數(shù)學(xué)分析簡(jiǎn)明教程答案12函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

第十二章數(shù)項(xiàng)級(jí)12.1f

(x)

x2nx

，x(,)fn(x)sinnⅰ）x(l,l) ⅱ）x(,)fn(x)1nx,x(0,1)f

(x) ，1ⅰ）x[a,) a0，ⅱ）x(0,)n2xfn(x)1n3x3?。﹛[a,) a0，ⅱ）x(0,)fn(x)xn1fn(x)1xn

x[0,1]?。﹛[0,b] b0，ⅱ）x[0,1]，ⅲ）x[a,) a0fn(x)xnx2n，x[0,1]nf(x)xnxn1，x[0,1]n （10）fn(x)nlnn，x(0,1)f

(x)1ln1enx，x(,)nfn(x)e(xn)2?。﹛[l,l]，ⅱ）x(,．解（1）x0

limfn

x2

xf(x)2fn(x)f(x)

x21n

1n1 n2

x2

x n n1N11nNxf(xf(x)

(x)

x2n

xf(x)xx（2）x(,)，limfn(x)lim 0f(x) ⅰ）0xxnf(x)f(x) lxxn ln

，故Nl1，當(dāng)nN時(shí)，有f(x)f(x) ，因此

(x)sinn在(llf(x)0 ⅱ）02

0，N,nN11,xn

212fn(xn)f(xn)sinx

1

02fn(x)sinn在()f(x)0（3）x(0,1)fn(x)1

11

f(x)(n)0 0NnN1Nxn nf(x)f(x)

nxn1111

1

1 fn(x)

1

在(01)不一致收斂到fx

x(0,)，f(x) 0 1

f(x)(n)ⅰ）0

fn(x)f(x) 1 1 1 1

N11nN1

fn(xf(x)，對(duì)x[afn(x)1nx在[aa0)f(x)0 ⅱ）0

20,N，nN1N，xn

nfn(xn)f(xn1

1

10121nfn(x1nx在(0f(x)0x

2 nx(0,)，fn(x)1n3 n

1

0f(x)(n)3 ⅰ）0

n2x fn(x)f(x)

3n 1 1

N11nN

fn(x)f

，對(duì)x[an2xfn(x)1n31

在[aa0f(x)01ⅱ）0 0NnN1Nxn f(x)f(x)

nn n

0n2x 1n3 即fn(x)1n3 在(0,)不一致收斂于f(x)0 （6）fn(x)xn11n

x

f(x)（n，x[0,1]0

xx fn(x)f

1n

1n N21nN

fn(xf(x)x[01fn(xxn1在[01f(x)xix0,b,b iix iiixa,,afn(x)

0,0x1 1,x1

f(x)(n)1?。?

fn(x)f

1xnxb,x[0,b](b1)取N[logb]1，則當(dāng)n 時(shí)，有fn(x)f(x)對(duì)x[0,b](b1)一fn(x)1xn在[0bb1f(x)0ⅱ）03

0,N，nN1N，xn1n11

f(x)f(x) 1 1 2fn(x)1

0,0x1 在[01f(x , ⅲ）0

1fn(x)f1

1 1xn

1,x[a,](a1)Nloga1，則當(dāng)nN

fn(xf(x)

(x) 在1 在[aa1f(x0n1

(x)lim(xnx2n)0

f(x)，x[0,1]10 0NnN1Nxn2[01] f(x)f(x)

1121 121fn(xxnx2n在[01]f(x0n

(x)lim(xnxn1)0

f(x)，x[0,1]fn(x)f

xnxn1g(x)，由g(x)xn1nn1xg(x0xnn

，且0x n

g(x0，當(dāng)n

x1g(x0在x 達(dá)到[0,1]上的最大值，于是x[0,1]，n n n n g(x) 1 n1 n n n n 0N11nN

fn(x)f(x)

對(duì)[0

nf(x)xnxn1在[01]f(x)0n （10）x(0,1)，fn(x)nlnn0f(x)(n)00x1時(shí)，由于limxlnx0，故00xn xnxxn

，故取N11，則當(dāng)nN時(shí)，有0x ，從而，1

x01f(x)xlnx在(01)f(x)0 x0f

(x)1ln1enx0(n)n1x0fn(0)nln20n1當(dāng)x0時(shí)，由于x1lnenx 1enx1lnenxenx1ln2x， nln2xx(nfn(xx(nf(x)1ln1enx在(,的極限函數(shù)fx0x0 x,x0，由于f(xf(x)1ln21，取N11，則當(dāng)nN fn(xf(x)xf

(x)1ln1enx在(,nf(x顯然limn

(x)lim

0f(x)ⅰ）0x[ll

fn(x)f

e(xn)2nl后，由于exn)2exl)2nl時(shí)，有f(xf(x)e(xl)2nlnn f(x)f(x) l，取N lnl1，則當(dāng)nn

fn(x)f(x)

x[l

f(x)f(x)(xn) [l,nf(x)0ⅱ）

10N2

nN1N

)f

)11 nf(x)e(xn)2在(,f(x)0nfn(xn1,2在[ab上有界，并且fn(x)在[abfn(x在[a,b上一致證 由于fn(x)(n1,2,)在[a,b]上有界，故nN,Mn0，使x[abfn(x)Mnfn(x在[abf(x10NnN時(shí)，有fn(xf(x)1，顯然fN1xf(x)1 f(x)fN1(x)1MN1fn(x)f(x)1MN12nNMmaxM1M2,MN,MN120，則xabn，fn(x)Mfn(x在[abf(x定義于(a,bfn(x)

(n1,2,)fn(x在(abf(x證明由于nf(x1nf(x)nf(xf(x)1f(x)nf(x)

f 因此limf(x)

f(xxab0，由于1

(xf(x)0nn n1N11，nN

fn(x)f(x)nfn(xf(x)對(duì)(abxf

在(a,f(xf(x在(abf(xf(x)n[f(x1)f 求證：在閉區(qū)間[abfn(xf(xf(x1)f證 f

(x)n[f(x1)f(x)] n

f(x)(n)0f(x在(abf(x在[ab連續(xù)，因而一致連續(xù)，故0x,x,，當(dāng)xx時(shí)，f(xf(x)．而f(x)f(x)n[f(x1)f(x)]fx

f(x1)f(x)，0n

，即n ，就有f(x)f(x)，取N11，則當(dāng)nN時(shí)

fnxfxx[abfn(xf(xf1(x)在[a,bRiemannxfn1(x)x

fn (n1,2,)證明f1(x在[abRiemannMf1(x)M．所以，

0x[abxxf2(x)

af1(t)dtaf1(t)dtM(xa)f(x)

f(t)dtx

xf(t)dt

xM(ta)dt1M(xa)2 a

f

(x)1M(xa)n,n1,2,故x[abf

(x)1M(xa)n1M(ba)n0(n) fn1x0n．即limfn(x)0

f(x)，x[a,

f

(x)

1M(ba)n0n，故0NnN

fn1x0fn(x在[ab問參數(shù)

f(x)nxenx n1,2,n1在閉區(qū)間[01]收斂？在閉區(qū)間[01]一致收斂？使

f(x)dx解x0fn(x)0n1,2，當(dāng)0x1f(x)nxenxn

0(n)故不論參數(shù)fn(x)nxenx在閉區(qū)間[01]f(x)0nf(x)n[enxenx(n)nenx(1nx)nnf(xx1取最大fnn

1)n

nenn1e1 nx[0,1]，f(x)n1e1nn故當(dāng)1n1e10nf(x在[01]f(x0．當(dāng)10e10NnN1nx1[01]，但n 1nfn(xn)f(xn)

enn1e1e1n0n故fn(x在[01]不一致收斂101

(x)dx1nxenxdxnn0n

1xd(enx)n1[en0

1enx0n1[en1en1]n2en(n1)n2 0 0 0所以，當(dāng)2時(shí)， fn(x)dx0，2時(shí)， fn(x)dx1，2時(shí)111lim111lim0fn(x)dx0f(x)dx0當(dāng)2lim0

fn(x)dx可在積分號(hào)nf(x)nxenx2(n1,2在閉區(qū)間[01]n 0 0 0limfn(x)dx fn(x)dx 證明當(dāng)0x1f(x)nxenx20nx0f(x)0 limfn(x0x[01]0limfn(x)dx00dx0

1enx2d(nx2)1(1en)1f(x)dx1nxenx2dx

0 2 lim1fn(x)dxlim1(1en)101limfn(x)dxn n 0設(shè)fn(xn1,2在(,fn(x在(,f(xf(x在(,證明fn(x在(,f(x，故0NnNf(xf(x)x,成立 fN1x在(一致連續(xù)，故對(duì)上述0，0，x1x2,，x1x2，就有fN

(x1)

N

)3從而x1x2x1x2，就f(x1)f(x2)f(x1)fN1(x1)fN1(x1)fN1(x2)fN1(x2)f(x2 f(x1)fN1(x1)

fN1(x1)fN1(x2)

fN1(x2)f(x2)

所以f(x)在(,上一致連續(xù)9fn(x)[a,b]fn(x)一致收f(x)；又xn[abn1,2，滿limxnx0limfn(xnf(x0 證明由已f(x是[ab上的連續(xù)函數(shù)，因而00x[abxx0時(shí)，就f(x)f(x0) 2limxnx0xn[ab，故對(duì)上述0N1nN1時(shí)，

xn

，f(xn)f(x0)2而fn(x)在[ab上一致收斂于f(x，故對(duì)上述0N2nN2時(shí)f(x)f(x) x[a,b一致地成立NmaxN1N2，則nN時(shí)，同時(shí)成 fn(xn)f(xn)2 f(xn)f(x0)2nNfn(xn)f(x0)fn(xn)f(xn)f(xn)f(x0 因此limf(x)n

f(x0)

fn(xn)f(xn)

f(xn)f(x0

設(shè)fn(x)是在(ab內(nèi)一致收斂于f(x)x0a,blimfn(x)an(n1,2,)x xlimlimfn(x)limlimfn(x)nx xx0證明由于fn(x)是在(abf(xCauchy0NnmNfn(x)

(x)2xablimfn(xan(n1,2xx0xa

Cauchy收斂準(zhǔn)則，知lima

n為a，故0，N1，當(dāng)nN1時(shí)，有ana 3又fn(x)是在(abf(x，故對(duì)上述0N2nN2xab一致地有f(xf(x) fN

(x)f(x)3

aN

a3limfN1xaN1，故0xabxx

xabx

fN1(x)aN13f(x)af(x)fN1(x)fN1(x)aN1aN1(x) (x)f(x)

a

N N Nlimf(x)a，即limlimfn(x)limlimfn(xx nx xx0

N fn(xn1,2在[abRiemann可積，且fn(x)在[ab一致收斂于f(xf(x在[abRiemann證明由于fn(x)在[abf(x，故0NnNf(x)f(x) 4(b,f

N

(x)f(x) 4(b,fN

(x) 4(b

f(x)

N

(x) 4(bx[abfN1x在[abRiemann00，對(duì)一切分劃，當(dāng)分劃的小區(qū)間的最大長度時(shí)，就有n(N1)xn2 2其中(N1)M(N1)m(N1) (x) (x)(i1,2,,n) N1 xi1xxi xi1xxiMixi1x

f(x)，而mi xi1x

f(xiMimiMM(N1) ，mm(N1) 4(b

(N1) i1,2,,n 2(b故當(dāng) n

(N1)

(N1) nnn

(i

)2(b

i

2(b

(ba) 2(bf(x在[abRiemann 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性及其判別法 1（1） 21 n （2） n1n12x(1)n1x（3） n12n11x（4）

1n

1a2n解（1）x1x1xx1x

xn 而

當(dāng)x1時(shí)收斂，故 11

x1x1

x1xx1x1xx， xn x，1而

x

1xx

x1時(shí)絕對(duì)

xx1時(shí)，級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)分別為和2

的絕對(duì)收斂區(qū)域?yàn)?,)\{1,1}2x1，得1x1或1x1，因而當(dāng)1x2x

1

x n12x x1x3時(shí)，由于2x1n1單調(diào)上升且有界，由n1 nnxn2xnnxn2x判別法知 收斂， n12x1

絕對(duì)收斂．所以絕對(duì)收斂域?yàn)?,1)(1,)111

（3）

1x11x0，因而當(dāng)x11x01x (1)n1x ，且 (n)，故級(jí)數(shù)發(fā)散1x 2n11xx0時(shí)，級(jí)數(shù)為2n111 111當(dāng)x0時(shí)，由 1，因而級(jí)數(shù)(1)n 絕對(duì)收斂， 1x 2n(1)n1x減有界，由Abel判別法，這時(shí)級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂n12n11x所以級(jí)數(shù)

1x

絕對(duì)收斂域(0)，條件收斂域x

，收斂域n12n11x[0,) 1

1

1時(shí)，由于 n1a2nx

nx

a2

，由于級(jí) nx

a2

x0收斂，故

n1a2nxn對(duì)一切x0收斂，而當(dāng)x0時(shí)，級(jí)數(shù)為 a1

n1a2nx

n(1x2

n(1x2因而

1a2nn

(1x)xn，x[0,1](1)n1x（2）(1x2)n，x(,)

(x)(1x)xk

1xns(x)0

0x1x1

（n)02

0，N，nN1N，xn

3[01]43sn(xn)s(xn)1

1

0 4 所以(1x)xn在[01

n 21 2n(1)k1x 2n 1x 1x（2）s(x) x x nk

(1x2

1xn1

1 x (1)n1 x

1x22x2 (1x2)n

s(x) (n)2x x sn(x

2x2x2x(x2n1 n21)(x2n1 n2

f(x(1x2f(x)

(2x2)2(1x2求得f(x)的穩(wěn)定點(diǎn)x0，x n21n1，可判定x0為極小值點(diǎn)f(0)0f(x0，故

f(0)0x

n21n

f n21nf n21n1n21n3(n21nn21n21n

2n21n21n

（n1時(shí)n21n

3n0(n)

(4n

2sn(x)

f(x)f

n21n1)

（n1故0N1nNsn(xs(x)x,

(1)n1x sn(x)在 )一致收斂于s(x)，因此函數(shù)項(xiàng)級(jí)

(1x2

在

)一致x2x斂于和函數(shù)s(x) 2x（1）

sin4

，x(,)4

nx（2）1n4x2，x(,)

(1)n(1enx，x[0,)n2x

sin

，x(2,)n1x 1n5x2，x(,)

(xnxn)，1x22 2x2enx,x[0,)

xnlnn， [0,1]n2

x21 n

x2

，x(,)x（10）n，xr1x（11）

ln1，x[a,),aln1n4n4x解（１）

4x,成立，而

4知級(jí)數(shù)

sin

n在(,

n1n

nxx（２）由 1對(duì)一切x(,)成立，而1收斂xx1n4x

2n4x

2n n1故級(jí)數(shù)1n4x2在(,n2x (1)n(1n2x[0一致收

2x[0成立，故nn

n2x x

2n

12n

(n2)x2而級(jí)數(shù)

1收斂，因而

sin 在(2 )一致 n1

n1xn 對(duì)x(,)一致地成立所以 n1n5x

n11n5x2n2 2n(,)一致的nn

xn)

n(x22

xn)

n22n112n2n2

x2(n1)2

2n

n2且由于

10，所以級(jí)數(shù)

因而

n2(xnxn1x222（７）當(dāng)x0時(shí)，enx1nx1n2x21n2x2，所以enx ，故x0時(shí) n2x2

2 x 2x0顯然也成立，故由2Mx 在[0一致（８）f(x)xlnxf(x)lnx1x1x1e1．又limxlnx0f(1)0f(xx[01]

（ f(0)0．因而x[01]f(x)1e|xnlnnx (xln 所

xnlnn在[01]一致收斂（９）因?yàn)閚2

x21n

x2 ( 1)( 1x21

(n

n

n x21(nx21(n

x2

x2 n(n n n(n

1(n

，x(,)(n(n 2收斂，故原級(jí)數(shù)在(,)一致收斂n

nn，而limn

limn111，故

nnnn

n n1

x因而nxr1x(11) 1nx1 1 limln1

0 對(duì)x[a,)(a1)一致地成立，故N當(dāng)nN時(shí) nln(1nx)

1 ln1而an收斂，因而

在[a)(a1 cos（1）

，x(,)n2x（2）

nx

，x[0,2]x（3） ，x(1,x （4）nsinx，x(,)

sin13n

x(0,)n

，xa

，x 0] x(1)n

2n解（1）由于級(jí)數(shù)

3n

2k

k2

3

2sin 3333

有 ，因而在(,)一致有界，對(duì)每一固定的x(,)，數(shù)列 3

n2x2

0，n2x2cos 判別法,知

n2x

在(,由于級(jí)數(shù)sinxsinnx nsinxsinkx 22 sin

xcos

cos2n1x cos2 k k 有界2，因而在[02一致有界，對(duì)每個(gè)固定的x[02，數(shù)

nx

sinxsinn時(shí)，函數(shù)序列

在[02一致收斂

nx

n 級(jí)數(shù)(1)n的部分和序列(1)k有界1，因而在(1, k 列xnx1,0，故xn在(1,

kbn(x1)an(x)nsinxbx

1k1

kan(x)nsinx對(duì)每個(gè)x,)單調(diào)遞減，且對(duì)所有x,)，有1n1nsinn

(x) nsin

判別法，知nsinx在(,1 12 12 1n2n ，而級(jí)數(shù) 收斂，故2nn3n x3 x3 3nx0)絕對(duì)收斂，從而收斂．但由于010NnN1Nxn

3n

x2nx

2n

3n 23n

2n 因而級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)

sin 在(0

3n

3n取bn(x)

an(x) 3n2nbk(x)

k kna(x) x:xan3n2an

10(n)，3n2 3n

(1) 因此數(shù)列

3n2ex在 a一致趨于0，因此，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)3n2exxa取an(x)

1xn，bn(x)x，則n，有bk(x) 1xnk k an(x)

0，因此在[1,0一致趨于零，所以nn

在[1,0n取

(x)(1)nx2n1，a(x) 2nn

，則an(x)單調(diào)下降且在[1,1]一致nnbkk

(1)kxk

21x

x在[1,1]一致收斂x2n證明級(jí)數(shù)

n

,2 x收斂；而級(jí)斂(1x2)n雖在(,

k證明取bn(x) ，an(x)nx2，則n，bk(x)k k

a(x) 對(duì)每個(gè)x單調(diào)遞減，且由于

a(x)10n)a(x) n

(,)一致趨于0，由Dirichlet判斷法，級(jí)數(shù)

n

x在(2致收斂．但xNnNnx2nN

1n1nx

1nxn1nx

1 而2n發(fā)散，因此 發(fā)散，即 x而對(duì)級(jí)數(shù)(1x2)nx0x0

x2

x(1x22n(1x(1x22 x所以級(jí)數(shù)(1x2)nx x x 2n 1s(x)，(1x

1x21

1x

sn(x)s(x)1(1x2)n1(1x2)n由lim1

1n

e3，故N1n

1n

3．03

0，NnmaxN1,NNx 1, sn(xn)s(xn)

1n30 n x因此(1x2)n在(設(shè)每一項(xiàng)n(x都是[a,b上的單調(diào)函數(shù)，如果n(x在[a,b,證明由于n(x)都是[ab上的單調(diào)函數(shù)，不妨設(shè)為單調(diào)增函數(shù)，則x[a,b(a)(x(b，因此x[ab(x)max(a),(b，由于 n(x)在[a,b的端點(diǎn)為絕對(duì)收斂，因此級(jí)數(shù)max(a),n(b收斂，由

法，知級(jí)數(shù)n(x在[a,b 若un(xun(x)cn(xxX，并且cn(xX 證明un(xX證明由于cn(xX上一致收斂，由Cauchy原理，0xNn nnN，p，x[ab，都有ck(x)ck(xnN時(shí)，pk k

nukk

nuk(x)k

nck(x，同樣由Cauchyk un(xX上一致收斂；又由于xXun

cn

，而cn(x)un(x§12.3（1）xn

1x1（2）xn

1x1n1n（3）2n

x1；（4）(xn)(xn1)，0x （5）1n2x2 x0（6）

n

x （7）1n4x2 x0 x（8）(1x2)n x解（1）x01,1)x01x0r1xrs(xxnxrs(xxrx0連續(xù)，由x0(1,1)的任意性知級(jí)數(shù)所表示的函數(shù)在(1,1)連續(xù)（2）x0[1,1)r0x0r1，則在[1,1)bn(x)xn

bk(x)

xk ，而an(x)1單調(diào)遞減趨于an(x) ，則nn

k

k

nn因而在[1,r) nn1

一致收斂于其和函數(shù)s(x)，又級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)函 在[1,r)n級(jí)數(shù)所表示的函數(shù)在[1,1)2 2由

2 n n

nnx nn在區(qū)間[1,1]一致收斂，而級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)2在[1,1]連續(xù)，因而nn

x1

2，而

收斂，因此

(xn)(xn n(n

n1 (xn)(xn1)在(0(xn)(xn1在(0 續(xù)，由連續(xù)性定理，級(jí)數(shù)(xn)(xn1)所表示的函數(shù)在(0 x0x000x0xx 1n2x

1n22n22，因?yàn)閚22收斂，故1n2x

xx

1在x上連續(xù)，特別在x： 010n11n2x x0x00的任意性，知級(jí)數(shù)1n2x2x0

sin

在(,

sinnx

n，級(jí) 1n n

n

n1n斂，故級(jí)數(shù)

n

(,)一致收斂，因而級(jí)數(shù)

n

所表示的函數(shù)在(,x0x000，使0nn

x0x1 1n4x n4x

n3n3 而n3收斂，故1n4x2x一致收斂，又級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)1n4x2x 續(xù)，故級(jí)數(shù)1n4x2xx0x0x00 任意性知級(jí)數(shù)1n4x2x0x 和函數(shù)為s(x)1x21 1，x0；而x0時(shí)，和為s(0)0，1x xs(xx0x0間斷，且為可去間斷點(diǎn)，即級(jí)數(shù)(1x2)n在(0)0x0f(x)

sin在 )

在(,內(nèi)連續(xù)，且x,1 sin而n3收斂，使用判別法，知級(jí)數(shù) 在(,)內(nèi)一致收斂，因而函f(x)

在(

sinnx 又 cosnx同樣 cosnx對(duì)每一個(gè)n在(,)cosnx n n1續(xù) cosn

1，x(,)一致收斂，因此f(x)可導(dǎo)，且f(x)1cosxn2 n1n2

1設(shè)f(x) 21f(xx0f(xx0證明（1）x0enx1，故n

1，1n n

由n2收斂及判別法知1n2在[0一致收斂，級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)1n 1[0,)連續(xù)，因此f(x) 2在[0,)1(2)

0r0r

，而

1n2，由于n01n

1n 11nx[r,

1n

1n

enr，

1(n1)

er

故 enr收斂，由判別法知 在[r,)一致收斂，n11n

1n2 n11n f(xnenx在[rxx0f0n11n x0(k

(1)knke若設(shè) (x)

x0存在，即f(x)x0k次可微，則1n

nkenx

(1)k1nkx0000rx0，而

1n

1n[r連續(xù)，且由nx[r,

1n1n

1n2 及 nk

1(n

er1n(1)k11n1知級(jí)數(shù) 1

收斂，由M

在[r1n因此

(k)(x)

(k

f(x)f

(1)k1nk存在且連續(xù)于[r,)1nx00f(xk1x00f(xk1f(xx0證明nenx在(0證 x00，0，使x0，在x[,)時(shí)級(jí)數(shù)的項(xiàng)nenx連續(xù)， 所 nenx在[,)連續(xù)，特別地在

,連續(xù)，由x00的任意性，知nenx在(0設(shè)un(x在(ab

un(x)（n1,2）在[abun(x在[abs(x)un(x在[a,b證明（1）0，由于un(x在(ab內(nèi)一致收斂，Nx無關(guān)，n