第十五次課相似矩陣及的對角化

§5.2

方陣的對角化一、相似矩陣的概念

二、相似矩陣的性質(zhì)三、n階矩陣與對角矩陣相似的充要條件一、相似矩陣的概念定義1

設(shè)A，B為n階方陣，如果存在可逆矩陣P，使得

P–1AP=B成立，則稱矩陣A與B相似，記為A~B。稱P為相似變換矩陣。相似關(guān)系是矩陣間的一種等價關(guān)系，即滿足

自反性：A~

A，對稱性：若A~B，則B~

A

傳遞性：若A~B，B~

Ｃ，則A~Ｃ二、相似矩陣的性質(zhì)

1.相似矩陣的行列式相等。即若A~B，則|A|=|B||B|=|P-1AP|=|P-1||A||P|=|A||P-1P|=|A|

2.如果方陣A與B相似，則它們有相同的特征多項式，從而有相同的特征值。即若A~B，則|lE-A|=|lE-B||lE-B|=|P-1(lE)P-P-1AP|=|lE-P-1AP|=|P-1(lE-A)P|=|P-1||lE-A||P|=|lE-A|，二、相似矩陣的性質(zhì)

A與B有相同的特征多項式，所以它們有相同的特征值。證明：因為P-1AP=B，3.相似矩陣有相同的跡。即若A~B，則相似矩陣或者都可逆，或者都不可逆。若都可逆，其逆矩陣也相似。

5.相似矩陣有相同的秩。即若A~B，則R（A）=R（B）

注意：以上性質(zhì)均為相似的必要條件，可以用來排除哪些矩陣不相似。例1若求x，y．

解得：x=-17,

y=-12解：由于Ａ和Ｂ相似，所以tr(A)=tr(B),|A|=|B|,即22+x=1+422x

-31y=4-6解：由于矩陣Ａ和Ｄ相似，所以|A|=|D|,即

|A|=|D|＝12.例２設(shè)3階方陣A相似于矩陣，求|A|．三、n階方陣可對角化的條件相似矩陣具有許多共同的性質(zhì)，因此，對于n階方陣A，我們希望在與A相似的矩陣中尋求一個較簡單的矩陣。在研究A的性質(zhì)時，只需先研究這一較簡單矩陣的同類性質(zhì)。下頁若方陣A與一個對角陣L相似，則稱方陣A可對角化。記為A~L，并稱L

是

A

的相似標準形。問

n階方陣A與一個對角矩陣L相似的條件？=(l1X1,l2X2,,ln

Xn)

(X1,X2,,Xn)l1000l2000ln思考題=?下面討論對角化的問題

這說明：如果A可對角化，它必有n個線性無關(guān)的特征向量，就是P的n個列；反之，如果A有n個線性無關(guān)的特征向量，把它拼成矩陣P(可逆)，把上面過程逆過來即知A可對角化。定理5.3n階矩陣A可對角化的充要條件是A有n個線性無關(guān)的特征向量。二、矩陣的對角化（利用相似變換把方陣對角化）

定理5.3(P130)

階矩陣可對角化（與對角陣相似）

有個線性無關(guān)的特征向量。注意：這時P和對角陣是如何構(gòu)成的可驗證線性無關(guān)，故A可對角化.[見后面注]第1步

求特征值即求的基礎(chǔ)解系第2步求線性無關(guān)的特征向量，例2

討論矩陣是否可對角化.若可以，求可逆矩陣P使為對角矩陣.[參見§5.1例3]第3步把線性無關(guān)的特征向量拼成可逆矩陣P.第4步寫出相似變換及對角矩陣.注下面的定理告訴我們，本題中的線性無關(guān)性不需要驗證.如果確定A是否有N個線性無關(guān)的特征向量？證明則即類推之，有把上列各式合寫成矩陣形式，得推論5.1若階方陣有個互不相同的特征值,則可對角化。（與對角陣相似）(逆命題不成立)問題：有重根時，可對角化的條件是什么？猜想：幾重根有幾個線性無關(guān)的特征向量

不同特征值對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量合并以后仍是線性無關(guān)的。定理5.4對應(yīng)的無關(guān)特征向量為設(shè)的所有不同的特征值為則

注：就是的重根數(shù)，稱之為的(代數(shù))重數(shù)，就是對應(yīng)的最大無關(guān)特征向量的個數(shù)，稱之為的幾何重數(shù)。

該定理說明：任一特征值對應(yīng)的無關(guān)特征向量的個數(shù)至少有一個，至多不會超過它的重數(shù)。如果是單重特征值，無關(guān)的特征向量的個數(shù)為1。定理5.5定理5.6n階矩陣A可對角化的充要條件是A的每個特征值的代數(shù)重數(shù)等于它的幾何重數(shù)。即設(shè)互不同，此時則A可對角化的充要條件是亦即：的重數(shù)恰好等于它對應(yīng)的最大無關(guān)特征向量的個數(shù)。簡稱:幾重特征值有幾個特征向量.定理5.6n階矩陣A可對角化的充要條件是A的每個特征值的代數(shù)重數(shù)等于它的幾何重數(shù)。簡稱:幾重特征值有幾個無關(guān)特征向量.例３.

判斷下列矩陣是否下列矩陣是否相似于對角陣，若相似求可逆矩陣Ｐ，使P-1AP=L-11-4

（２）.

B=103020

解：(2).矩陣B的特征方程為l+1-14

-10l-30l-20|λE-B|=(l-2)(l-1)2=0，

矩陣A的特征值為：

l1l2=1,l32，

對于特征值l1l2=1,解線性方程組(E-B)Xo，得其基礎(chǔ)解系X1=

，12-1B不能對角化解：由Ａ和Ｂ相似得：

tr(A)=tr(B)|A|=|B|

l1l2=2,l36

對于特征值l1l2=２,解線性方程組(２E-A)Xo，-110101得其基礎(chǔ)解系X1=及X2=

對于特征值l3=6，解線性方程組(6E-A)xo，

由于Ａ和Ｂ相似，且Ｂ是一個對角陣，可得Ａ的特征值是所以得其基礎(chǔ)解系X3=，1-23

5+x=4+y6x-6=4y解之得：x=5,y=6解：由Ａa1=a1，Ａa２=０，Ａa３=-a3可得：l１1，l２0，l３-1是Ａ的特征值，

a1，a２，a３是Ａ對應(yīng)于上述特征值的特征向量

容易驗證a1，a２，a３是３階方陣Ａ的３個線性無關(guān)的特征向量所以Ａ相似于對角陣

Λ＝diag(1,0,-1)?。校剑╝1，a２，a３）則有P-1AP=L，所以

A

=PLP-1

A

5=PL5P=

PLP-1=A

例6．設(shè)３階方陣Ａ滿足求Ａ和A5

．其中例7能否對角化，只需檢查二重根對應(yīng)的特征向量？相似矩陣的定義矩陣可對角化的充要條件矩陣可對角化時對角陣的對角線上的元素與矩陣的關(guān)系要求：作業(yè)P13923456例5若Ａ相似于對角陣L，則存在可逆陣Ｐ，使則A=P

LP-1

A２=（P

LP-1）（

P

LP-1）＝P

L２

P-1,

A３＝A２A＝（P

L２

P-1）（

P