教學(xué)設(shè)計(jì) 一元二次方程 全國優(yōu)質(zhì)課一等獎(jiǎng)

一元二次教案時(shí)間：學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)教師：課題一元二次方程授課時(shí)間：備課時(shí)間：教學(xué)目標(biāo)了解一元二次方程的定義，熟練地把一元二次方程整理成一般形式。會(huì)解一元二次方程3、能把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（一元二次方程）。重點(diǎn)、難點(diǎn)一元二次方程的意義及一般形式，會(huì)正確識(shí)別一般式中的“項(xiàng)”及“系數(shù)”。一元二次方程的解法：直接開平方法、因式分解法、配方法、公式法韋達(dá)定理實(shí)際問題與一元二次方程教學(xué)內(nèi)容一元二次方程知識(shí)點(diǎn)：1.一元二次方程的概念：形如：方程中只含有_______未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是_______，這樣的______的方程叫做一元二次方程，通?？蓪懗扇缦碌囊话阈问剑篲_________________（）,其中二次項(xiàng)系數(shù)是______，一次項(xiàng)系數(shù)是______，常數(shù)項(xiàng)是________．2.一元二次方程的解法：（1）直接開平方法：（2）配方法：（3）因式分解法：（4）公式法：求根公式：解一元二次方程的基本思路是：將二次方程化為一次方程，即降次一元二次方程主要有四種解法，它們的理論根據(jù)和適用范圍如下表：方法名稱理論根據(jù)適用方程的形式直接開平方法平方根的定義或配方法完全平方公式所有的一元二次方程公式法配方法所有的一元二次方程因式分解法兩個(gè)因式的積等于0，那么這兩個(gè)因式至少有一個(gè)等于0一邊是0，另一邊易于分解成兩個(gè)一次因式的乘積的一元二次方程3.一元二次方程的根的判別式：（1）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根。4.韋達(dá)定理對(duì)于而言，當(dāng)滿足①、②時(shí)，才能用韋達(dá)定理。應(yīng)用：整體代入求值?！绢A(yù)習(xí)內(nèi)容】1.一元二次方程的概念一、溫故知新：問題1：綠苑小區(qū)住宅設(shè)計(jì)，準(zhǔn)備在每兩幢樓房之間，開辟面積為900平方米的一塊長方形綠地，并且長比寬多10米，那么綠地的長和寬各為多少？問題2：學(xué)校圖書館去年年底有圖書5萬冊(cè)，預(yù)計(jì)到明年年底增加到7.2萬冊(cè).求這兩年的年平均增長率.思考、討論這樣，問題1和問題2分別歸結(jié)為解方程（1）和（2）.顯然，這兩個(gè)方程都不是一元一次方程.那么這兩個(gè)方程與一元一次方程的區(qū)別在哪里？它們有什么共同特點(diǎn)呢？二、新知自學(xué)：上述兩個(gè)整式方程中都只含有______未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是____，這樣的方程叫做一元二次方程。通?？蓪懗扇缦碌囊话阈问剑篲________________(a、b、c是已知數(shù)，且a≠0)。其中叫做________，叫做_______________；叫做_______，叫做__________，叫做_________。三、探究合作：例1、下列方程中哪些是一元二次方程？試說明理由。（1）（2）（3）（4）例2、將下列方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)：（1）（2）（x-2）(x+3)=8（3）說明：一元二次方程的一般形式（≠0）具有兩個(gè)特征：一：方程的右邊為0；二：二次項(xiàng)系數(shù)不能為0。例3、方程（2a—4）x2—2bx+a=0,在什么條件下此方程為一元二次方程？在什么條件下此方程為一元一次方程？例4、已知關(guān)于x的一元二次方程(m-1)x2+3x-5m+4=0有一根為2，求m。練習(xí)一、將下列方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).2x(x-1)=3(x-5)-4練習(xí)二、關(guān)于的方程，在什么條件下是一元二次方程？在什么條件下是一元一次方程？四、鞏固訓(xùn)練：一、判斷題（下列方程中，是一元二次方程的在括號(hào)內(nèi)劃“√”，不是的，在括號(hào)內(nèi)劃“×”）1、5x2+1=0（）2、3x2++1=0（）3、（）4、4x2+y2=0（）5、=2x（）6、=2（）二、填空題1、將方程(x+1)2=2x化成一般形式為__________.2、方程5(x2－x+1)=－3x+2的一般形式是__________，其二次項(xiàng)是_________，一次項(xiàng)是__________，常數(shù)項(xiàng)是__________.3、關(guān)于x的方程(m－4)x2+(m+4)x+2m+3=0，當(dāng)m__________時(shí)，是一元二次方程，當(dāng)m______時(shí)，是一元一次方程.三、選擇題1、方程x2－=(－)x化為一般形式，它的各項(xiàng)系數(shù)之和是（）A. B.－ C. D.2、若關(guān)于x的方程（ax+b）(d－cx)=m(ac≠0)的二次項(xiàng)系數(shù)是ac，則常數(shù)項(xiàng)為（）A.m B.－bd C.bd－m D.－(bd－m)3、若關(guān)于x的方程a(x－1)2=2x2－2是一元二次方程，則a的值是（）A.2 B.－2 C.0 D.不等于24、若x=1是方程ax2+bx+c=0的解，則（）A.a+b+c=1 B.a－b+c=0C.a+b+c=0 D.a－b－c=05、關(guān)于x2=－2的說法，正確的是（）A.由于x2≥0，故x2不可能等于－2，因此這不是一個(gè)方程B.x2=－2是一個(gè)方程，但它沒有一次項(xiàng)，因此不是一元二次方程C.x2=－2是一個(gè)一元二次方程D.x2=－2是一個(gè)一元二次方程，但不能解2.一元二次方程的解法（1）直接開平方法、因式分解法教學(xué)目標(biāo)：1、會(huì)用直接開平方法解形如（a≠0,ab≥0）的方程；2、靈活應(yīng)用因式分解法解一元二次方程。3、合理選擇直接開平方法和因式分解法較熟練地解一元二次方程。一、溫故知新：1、怎樣解方程x2=4的？2、因式分解：二、新知自學(xué)：例1、解下列方程：（1）（x＋1）2－4＝0；（2）12（2－x）2－9＝0.例二、解下列方程：（1）（2）(x－1)2－18＝0三、探究合作：解下列方程（1）（2）（3）四、小結(jié)：1、直接開平方法：如果方程能化成或的形式，那么可得，或。2、因式分解法是解一元二次方程最簡單的方法，但只適用于左邊易因式分解而右邊是0的一元二次方程。因式分解法的根據(jù)是：如果，那么或。3、用直接開平方法或者因式分解法解一元二次方程實(shí)質(zhì)上是把一個(gè)一元二次方程降次，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來解。五、鞏固訓(xùn)練：1、方程的根是（）A.B.C.D.2、用直接開平方法解方程（x＋h）2=k，方程必須滿足的條件是（）A．k≥oB．h≥oC．hk＞oD．k＜o(jì)3、已知一元二次方程，若方程有解，則必須（）A、n=0B、n=0或m，n異號(hào)C、n是m的整數(shù)倍D、n=0或m，n同號(hào)4、用因式分解法解方程，下列方法中正確的是（）A.(2x－2)(3x－4)=0∴2－2x=0或3x－4=0B.(x+3)(x－1)=1∴x+3=0或x－1=1C.(x－2)(x－3)=2×3∴x－2=2或x－3=3D.x(x+2)=0∴x+2=05、方程（x+1）2=x+1的正確解法是（）A.化為x+1=1B.化為（x+1）（x+1-1）=0C.化為x2+3x+2=0D.化為x+1=06、用因式分解法解方程5（x+3）-2x（x+3）=0，可把其化為兩個(gè)一元一次方程、求解。7、如果方程x2-3x+c=0有一個(gè)根為1，那么c=，該方程的另一根為，該方程可化為（x-1）（x）=0。8、解下列方程：(1）(x－1)2－18＝0(2)(2x＋3)2－25＝0.(3)(4)x（x-3）+x-3=0(5)x2-6x-16=0；(6)4x2-3x=03.一元二次方程的解法（2）配方法學(xué)習(xí)目標(biāo):1、掌握用配方法解數(shù)字系數(shù)的一般一元二次方程；2、理解解方程中的程序化，體會(huì)化歸思想。教學(xué)過程：一、溫故知新：填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使下列等式成立：(1)x2+6x+=(x+)2；(2)x2-2x+=(x-)2；(3)x2-5x+=(x-)2；(4)x2+x+=(x+)2；(5)－x＋_____＝（x－____）2(6)x2+px+=(x+)2；由上面等式的左邊可知，常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系是：二、新知自學(xué)：解下列方程：x2＋2x＝5；(2)x2－4x＋3＝0.思考：能否經(jīng)過適當(dāng)變形，將它們轉(zhuǎn)化為2＝a的形式，應(yīng)用直接開方法求解？解：（1）原方程化為x2＋2x＋1＝5＋1，_____________________,_____________________,_____________________.（2）原方程化為x2－4x＋4＝－3＋4_____________________,_____________________,_____________________.我們把方程x2－4x＋3＝0變形為(x－2)2＝1，它的左邊是一個(gè)含有未知數(shù)的____________式，右邊是一個(gè)_______。這樣，就能應(yīng)用直接開平方的方法求解。這種解一元二次方程的方法叫做配方法。三、探究合作：1、用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0，則方程可變形為（）A.(x-4)2=9B.(x+4)2=9C.(x-8)2=16D.(x+8)2=572、已知方程x2-5x+q=0可以配方成(x-)2=的形式，則q的值為（）A.B.C.D.-3、用配方法解下列方程：（1）＋3x＋1＝0.（2）四、歸納總結(jié)：1、通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法。2、配方是為了降次，把一個(gè)一元二次方程化為兩個(gè)一元一次方程來解。3、方程的二次項(xiàng)系數(shù)不是1時(shí)，方程的各項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)，將方程的二次項(xiàng)系數(shù)化為1。4、用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)是1的一元二次方程的一般步驟是：①、移項(xiàng)，把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；②、配方，在方程的兩邊各加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，使左邊成為完全平方；③、利用直接開平方法解之。五、鞏固訓(xùn)練：1、已知方程x2-6x+q=0可以配方成(x-p)2=7的形式，那么q的值是（）A.9B.7C.2D.-22、用配方法解方程x2-x+1=0，正確的解法是（）.A.(x-)2=,x=±B.(x-)2=-,方程無解C.(x-)2=,x=D.(x-)2=1,x1=;x2=-3、下列配方有錯(cuò)誤的是（）A、B、C、D、4、用配方法解下列方程：(1)x2+5x－1=0(2)2x2－4x－1=0(3)x2－6x+3=04.一元二次方程解法（3）公式法教學(xué)目標(biāo)：1、使學(xué)生熟練地應(yīng)用求根公式解一元二次方程。2、使學(xué)生經(jīng)歷探索求根公式的過程，培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力。3、在探索和應(yīng)用求根公式中，使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)特殊與一般的關(guān)系。教學(xué)過程：一、溫故知新：1、用配方法解下列方程4x2－12x－4＝02、方程中，，，。二、新知自學(xué)：用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0).解：因?yàn)閍≠0，方程兩邊都除以a，得_____________________＝0.移項(xiàng)，得x2＋x＝________，配方，得x2＋x＋______＝______－,即(____________)2＝___________因?yàn)閍≠0，所以4a2＞0，當(dāng)b2－4ac≥0時(shí)，直接開平方，得_____________________________.所以x＝_______________________即x＝_________________________由以上研究的結(jié)果，得到了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式：xx＝(b2－4ac≥0)利用這個(gè)公式，我們可以由一元二次方程中系數(shù)a、b、c的值，直接求得方程的解，這種解方程的方法叫做公式法。歸納：一元二次方程：當(dāng)____時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根______________________________；當(dāng)____時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根______________________________；當(dāng)____時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根?！?叫一元二次方程根的判別式。三、探究合作例1：解下列方程:(1)2x2＋x－6＝0；(2)4x2＋4x＋10＝1－8x.例2：當(dāng)k取什么值時(shí)，關(guān)于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0(1)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根；(3)方程沒有實(shí)數(shù)根．四、鞏固訓(xùn)練：1、一元二次方程x2-4x+4=0的根的情況是（）A.有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根B.有一個(gè)實(shí)數(shù)根C.沒有實(shí)數(shù)根D.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根2、方程ax2+bx+c=0(a≠0)有實(shí)數(shù)根，那么總成立的式子是（）A.b2-4ac＞0B.b2-4ac＜0C.b2-4ac≤0D.b2-4ac≥03、用公式法解方程：(1)(2)4、不解方程，判斷下列方程實(shí)數(shù)根的情況：(1)(2)(3)x2+5=2x.5、