既不離散也不連續(xù)的隨機(jī)變量

目錄TOC\o"1-5"\h\z中文摘要 1英文摘要 1\o"CurrentDocument"一、引言 2二、隨機(jī)變量及其分布 2（一）隨機(jī)變量及其分布 2\o"CurrentDocument"1．隨機(jī)變量的概念 2\o"CurrentDocument"2．分布函數(shù)的定義 2\o"CurrentDocument"3．分布函數(shù)的性質(zhì) 3\o"CurrentDocument"（二）離散型隨機(jī)變量 3\o"CurrentDocument"1．離散型隨機(jī)變量及其分布的定義 3\o"CurrentDocument"2．分布列的基本性質(zhì) 3\o"CurrentDocument"3．用分布函數(shù)判別離散型隨機(jī)變量的一種方法 6\o"CurrentDocument"（三）非離散型隨機(jī)變量 6\o"CurrentDocument"1．連續(xù)型隨機(jī)變量及密度函數(shù)的定義 7\o"CurrentDocument"2．密度函數(shù)的性質(zhì) 7\o"CurrentDocument"3．連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)的特征 8\o"CurrentDocument"4。非離散非連續(xù)的隨機(jī)變量 8\o"CurrentDocument"三、既不離散也不連續(xù)的隨機(jī)變量及其判別 9\o"CurrentDocument"（一）隨機(jī)變量的判別 9\o"CurrentDocument"（二）既不離散也不連續(xù)的隨機(jī)變量的判別 9\o"CurrentDocument"（三）考研中常見(jiàn)的非離散非連續(xù)的隨機(jī)變量示例 11\o"CurrentDocument"四、結(jié)束語(yǔ) 13\o"CurrentDocument"參考文獻(xiàn) 13既不離散也不連續(xù)的隨機(jī)變量惠敏摘要：通過(guò)對(duì)隨機(jī)變量進(jìn)行分類，借助離散型、連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)、性質(zhì)、數(shù)字特征及其必要條件的討論，給出了判別既不離散也不連續(xù)的隨機(jī)變量的方法，即用離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)必要條件的逆否命題加以判別，文中給出了大量例證，并給出了近幾年考研中遇到的此類題目，使初學(xué)者對(duì)隨機(jī)變量的分類有更為深刻的理解。關(guān)鍵詞：離散型隨機(jī)變量；連續(xù)型隨機(jī)變量；既不離散也不連續(xù)的隨機(jī)變量；分布函數(shù)NeitherDiscreteNorContinuousRandomVariablePengHui-minAbstract:Throughthestudyoftheclassificationofrandomvariablesandthediscussionofthedistributionfunction,thenature,thedigitalcharacteristics,aswellasthenecessaryconditionsofbothdiscreteandcontinuousrandomvariable,thispaperdemonstratesthemeansofdiscriminatingtheneitherdiscretenorcontinuousrandomvariable,thatis,byvirtueoftheconverse-negativepropositionofthenecessaryconditionsofthetwovariables'distributionfunction.Alargenumberofexamplesandexaminationquestionsofthiskindappearedintherecentfewyearsofpostgraduateentranceexamsaregivensoastorenderanin-depthunderstandingoftheclassificationoftherandomvariablestothebeginners.Keywords:discreterandomvariable;continuousrandomvariable;neitherdiscretenorcontinuousrandomvariable;distributionfunction、引言除了離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量之外，還有既不離散也不連續(xù)的隨機(jī)變量，有的教科書(shū)上稱“由于這種情況比較復(fù)雜，一般不對(duì)這種情況加以討論”，所以很多教科書(shū)上根本不提及既不離散也不連續(xù)的隨機(jī)變量，以至于初學(xué)者認(rèn)為只有離散型和連續(xù)型兩類隨機(jī)變量，造成很大的誤解。應(yīng)該說(shuō)，隨機(jī)變量分為離散型和非離散型隨機(jī)變量，在非離散型隨機(jī)變量中有一類重要的隨機(jī)變量是連續(xù)型隨機(jī)變量，除此之外還有既不離散也不連續(xù)的隨機(jī)變量。在我們所研究的隨機(jī)變量中，主要有兩類，這就是離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量。二、隨機(jī)變量及其分布(一)隨機(jī)變量及其分布1．隨機(jī)變量的概念設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間是Q=佃｝,如果對(duì)于每一個(gè)oeQ都有一個(gè)實(shí)數(shù)和它相對(duì)應(yīng)，這樣就得到一個(gè)Q上的實(shí)值函數(shù)X(O)，稱X(O)為隨機(jī)變量⑴。隨機(jī)變量按其取值情況可分為兩類:離散型隨機(jī)變量和非離散型隨機(jī)量［2］。如果隨機(jī)變量X的所有可能取值為有限個(gè)或可列個(gè)，則稱X為離散型隨機(jī)變量。非離散型隨機(jī)變量的情況比較復(fù)雜，它的所有可能取值不能一一列舉出來(lái)，其中的一種對(duì)于實(shí)際應(yīng)用最重要、最廣泛的稱為連續(xù)型隨機(jī)變量。X是一個(gè)隨機(jī)變量，如果存在(-2,+Q上的非負(fù)可積函數(shù)f(x)，使X的分布函數(shù)F(x)=Jxf(t)dt，則稱X為—g連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x)是X的概率密度函數(shù)。既不離散也不連續(xù)的隨機(jī)變量，一般教科書(shū)都不詳細(xì)介紹。這種隨機(jī)變量不常用，概率分布不易表達(dá)，用分布列只能表示其離散的部分，用密度函數(shù)只能表示其連續(xù)的部分，只有通過(guò)其分布函數(shù)F(x)=P｛X<x｝才能將分布表達(dá)清楚，而分布函數(shù)是初學(xué)者的難點(diǎn)。2．分布函數(shù)的定義設(shè)X(o)為隨機(jī)變量，對(duì)任意實(shí)數(shù)x,稱F(x)=P(X(o)<x)為隨機(jī)變量X(o)的分布函數(shù)。

3．分布函數(shù)的性質(zhì)任意分布函數(shù)F(x)都有如下三條基本性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性F(x)是定義在整個(gè)實(shí)軸(-卩+8)上的單調(diào)非遞減函數(shù)，即對(duì)任意的x<x，有F(x)<F(x).1212有界性對(duì)任意的x，有0<F(x)<1，且F(-^)=limF(x)=0,xT—g

F(8)=limF(x)=1.xTg右連續(xù)性F(x)是x的右連續(xù)函數(shù)，即對(duì)任意的x，有0limF(x)=F(x)

xTx+ 00+即F(x+0)=F(x)00這三條基本性質(zhì)成為判別某個(gè)函數(shù)是否成為分布函數(shù)的充要條件。二)離散型隨機(jī)變量1．離散型隨機(jī)變量及其分布的定義假如一個(gè)隨機(jī)變量?jī)H可能取有限個(gè)或可列個(gè)值，則稱其為離散隨機(jī)變量。設(shè)X是一個(gè)離散隨機(jī)變量，如果X的所有可能取值是x,x,…,x,…,則稱X取x12ni的概率=p(x)=p(X=x),i=1,2,...,n...ii為X的概率分布列或簡(jiǎn)稱分布列，記為X{p分布列也可用如下列表方式來(lái)表示：Xxi為X的概率分布列或簡(jiǎn)稱分布列，記為X{p分布列也可用如下列表方式來(lái)表示：Xxix2???xn???PP(x)1P(x)2???P(x)n???i、或記成iIp(xi)x2p(x)2nP(x)丿n2．分布列的基本性質(zhì)(1)非負(fù)性 P(x)>0,i=1,2,3i(2)正則性蘭p(x)=1.ii=1以上兩條基本性質(zhì)是分布列必須具有的性質(zhì)，也是判別某個(gè)數(shù)列是否能成為分布列的充要條件。由離散型隨機(jī)變量X的分布列很容易寫(xiě)出X的分布函數(shù)F(x)=工p(x)ixi它的圖形是有限級(jí)(或無(wú)窮極)的階梯函數(shù)。F(x)是一個(gè)跳躍函數(shù)，它在x處有跳躍度p(x).可見(jiàn)F(x)可以唯一決定x和i i ip(x).i例1、設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為X123P0.250.50.25試求X的概率分布列及P(X<0.5)，P(15<X<2.5)，并寫(xiě)出X的分布函數(shù)。解：P(X<0.5)=P(X=-1)=0.25，P(15<X<2.5)=P(X=2)=0.5.0, x<-1,0.25, —1<x<2,F(x)=$0.25+0.5=0.75, 2<x<3,0.25+0.5+0.25=1,x>3.F(x)的圖形如圖所示，它是一條階梯型的曲線，在X可能取值-1,2,3處有右連特別，常量c可看作僅取一個(gè)值的隨機(jī)變量X,即P(X=1)=c?這個(gè)分布常稱為單點(diǎn)分布或退化分布，它的分布函數(shù)是「0,x<c,F(x)=$11,x>c.Tf(x)單點(diǎn)分布函數(shù)圖以上例子可以得出這樣一個(gè)結(jié)論：離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)F（x）總是階梯函數(shù)。結(jié)論1若隨機(jī)變量E為離散型，那么其分布函數(shù)F（x）為階梯函數(shù)。證明g為離散型隨機(jī)變量?弋的分布列為P（g=x）=P，i=1,2,3,iiTOC\o"1-5"\h\z（不妨這里設(shè)x<x< <x<x< ）1 2 i i+1下證（1）當(dāng)x<x時(shí)，F(xiàn)（x）=0；1（2）當(dāng)x<x<x，i=1,2,3,時(shí)，F(xiàn)（x）二c（常數(shù)），且i i+1 i0<c<c<1.ii+1事實(shí)上，(1)當(dāng)x<x時(shí)，1F(x)=SP(g=x0=P(^)=0;k時(shí)，xk<x1時(shí)，(2)當(dāng)x<x<x，i=1,2,3,i i+1F(x)=》P(g=x)=》P(g=x).kkx：k<x k=1:這是g取i(有限)個(gè)值對(duì)應(yīng)概率相加???其和一定存在，記為C，即i當(dāng)x<x<x,i=1,2,3,時(shí)，F(xiàn)(x)=cTOC\o"1-5"\h\zi i+1 i顯然，0<c=》P(g=x)<2P(g=x)=c<1.i k k i+1k=1 k=1綜上可知，g的分布函數(shù)F?(x)為階梯函數(shù)。3．用分布函數(shù)判別離散型隨機(jī)變量的一種方法我們還可以借助分布函數(shù)來(lái)給出離散型隨機(jī)變量的判別條件。結(jié)論2設(shè)隨機(jī)變量￡的分布函數(shù)為F(x).若F(x)是階梯型函數(shù)，則g為離散型隨機(jī)變量。證明 F(x)是g的分布函數(shù)F(x)一定是右連續(xù)VF(x)是階梯函數(shù)F(x)是有有限個(gè)或可列個(gè)間斷點(diǎn)的分段函數(shù)不妨間斷點(diǎn)按由小到大的順序排列起來(lái)的順序?yàn)閄<x< <x<x<1 2 i i+10,c,10,c,1則F(x)=F2,1x<x<x12x<x<x 23c,x<x<xii i+1其中，c，i=1,2,3, ??為?常數(shù)，0<c<1ii下證P(g=x)=F(x+0)一F(x)， i=1,2,3,為g的分布列。i i i(1) F(x)是單調(diào)不減的函數(shù).?.P(g=x.?.P(g=x)=F(x+0)-F(x)=c-c>0i i i i i-1(2)???F(x+0)=F(x) ?i+1.?.無(wú)P(g=x)=工F(x+0)-F(x)]?? i 1- i i」°i=l=lim工PF(x+0)-F(x)]=limF(x)i n+1nXi=1綜合(1)、(2)可知P(g=x)=F(x+0)-F(x)，i=1,2,3,i i ii=1=1n+1ns是g的分布列。三)非離散型隨機(jī)變量

由于非離散型隨機(jī)變量的情況比較復(fù)雜，它的所有可能取值不能一一列舉出來(lái)但它總的情況可以分為連續(xù)型隨機(jī)變量和既不離散也不連續(xù)的隨機(jī)變量。1．連續(xù)型隨機(jī)變量及密度函數(shù)的定義[1]假如一個(gè)隨機(jī)變量的可能取值充滿數(shù)軸上的一個(gè)區(qū)間(a,b)，則稱其為連續(xù)隨機(jī)變量。定義設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，如果存在實(shí)軸上的一個(gè)非負(fù)可積函數(shù)p(x)，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x有F(x)=jxp(t)dt—g則稱p(x)為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱密度函數(shù)，或稱密度。2．密度函數(shù)的性質(zhì)非負(fù)性p(x)>0正則性j+8p(x)dx=1(含有p(x)的可積性)?！猤以上兩條性質(zhì)是密度函數(shù)必須具備的基本性質(zhì)，也是確定或判別某個(gè)函數(shù)是否成為密度函數(shù)的充要條件。例：向區(qū)間(0,a)上任意投點(diǎn)，用X表示點(diǎn)的坐標(biāo)。設(shè)這個(gè)點(diǎn)落在(0,a)中任意一個(gè)小區(qū)間的概率與這個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比，而與小區(qū)間的位置無(wú)關(guān)。求X得分布函數(shù)和密度函數(shù)。解：記X的分布函數(shù)為F(x)，則當(dāng)x<0時(shí)，因?yàn)椋鸛<x｝是不可能事件，所以F(x)=P(X<x)=0；當(dāng)x>a時(shí)，因?yàn)椋鸛<x｝是必然事件，所以F(x)=P(X<x)=1；當(dāng)0<x<a時(shí)，有F(x)=P(X<x)=P(0<X<x)=kx，其中k為比例系數(shù)。因?yàn)?=F(a)=ka，所以得k=丄.a于是X的分布函數(shù)為0, x<0,F(x)=<—, 0<x<a,ax>a.下面求X的密度函數(shù)p(x).當(dāng)x<0或x>a時(shí)，p(x)=F'(x)=0;當(dāng)0<x<a時(shí)，p(x)=F'(x)=1，a而在x=0和x=a處，p(x)可取任意值，一般就近取值為宜，這不會(huì)影響概率的計(jì)算，因?yàn)樗鼈兪菐缀跆幪幭嗟鹊拿芏群瘮?shù)。于是X的密度函數(shù)為

—,0<x<a,p(x)=+a、0, 其他.這個(gè)分布就是區(qū)間(0,a)上的均勻分布，記為U(0,a),其密度函數(shù)p(x)和分布函數(shù)的圖形如下。(0,a)上的均勻分布3．連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)的特征結(jié)論3設(shè)g為連續(xù)型隨機(jī)變量，F(xiàn)(x)是其分布函數(shù)，則F(x)是連續(xù)函數(shù)。證明?/Fx)是連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)由定義，存在非負(fù)可積函數(shù)p(x)，對(duì)Vxw(-a,+8)有F(x)=JxP(t)dt—g又由變動(dòng)積分上限函數(shù)的性質(zhì)可知，F(xiàn)x)連續(xù)故Fx)是R上的連續(xù)函數(shù)。4.非離散非連續(xù)的隨機(jī)變量除了離散型和連續(xù)型分布之外，還有既非離散又非連續(xù)的分布，見(jiàn)下例例：以下函數(shù)確是一個(gè)分布，它的圖形如圖所示。0,x<0,F(x)=<土,0<x<1,21,x>1.

0.5既非離散又非連續(xù)的分布函數(shù)示例從圖上看出，它既不是階梯函數(shù)，又不是連續(xù)函數(shù)，所以它既是非離散的又是非連續(xù)的分布。這類分布函數(shù)Fx）常可分解為兩個(gè)分布函數(shù)的凸組合，如上例中的分布函數(shù)可分解為F（x）=1F（x）+1F（x）2122其中F(x)=］F(x)=］，兀<，1 11,x>0.FJx）=<x, 0<x<1,1, x>1.而F（x）是（離散）單點(diǎn)分布函數(shù),1F（而F（x）是（離散）單點(diǎn)分布函數(shù),12三、既不離散也不連續(xù)的隨機(jī)變量及其判別（一）隨機(jī)變量的判別由結(jié)論1的逆否命題可得，結(jié)論4若隨機(jī)變量g的分布函數(shù)Fx）不是階梯函數(shù)，則g—定是非離散型隨機(jī)變量。由結(jié)論3的逆否命題可得，結(jié)論5若隨機(jī)變量g的分布函數(shù)Fx）不是連續(xù)函數(shù)，則g—定是非連續(xù)型隨機(jī)變量。（二）既不離散也不連續(xù)的隨機(jī)變量的判別既非離散又非連續(xù)的隨機(jī)變量的分布函數(shù)具有不同于離散型、連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)的特點(diǎn)［3］。（1） 分布函數(shù)是右連續(xù)，但卻不是在每一個(gè)分段區(qū)間是常函數(shù)，這一點(diǎn)區(qū)別于離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)。（2） 分布函數(shù)不是連續(xù)函數(shù)，在某些點(diǎn)處有跳躍性，這一點(diǎn)區(qū)別于連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)。綜上，我們可以得到一個(gè)既不離散也不連續(xù)隨機(jī)變量的判別條件。結(jié)論6若隨機(jī)變量g的分布函數(shù)fx)既不是階梯函數(shù)又不是連續(xù)函數(shù)，則g—定是既不離散也不連續(xù)的隨機(jī)變量。例4已知函數(shù)0, x<0F(x)=<0.5(x+1),0<x<11, x>1證明：Fx)是既不離散也不連續(xù)的某個(gè)隨機(jī)變量g的分布函數(shù)。證：先證fx)是g的分布函數(shù)。(1)單調(diào)性：設(shè)x<x，12若x、x<0，則F(x)=F(x)=0;1212若x<0，x>0，則0=F(x)<F(x);1212若0<x、x<1,則F(x)一F(x)=0.5(x+1)一0.5(x+1)=0.5(x-x)>0，12212121故F(x)<F(x);12若0<x<1，x>1，則F(x)<1=F(x)，故F(x)<F(x);121212若x、x>1，則F(x)=F(x)=1;1212綜上，F(xiàn)(x)<F(x).12有界性：F(-?)=limF(x)=0,F(+/)=limF(x)=1;xT-g xT+g右連續(xù)性：只需考慮間斷點(diǎn)0、1處的連續(xù)性。F(0+0)=F(0)=0,F(1+0)=F(1)=1,F(x+0)=F(x)，故F(x)右連續(xù)。二F(x)可作為某隨機(jī)變量g的分布函數(shù)。再證Fx)是非離散非連續(xù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)。易見(jiàn)Fx)是以x=0為間斷點(diǎn)的非連續(xù)函數(shù)，同時(shí)也非階梯函數(shù)。故由結(jié)論6,g是既不離散也不連續(xù)的隨機(jī)變量。例5設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為=[1—嚴(yán)，o<y11 工〉2、問(wèn)隨機(jī)變量g是離散型，還是連續(xù)型？證：利用分布函數(shù)的性質(zhì)來(lái)判斷此函數(shù)在x=2處不連續(xù)，

???g不是連續(xù)型隨機(jī)變量。???此分布函數(shù)在區(qū)間(0,2］上不是常函數(shù),???g不是離散型隨機(jī)變量，故g為既非離散又非連續(xù)的隨機(jī)變量。三)考研中常見(jiàn)的非離散非連續(xù)的隨機(jī)變量示例在研究生入學(xué)考試中，對(duì)單純的連續(xù)性和離散型隨機(jī)變量的考查越來(lái)越少，反而對(duì)這種既不離散也不連續(xù)的隨機(jī)變量考察加重，更注重考生們對(duì)知識(shí)點(diǎn)綜合應(yīng)用的能力，下面給出幾個(gè)近幾年考研中出現(xiàn)的此種類型的例子。1.(1997,11)：假設(shè)隨機(jī)變量X的絕對(duì)值不大于1,P(X=-1)=P(X=1)=8 4在事件{-1<X<1}出現(xiàn)的條件下，X在(-1,1)任一子區(qū)間上取值的條件概率與該子區(qū)間的長(zhǎng)度成正比。試求(1)X的分布函數(shù)F(x)=P{X<x}; (2)X取負(fù)值的概率p.由于P{X=-1}=P(X=1)=在X=-1和X二1這兩點(diǎn)可以作為離散型的情況84來(lái)處理。在其它情況下可作為連續(xù)型的情況來(lái)處理，且在(-1,1)服從均勻分布，X在此區(qū)間取值的概率為p{-1<x<1}=1-1-4=5.因此，X的分布函數(shù)為「0, <1F(x)=<F(x)=<—(x+1)+1,-1<x<11681,x>1易見(jiàn)，F(xiàn)(x)既非階梯函數(shù)又不是連續(xù)函數(shù)，所以由結(jié)論6可知，X是既不離散也不連續(xù)的隨機(jī)變量。(2002)假設(shè)以設(shè)備開(kāi)機(jī)后無(wú)故障工作的時(shí)間X服從指數(shù)分布，平均無(wú)故障工作的時(shí)間(EX)為5小時(shí)。設(shè)備定時(shí)開(kāi)機(jī)，出現(xiàn)故障時(shí)自動(dòng)關(guān)機(jī)，而在無(wú)故障的情況下工作兩小時(shí)便關(guān)機(jī)。試求該設(shè)備每次開(kāi)機(jī)無(wú)故障工作的時(shí)間Y的分布函數(shù)F(y).解：設(shè)X的分布參數(shù)為九，由于EX=丄=5，可知九=.易見(jiàn)Y=min{X,2}.九 5當(dāng)y<0時(shí)，F(xiàn)(y)=0；當(dāng)y>2時(shí)，F(xiàn)(y)=1;當(dāng)0<y<2時(shí)，F(xiàn)(y)=P{Y<y}=P{min(X,2)<y}=P{X<y}=1-e-5.

0, y<0,Y的分布函數(shù)F(y)=<1-e_5,0<y<2,1, yn2.(99,4,3分)假設(shè)隨機(jī)變量X服從指數(shù)分布，則隨機(jī)變量Y=min{x,2}的分布函數(shù)()(A)是連續(xù)函數(shù) (B)至少有兩個(gè)間斷點(diǎn)(C)是階梯函數(shù) (D)恰好有一個(gè)間斷點(diǎn)【分析】首先求出Y的分布函數(shù)為(參見(jiàn)上題)'0,y<0,F(y)=<1-e-b,0<y<2,由于Y的分布函數(shù)恰好在y=2處有一個(gè)間斷點(diǎn)，因此y、1,yn2.應(yīng)選(D).4?設(shè)隨機(jī)變量的絕對(duì)值不大于1,且P{X=0}=1，已知當(dāng)X豐0時(shí)，X在其他4取值圍服從均勻分布，求X分布函數(shù)F(x).證：寫(xiě)出已知條件的數(shù)量關(guān)系。依題意p{x|<1}=p{-1<x<1}=1，p{x=0}=4，p{x豐0)=4，又除0點(diǎn)外，X在其他取值圍服從均