F3，…，依此規(guī)律，經(jīng)第n次作圖后，點(diǎn)Bn到ON的距離是________．第5題圖【答案】1．C【解析】在∵△ABA1中，AB＝A1B，∴∠A＝∠BA1A，∵A1A2＝A1B1，∴∠B1A2A1＝eq\f(1,2)∠BA1A，同理，∠B2A3A2＝eq\f(1,2)∠B1A2A1＝eq\f(1,4)∠BA1A，∴∠An＝eq\f(1,2n－1)∠BA1A＝eq\f(70°,2n－1).2．D【解析】易得△B2C2E2∽△C1D1E1，∴eq\f(B2C2,C1D1)＝eq\f(B2E2,C1E1)＝eq\f(C2E2,D1E1)＝eq\f(C2E2,B2E2)＝tan30°，∴B2C2＝C1D1·tan30°＝eq\f(\r(3),3)，∴C2D2＝eq\f(\r(3),3)，同理，B3C3＝C2D2·tan30°＝(eq\f(\r(3),3))2，由此猜想BnCn＝(eq\f(\r(3),3))n－1，∴當(dāng)n＝2016時(shí)，B2016C2016＝(eq\f(\r(3),3))2015，故選D.3．D【解析】由題意可知，△OA1B1∽△OA2B2∽△OA3B3∽…∽△OAnBn且相似比為1∶2∶3∶…∶n，∴其面積比為1∶4∶9∶…∶n2，∴S1∶S2∶S3∶…∶Sn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)，∵A1(1，0)，過點(diǎn)A1作垂直于x軸的直線交l：y＝2x于點(diǎn)B1，∴OA1＝1，A1B1＝2，∴S△OA1B1＝1，∴Sn＝2n－1.4．－31007eq\r(3)【解析】∵A1(1，0)，∠A1A2O＝30°，∴A2(0，eq\r(3))，∵A2A3⊥A1A2，∴∠A3A2O＝60°，∴∠A2A3O＝30°，∴A3(－3，0)，同理，A4(0，－3eq\r(3))，A5(9，0)，A6(0，9eq\r(3))，A7(－27，0)，A8(0，－27eq\r(3))，…，即，A2(0，eq\r(3))，A4(0，－3eq\r(3))，A6(0，9eq\r(3))，A8(0，－27eq\r(3))，列表如下：A2eq\r(3)×(－3)0…(2－2)÷2＝0A4eq\r(3)×(－3)1…(4－2)÷2＝1A6eq\r(3)×(－3)2…(6－2)÷2＝2A8eq\r(3)×(－3)3…(8－2)÷2＝3…………Aneq\r(3)×(－3)(eq\f(n,2)－1)…(n－2)÷2＝eq\f(n,2)－1∴An＝eq\r(3)×，∵2016÷2－1＝1007，∴A2016的縱坐標(biāo)是-31007eq\r(3).5．3n－1eq\r(3)【解析】由題意可知，∠MON＝60°，設(shè)點(diǎn)Bn到ON的距離為hn，∵正六邊形A1B1C1D1E1F1的邊長(zhǎng)為1，∴A1B1＝1，易知△A1OF1為等邊三角形，∴A1B1＝OA1＝1，∴OB1＝2，則h1＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，又∵OA2＝A2F2＝A2B2＝3，∴OB2＝6，則h2＝6×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3)，同理可求，OB3＝18，則h3＝18×eq\f(\r(3),2)＝9eq\r(3)，…，依此可得，OBn＝2×3n－1，則hn＝2×3n－1×eq\f(\r(3),2)＝3n－1eq\r(3)，∴點(diǎn)Bn到ON的距離為3n－1eq\r(3).圖形循環(huán)規(guī)律探索1.(2016河南)如圖，已知菱形OABC的頂點(diǎn)O(0，0)，B(2，2)，若菱形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)45°，則第60秒時(shí)，菱形的對(duì)角線交點(diǎn)D的坐標(biāo)為()A.(1，－1)B.(－1，－1)C.(eq\r(2)，0)D.(0，－eq\r(2))第1題圖第2題圖2.下列一串梅花圖案是按一定規(guī)律排列的，請(qǐng)你仔細(xì)觀察，在前2016個(gè)梅花圖案中，共有________個(gè)“”圖案．3.如圖，正五邊形五個(gè)頂點(diǎn)標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5，一只青蛙在五個(gè)頂點(diǎn)上跳，若它停在奇數(shù)點(diǎn)上，則下一次沿順時(shí)針方向跳兩個(gè)點(diǎn)；若它停在偶數(shù)點(diǎn)上，則下一次沿逆時(shí)針方向跳一個(gè)點(diǎn)；若青蛙從標(biāo)有數(shù)字5的頂點(diǎn)開始跳，第一次跳后落在標(biāo)有數(shù)字2的頂點(diǎn)上，第二次跳后落在標(biāo)有數(shù)字1的頂點(diǎn)上，…，則第2017次跳后所停的頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)字為__________．第3題圖4.(2016三明)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)O出發(fā)，沿著箭頭所示方向，每次移動(dòng)1個(gè)單位，依次得到點(diǎn)P1(0，1)，P2(1，1)，P3(1，0)，P4(1，－1)，P5(2，－1)，P6(2，0)，…，則點(diǎn)P60的坐標(biāo)是________．第4題圖第5題圖5.(2016聊城)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為1的正方形OA1B1C1的兩邊在坐標(biāo)軸上，以它的對(duì)角線OB1為邊作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的對(duì)角線OB2為邊作正方形OB2B3C3，以此類推…，則正方形OB2015B2016C2016的頂點(diǎn)B2016的坐標(biāo)是________．【答案】1．B【解析】∵菱形OABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為O(0，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(2，2)，∴BO與x軸的夾角為45°，∵菱形的對(duì)角線互相垂直平分，∴點(diǎn)D是線段OB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是(1，1)，∵菱形繞點(diǎn)O逆時(shí)