河北河北衡水中學2021年高考數(shù)學高考數(shù)學壓軸題 導數(shù)及其應用多選題分類

ffa一、導及其應用多題1．函數(shù)

有兩個極值點x、x

xx1

，則下列結論正確的是（）A．b2ac

B．

x,x1

上單調遞減C．

af1

只有一個零點

．在

，使得

1

0

【答案】【分析】利用極值點與導數(shù)的關系可判斷A選項的正誤；取a，利用函數(shù)的單調性與數(shù)的關系可判斷選的正誤；分、a兩種情況論，分析函數(shù)

的單調性，結合圖象可判斷C選項的正誤；計算出函數(shù)

的圖象關于點

,

對稱，可判斷D選項的正誤【詳解】cx

x

2

.對于選，由題可知，關于的二次方程根，

ax

有兩個不等的實則b

ac，得

2

ac，選項正確；對于選項，當時且當

x2

f

，此時函數(shù)

在區(qū)間

x,x1

上單調遞增，選錯誤；對于C選，當時由

x或

；由

，可得.所以，函數(shù)

的單調遞增區(qū)間為

x,2

，單調遞減區(qū)間為

x,x1

，由

af

x1

，得f

x1

，此時，函數(shù)

的極大值為

1

，極小值為

2

1

，如下圖所示：

由圖可知，此時函數(shù)

有且只有一個零點，且零點在區(qū)間

x,2

內(nèi)；當a時由

，可得

xx或xx

；由

，可得x.所以，函數(shù)

的單調遞減區(qū)間為

x,2

，單調遞增區(qū)間為

x,x1

，由

af11

，此時，函數(shù)

的極小值為

1

，極大值為

22

1

，如下圖所示：由圖可知，此時函數(shù)

有且只有一個零點，且零點在區(qū)間

x,2

內(nèi)，選項正確；

322232f322232f3對于D選，由題意可知，、是方程ax1

bx的根，由韋達定理可得x

3a

c，x，f23

a

3

tx

2

2

2

，取

t

，則f3

bf3a

bb

2

bbbd2fa3a

，a所以，函數(shù)

的圖象關于點

a

,

對稱，x1

b3a

，f

b

，選正確故選：【點睛】方法點睛：利用導數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：（）接法：對函數(shù)求導，根據(jù)導數(shù)的方法求出函數(shù)的單調區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質作出圖象，然后將問題轉化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉化與化歸思想、數(shù)形結合思想和分類討論思想的應用；（）造新函法：將問題轉化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；（）變量分法：由

分離變量得出

g為線

與函數(shù)

y

的圖象的交點問題.2．下列不等式正確的有（）A．3ln3

B．ln

e

C．2

15

．eln22【答案】CD【分析】構造函數(shù)

f

lnx

，利用導數(shù)分析其單調性，然后由

f

fef2fef2f

、f

、(f)

得出每個選項的正誤【詳解】令

f

lnx，則fxx

，令

得

易得

f(x)

在

在

上單調遞減所以

f

ln33

，即333，故A錯誤；②

f

ln

，所以可得ln，故B錯；e③(f(4)

，即

424

，即ln1515所以ln15ln2

，以2

，故正確；④(8)f)

8，即

23e，即，e

ln2所以3eln2，故正；故選：【點睛】關鍵點點睛：本題考查的是構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，解題的關鍵是函數(shù)的構造和自變量的選擇3．若存在常數(shù)k和，使得函數(shù)

F意實數(shù)x都足：F

恒成立，則稱此直線

為

F線．知函數(shù)f

2

（

），

g

12

（

），

，（為然對數(shù)的底數(shù)），則（）A．

m

在

x

內(nèi)單調遞減B．

之間存在“隔直，且b的最小值為C．

之間存在“隔直”，且k的值范圍是

．

之間存在唯一的隔直”，程為

y

ex

e2【答案】【分析】對于A：令

m

，利用導數(shù)可確定

判斷；

對于和C利用二次函數(shù)的性質以及不等式恒成立的知識求出b、的范圍，進而作出判斷；對于選項D：根據(jù)隔離直線過

的公共點，可假設隔離直線為ykx

e2

；可得到e，再利用恒成立得出的值，最后嘗試利用22導數(shù)證明

h

e2

，進而作出判斷【詳解】對于A，

m

，22x

1x2x2

，當

x,0時m

x

單調遞增，故A錯；對于B，

，f

的隔離直線為

，x2

kx對任意x恒立，即x2b對意R恒立，所以

k1

2

，以b，又

12

kx對意x

恒成立，即2kx2對意

x

恒成立，因為

b

，所以

k且1

2

，所以

且

，

4

，得

，理

，所以b的小值為，的值范圍是故確，

錯誤；對于D，

函數(shù)

x

和

h

x

的圖象在

處公共點，

若存在

的隔離直線，那么該直線過這個公共點，設隔離直線的斜率為

，則隔離直線方程為

y

e

e，

ye

e2

，則則

2e（R），得x2kx對R恒立，22e解得，此時隔離直線方程為：

y

ex

e2

，

eexex0,在eexex0,在下面證明，2ee令xlnx22

（

），則G

，x當x

，

；當0x時

G

；當xe時

G

；

當xe時，

最值，即

min

，

e2

在

上恒成立，即

h

e2

，函數(shù)f

存在唯一的隔離直線

y

ex

e2

，D正.故選：.【點睛】關鍵點睛：本題考查導數(shù)中的新定義問題的求解；解題關鍵是能夠充分理“隔直線的定義，將問題轉化為根據(jù)不等式恒成立求解參數(shù)范圍或參數(shù)值、或不等式的證明問題，屬于難題4．（多選）已知函數(shù)

fx)axlnx(a

，則下列說法正確的是（）A．若a則函數(shù)

f(x)

沒有極值B．，函數(shù)f()

有極值C．函數(shù)有只有兩個零點，則實數(shù)的值范圍是．函數(shù)

有且只有一個零點，則實數(shù)a的值范圍是

(【答案】【分析】先對

進行求導，再對

進行分類討論，根據(jù)極值的定義以及零點的定義即可判.【詳解】解：由題意得，函數(shù)

f(x)

的定義域為且f)

1axxx

，當a時

f

恒成立，此時

f(x)

單調遞減，沒有極值，又

當x趨于0時

f(x)

趨近于x趨于，f()

趨近于，∴()

有且只有一個零點，當

a

時，在

上，

f

，

f(x)

單調遞減，,

0，f()

單調遞增，

在在當x

時，

f(x)

取得極小值，同時也是最小值，∴f(x)

fmin

ln

，當趨近于時，

ln

趨近于

，

f(x)

趨近于

，當趨近于，f()

趨近于當a，

1e

時，

f(x)

有且只有一個零點；當

1a，0

e

時，

f(x)

有且僅有兩個零點，綜上可知ABD正確，錯．故選：．【點睛】方法點睛：函數(shù)零點的求解與判斷方法：(1)直求零點：令

，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點；(2)零存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在[，b]

上是連續(xù)不斷的曲線，且

，還必須結合函數(shù)的圖象與性(如調性、奇偶才確定函數(shù)有多少個零點；(3)利圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．5．已知函數(shù)

f

x

e

2

x2

，則下列說法正確的是（）A．函數(shù)

y

是偶函數(shù)，且在

上不單調B．數(shù)

yf

是奇函數(shù)，且在

上不單調遞增C．數(shù)

yx,0

上單調遞增．任意m，都有

f

【答案】AD【分析】由函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的單調性即可判斷A、C、【詳解】解：對，

f

x

ex

2

x2=x2x

，定義域為R，關于原點對稱，

2222f

e

xx)fe

，f

是偶函數(shù)，其圖像關于軸對稱f)

在

上不單調，故A正確；對B

f

x

12sinxe

，f

1xex

，f

是奇函數(shù)，令

g(x)x

1e

x

，則

g+

1e

2cos

，f

在

上單調遞增，故B錯；對，

fx

1ex

2sinx

，且

f)

在

上單調遞增，又

f

，x,0f

，πfx在,0

上單調遞減，故C錯誤；對，

y

是偶函數(shù)，且在

上單調遞增，f)f(0)

，故D正.故選：【點睛】用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間或判斷函數(shù)的單調性問題時應注意如下幾方面：(1)在用導數(shù)討論函數(shù)的單調區(qū)間時，首先確定函數(shù)的定義域；(2)不隨意將函數(shù)的2個獨立的單調遞增（或遞減）區(qū)間寫成并集式；(3)利導數(shù)解決含參函數(shù)的單調性問題時，般將其轉化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結合思想的應.6．對于定義在D上函數(shù)f1

和定義在D上函數(shù)g2

，若直線

R

同時滿足：

D，1

，

x

，則稱直線

kx

為

x

與

g

x

的隔直”若

f

lnx

，

，則下列為

的隔離直線的是（）

yyA．

B．

yx

12

C．

y

x3e

．

y

1x2【答案】【分析】根據(jù)隔離直線的定義，函數(shù)

y

的圖象總在隔離直線的下方，

yg

x

的圖象總在隔離直線的上方，并且可以有公共點，結合函數(shù)的圖象和函數(shù)的單調性，以及直線的特征，逐項判定，即可求解【詳解】根據(jù)隔離直線的定義，函數(shù)

y

的圖象總在隔離直線的下方，

yg

的圖象總在隔離直線的上方，并且可以有公共點，由函數(shù)

f

x

lnx，可得xx

，所以函數(shù)

上單調遞減，因為

，此時函數(shù)

處的切線方程為

x

，且函數(shù)

的圖象在直線

x

的下方；又由函數(shù)

，可得

，

單調遞增，因為

，所以函數(shù)

g

在點

(1,1)

處的切線方程為

，即，此時函數(shù)

g

的圖象在直線y的上方，根據(jù)上述特征可以畫出

y

的大致圖象，如圖所示，直線

x

和分別是兩條曲線的切線，這兩條切線以及它們之間與直線平的直線都滿足隔離直線的條件，所以A都合；設過原點的直線與函數(shù)

y

相切于點

x,00

，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，可得切線的斜率為

k

1x

，又由斜

k

yx0x

ln1lnx，可得0，得x

x0

，所以

k

11()2

，可得切線方程為

y

x

，又由直線

y

x3e

與曲

y

相交，故C不符合由直線

y

1x2

過點

，斜率為，曲線

y

處的切線斜率為1，明顯不滿足，排除D.故選：

m12m12【點睛】對于函數(shù)的新定義試題：（）真審題正確理解函數(shù)的新定義，合理轉化；（）據(jù)隔離線的定義，轉化為函數(shù)

y

的圖象總在隔離直線的下方，

yg的圖象總在隔離直線的上.7．已知函數(shù)

有兩個零點x、x，x1

，則下列結論不正確的是（）A．

0m

1e

B．

x2

的值隨的大而減小C．

0

．

x2【答案】【分析】由

得出m

ln

，構造函數(shù)

g

lnxx

，利用導數(shù)分析函數(shù)

g

的單調性與極值，數(shù)形結合可判斷ACD選項的正誤；任取、

，且

mm1

，設g

12

，其中

11

2

；設

g

12

，其中1

2

，利用函數(shù)

g

的單調性結合不等式的基本性質得出

22

，可判斷選項的正.【詳解】令

，可得m

ln

，構造函數(shù)

g

lnxx

，定義域為

，g

1lnxx

.當

0

時，

g

，此時函數(shù)

g

單調遞增；當時，

g

，此時函數(shù)

g

單調遞減.所以，

g

x

g

1e

，如下圖所示：

mm12m由圖象可知，當

0m

1lnx時，直線與函數(shù)gex

的圖象有兩個交點，選正確；當x

時，

g

，由圖象可得

11

，

x2

，選項錯誤D選正確；任取、

，且

mm1

，設

g

1

2

2

；設

g

12

，其中1

2

.由于函數(shù)

g

上單調遞增，且

g

1

11

；函數(shù)

g

上單調遞減，且

g

2

22

.由不等式的基本性質可得

則121222

.所以，

x2

的值隨的大而減小，選正確故選：【點睛】在利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題個數(shù)中，可轉化為判定

有兩個實根時實數(shù)應滿足的條件，并注意

g

的單調性、奇偶性、最值的靈活應用．另外還可作出函數(shù)yg

的大致圖象，直觀判定曲線交點個數(shù)，但應注意嚴謹性，進行必要的論證．8．已知函數(shù)

x

，則下列說法正確的是（）A．當

a

時，

單調遞增B．

a

時，

處的切線為軸C．時，

存在唯一極小值點，

．任意，

一定存在零點【答案】【分析】結合函數(shù)的單調性、極值、最值及零點，分別對四個選項逐個分析，可選出答.【詳解】

3πex43πex444對于A當

a

時，

x，f

，因為

x

時，

1,cos

，即

x

，所以

在

上單調遞增，故正確；對于，

a

時，

x

sin，f

x

x

，則

0

sin0，f

0

，即切點為0,1，線斜率為0，故切線方程為，錯；對于，當時

x，f

，當

x

時，sin

，x，

x

恒成立，即

x

cos在

上單調遞增，又

f

，ππf444

π4

，因為

3

π

，所以πf

π4

，所以存在唯一

πx

，使得

0

成立，所以

0

上單調遞減，在

0

上單調遞增，即

存在唯一極小值點x，由0

x0

，可得f

x0sinx0x0x0sin

，因為

x

3π42

，所以

x4

3π4

，則f2x4

，故C正確；對于選項D，

x

，

x

，令

x

，得

sinxe

，sinx，e

，則cossinxx

π2sinx

，令

gx

0

，得

sin4

，則

xkZ

，令

gx

0，

4

5，則kkZ

，此時函

44π444π4數(shù)

g

單調遞減，令

gx

0，

4

π9π，則π2kkkZ

，此時函數(shù)

g

單調遞增，所以

xk

π

Z

取得極小值，極小值為πgk

5π4kkZπ52k4

，在

g

的極小值中，

3gg4

4π

最小，當

x

3π4

時，

g

單調遞減，所以函數(shù)

g

的最小值為g

54

12e

π

，當

2e

π

時，即

3π4

時，函數(shù)

g

1a

無交點，即

在

不存在零點，故D錯.故選：【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、零點、最值，及切線方程的求法，考查學生的推理能力與計算求解能力，屬于難題9．已知f

x（）A．

的零點個數(shù)為

B．

的極值點個數(shù)為3C．軸曲線

y

的切線

．

，則x11【答案】【分析】首先根據(jù)

x

x

，分別畫出

y

x

和

x

的圖像，從而得到函數(shù)的單調性和極值，再依次判斷選項即可得到答.【詳解】

x2x2f

x

cosx，f

x

cosx

.分別畫出

y

x

和

的圖像，如圖所示：由圖知：

x

x

有三個解，即

有三個解