2020-2021學年廣東省深圳實驗學校高二第一學期第三階段考試數(shù)學試題

深圳實驗學校高中部2020-2021學年度第一學期第三階段考試高二數(shù)學時間：120分鐘滿分：150分命題人：第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一．選擇題：本大題共8小題，每小題5分,共40分．在每小題給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的．1．“”是“方程表示雙曲線”的（）A．必要但不充分條件；B．充分但不必要條件；C．充要條件；D．既不充分又不必要條件．2．設等差數(shù)列的前n項和為．若，，則（）A． B．12C．16 D．323．函數(shù)的遞增區(qū)間是（）A．和；B．；C．；D．.4．設雙曲線的一個焦點為F，虛軸的一個端點為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為（）A．B．C．D．5．已知函數(shù)，則下列式子成立的是（）A．f(?1)＜f()＜f()B．f()＜f(?1)＜f()C．f()＜f()＜f(?1)D．f()＜f(?1)＜f()6．已知雙曲線的兩條漸近線與拋物線的準線分別交于，兩點，為坐標原點．若雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為，則（）A．1 B． C．2 D．37．已知函數(shù)，若曲線存在兩條過(1，0)點的切線，則a的取值范圍是 （）A．B．C．D．8．已知函數(shù)，若x=1是函數(shù)f(x)的唯一極值點，則實數(shù)k的取值范圍是 （）A．(－∞，e] B．(－∞，e)C．(－e，+∞)D．[－e，+∞)二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9．與直線僅有一個公共點的曲線是（）A．QUOTE；B．QUOTE；C．QUOTE；D．QUOTE．10．對于函數(shù)，下列說法正確的有（）A．在處取得極大值；B．有兩個不同的零點；C．；D．若QUOTE在QUOTE上恒成立，則．11．已知拋物線C:，焦點為F，過焦點的直線l拋物線C相交于，，則下列說法一定正確的是（）A．若QUOTE的最小值為2；B．線段AB為直徑的圓與直線QUOTE相切；C．為定值QUOTE；D．若，則QUOTE．12．已知數(shù)列QUOTE，QUOTE均為遞增數(shù)列，QUOTE的前n項和為，QUOTE的前n項和為．QUOTE且滿足QUOTE，，則下列說法正確的是（）A．；B．；C．QUOTE；D．QUOTE．第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知函數(shù)的導函數(shù)為，且滿足，則．14．數(shù)列滿足：，，則數(shù)列的通項公式.15．光線從橢圓的一個焦點發(fā)出，被橢圓反射后會經(jīng)過橢圓的另一個焦點；光線從雙曲線的一個焦點發(fā)出，被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個焦點射出．如圖，一個光學裝置由有公共焦點，的橢圓與雙曲線構成，現(xiàn)一光線從左焦點發(fā)出，依次經(jīng)與反射，又回到了點，歷時秒若將裝置中的去掉，此光線從點發(fā)出，經(jīng)兩次反射后又回到了點，歷時秒若，則與的離心率之比為.16．設為實數(shù)，函數(shù)在和都是增函數(shù)，則的取值范圍是．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（本題滿分10分）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的圖象在處的切線方程；(2)求函數(shù)在上的最大值與最小值．18．（本題滿分12分）已知等差數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．19．（本題滿分12分）如圖，已知拋物線：，直線交拋物線于兩點，為坐標原點．(1)證明：；xAy1BOM1(2)設拋物線在點處的切線為，在點處的切線為，證明：與的交點在一定直線上．xAy1BOM120．（本題滿分12分）如圖所示，某大型水上樂園內(nèi)有一塊矩形場地ABCD，AB=120米，AD=80米，以AD，BC為直徑的半圓O1和半圓O2(半圓在矩形ABCD內(nèi)部)為兩個半圓形水上主題樂園，BC，CD，DA都建有圍墻，游客只能從線段AB處進出該主題樂園．為了進一步提高經(jīng)濟效益，水上樂園管理部門決定沿著，QUOTE修建不銹鋼護欄，沿著線段EF修建該主題樂園大門并設置檢票口，其中E，F(xiàn)分別為QUOTE，上的動點，EF//AB，且線段EF與線段AB在圓心O1和O2連線的同側(cè)．已知弧線部分的修建費用為200元/米，直線部分的平均修建費用為400元/米．(1)若EF=80米，則檢票等候區(qū)域(陰影部分)的面積為多少平方米?(2)試確定點E的位置，使得修建費用最低．21．（本題滿分12分）xyOFD已知在平面直角坐標系中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為，右頂點為D（2，0），設點A的坐標是xyOFD(1)求該橢圓的標準方程；(2)過原點O的直線交橢圓于點B、C，求△ABC面積的最大值．22．（本題滿分12分）已知函數(shù). (1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若函數(shù)有兩個不同的零點,，①求實數(shù)的取值范圍；②證明：．深圳實驗學校高中部2020-2021學年度第一學期第三階段考試高二數(shù)學參考答案一、選擇題1．A．2．D．3．D．4．D．5．B．6．C．7．D．8．A．二、多項選擇題：9．AC10．ACD11．BCD12．ABC三、填空題：13．－eq\f(1,e)．14．.15．1：2.16．．四、解答題：17．解：(1)∵，∴，∴，．∴函數(shù)的圖象在處的切線方程為：，即．………4分(2)令，得與，當變化時，、的變化如下表：＋0－0＋所以，與是函數(shù)在上的兩個極值點，而，，，．∴函數(shù)在上的最大值是，最小值是．………10分18．解：(1)設等差數(shù)列的公差為d，由已知條件可得解得故數(shù)列的通項公式為………4分(2)設數(shù)列的前項和為，即，故．．所以，當時，所以．………12分19．解：(1)設，把代入，得．由韋達定理得．．………6分(2)，，故經(jīng)過點的切線的方程為：，即，①同理，經(jīng)過點的切線的方程為：，②①×x2－②×x1，得．即點在直線：上．………12分20．解：(1)如圖所示，設直線EF與矩形ABCD交于M，N兩點，連接O1E，O2F，O1O2，則ME＝20米，O1M＝20米．梯形O1O2FE的面積為×(120+80)×20＝2000(平方米),矩形AO1O2B的面積為120×40＝4800(平方米),易得∠AO1E＝，則扇形O1AE和扇形O2FB的面積均為××1600=(平方米),故陰影部分的面積為4800－2000－QUOTE,800π-3.平方米.………6分(2)設∠AO1E＝θ，θ∈，則QUOTE,AD.，的長都是40θ，EF＝120-2×40sinθ＝120－80sinθ,所以修建費用f(θ)＝200×80θ+400×(120－80sinθ)＝16000(θ+3－2sinθ),所以f'(θ)＝16000(1－2cosθ).令f'(θ)＝0，得θ＝QUOTE,π-3.,當θ變化時，f'(θ)，f(θ)的變化情況如下表:θf'(θ)-0+f(θ)↘極小值↗由上表可得，當θ＝，即∠AO1E＝時，f(θ)有極小值，也為最小值．故當∠AO1E為時，修建費用最低．………12分22．解：（1）設橢圓方程為.由題意得，，∴，∴橢圓方程為.………4分（2）當軸時，易得.當直線不垂直于軸時，設直線BC所在方程為，且設B（x1，y1），C（x2，y2），由，聯(lián)立得，∴，∴.又到直線的距離，于是①當時，；②當時，；③當時，．當且僅當時，取“＝”，綜上所述△ABC面積的最大值為．…………12分22．解：(1)當時,,,所以，，所以曲線在點處的切線方程是．…………4分(2)函數(shù)有兩個不同的零點,，等價于方程有兩個不同實根,．①令，則,所以在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+