高中數(shù)學(xué)1章基本初等函數(shù)Ⅱ132余弦函數(shù)正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)1課時(shí)余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)

第1課時(shí)

余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)

核心修養(yǎng)1．會(huì)用“五點(diǎn)法”“圖象變換法”作余弦函

1．經(jīng)過余弦函數(shù)圖象和性質(zhì)的學(xué)習(xí)，

培育學(xué)數(shù)和

y＝Acos(

ωx＋φ)的圖象．

(要點(diǎn))

生的直觀想象核心修養(yǎng)．2．理解余弦函數(shù)的性質(zhì)，

會(huì)求余弦函數(shù)的周

2．借助余弦函數(shù)圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，

提高學(xué)期、單一區(qū)間及最值．

(要點(diǎn)、難點(diǎn)

)

生的直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心修養(yǎng)

.1．余弦函數(shù)的圖象πy＝cosx的圖象，把正弦函數(shù)y＝sinx的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度就獲得余弦函數(shù)2該圖象叫做余弦曲線．2．余弦函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)y＝cosx定義域R值域[－1,1]奇偶性偶函數(shù)周期性以2kπ為周期(k∈Z，k≠0)，2π為最小正周期單一性當(dāng)x∈[2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z)時(shí)，遞加；當(dāng)x∈[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)時(shí)，遞減最大值與當(dāng)x＝2kπ(k∈Z)時(shí)，最大值為1；最小值當(dāng)x＝2kπ＋π(k∈Z)時(shí)，最小值為－1余弦型函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)(此中A，ω，φ為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周2π期T＝ω.思慮：在[0,2π]上畫余弦函數(shù)圖象的五個(gè)要點(diǎn)點(diǎn)是什么？π3[提示]畫余弦曲線的五個(gè)要點(diǎn)點(diǎn)分別是(0,1)，2，0，(π，－1)，2π，0，(2π，．1．用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y＝cos2x，x∈R的圖象時(shí)，第一應(yīng)描出的五個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是( )π3πππ3πA．0，2，π，2，2πB．0，4，2，4，ππππ2πC．0，π，2π，3π，4πD．0，6，3，2，3π3πππ3πB[令2x＝0，2，π，2和2π，得x＝0，4，2，4，π，應(yīng)選B.]2．使cosx＝1－m存心義的m的值為( )A．m≥0B．0≤m≤2C．－1<m<1D．m<－1或m>1[∵－1≤cosx≤1，∴－1≤1－m≤1，解得0≤m≤2.應(yīng)選B.]3．比較大?。?1)cos15°________cos35°；(2)cos－π________cos－π34.(1)>(2)<[(1)∵y＝cosx在[0°，180°]上為減函數(shù)，而且0°<15°<35°<180°，所以cos15°>cos35°.(2)∵cosπ＝cosπ，cosπ＝cosπ－3－4，34而且y＝cosx在x∈[0，π]上為減函數(shù)，ππ又∵0<<<π，43ππ－ππ∴cos4>cos3，即cos3<cos－.]4用“五點(diǎn)法”作余弦型函數(shù)的圖象【例1】用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y＝2＋cosx，x∈[0,2π]的簡(jiǎn)圖．[思路研究]在[0,2π]上找出五個(gè)要點(diǎn)點(diǎn)，用光滑的曲線連結(jié)即可．[解]列表：x0ππ32π2π2cosx10－1012＋cosx32123描點(diǎn)連線，如圖1．“五點(diǎn)法”是作三角函數(shù)圖象的常用方法，“五點(diǎn)”即函數(shù)圖象最高點(diǎn)、最低點(diǎn)、與x軸的交點(diǎn)．2．列表、描點(diǎn)、連線是“五點(diǎn)法”作圖過程中的三個(gè)基本環(huán)節(jié)，注意用光滑的曲線連接五個(gè)要點(diǎn)點(diǎn)．1．用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y＝3－2cosx，x∈[0,2π]的簡(jiǎn)圖．[解]按五個(gè)要點(diǎn)點(diǎn)列表、描點(diǎn)畫出圖象(如圖)．x0ππ3π2π22cosx10－101y＝3－2cosx13531求余弦型函數(shù)的單一區(qū)間π【例2】求函數(shù)y＝cos6－x的單一遞減區(qū)間．π－[思路研究]此題中自變量的系數(shù)為負(fù)，故第一利用引誘公式，將y＝cos6x化為y＝cosxπy＝cosx－π－形式，故只需求6的單一遞減區(qū)間即可．6[解]y＝cosπ－x＝cosxπ6－，6π令z＝x－，則y＝cosz，即2kπ≤z≤2kπ＋π，k∈Z，6π∴2kπ≤x－≤2kπ＋π，k∈Z，∴2π＋π≤≤2π＋7π，k∈Z.66故函數(shù)y＝cosπ－x的單一遞減區(qū)間為2kπ＋π，2kπ＋7π，k∈Z.6661．求形如y＝Acos(ωx＋φ)＋b(此中A≠0，ω>0，b為常數(shù))的函數(shù)的單一區(qū)間，可以借助于余弦函數(shù)的單一區(qū)間，經(jīng)過解不等式求得．2．詳細(xì)求解時(shí)注意兩點(diǎn)：①要把ωx＋φ看作一個(gè)整體，若ω<0，先用引誘公式將式子變形，將x的系數(shù)化為正；②在A>0，ω>0時(shí)，將“ωx＋φ”代入余弦函數(shù)的單一區(qū)間，能夠解得與之單一性一致的單一區(qū)間；當(dāng)A<0，ω>0時(shí)相同方法能夠求得與余弦函數(shù)單一性相反的單一區(qū)間．π2．求函數(shù)y＝2cos4－x的單一遞加區(qū)間．[解]

y＝2

cos

π4－x

＝2cos

x－π4

.聯(lián)合

y＝|cos

x|的圖象．由kπ－

ππ≤x－24≤kπ(k∈Z)得

kπ－

π4≤x≤kπ＋

π4(k∈Z)．所以函數(shù)

y＝2

cos

π4－x

的單一遞加區(qū)間ππ為kπ－4，kπ＋4(k∈Z).相關(guān)三角函數(shù)的最值問題31【例3】已知函數(shù)y1＝a－bcosx的最大值是2，最小值是－2，求函數(shù)y＝－4asin3bx的最大值．[思路研究]欲求函數(shù)y的最大值，須先求出a，b，為此可利用函數(shù)y1的最大、最小值，聯(lián)合分類議論求解．[解]311的最大值是2，最小值是－2，∵函數(shù)y當(dāng)b>0時(shí)，由題意得a＋b＝23，11∴a＝2，－＝－，b＝1.ab23當(dāng)b<0時(shí)，由題意得a－b＝2，1＋＝－1，∴a＝2，b＝－1.ab2所以y＝－2sin3x或＝2sin3x.y函數(shù)的最大值均為2.1．對(duì)于求形如y＝acosx＋b的函數(shù)值域問題，一般狀況下只需注意到余弦函數(shù)的性質(zhì)“有界性”即可解決．注意當(dāng)x有詳細(xì)范圍限制時(shí)，需考慮cosx的范圍．2．求解此類問題時(shí)，要先求三角函數(shù)值的范圍，而后再依據(jù)其系數(shù)的正負(fù)性質(zhì)求解．．函數(shù)y＝2x＋cosx－π≤x≤π的值域?yàn)開_______．3sin441＋2ππ21，2[設(shè)cosx＝t，由于－4≤x≤4，則t∈2，1，2－1252所以y＝1－cosx＋cosx＝－t2＋4，t∈2，1，2π1＋2故當(dāng)t＝2，即x＝±4時(shí)，ymax＝2；當(dāng)t＝1，即x＝0時(shí)，ymin＝1.所以函數(shù)的值域?yàn)?，1＋2.]2正、余弦函數(shù)的對(duì)稱性[研究問題]1．察看正弦曲線和余弦曲線的對(duì)稱性，你有何發(fā)現(xiàn)？[提示]正弦曲線對(duì)于原點(diǎn)對(duì)稱、余弦曲線對(duì)于y軸對(duì)稱，是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形．2．正弦曲線、余弦曲線的對(duì)稱中心、對(duì)稱軸分別是什么？π[提示]

正弦曲線的對(duì)稱中心坐標(biāo)為

(kπ，0)，(k∈Z)，其對(duì)稱軸方程為

x＝

2＋kπ，(k∈Z)．余弦曲線的對(duì)稱中心坐標(biāo)為π∈Z)，對(duì)稱軸方程為＝π，(∈Z)．kπ＋，0，(kxk2k3．怎樣求y＝Acos(ωx＋φ)的對(duì)稱中心及對(duì)稱軸方程？π[提示]只需令ωx＋φ＝kπ＋2即可求得其對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)．令ωx＋φ＝kπ，可求得其對(duì)稱軸方程．【例4】已知函數(shù)y＝2cos2x＋2π.3(1)在該函數(shù)的對(duì)稱軸中，求離y軸距離近來的那條對(duì)稱軸的方程；(2)把該函數(shù)的圖象向右平移φ個(gè)單位后，圖象對(duì)于原點(diǎn)對(duì)稱，求φ的最小正當(dāng)．2π[解](1)令2x＋3＝kπ，k∈Z，kππ解得x＝2－3(k∈Z)．π令k＝0，x＝－3；π令k＝1，x＝6.2x＋2ππ∴函數(shù)y＝2cos3的對(duì)稱軸中離y軸近來的一條對(duì)稱軸的方程是x＝6.(2)設(shè)該函數(shù)向右平移φ個(gè)單位后分析式為y＝f(x)，則f(x)＝2cos2x－φ＋2π＝2cos2x＋2π－2φ.33∵y＝f(x)的圖象對(duì)于原點(diǎn)(0,0)對(duì)稱，∴f(0)＝2cos2π－2φ＝0.32ππ∴3－2φ＝kπ＋2，k∈Z.πkπ解得φ＝12－2(k∈Z)．π令k＝0，得φ＝12.π∴φ的最小正當(dāng)是12.對(duì)于正、余弦函數(shù)的對(duì)稱性有以下重要結(jié)論：1fx＝Asinωx＋φ或Acosωx＋φ的圖象對(duì)于x＝x0對(duì)稱?fx0＝A或－A.2fx＝Asinωx＋φ或Acosωx＋φ的圖象對(duì)于點(diǎn)x0，0中心對(duì)稱?fx0＝0.．把函數(shù)y＝cosx＋4π的圖象向右平移φ個(gè)單位，正好對(duì)于y軸對(duì)稱，求φ的最43小正當(dāng)．[解]由題意平移后的函數(shù)為y＝cosx＋4πx＝0時(shí)，－φ，它是偶函數(shù)，所以，當(dāng)34π4π4πcos3－φ獲得最大值1或最小值－1，故3－φ＝2nπ或(2n＋1)π(n∈Z)，即3－φ＝π(∈Z)．kk4ππ∴φ＝3－kπ(k∈Z)，當(dāng)k＝1時(shí)，φ取最小正當(dāng)3.(教師用書獨(dú)具)1．余弦曲線和正弦曲線的關(guān)系2．余弦函數(shù)周期性的釋疑余弦函數(shù)是周期函數(shù)，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期為2π.3．余弦函數(shù)的奇偶性(1)余弦函數(shù)是偶函數(shù)，反應(yīng)在圖象上，余弦曲線對(duì)于y軸對(duì)稱．余弦曲線既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形．4．余弦函數(shù)單一性的說明余弦函數(shù)在定義域R上不是單一函數(shù)，但存在單一區(qū)間．求解(或判斷)余弦函數(shù)的單一區(qū)間(或單一性)是求值域(或最值)的要點(diǎn)一步．確立含有余弦函數(shù)的較復(fù)雜的函數(shù)單一性時(shí)，要注意使用復(fù)合函數(shù)的判斷方法來判斷．5．余弦函數(shù)最值的釋疑(1)明確余弦函數(shù)的有界性，即|cosx|≤1.(2)對(duì)有些余弦函數(shù)，其最值不必定是1或－1，要依靠函數(shù)定義域來決定．(3)形如y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函數(shù)的最值往常利用“整體代換”，即令ωx＋φ＝z，將函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)閥＝Acosz的形式最值.π1．以下函數(shù)中，周期為2的是()xB．y＝sin2xA．y＝sin2xD．y＝cos4xC．y＝cos42ππ[∵T＝ω＝2，∴ω＝4.]2．函數(shù)y＝sinx＋2019)2π是(A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．非奇非偶函數(shù)D．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)B[∵y＝sinx＋2019